Caso particolare integrale
Scusate io mi trovo l integrale
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
Risposte
ESERCIZIO
$int (15x+2)/(4x^2-6x+9)$
zeri:$1;1/2$
$a/(x-1)+b/(4x-2)$
$(a(4x-2)+b(x-1))/((x-1)(4x-2))$
$15x+2=x(4a+b)-b-2a$
Ecco qui lo dico prima per non sbagliare, ricavo prima la $b$ e la sostituisco nella seconda:
$(4a+b)=15$
$b=15-4a$
TAC!adesso la sostituisco nella seconda
$-(15-4a)-2a=2$
$-15+4a-2a=2$
$a=17/2$
Ora la $a$ la risostituisco nellla 1
$b=15-2(17)$
$b=15-34=-19$
$inta/(x-1)+b/(4x-2)$
$int(17/2)/(x-1)-19/(2(2x-1))$
$17/2log|x-1|-19/2log|2x-1|$
$int (15x+2)/(4x^2-6x+9)$
zeri:$1;1/2$
$a/(x-1)+b/(4x-2)$
$(a(4x-2)+b(x-1))/((x-1)(4x-2))$
$15x+2=x(4a+b)-b-2a$
Ecco qui lo dico prima per non sbagliare, ricavo prima la $b$ e la sostituisco nella seconda:
$(4a+b)=15$
$b=15-4a$
TAC!adesso la sostituisco nella seconda
$-(15-4a)-2a=2$
$-15+4a-2a=2$
$a=17/2$
Ora la $a$ la risostituisco nellla 1
$b=15-2(17)$
$b=15-34=-19$
$inta/(x-1)+b/(4x-2)$
$int(17/2)/(x-1)-19/(2(2x-1))$
$17/2log|x-1|-19/2log|2x-1|$
"ramarro":
zeri:$1;1/2$
Ma da dove li hai presi?
ehm.....da un altro esercizio, l'integrale era questo $(15x+2)/(4x^2-6x+2)$ poi pubblico anche quello che ho scritto prima, però in effetti ho girato i testi
Ma te la vuoi prendere una camomilla ? 
E' impossibile starti dietro ...
E' impossibile starti dietro ...
axpgn ha ragione... forse il denominatore dell'integrale è $ 4x^2 - 6x + 2 $ ... 
Adesso faccio attenzione a scrivere quest'altro esercizio:
$int (15x+2)/(x^2-6x+9)$
ecco non cè il $4$ sul termine $a$ è quello li il denominatore
allora gli zeri sono identici:$3;3$
Mi è stato detto che quando ci si trova con gli zeri identici uno dei 2 denominatori va riscritto elevato alla seconda.
Pertanto
$a/(x-3)^2+b/(x-3)$
$(a+b(x-3))/(x-3)^2$
$15=a$
$2=a-3b$
Sostituisco la $b=15$ nell'equazione
$2=a-3(15)$
i risultati sono $47=a;b=15$
$inta/(x-3)^2+b/(x-3)$
$int47/(x-3)^2+15/(x-3)$
$47log|(x-3)^2|+15log|x-3|$
$int (15x+2)/(x^2-6x+9)$
ecco non cè il $4$ sul termine $a$ è quello li il denominatore
allora gli zeri sono identici:$3;3$
Mi è stato detto che quando ci si trova con gli zeri identici uno dei 2 denominatori va riscritto elevato alla seconda.
Pertanto
$a/(x-3)^2+b/(x-3)$
$(a+b(x-3))/(x-3)^2$
$15=a$
$2=a-3b$
Sostituisco la $b=15$ nell'equazione
$2=a-3(15)$
i risultati sono $47=a;b=15$
$inta/(x-3)^2+b/(x-3)$
$int47/(x-3)^2+15/(x-3)$
$47log|(x-3)^2|+15log|x-3|$
ahahaha, e lo so axpgn hai ragione mi ci vuole il lexotan, quello per dormire al posto della camomilla, diciamo che forse ci sbatto troppo la testa a furia di esercizi:)
Vedo con piacere che hai imparato a risolvere i sistemi, anche se un po' più di ordine non guasterebbe (ad esempio starebbe bene scrivere il sistema prima di iniziare a risolverlo). Continuano a latitare il $+c$ ed i $dx$ e c'è un errore nell'ultima riga:
$int(19/2)/(2x-1)dx=19/2*1/2log|2x-1|+c$
Per l'ultimo esercizio, attento nell'ultima riga: come calcoleresti $int1/x^2dx" "$ ?
$int(19/2)/(2x-1)dx=19/2*1/2log|2x-1|+c$
Per l'ultimo esercizio, attento nell'ultima riga: come calcoleresti $int1/x^2dx" "$ ?
Non mi pare che la derivata di $47log|(x-3)^2|$ sia $47/(x-3)^2$ ...
attento ramarro due errori uno è solo un refuso scrivi a=15 mentre è b=15
uno invece importante il primo integrale quello col 47 al numeratore è sbagliato!!
uno invece importante il primo integrale quello col 47 al numeratore è sbagliato!!
per risolverlo considera
$ int f(x)^n f'(x) =$ ... risolvilo tu!
$ int f(x)^n f'(x) =$ ... risolvilo tu!
allora $int47/(x-3)^2dx$....(e guarda giammaria! il dx è per te!)
$47int(x-3)^(-2)$
$47(-1)(1/(x-3))$
$(-47)/(x-3)+c$
ora però sto leggendo la divisione fra polinomi come si fa....bo spero di riuscire a impararla
-----MODIFICO IL MESSAGGIO----
Allora ho letto la divisione fra polinomi, mi sembra un po strano il fatto di averla gia capita, infatti non sarà cosi, cmq ci provo con quest'altro esercizio:
$int(x^2-x-1)/(x^2-6x+9)$
dalla divisione dei polinomi mi viene $R=5x-10$ $Q=1$
usando la formula
$N/D=Q+R/D$
dovrebbe uscire
$(x^2-x-1)/(x^2-6x+9)=1+(5x-10)/(x^2-6x+9)$
ora però non saprei come continuare....intanto faccio un atro esercizio per consolidare quelli precendenti
Grazie
Cordiali saluti
$47int(x-3)^(-2)$
$47(-1)(1/(x-3))$
$(-47)/(x-3)+c$
ora però sto leggendo la divisione fra polinomi come si fa....bo spero di riuscire a impararla
-----MODIFICO IL MESSAGGIO----
Allora ho letto la divisione fra polinomi, mi sembra un po strano il fatto di averla gia capita, infatti non sarà cosi, cmq ci provo con quest'altro esercizio:
$int(x^2-x-1)/(x^2-6x+9)$
dalla divisione dei polinomi mi viene $R=5x-10$ $Q=1$
usando la formula
$N/D=Q+R/D$
dovrebbe uscire
$(x^2-x-1)/(x^2-6x+9)=1+(5x-10)/(x^2-6x+9)$
ora però non saprei come continuare....intanto faccio un atro esercizio per consolidare quelli precendenti
Grazie
Cordiali saluti
$int (5x-2)/(2x^2-7x+3)$
$a/(2(x-6))+b/(x-1)$
$N:a(x-1)+b(2x-12)$
$ax-a+2bx-12b$
$x(a+2b)-a-12b$
SISTEMA
$(a+2b)=5$
$-a-12b=-2$
ricavo $b$
$b=((-a+5)/2)$
sostituisco $b$ nell altra equaz
$-a+((12a-60)/2)=-2$
$(-2a+12a-60=-4$ (senza il denomiantore)
$a=18/5$
Uso il $18/5$ per ricavare la $b$
$b=7/2$
$int(18/5)/(2(x-6))dx+int(7/2)/(x-1)dx$
$18/10log|x-6|+7/2log|x-1|$
Ora fate pure le vostre osservazioni che sono sempre gradite.
Grazie
Cordiali saluti
$a/(2(x-6))+b/(x-1)$
$N:a(x-1)+b(2x-12)$
$ax-a+2bx-12b$
$x(a+2b)-a-12b$
SISTEMA
$(a+2b)=5$
$-a-12b=-2$
ricavo $b$
$b=((-a+5)/2)$
sostituisco $b$ nell altra equaz
$-a+((12a-60)/2)=-2$
$(-2a+12a-60=-4$ (senza il denomiantore)
$a=18/5$
Uso il $18/5$ per ricavare la $b$
$b=7/2$
$int(18/5)/(2(x-6))dx+int(7/2)/(x-1)dx$
$18/10log|x-6|+7/2log|x-1|$
Ora fate pure le vostre osservazioni che sono sempre gradite.
Grazie
Cordiali saluti
Hai afferrato il meccanismo, ma devi stare attento ai calcoli.
1) $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
perciò: $2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$
2) le soluzioni del sistema sono
$a=28/5$ e $b=-3/10$
Per il resto va tutto bene, a parte il $+c$ che dimentichi spesso (non è che devi scriverlo per far contento giammaria o altri, ma perchè sono infinite le funzioni che hanno quell'integrale e quel $c$ sta proprio a dire ciò. Infatti dando ad esso due valori numerici diversi cambia la funzione, ma non la sua derivata, che non è altro che la funzione integranda).
1) $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
perciò: $2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$
2) le soluzioni del sistema sono
$a=28/5$ e $b=-3/10$
Per il resto va tutto bene, a parte il $+c$ che dimentichi spesso (non è che devi scriverlo per far contento giammaria o altri, ma perchè sono infinite le funzioni che hanno quell'integrale e quel $c$ sta proprio a dire ciò. Infatti dando ad esso due valori numerici diversi cambia la funzione, ma non la sua derivata, che non è altro che la funzione integranda).
"ramarro":
Allora ho letto la divisione fra polinomi, mi sembra un po strano il fatto di averla gia capita, infatti non sarà cosi, ...
E invece è giusta ... la verifica è facile: basta moltiplicare ... quando hai ottenuto $Q(x)$ e $R(x)$ da questa $(N(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$ puoi passare a questa $N(x)=Q(x)*D(x)+R(x)$ e verifichi ...
"ramarro":
dovrebbe uscire ... $(x^2-x-1)/(x^2-6x+9)=1+(5x-10)/(x^2-6x+9)$ ora però non saprei come continuare...
Se l'integrale di partenza è questo $int (x^2-x-1)/(x^2-6x+9)dx$
allora è equivalente alla tua scomposizione $int (1+(5x-10)/(x^2-6x+9))dx$
che diventa $int 1dx+int (5x-10)/(x^2-6x+9)dx$
e separando la frazione $int 1dx+int (5x)/(x^2-6x+9)dx + int (-10)/(x^2-6x+9)dx$.
Adesso tocca a te ...
Cordialmente, Alex
Allora riprendo dalla formula ricavata:
$N/D=1+(5x-10)/(x^2-6x+9)$
$int1dx+int(5x)/(x^2-6x+9)dx+int9/(x^2-6x+9)$
allora io di questi 3 integrali so praticamente fare solo $int1dx=x$ ma gli altri no. Non li ho mai visti cosi, perchè a parte il fatto di portare all'esterno il termine noto:
prendiamo per esempio il secondo:
$5intx/(x^2-6x+9)$
allora non so a che tipo di integrale immediato ricondurlo, cioè se fosse nella forma $(f'(x))/(f(x))$ sopra dovrei avere un $2x-6$ ma non posso avere tutti e due i termini, poi mi è stato detto che non è neanche l'integrale con il $log$ perchè non è nella forma $1/x$, mi viene in mente solo di ricavare gli zeri del denominatore cioè:$3;3$ e poi rifare da capo i passaggi con i termini scelti arbitrariamente $a$ e $b$ ma sinceramente mi sembra un esercizio troppo lungo per una matematica che sfiora il livello di analisi1...bo magari sbaglio.
Per quanto concerne invece l'ultimo $9int1/(x^2-6x+9)dx$anche questo non so come risolverlo perchè se non viene $log(x^2-6x+9)$ non so cosa deve venire.
Cmq intanto ne ho fatti altri 2 ma mi sono sempre fermato li
ESERCIZIO 2
$int(5x^2+4x-1)/(x^2-6x+9)dx$
mi viene
$N/D=5+(34x-46)/(x^2-6x+9)$
$int5dx+int34x/(x^2-6x+9)dx-int46/(x^2-6x+9)dx$
ESERCIZIO 3
$(10x^2-8x-2)/(x^2-6x+9)dx$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=10+(52x-92)/(x^2-6x+9)$
$int10dx+52intx/(x^2-6x+9)dx-92int(1/(x^2-6x+9))dx$
ESERCIZIO 4
$int(x^2-10x+11)/(x^2-6x+9)dx$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=1+(-4x+3)/(x^2-6x+9)$
$int1dx+int-4/(x^2-6x+9)dx+int3/(x^2-6x+9)dx$
.....Non è che forse questi casi rientrano negli integrali impropri?no perchèse cosi fosse noi non li abbiamo proprio all'esame
Cordiali saluti
$N/D=1+(5x-10)/(x^2-6x+9)$
$int1dx+int(5x)/(x^2-6x+9)dx+int9/(x^2-6x+9)$
allora io di questi 3 integrali so praticamente fare solo $int1dx=x$ ma gli altri no. Non li ho mai visti cosi, perchè a parte il fatto di portare all'esterno il termine noto:
prendiamo per esempio il secondo:
$5intx/(x^2-6x+9)$
allora non so a che tipo di integrale immediato ricondurlo, cioè se fosse nella forma $(f'(x))/(f(x))$ sopra dovrei avere un $2x-6$ ma non posso avere tutti e due i termini, poi mi è stato detto che non è neanche l'integrale con il $log$ perchè non è nella forma $1/x$, mi viene in mente solo di ricavare gli zeri del denominatore cioè:$3;3$ e poi rifare da capo i passaggi con i termini scelti arbitrariamente $a$ e $b$ ma sinceramente mi sembra un esercizio troppo lungo per una matematica che sfiora il livello di analisi1...bo magari sbaglio.
Per quanto concerne invece l'ultimo $9int1/(x^2-6x+9)dx$anche questo non so come risolverlo perchè se non viene $log(x^2-6x+9)$ non so cosa deve venire.
Cmq intanto ne ho fatti altri 2 ma mi sono sempre fermato li
ESERCIZIO 2
$int(5x^2+4x-1)/(x^2-6x+9)dx$
mi viene
$N/D=5+(34x-46)/(x^2-6x+9)$
$int5dx+int34x/(x^2-6x+9)dx-int46/(x^2-6x+9)dx$
ESERCIZIO 3
$(10x^2-8x-2)/(x^2-6x+9)dx$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=10+(52x-92)/(x^2-6x+9)$
$int10dx+52intx/(x^2-6x+9)dx-92int(1/(x^2-6x+9))dx$
ESERCIZIO 4
$int(x^2-10x+11)/(x^2-6x+9)dx$
DIVISIONE FRA POLINOMI
$N/D=1+(-4x+3)/(x^2-6x+9)$
$int1dx+int-4/(x^2-6x+9)dx+int3/(x^2-6x+9)dx$
.....Non è che forse questi casi rientrano negli integrali impropri?no perchèse cosi fosse noi non li abbiamo proprio all'esame
Cordiali saluti
Gli integrali impropri sono altra cosa. Vediamo di aiutarti
$int(5x-10)/(x^2-6x+9)dx=int5(x-2)/(x-3)^2dx=5int(x-3+1)/(x-3)^2dx=5(int(x-3)/(x-3)^2dx+int1/(x-3)^2dx)=5(ln|x-3|-1/(x-3))+c$
Nell'ultima divisione controlla il termine noto del resto. Il 3 non va bene.
$int(5x-10)/(x^2-6x+9)dx=int5(x-2)/(x-3)^2dx=5int(x-3+1)/(x-3)^2dx=5(int(x-3)/(x-3)^2dx+int1/(x-3)^2dx)=5(ln|x-3|-1/(x-3))+c$
Nell'ultima divisione controlla il termine noto del resto. Il 3 non va bene.
Non so perché axpgn ti abbia dato quello strano suggerimento; a me sembra un errore. Arrivati a
$int(5x-10)/(x-3)^2dx$
si poteva continuare con
$(5x-10)/(x-3)^2=a/(x-3)^2+b/(x-3)$
e proseguire come hai fatto qualche post fa.
In alternativa, e più rapido, si potevano fare i seguenti calcoli a numeratore:
$5x-10=5(x-3)+15-10=5(x-3)+5$
con i quali la frazione diventava
$(5x-10)/(x-3)^2=" "(5(x-3)+5)/(x-3)^2=" "(5(x-3))/(x-3)^2+5/(x-3)^2=" "5/(x-3)+5/(x-3)^2$
ed il suo integrale era
$5log|x-3|-5/(x-3)+c$
Questo secondo metodo è lo stesso che ti ha suggerito igiul, a parte il fatto che lui ha messo in evidenza il $5$ ed io no. Ho preferito non farlo per indicarti un metodo valido anche se a numeratore ci fosse stato, ad esempio, $5x-12$; in questo particolare esercizio era però più ragionevole agire come lui.
$int(5x-10)/(x-3)^2dx$
si poteva continuare con
$(5x-10)/(x-3)^2=a/(x-3)^2+b/(x-3)$
e proseguire come hai fatto qualche post fa.
In alternativa, e più rapido, si potevano fare i seguenti calcoli a numeratore:
$5x-10=5(x-3)+15-10=5(x-3)+5$
con i quali la frazione diventava
$(5x-10)/(x-3)^2=" "(5(x-3)+5)/(x-3)^2=" "(5(x-3))/(x-3)^2+5/(x-3)^2=" "5/(x-3)+5/(x-3)^2$
ed il suo integrale era
$5log|x-3|-5/(x-3)+c$
Questo secondo metodo è lo stesso che ti ha suggerito igiul, a parte il fatto che lui ha messo in evidenza il $5$ ed io no. Ho preferito non farlo per indicarti un metodo valido anche se a numeratore ci fosse stato, ad esempio, $5x-12$; in questo particolare esercizio era però più ragionevole agire come lui.
Era per fargli fare esercizio ma sinceramente non vedo questa grossa difficoltà ...
$int (5x)/(x^2-6x+9) dx=5int x/(x-3)^2 dx$, pongo $t=x-3$ ed ottengo $5int (t+3)/t^2dt$ da cui $5int 1/t dt + 15int 1/t^2 dt$ ed infine $5log|x-3|-15/(x-3)+c$
... e l'altro ancor più semplice ...
$int -10/(x^2-6x+9) dx=-10int 1/(x-3)^2 dx$, sostituendo come prima ottengo $-10int 1/t^2 dt$ da cui $10/(x-3)+c$ ...
Sommandoli concludo con $5log|x-3|-15/(x-3)+10/(x-3)+c=5log|x-3|-5/(x-3)+c$
Non mi pare che sia più complicato delle altre soluzioni ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
$int (5x)/(x^2-6x+9) dx=5int x/(x-3)^2 dx$, pongo $t=x-3$ ed ottengo $5int (t+3)/t^2dt$ da cui $5int 1/t dt + 15int 1/t^2 dt$ ed infine $5log|x-3|-15/(x-3)+c$
... e l'altro ancor più semplice ...
$int -10/(x^2-6x+9) dx=-10int 1/(x-3)^2 dx$, sostituendo come prima ottengo $-10int 1/t^2 dt$ da cui $10/(x-3)+c$ ...
Sommandoli concludo con $5log|x-3|-15/(x-3)+10/(x-3)+c=5log|x-3|-5/(x-3)+c$
Non mi pare che sia più complicato delle altre soluzioni ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Allora, grazie delle risposte, il problema però adesso è che non mi viene una cosa, forse ho fatto errori facendo i conti perchè magari oggi mi sono stancato un po, a ogni modo preferirei usare il metodo 'con le $a$ e con le $b$' spiegato successivamente da giammaria anche se piu lungo per il semplice fatto che lho capito un po di piu, quindi riscrivo sotto come ho fatto l'esercizio anche se a dire il vero non mi tornano i conti:
RICAVO GLI ZERI
$x^2-6x+9$ zeri:$3;3$
$a/(x-3)^2 +b/(x-3)$
$(a+b(x-3))/(x-3)^2$
$(a+bx-3b)/(x-3)^2$
$5x-10=a+x(b-3)$
$5=b-3->b=8$
$a=-10$
$int-10/(x-3)^2+8/(x-3)^2$
$10log|x-3|-8log|x-3|$
Poi volevo dire che nell'esercizio 4 sopra scritto, c'era l'ultimo integrale che aveva come numeratore un $3$ ma è sbagliato, perchè in realta è $2$.
Grazie
Cordiali saluti
RICAVO GLI ZERI
$x^2-6x+9$ zeri:$3;3$
$a/(x-3)^2 +b/(x-3)$
$(a+b(x-3))/(x-3)^2$
$(a+bx-3b)/(x-3)^2$
$5x-10=a+x(b-3)$
$5=b-3->b=8$
$a=-10$
$int-10/(x-3)^2+8/(x-3)^2$
$10log|x-3|-8log|x-3|$
Poi volevo dire che nell'esercizio 4 sopra scritto, c'era l'ultimo integrale che aveva come numeratore un $3$ ma è sbagliato, perchè in realta è $2$.
Grazie
Cordiali saluti
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