Caso particolare integrale
Scusate io mi trovo l integrale
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
Risposte
Diciamo che hai sempre un modo molto semplice per verificare se quello che fai è giusto: prendi il tuo risultato e ne calcoli la derivata. Se questa è uguale alla funzione di partenza allora il risultato è giusto; altrimenti è sbagliato.
Facendo i calcoli al volo (quindi può esserci qualche errore) direi che il terzo è sbagliato, mentre il quarto è corretto.
In realtà anche per il quarto ci sarebbe un modo migliore (più compatto) di scriverlo:
\[\frac{1}{x\left(x^2+1\right)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}\] Con semplici calcoli trovi i valori di $A, B, C$ e puoi riscrivere l'integrale come \[\int{\frac{1}{x}\ dx} + \int{\frac{-x}{x^2+1}\ dx}\] Ora la risoluzione è semplice e il risultato è \[\ln\left|x\right| - \frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)\] Questa forma equivale alla tua (con qualche operazione sui logaritmi) ma ad occhio mi sembra più semplice, quindi da preferire.
Ciao.
Facendo i calcoli al volo (quindi può esserci qualche errore) direi che il terzo è sbagliato, mentre il quarto è corretto.
In realtà anche per il quarto ci sarebbe un modo migliore (più compatto) di scriverlo:
\[\frac{1}{x\left(x^2+1\right)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}\] Con semplici calcoli trovi i valori di $A, B, C$ e puoi riscrivere l'integrale come \[\int{\frac{1}{x}\ dx} + \int{\frac{-x}{x^2+1}\ dx}\] Ora la risoluzione è semplice e il risultato è \[\ln\left|x\right| - \frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)\] Questa forma equivale alla tua (con qualche operazione sui logaritmi) ma ad occhio mi sembra più semplice, quindi da preferire.
Ciao.
@ ramarro. Se vuoi uscire da un labirinto e sei a pochi metri dall'uscita, è concettualmente sbagliato che tu vada nella direzione opposta; questo vale anche se alla fine tu riesci ad uscirne. E non è il caso dell'esercizio 3 in cui, dopo lunghi calcoli, dai un risultato sbagliato.
Dammi retta: cerca di avere a numeratore la derivata del denominatore solo quando per ottenerlo ti basta moltiplicare e dividere per un fattore costante oppure quando il denominatore non è scomponibile in fattori . Anche in quest'ultimo caso, chiediti se non ci sono altri metodi più veloci. Ad esempio, saresti veramente pazzo se tu volessi applicare quel metodo per il calcolo di
$int1/(x^2+4)dx$
Per quanto riguarda l'esercizio 3, in un post precedente minomic ti ha già indicato il metodo giusto: applicalo.
Dammi retta: cerca di avere a numeratore la derivata del denominatore solo quando per ottenerlo ti basta moltiplicare e dividere per un fattore costante oppure quando il denominatore non è scomponibile in fattori . Anche in quest'ultimo caso, chiediti se non ci sono altri metodi più veloci. Ad esempio, saresti veramente pazzo se tu volessi applicare quel metodo per il calcolo di
$int1/(x^2+4)dx$
Per quanto riguarda l'esercizio 3, in un post precedente minomic ti ha già indicato il metodo giusto: applicalo.
Scusa giammaria in realta non facevo apposta, e anche minomic, mi dispiace ma solo ora ho capito che dovevo vedere ilnumeratore come $int(0x+1)/(x^3-x)dx$
quindi faccio la procedura con $a$ e $b$.
$(ax+b(x^2-1))/(x(x^2-1))$
$(ax+bx^2-b)/(x(x^2-1))$
$0x+1=x(a+bx)-b$
SISTEMA
$0=a+bx$
$1=-b$ quindi $-1=b$
TROVO $a$
$-x=a$
$int(-x)/(x^2-1)dx+int-1/xdx$
$int(-x)/(x^2-1)dx-log|x|$
$-intx/((x+1)(x-1))dx-log|x|$
sostituisco $x-1=t$
$-int(t+1)/((t+2)t)dt=-int(t+1)/(t^2+2t)dt$
moltiplico e divido per 2
$-1/2int(2t+2)/(t^2+2t)dt=-1/2log|t^2+2t|$
poi risostituendo $x$
$-1/2log|x^2+2(x)(-1)+1+2x-2|-log|x|$
$-1/2log|x^2-1|-log|x|+c$
Ecco ora dovrebbe andare bene (credo e spero) il punto è che solo per un'improvvisa illuminazione mi è venuto da pensare di vedere il numeratore come $0x+1$ però voi non me lo avevate detto, quindi io non ci arrivo se non vedo certe cose, poi a furia di perseverare l'ho capito, ma prima non ce la potevo fare cosi.
Grazie
Cordiali saluti
P.S:$int1/((x-2)(x+2))dx$
SISTEMA
$a=1/4$-----------$b=-1/4$
$int1/(4(x+2))dx-int1/(4(x-2))dx$
$1/4log|x-2|-1/4log|x+2|$
quindi faccio la procedura con $a$ e $b$.
$(ax+b(x^2-1))/(x(x^2-1))$
$(ax+bx^2-b)/(x(x^2-1))$
$0x+1=x(a+bx)-b$
SISTEMA
$0=a+bx$
$1=-b$ quindi $-1=b$
TROVO $a$
$-x=a$
$int(-x)/(x^2-1)dx+int-1/xdx$
$int(-x)/(x^2-1)dx-log|x|$
$-intx/((x+1)(x-1))dx-log|x|$
sostituisco $x-1=t$
$-int(t+1)/((t+2)t)dt=-int(t+1)/(t^2+2t)dt$
moltiplico e divido per 2
$-1/2int(2t+2)/(t^2+2t)dt=-1/2log|t^2+2t|$
poi risostituendo $x$
$-1/2log|x^2+2(x)(-1)+1+2x-2|-log|x|$
$-1/2log|x^2-1|-log|x|+c$
Ecco ora dovrebbe andare bene (credo e spero) il punto è che solo per un'improvvisa illuminazione mi è venuto da pensare di vedere il numeratore come $0x+1$ però voi non me lo avevate detto, quindi io non ci arrivo se non vedo certe cose, poi a furia di perseverare l'ho capito, ma prima non ce la potevo fare cosi.
Grazie
Cordiali saluti
P.S:$int1/((x-2)(x+2))dx$
SISTEMA
$a=1/4$-----------$b=-1/4$
$int1/(4(x+2))dx-int1/(4(x-2))dx$
$1/4log|x-2|-1/4log|x+2|$
Però continui a non applicare il metodo che ti avevo suggerito... Questa sarebbe la soluzione completa:
\[
\frac{1}{x^3-x} = \frac{1}{x\left(x^2-1\right)} = \frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\] Ora scomponiamo in fratti semplici:
\[
\frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1}
\] Portiamo il membro di destra a denominatore comune e otteniamo
\[
\frac{Ax^2-A+Bx^2-Bx+Cx^2+Cx}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\] Ora, affinché valga l'uguaglianza, deve essere
\[
1 = Ax^2-A+Bx^2-Bx+Cx^2+Cx
\] Uguagliando i coefficienti otteniamo
\[
A = -1 \qquad \qquad B = \frac{1}{2} \qquad \qquad C = \frac{1}{2}
\] In conclusione l'integrale di partenza si può riscrivere come
\[
-\int{\frac{1}{x}\ dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}\ dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\ dx}
\] la cui soluzione è ora ovvia:
\[
-\ln\left|x\right| + \frac{1}{2}\ln\left|x+1\right| + \frac{1}{2}\ln\left|x-1\right| + C
\]
Già fatto.
P.S. Nella tua soluzione c'è qualche segno che evidentemente non torna...
\[
\frac{1}{x^3-x} = \frac{1}{x\left(x^2-1\right)} = \frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\] Ora scomponiamo in fratti semplici:
\[
\frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1}
\] Portiamo il membro di destra a denominatore comune e otteniamo
\[
\frac{Ax^2-A+Bx^2-Bx+Cx^2+Cx}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\] Ora, affinché valga l'uguaglianza, deve essere
\[
1 = Ax^2-A+Bx^2-Bx+Cx^2+Cx
\] Uguagliando i coefficienti otteniamo
\[
A = -1 \qquad \qquad B = \frac{1}{2} \qquad \qquad C = \frac{1}{2}
\] In conclusione l'integrale di partenza si può riscrivere come
\[
-\int{\frac{1}{x}\ dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}\ dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\ dx}
\] la cui soluzione è ora ovvia:
\[
-\ln\left|x\right| + \frac{1}{2}\ln\left|x+1\right| + \frac{1}{2}\ln\left|x-1\right| + C
\]
Già fatto.
P.S. Nella tua soluzione c'è qualche segno che evidentemente non torna...
si l'ho trovato il segno, quando ho sostituito $b=-1$ in realta ho scritto che $a=-x$ invece $a=x$(con segno$+$),
quindi facendo cosi viene:$1/2log|x^2-1|-log|x|+c$ poi volendo si puo spaccare il logaritmo $1/2(log|x+1|+log|x-1|)$ e viene come a te.
Il tuo metodo non l'avevo applicato perchè gli esercizi che ho tendono a tenere conto solo di 2 numeratori cioè solo $a,b$, mentre tu tenevi conto di $c$, ma l'ho capito solo ora, per questo motivo non l'ho applicato, non per fare quello che 'fa di testa sua' ma per il semplice fatto che faccio fatica a volte a capire quello che spiegate voi in pochi passaggi, quindi ogni volta che leggo le vostre risposte cerco di ricondurre le vostre spiegazioni al materiale in mio possesso, quindi ripeto non era per 'fare di testa mia' assolutamente era solo per mia 'ignoranza ' ecco.
Cmq Grazie mimonic...magari continuiamo con altre cose piu avanti
Grazie
Cordiali saluti
quindi facendo cosi viene:$1/2log|x^2-1|-log|x|+c$ poi volendo si puo spaccare il logaritmo $1/2(log|x+1|+log|x-1|)$ e viene come a te.
Il tuo metodo non l'avevo applicato perchè gli esercizi che ho tendono a tenere conto solo di 2 numeratori cioè solo $a,b$, mentre tu tenevi conto di $c$, ma l'ho capito solo ora, per questo motivo non l'ho applicato, non per fare quello che 'fa di testa sua' ma per il semplice fatto che faccio fatica a volte a capire quello che spiegate voi in pochi passaggi, quindi ogni volta che leggo le vostre risposte cerco di ricondurre le vostre spiegazioni al materiale in mio possesso, quindi ripeto non era per 'fare di testa mia' assolutamente era solo per mia 'ignoranza ' ecco.
Cmq Grazie mimonic...magari continuiamo con altre cose piu avanti
Grazie
Cordiali saluti
"ramarro":
non era per 'fare di testa mia'
Certo, avevo capito!
Comunque se hai altri dubbi, noi siamo qui.
Ciao.
"ramarro":
P.S:$int1/((x-2)(x+2))dx$
Piccolo problema: si ha $(x-2)(x+2)=x^2-4$ mentre l'integrale che avevo proposto era
$int1/(x^2+4)dx$
Questo come lo risolveresti?
Allora:
1)tento di scomporre il denominatore:$(0(+/-)sqrt(0-4(4)))/(2(1))$ ma vedo che non si puo...
2)Penso che potrebbe essere l'arcotangente...
3)provo a raccogliere per completare il quadrato $(x)^2+(4-0/2)$
4)pare che sia l'arcotangente....
$1/(sqrt4)arctan(x/sqrt4)+c$
1)tento di scomporre il denominatore:$(0(+/-)sqrt(0-4(4)))/(2(1))$ ma vedo che non si puo...
2)Penso che potrebbe essere l'arcotangente...
3)provo a raccogliere per completare il quadrato $(x)^2+(4-0/2)$
4)pare che sia l'arcotangente....
$1/(sqrt4)arctan(x/sqrt4)+c$
Sì è giusto, comunque \[\sqrt{4} = 2\] 
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