Caso particolare integrale

[ramarro1]

Scusate io mi trovo l integrale
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti

[axpgn]

No.

Allora ...

$(5x-10)/(x^2-6x+9)=(5x-10)/(x-3)^2$

$(5x-10)/(x-3)^2=A/(x-3)+B/(x-3)^2\ =>\ (5x-10)/(x-3)^2=(A(x-3)+B)/(x-3)^2\ =>\ 5x-10=Ax-3A+B$ perciò deve essere ${(A=5),(-10=-3A+B):}$ e quindi ${(A=5),(-10=-3*5+B):}\ =>\ {(A=5),(5=B):}$; in conclusione $(5x-10)/(x-3)^2=5/(x-3)+5/(x-3)^2$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Il penultimo post di axpgn suggerisce, un po' sottovoce, anche un altro metodo che forse piacerà a ramarro.

Con la sostituzione $t=x-3harrx=t+3$ l'integrale diventa

$int(5(t+3)-10)/t^2 dt=int(5t+5)/t^2dt=int(5/t+5/t^2)dt=5log|t|-5/t+c=$
$=5log|x-3|-5/(x-3)+c$

[ramarro1]

ESERCIZIO 2
$int(5x^2+4x-1)/(x^-6x+9)$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=5+(34x-46)/(x^2-6x+9)$
SISTEMA
$b=34$
$a=-46+3b$
TROVO $a=36$
SOLUZIONE
$36(-1)(x-3)^(-1)+34log|x-3|+5x$
ESERCIZIO 3

$int(10x^2-8x-2)/(x^2-6x+9)$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=10+(52x-92)/(x^2-6x+9)$

SISTEMA
$52=b$
$-92=a-3b$

TROVO $a=-92+156=64$

$64(-1)(x-3^(-1)+52log|x-3|+10x+c$

ESERCIZIO 4
$int(x^2-10x+11)/(x^2-6x+9)$

DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=1+(-4x-2)/(x^2-6x+9)$

SISTEMA
$-4=b$
$-2=a-3b$

RICAVO$a=-14$
$int(-14/(x-3)^2+int(-4)/(x-3)$
$x-14(-1)(x-3)^(-1)-log|x-3|+c$
Ok, allora volevo chiedere, a parte le osservazioni che sono sempre gradite, se mi poteste dare un altro esercizio piu o meno uguale a questo perchè io di questo caso non ne ho piu
Grazie
Cordiali saluti

[giammaria2]

Nell'ultima hai scrito un segno sbagliato: doveva essere
$N/D=1+(-4x+2)/(x^2-6x+9)$
e naturalmente questo modificava i calcoli successivi.
Un'altra osservazione è che i risultati vanno scritti nella forma più chiara e semplice possibile: ad esempio

non $x-14(-1)(x-3)^(-1)-log|x-3|+c$ (che poteva però essere un tuo passaggio intermedio)

bensì $x+14/(x-3)-log|x-3|+c$

Ti do un altro paio di esercizi che si svolgono con lo stesso metodo ma hanno qualche piccola differenza con i precedenti: inutile ripetere sempre le stesse cose.
$int(x^3+3x^2+3x-6)/(x^2+4x+4)dx$

$int(4x^2+x)/(4x^2-4x+1)dx$

[ramarro1]

Scusa il ritardo di questi 3 giorni, allora ne ho fatto uno, ma non ho capito se anche in questi casi devo fare la divisione fra polinomi, mi spiego meglio:
L'ho fatto in 2 modi vorrei sapere se fra questi 2 ve ne è uno giusto:
$int (4x^2+x)/(4x^2-4x+1)dx$
seri$1/2;1/2$
$a/(x-1/2)^2+b/(4(x-1/2)^2)$
SISTEMA
$4x-1=4a+bx-1/2b$
quindi
$b=4;a=1/4$
$int(1/4)/(x-1/2)^2+1/(x-1/2)$
$-1/(4(x-1/2))+log|x-1/2|$
l'altro metodo (sempre dello stesso esercizio) lho fcatto dividendo i polinomi e mettendo lo 0 come termine noto del numeratore:
$N/D=1+(5x-1)/(4(x-1/2)^2$
$int1dx+int(5x)/(4(x-1/2)^2dx+int-1/(4(x-1/2))^2dx$
passiamo al secondo integrale dato che il primo da $x$
$5/4int(t+1/2)/t^2dt$ ho sostituito $T=x-1/2$
$5/4int((t+1)/2)/t^2dt$
$5/4int(t+1)/2(1/t^2)dt$
$5/4int(t+1)/(2t^2)dt$
$5/8int(t+1)/t^2*2/2dt$
$5/16int(2t+2)/t^2$
$5/16log|2t+2|$
passiamo al terzo
$1/4int(-1)/(x-1/2)^2dx$
$1/4int(-1)/t^2dt$
$-1/4t^(-1)$
sarebbe $x+5/16log|2t+2|-1/4t^(-1)$
poi dovrei risostituire con la variabile $x$...
ecco io farei anche l altro ma aspetto di sapere se è giusto questo onde evitare di metterne 2 sbagliati...intanto se vuoi dammene altri 2...ah ecco poi dovrei fare gli altri 2 casi che dicevo qualche post fa, magari te lo ricordo io dopo
Grazie
Cordiali saluti

[igiul1]

"ramarro":
L'ho fatto in 2 modi vorrei sapere se fra questi 2 ve ne è uno giusto:
$ int (4x^2+x)/(4x^2-4x+1)dx $
zeri$ 1/2;1/2 $
$ a/(x-1/2)^2+b/(4(x-1/2)^2) $

l'altro metodo (sempre dello stesso esercizio) lho fcatto dividendo i polinomi e mettendo lo 0 come termine noto del numeratore:
$ N/D=1+(5x-1)/(4(x-1/2)^2 $
$ int1dx+int(5x)/(4(x-1/2)^2dx+int-1/(4(x-1/2))^2dx $
passiamo al secondo integrale dato che il primo da $ x $

Ci sono errori in entrambi i casi
1) Se il Num. è di grado maggiore o uguale al Den. "devi" fare la divisione.
2) La divisione è corretta $ N/D=1+(5x-1)/(4(x-1/2)^2 $ ma il Den. è preferibile scriverlo $(2x-1)^2$
3) $ (5x-1)/((2x-1)^2)=a/(2x-1)+b/((2x-1)^2)$ porta ad $a=5/2$ e $b=3/2$

$int(1+(5x-1)/((2x-1)^2)dx=int(1+5/(2(2x-1))+3/(2(2x-1)^2))dx$

Calcolalo nei due modi, ma attento quando fai la sostituzione:
$t=2x-1$ implica $x=(t+1)/2$ da cui: $dx=1/2dt$

[ramarro1]

$5/4int((t-1)/2)/t^2(1/2)dt+1/4int(-1)/t^2(1/2)dt$
$5/8int(t-1)/(2t^2)dt+1/8int(-1)/t^2dt$
$5/16int(t-1)/(2t^2)*2/2dt-1/8(1/-1)t^(-1)$
$5/32log|t^2|+1/8t^(-1)$
$5/16log|t|-1/8t^(-1)$
ne vorrei altri 2 di integrali che poi vorrei passare a fare esercizi con gli altri 2 casi.

[ramarro1]

Adesso quell altro
;DIVISIONE POLINOMI
$N/D=x-1+(3x-2)/(x^2+4x+4)$
il primo integrale sarebbe $intx+1dx=1/2x^2+x$
poi abbiamo
$int(3x-2)/(x^2+4x+4)dx$
$(3x-2)=(a+b(2x-1))/(2x-1)^2$
$(3x-2)=(a+2bx-b))/(2x-1)^2$
SISTEMA
$3/2=b$
poi trovo $a$ che prima era $-2+b=a$ ma alla fine $=-1/2$
$-1/2int1/(2x-1)^2+(3/2)/(2x-1)dx$
$(1/2)(1/(2x-1))+3/2log|2x-1|+c$

[minomic]

Personalmente ci ho capito molto poco... cosa c'entra $(2x-1)^2$?

Tu hai \[\int{\frac{3x-2}{(x+2)^2}\ dx}\] Ora puoi dire che la derivata del denominatore è $2x+4$, quindi cerchiamo per prima cosa di farla comparire al numeratore. Con semplici passaggi ottieni la seguente riscrittura
\[\frac{3}{2} \int{\frac{2x-\frac{4}{3}}{(x+2)^2}\ dx}\] Proseguendo, sempre con l'obiettivo di avere $2x+4$ al numeratore, possiamo scrivere
\[\frac{3}{2}\left[
\int{\frac{2x+4}{(x+2)^2}\ dx} - \frac{16}{3}\int{\frac{1}{(x+2)^2}\ dx}
\right]\] A questo punto possiamo concludere: il risultato è
\[\frac{3}{2}\ln(x+2)^2 + \frac{8}{x+2} + C\]

Se hai qualche dubbio chiedi pure.

[giammaria2]

Il metodo indicato da minomic (cioè cercare di avere a numeratore la derivata del denominatore) talvolta è consigliabile ma più spesso è indifferente o addirittura conduce ad una complicazione nei calcoli e nella scrittura del risultato: a me piace poco e lo uso solo nel caso in cui il denominatore non è scomponibile avendo $Delta<0$.
Il $(2x-1)^2$ è evidentemente fuori posto; probabilmente proviene da un altro esercizio. Correggendolo, io farei lo stesso ragionamento di ramarro e cioè
$(3x-2)/(x+2)^2=a/(x+2)^2+b/(x+2)$

$3x-2=a+bx+2b$

${(b=3),(a+2b=-2):}->{(a=-8),(b=3):}$

[ramarro1]

Buonasera, va be lascia perdere il denominatore, ho scritto quello la perchè mentre facevo l'ultimo esercizio mi era rimasto in mente il denominatore dell'esercizio del post soprastante, cmq vorrei chiedere altri 2 integrali.
Grazie
Cordiali saluti

[minomic]

Postali pure! Magari continuiamo ad utilizzare questo thread per evitare di crearne troppi. Comunque per queste cose ti diranno poi i moderatori.

[ramarro1]

no, intendevo dire se qualcuno mi potesse dare come compito altri integrali simili ai precedenti, un po come quelli che mi aveva detto il moderatore giammaria sullo stesso trhead.
Grazie
Cordiali saluti
MODIFICA DEL MESSAGGIO

Ciao scusate mi potete dare altri 2 integrali simili a questi ultimi.
Graize
Cordiali saluti

[giammaria2]

Quello che è veramente utile non è fare valanghe di esercizi uguali fra loro ma saper distinguere fra le diverse tipologie, applicando ogni volta il metodo corretto. Ti do alcuni esercizi che rispondono a questa richiesta.
1) $int(25x-4)/(25x^2-10x+1)dx$

2) $int(3x)/(9x^2-6x+2)dx$

3) $int(dx)/(x^3-x)$

4) $int(dx)/(x^3+x)$

[ramarro1]

ESERCIZIO 1
calcolo gli zeri:$1/5;1/5$
$inta/(x-1/5)^2+intb/(x-1/5)(1/25)$
$inta/(5x-1)^2+intb/(5x-1)(1/25)$
DENOMINATORE COMUNE
$(25a+5bx-b)/(25(5x-1)^2)$

SISTEMA
$25x-4=25a+5bx-b$
$b=5$
$a=1/25$

$int(1/25)/(5x-1)^2dx+int5/(25(5x-1))dx$
$-1/(125(5x-1))+1/5log|5x-1|$

ESERCIZIO 2
non so proprio come si fa, ho visto che il denominatore non è scomponibile, pensavo che fosse quello con $arcatan$ ma mi resta la x poi sopra e cosi non saprei come continuare.

ESERCIZIO 3

$int1/(x^3-x)dx$
ho pensato di sommare $3x^2-3x^2+1-1$ al numeratore $1$ gia presente in modo da ricavare un primo integrale del genere $log|f(x)|=f'(x)/f(x)$
$int(3x^2-3x^2-1+1+1)/(x^3-x)$
$int(3x^2-1)/(x^3-x)dx+int(-3x^2+2)/(x^3-x)((-1)/(-1))dx$

$log|x^3-x|-int(3x^2)/(x^3-x)dx-int2/(x^3-x)dx$
$log|x^3-x|-int(3x^2)/(x(x^2-1))dx-2int1/(x^3-x)dx$
$log|x^3-x|-int(3x)/(x^2-1)(2/2)dx-2int1/(x^3-x)dx$

$log|x^3-x|-3/2log|x^2-1|-2log|x^3-x|$
bo non so fin qui sono giusti?
poi cmq vorrei proprio sapere come si fa il secondo
Grazie
Cordiali saluti

[minomic]

Intanto ti dico una cosa piuttosto evidente sul numero 3:
\[x^3-x = x\left(x^2-1\right) = x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\] e ora puoi applicare la scomposizione in fratti semplici, cioè quella con $A, B, C$ e procedere. Senza necessità di fare calcoli particolari. Prova a fare questo, poi vediamo di sistemare anche gli altri.

[minomic]

Vedo di dire qualcosa sul secondo. Il buon giammaria ti ha messo quel $2$ non per caso, ma perché tu lo vedessi come $2=1+1$.
\[\frac{3x}{9x^2-6x+2} = \frac{3x}{\left(9x^2-6x+1\right)+1} = \frac{3x}{\left(3x-1\right)^2 + 1}\] Ora al denominatore comincia a comparire qualcosa che ricorda l'arcotangente, il cui prototipo è il seguente:
\[\int{\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\ dx} = \arctan f(x)\] Quindi al numeratore vorremmo la derivata di $3x-1$ che è $3$, mentre abbiamo anche la $x$, come avevi notato. Allora facciamo un passo indietro, torniamo all'inizio e facciamo comparire al numeratore la derivata del denominatore. Il denominatore era $9x^2-6x+2$, la cui derivata è $18x-6$. Quindi inizio moltiplicando (e dividendo) per $6$:
\[\frac{1}{6}\cdot\frac{18x}{9x^2-6x+2}\] Ora sottraggo (e sommo) $6$:
\[\frac{1}{6}\left[\frac{18x-6}{9x^2-6x+2} + \frac{6}{9x^2-6x+2}\right]\] Quindi distribuisco il fattore $1/6$ e posso dire che l'integrale è diventato
\[\frac{1}{6}\ \int{\frac{18x-6}{9x^2-6x+2}\ dx} + \int{\frac{1}{9x^2-6x+2}\ dx}\] Il primo integrale è pronto per essere risolto; per il secondo riprendiamo il ragionamento che avevamo iniziato prima e proseguiamo con l'arcotangente.

Prova a completare; se hai altri dubbi siamo qui.

[ramarro1]

Allora, volevo dire una cosa sulk numero 3, se ho ben capito quello che nn andava bene è stata l'integrazione di $int2/(x^3-x)$ perche gli altri 2 integrali di prima appartenenti allo stesso esercizio andavano bene dato che non ho fatto altro che sommare e togliere gli stessi addendi al numeratore.
A ogni modo ripartendo da $int2/(x^3-x)dx$ non ho capito che cosa devo fare, cioè anche se vedo il numeratore come hai detto tu, non posso ricavare gli zeri dal denomintore, quindi non saprei.
Per quanto concerne il secondo (quello in cui deve venire l'$arctan$) a sto punto lo faccio domani, ma...possibile che nn ci sia un modo piu semoplice?perchè io non ce lk'avrei mai fatta a vedere la derivata al numeratore.
Grazie
Cordiali saluti

[minomic]

Per il terzo, basta che tu sviluppi questo calcolo:
\[\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}\] Poi i risultati sono tre semplici logaritmi.

Per il secondo non saprei: forse esiste qualche altro metodo, ma quello che ho utilizzato mi sembra piuttosto standard... Si tratta di allenare un po' l'occhio. Comunque nel post precedente avevo cercato di inserire non solo i calcoli ma anche qualche ragionamento, in modo da spiegare cosa sta dietro ai passaggi.

[ramarro1]

Ciao, scusa non voglio contraddirti, anche perche io non sono capace come te in matematica, ma ho visto che l'esercizio 3 si risolve con la tecnica di sommare e togliere gli stessi addendi, metto qua la procedura perch magari ieri l'ho scritta male:
$int1/(x^3-x)$
sommo e tolgo $3x^2$, sommo e tolgo $-1$
1)$int(1+3x^2-3x^2-1+1)/(x^3-x)$
2)spacco in 2 l'integrale
3)$int(3x^2-1)/(x^3-x)+int(-3x^2+2)/(x^3-x)$

4)$log|x^3-x|+int(-3x^2+2)/(x^3-x)((-1)/(-1))-2int1/(x^3-x)((-1)/(-1))$
5)$log|x^3-x|-log|x^3-x|+int1/(x^3-x)((-1)/(-1))-2int1/(x^3-x)((-1)/(-1))$
6)$log|x^3-x|-log|x^3-x|-int-1/(x^3-x)+2int(-1)/(x^3-x)$

7)$log|x^3-x|-log|x^3-x|-int(-3x^2+3x^2-1)/(x^3-x)+2int(-1)/(x^3-x)$
8)$log|x^3-x\-log|x^3-x|-log|x^3-x|-int(3x^2)/(x(x^2-1))+2int(-1)/(x^3-x)$

9)$log|x^3-x|-log|x^3-x|-log|x^3-x|-3/2log|x^2-1|+2int(3x^2-1-3x^2)/(x^3-x)$

10)$log|x^3-x|-log|x^3-x|-log|x^3-x|-3/2log|x^2-1|+2(log|x^3-x|-3/2int2x/(x^2-1))$

11)$log|x^3-x|-log|x^3-x|-log|x^3-x|-3/2log|x^2-1|+2log|x^3-x|-6log|x^2-1|$

12)$(2log|x^3-x|-3log|x^2-1|-6log|x^2-1|)/2$

Ecco io l'ho fatto cosi però puo darsi benissimo che mi sbagli.
Cordiali saluti e grazie

POST 'MODIFICA MESSAGGIO'
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ESERCIZIO 4
$int1/(x^3+x)dx$
1)$int(3x^2-3x^2+1)/(x^3+x)dx$
spacco in 2 l integrale
2)$int(3x^2+1)/(x^3+x)dx+int(-3x^2)/(x(x^2+1))dx$
3)$log!x^3+x|-3intx/(x^2+1)*2/2dx$
4)$log|x^3+x|-3/2int(2x)/(x^2+1)dx$
$log|x^3+x|-3/2log|x^2+1|+c$