Fisica e matematica: approcci a confronto
Trasferisco qui l'inizio di un cosiddetto "off-topic" (cf. qui) perché se ne possa parlare più liberamente.
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
Infine:
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".
Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
Non lo nego.
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
"maurer":Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Ok, ho improvvisamente capito l'origine del mio problema:
[quote="apatriarca"]L'idea intuitiva e volendo "fisica" di orientazione ha preceduto questa definizione e ne ha guidato le scelte. Tutto il resto è venuto dopo, non prima.
"apartriarca":Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.[/quote]
Sinceramente credo che l'intuizione dietro ai diversi concetti e la loro storia siano importanti pere comprendere a pieno tali concetti e per apprezzare gli strumenti di indagine più moderni ed astratti.
"dissonance":
@maurer: Sono al 100% in disaccordo con te. Questo tuo modo di vedere la matematica è secondo me deleterio. Nel mio piccolo sono invece perfettamente d'accordo con Arnol'd:
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
Non si può snobbare la fisica così. Ragionando come te non ci si sarebbe dovuti occupare neanche di relatività generale, o di meccanica quantistica, perché matematicamente mal poste (agli inizi del secolo scorso era così). Per fortuna i matematici dell'epoca non hanno ragionato a tal modo, e nello sforzo di sistematizzare queste cose si sono sviluppate per bene anche teorie strettamente matematiche. E' un interplay che giova a tutti e due.
"maurer":Questa è una stupidaggine. Se è vero, la colpa è interamente del docente. Ma non perché non ha mosso dalla realtà; semplicemente perché non ha mostrato, dopo o durante un'opportuna trattazione teorica, cosa l'operazione fosse.
Premetto che non voglio accendere una polemica troppo grossa. Tuttavia, ho letto per intero il link che hai postato e ritengo di avere il diritto di sentirmi offeso da certe parole di Arnol'd.
[quote="Arnol'd"]
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
"Arnol'd":Di nuovo: è chiaro che non si può andare avanti a teorie. Ma non si può nemmeno andare avanti ad esempi. Il meglio è una sintesi tra le due cose, con una leggera tendenza verso la teoria.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t3 - 3t, y = t4 - 2t2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
"Arnol'd":
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
"Arnol'd":Un gruppo è quello che è. La bellezza della matematica io la trovo nell'abstract nonsense; partire dal generale e vedere che tutto torna e tutto si adatta alla nostra prima, brillante intuizione basata su nient'altro che una parola: armonia.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
[...]
As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
"Arnol'd":
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
"Arnol'd":C'è poco da fare. Posso dire di avere un'ostilità verso il metodo scientifico. Il punto è che non posso essere sicuro di avere ragione; non posso essere sicuro che quello che dico rimarrà vero non per cent'anni, ma per l'eternità. D'altra parte, è noto: dal mio punto di vista la Matematica non è una parte delle scienze naturali. E' incredibilmente più vicina alla Filosofia, o comunque ad una materia umanistica. Se non avessi potuto fare Matematica, avrei optato per Filosofia, probabilmente; se non fosse che in Filosofia, quando due persone sono in disaccordo, non è necessariamente vero che almeno una delle due ha torto.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
"Arnol'd":Potrei scrivere: la Fisica è una parte della Matematica. La Matematica non è una scienza, è un altro nome per Esattezza. La Fisica è la parte della Matematica che descrive le leggi secondo cui la realtà è costretta a comportarsi.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
Infine:
"Arnol'd":Questa citazione è decontestualizzata ed il suo significato è stravolto. Ricordiamo che Hardy andava fiero dei suoi lavori in teoria dei numeri perché erano inutili. Cito dall'Apologia di un Matematico:
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
"Hardy":Questo è quello che pensava Hardy. Non mi sembra che ci sia molto spazio per le applicazioni, nel suo pensiero!
La migliore matematica non solo è bella ma è anche seria, importante, se preferite, ma il termine è molto ambiguo, mentre seria esprime meglio quello che voglio dire. Non mi riferisco alle applicazioni "pratiche" della matematica. [...] Adesso dirò soltanto che se un problema di scacchi è "inutile", nel senso letterale del termine, allora lo è anche la maggior parte della migliore matematica; che solo una piccola parte della matematica ha un'utilità pratica e che quella piccola parte è relativamente noiosa.
"Hardy":Le idee della topologia sono belle in quanto incredibilmente naturali. La topologia (in particolare, il concetto di omotopia) potrebbe essere spiegata tranquillamente ai primi anni del liceo. Si tratta di deformare, è semplicissimo, tutti sanno cosa vuol dire, tutti hanno un'intuizione da cui partire, quindi non c'è bisogno che venga spiegata. Si può partire dall'astratto.
[...]Il matematico [rispetto al poeta] non ha altro materiale con cui lavorare, se non le idee; quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo, perché le idee si usurano meno delle parole.
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
"Zilpha":
@maurer: Sei molto convincente nelle cose che hai detto... certo un pò assolutista... ma su un punto:
[quote="maurer"]
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
"maurer":
[quote="Zilpha"]un pò assolutista...
Non lo nego.
"Zilpha":
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
"killing_buddha":Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
OT per OT, e' "scandaloso" che un fisico faccia queste affermazioni: la Terra e', come ogni altro ente fisico, un agglomerato di atomi, quindi non e' un corpo a geometria continua (lo spazio e' per lo piu' vuoto, e il numero di atomi in ogni porzione di esso e' finito: tanto piu' che non disponiamo di una nozione "fisica" di continua decomponibilita' dello spazio). Noi rappresentiamo la Terra come una palla perche' approssimiamo al continuo qualcosa di discreto (ma sicuramente non viviamo in un Universo che segue leggi topologiche, perche' strappare fogli e fare buchi e' possibile). Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
"apatriarca":
[quote="maurer"]Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Risposte
Per quanto concerne la prima citazione, il mio voleva essere un sincero complimento e una sentita simpatia. Ma questo non mi vieterebbe di dire di essere in disaccordo col fatto che si faccia poca Matematica nel cdl in Fisica. E infatti non lo nego, la Matematica i fisici non la fanno come dovrebbero. Un fisico, per me, dovrebbe essere innanzitutto un discreto matematico. Ciò gli permetterebbe di lavorare probabilmente con maggiore autonomia e tanta arguzia non gli vieterebbe l'approdo ad un vieppiù splendente pensiero, libero e creativo.
Per la seconda citazione, invece, vedrò di spiegarmi meglio.
La matematica non è un linguaggio, è semmai la formalizzazione di un linguaggio. Detto in altri termini: la matematica è la formalizzazione del modo di pensare degli esseri umani. Noi ragioniamo per grandezze, per astrazioni, per catalogazioni e per associazioni. Il linguaggio è intrinseco in ogni applicazione che si fa, la matematica è solo una formalizzazione del linguaggio (o forse è la formalizzazione del miglior linguaggio mai creato dall'uomo per esprimere e maneggiare grandezze).
Tenuto conto di ciò, viene ora chiaro capire come mai Heisenberg abbia "scoperto senza averle studiate" le matrici. Le matrici, come gli integrali, come le sommatorie o come gli Anelli Commutativi, sono oggetti mentali che gli esseri umani hanno formalizzato in maniera tale da risultare più chiari sia a chi li applica, sia per chi vuole capire le applicazioni che un'altra persona fa con questi oggetti. Io faccio l'esempio di Heisenberg perché è il più famoso forse, ma vedete che nella storia della Fisica di episodi analoghi se ne trovano a badilate.
Questi esempi (riportateli a mente, se volete) chiariscono ancor di più quanto ho detto sopra, e danno una dimostrazione anche di come la Matematica e la Fisica sono due materie completamente diverse, due discipline totalmente diverse. L'unica connessione apparente (?) fra le due discipline è dovuta al fatto che la Matematica si basa sul ragionamento e l'intuizione che sono indispensabili in qualunque disciplina. E in fisica risulta comodo formalizzare i ragionamenti, anzi: è quasi indispensabile.
E la cosa sorprendente è che per fare Fisica, appunto, diventa indispensabile ad un certo punto formalizzare delle operazioni mentali e/o applicazioni, indi per cui essa diventa una fonte di teorie matematiche, che poi sarà cura della Matematica formalizzare e astrarre nella maniera più adeguata.
Ordunque non v'è possibilità di confrontare le due damigelle del nostro discorso: fintanto che son belle, sono anche tanto diverse da sfuggire a qualsiasi confronto.
Per la seconda citazione, invece, vedrò di spiegarmi meglio.
La matematica non è un linguaggio, è semmai la formalizzazione di un linguaggio. Detto in altri termini: la matematica è la formalizzazione del modo di pensare degli esseri umani. Noi ragioniamo per grandezze, per astrazioni, per catalogazioni e per associazioni. Il linguaggio è intrinseco in ogni applicazione che si fa, la matematica è solo una formalizzazione del linguaggio (o forse è la formalizzazione del miglior linguaggio mai creato dall'uomo per esprimere e maneggiare grandezze).
Tenuto conto di ciò, viene ora chiaro capire come mai Heisenberg abbia "scoperto senza averle studiate" le matrici. Le matrici, come gli integrali, come le sommatorie o come gli Anelli Commutativi, sono oggetti mentali che gli esseri umani hanno formalizzato in maniera tale da risultare più chiari sia a chi li applica, sia per chi vuole capire le applicazioni che un'altra persona fa con questi oggetti. Io faccio l'esempio di Heisenberg perché è il più famoso forse, ma vedete che nella storia della Fisica di episodi analoghi se ne trovano a badilate.
Questi esempi (riportateli a mente, se volete) chiariscono ancor di più quanto ho detto sopra, e danno una dimostrazione anche di come la Matematica e la Fisica sono due materie completamente diverse, due discipline totalmente diverse. L'unica connessione apparente (?) fra le due discipline è dovuta al fatto che la Matematica si basa sul ragionamento e l'intuizione che sono indispensabili in qualunque disciplina. E in fisica risulta comodo formalizzare i ragionamenti, anzi: è quasi indispensabile.
E la cosa sorprendente è che per fare Fisica, appunto, diventa indispensabile ad un certo punto formalizzare delle operazioni mentali e/o applicazioni, indi per cui essa diventa una fonte di teorie matematiche, che poi sarà cura della Matematica formalizzare e astrarre nella maniera più adeguata.
Ordunque non v'è possibilità di confrontare le due damigelle del nostro discorso: fintanto che son belle, sono anche tanto diverse da sfuggire a qualsiasi confronto.
Anche se tutto questo farebbe ancora supporre a Killing_Buddha che io stia stilando una apologia del minus habens anche riconosciuto come studente medio di Fisica (per cui la matematica e l'Analisi sono solo degli strumenti necessari per comprendere la Fisica), posso assicurarlo che la stima che nutro verso egli nonché la simpatia che mi hanno trasmesso i suoi messaggi riguardo al discorso in questione non mi vieterebbero di comunicargli che, qualora ne fossi convinto, le sue posizioni risulterebbero errate. Anzi, io sono straconvinto che nel corso di laurea in Fisica si faccia poca Matematica, e in parte anche male.
Ho qualche problema con la struttura di questo periodo...
Quello che però non deve sfuggire a tutti quanti è che Fisica e Matematica non sono due discipline "gemelle", perché la Matematica è solo un alfabeto attraverso cui il fisico studia la Natura. E la similitudine che potrebbe apparire in quanto in Fisica abbondano equazioni, integrali, derivate ecc non deve ingannare nessuno: sono due discipline totalmente diverse. Il loro fine è diverso e la loro natura intrinseca è diversa.
E questo l'ho capito, ma non condivido: spiegati meglio. Il punto e': da un punto di vista puramente ermeneutico, c'e' un evidente primato ontologico del linguaggio sul discorso; il secondo si esprime mediante il primo, e senza di esso e' muto. L'insieme di simboli con cui interpretiamo il mondo non e' (per noi) separabile dal mondo in quanto tale, anche se l'esistenza del mondo e' qualcosa che (forse) prescinde dall'esistenza del simbolo: stat rosa pristina nomine, diceva qualcuno, sed nomina nuda tenemus, o in poche parole anche se supponessimo che il mondo accada in modi inconoscibili al linguaggio, cosa che e' ragionevole supporre, non c'e' modo di conoscerlo se non mediante il linguaggio.
"magicworld":
la Matematica è solo un alfabeto attraverso cui il fisico studia la Natura.
credo che la pensasse così anche Galileo
Ciao a tutti,
noto che la discussione è molto interessante. E noto che gli interlocutori sono di grande spessore culturale. E quindi è con molta timidezza che mi accingo a dare il mio parere, non ritenendomi assolutamente al vostro livello (la mia Storia scolastica vi farebbe sorridere).
Ritengo che da un lato, Killing_Buddha abbia ragione quando dice che i fisici maneggiano la Matematica spesso come mero strumento e attrezzo, senza conoscerne il significato profondo non solo della Matematica stessa, ma di ogni singola sua applicazione. Questo probabilmente è dovuto alla mancanza di tempo sufficiente per studiarla a fondo.
Dall'altro lato, bisogna anche tenere presente che la Fisica è basata su esperimenti. Non possiamo porre allo stesso livello le due cose, perché la precedenza in Fisica la deve avere il resoconto degli esperimenti. E voglio dire che, al di là della bellezza indubbia della Matematica, la Fisica è profondamente indipendente dalla Matematica e risplende di luce propria esattamente per questo.
Heisenberg non conosceva nemmeno cosa fosse una matrice. Dai risultati sperimentali, senza nemmeno sapere cosa facesse, ne tirò fuori di alcune.
E quindi necessario sapere cosa rappresentasse una matrice in Algebra Lineare? Forse, sicuramente sarebbe stato sufficiente (e lo è, finora) saperci "smanettare".
Anche se tutto questo farebbe ancora supporre a Killing_Buddha che io stia stilando una apologia del minus habens anche riconosciuto come studente medio di Fisica (per cui la matematica e l'Analisi sono solo degli strumenti necessari per comprendere la Fisica), posso assicurarlo che la stima che nutro verso egli nonché la simpatia che mi hanno trasmesso i suoi messaggi riguardo al discorso in questione non mi vieterebbero di comunicargli che, qualora ne fossi convinto, le sue posizioni risulterebbero errate. Anzi, io sono straconvinto che nel corso di laurea in Fisica si faccia poca Matematica, e in parte anche male.
Quello che però non deve sfuggire a tutti quanti è che Fisica e Matematica non sono due discipline "gemelle", perché la Matematica è solo un alfabeto attraverso cui il fisico studia la Natura. E la similitudine che potrebbe apparire in quanto in Fisica abbondano equazioni, integrali, derivate ecc non deve ingannare nessuno: sono due discipline totalmente diverse. Il loro fine è diverso e la loro natura intrinseca è diversa.
Non ha senso, dunque, porre un paragone circa gli approcci che si usano in fisica e matematica.
noto che la discussione è molto interessante. E noto che gli interlocutori sono di grande spessore culturale. E quindi è con molta timidezza che mi accingo a dare il mio parere, non ritenendomi assolutamente al vostro livello (la mia Storia scolastica vi farebbe sorridere).
Ritengo che da un lato, Killing_Buddha abbia ragione quando dice che i fisici maneggiano la Matematica spesso come mero strumento e attrezzo, senza conoscerne il significato profondo non solo della Matematica stessa, ma di ogni singola sua applicazione. Questo probabilmente è dovuto alla mancanza di tempo sufficiente per studiarla a fondo.
Dall'altro lato, bisogna anche tenere presente che la Fisica è basata su esperimenti. Non possiamo porre allo stesso livello le due cose, perché la precedenza in Fisica la deve avere il resoconto degli esperimenti. E voglio dire che, al di là della bellezza indubbia della Matematica, la Fisica è profondamente indipendente dalla Matematica e risplende di luce propria esattamente per questo.
Heisenberg non conosceva nemmeno cosa fosse una matrice. Dai risultati sperimentali, senza nemmeno sapere cosa facesse, ne tirò fuori di alcune.
E quindi necessario sapere cosa rappresentasse una matrice in Algebra Lineare? Forse, sicuramente sarebbe stato sufficiente (e lo è, finora) saperci "smanettare".
Anche se tutto questo farebbe ancora supporre a Killing_Buddha che io stia stilando una apologia del minus habens anche riconosciuto come studente medio di Fisica (per cui la matematica e l'Analisi sono solo degli strumenti necessari per comprendere la Fisica), posso assicurarlo che la stima che nutro verso egli nonché la simpatia che mi hanno trasmesso i suoi messaggi riguardo al discorso in questione non mi vieterebbero di comunicargli che, qualora ne fossi convinto, le sue posizioni risulterebbero errate. Anzi, io sono straconvinto che nel corso di laurea in Fisica si faccia poca Matematica, e in parte anche male.
Quello che però non deve sfuggire a tutti quanti è che Fisica e Matematica non sono due discipline "gemelle", perché la Matematica è solo un alfabeto attraverso cui il fisico studia la Natura. E la similitudine che potrebbe apparire in quanto in Fisica abbondano equazioni, integrali, derivate ecc non deve ingannare nessuno: sono due discipline totalmente diverse. Il loro fine è diverso e la loro natura intrinseca è diversa.
Non ha senso, dunque, porre un paragone circa gli approcci che si usano in fisica e matematica.
alla fine ho cambiato argomento di tesi.
Ah! sembra interessante. Ma, posso chiederti come mai? (PS: siete come i Bernoulli
tu sei il fratello che ho conosciuto quindi!)
"apatriarca":
non dovremmo rifiutare a priori le cose che non ci piacciono. Un giorno ne potremmo riconsiderare la bellezza.
Straquoto. Ho fatto il classico e lettere e fino a poco più di un annetto fa mi occupavo solo di discipline umanistiche e non ricordavo neppure la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado (di cui al liceo non mi era stata neppure fornita la semplice dimostrazione con il completamento del quadrato perché troppo al di sopra del programma) ed adesso mi applico addirittura più alle scienze esatte e naturali che a quelle, anche perché ne so meno e ne voglio sapere di più. Non entro certo nel merito del dibattito portato qui avanti da persone il rapporto tra la competenza in materia delle quali e la mia tende a $+oo$, ma volevo esprimere il mio amore per queste due scienze tali che, personalmente, più studio la matematica, più amo la fisica osservando come la natura è conforme a leggi "scritte nel linguaggio" della matematica e, più studio la fisica, più amo la matematica che fornisce gli strumenti imprescindibili a leggere nel libro della natura.
Dimenticavo..
Fino a non molto tempo fa anche io odiavo profondamente la statistica e il calcolo delle probabilità, ma devo ammettere di averla recentemente rivalutata. Non che mi piaccia studiarla, ma ho avuto modo di vederla secondo altre prospettive e non la considero più così terrificante come una volta. Parte di questa rivalutazione è derivata dal confronto con alcune persone che si occupano di teoria dei grafi applicati alle rete sociali e più in generale alla visualizzazione e presentazione di grosse quantità di dati. Questo mi ha permesso di rivalutarla dal punto di vista "applicativo" (nel senso che ho imparato a valutare più criticamente "statistiche" e più in generale grafici). Dal punto di vista teorico ho trovato interessanti alcune applicazioni della geometria alla statistica e alcuni metodi statistici legati alle catene di Markov. Questa rivalutazione mi ha insegnato che non dovremmo rifiutare a priori le cose che non ci piacciono. Un giorno ne potremmo riconsiderare la bellezza.
[OT] L'articolo che hai linkato mi ricorda molto le successioni spettrali. Vengono usate sistematicamente in quel contesto? [/OT]
Non vengono usate molto, ma non posso neanche dire che le due cose non abbiano alcun legame. In questo articolo fa un breve cenno sul legame nel caso ad una dimensione
"maurer":
Anche qui, ci troviamo d'accordo. Odio la statistica come poche cose e sono contento di poterlo dire per esperienza personale: altrimenti, avrei il dubbio che questo sia un mio pregiudizio.
Fino a non molto tempo fa anche io odiavo profondamente la statistica e il calcolo delle probabilità, ma devo ammettere di averla recentemente rivalutata. Non che mi piaccia studiarla, ma ho avuto modo di vederla secondo altre prospettive e non la considero più così terrificante come una volta. Parte di questa rivalutazione è derivata dal confronto con alcune persone che si occupano di teoria dei grafi applicati alle rete sociali e più in generale alla visualizzazione e presentazione di grosse quantità di dati. Questo mi ha permesso di rivalutarla dal punto di vista "applicativo" (nel senso che ho imparato a valutare più criticamente "statistiche" e più in generale grafici). Dal punto di vista teorico ho trovato interessanti alcune applicazioni della geometria alla statistica e alcuni metodi statistici legati alle catene di Markov. Questa rivalutazione mi ha insegnato che non dovremmo rifiutare a priori le cose che non ci piacciono. Un giorno ne potremmo riconsiderare la bellezza.[OT] L'articolo che hai linkato mi ricorda molto le successioni spettrali. Vengono usate sistematicamente in quel contesto? [/OT]
Non vengono usate molto, ma non posso neanche dire che le due cose non abbiano alcun legame. In questo articolo fa un breve cenno sul legame nel caso ad una dimensione
[OT] L'articolo che hai linkato mi ricorda molto le successioni spettrali. Vengono usate sistematicamente in quel contesto? [/OT]
"ineff":
Sappi che la teoria delle categorie ha applicazioni in ambito informatico (pensa che c'è un linguaggio di programmazione basato sui suoi concetti) e in modellizzazione di reti, quindi si può servire agli ingegneri, inoltre c'è un simpatico argomento chiamato TQFT (Topological Quantum Field Theory) che per essere fatta necessità del linguaggio delle categorie di ordine superiore, questo per dire come questa serva ai fisici. Certo queste applicazioni della Teoria delle Categorie (da ora in poi TdC) serve ad alcuni tipi di ingegneri e di fisici, ma comunque sono ingegneri e fisici per cui è fondamentale, se per caso vuoi approfondire consiglio di fare un salto sulle pagine dell'professor John Baez.
Per rispondere all'altro commento, a me personalmente non mi piace l'analisi numerica (non voglio spiegare il perché in questa sede), detto questo ritengo cosa ottima e giusta che io sia stato obbligato a seguire e dare un corso di analisi numerica, perché ora posso dire con consapevolezza che quella non è la materia di cui voglio occuparmi, per converso io ho odiato tantissimo i miei corsi di analisi e credevo di odiare quella materia finché non mi sono messo a studiarla. Quello che volevo dire con questo è che non puoi sapere che una cosa non ti serve o non ti piace finché non sei obbligato a sbatterci la testa contro.
Il mio discorso era però un po' diverso. Sono d'accordo, e l'ho in effetti anche scritto nel post precedente, che queste teorie possano avere la loro applicazione e la loro utilità anche per un fisico o un ingegnere. Ma oggettivamente, non sono molti gli informatici che fanno uso di haskell (che uso regolarmente tra l'altro) o gli ingegneri che fanno uso di algoritmi di topologia computazionale (che sarebbe tra l'altro il mio nuovo argomento di tesi) o i fisici che si occupano di TQFT. Con il mio commento volevo più che altro sottolineare come le lacune più importanti della maggior parte dei fisici/ingegneri/informatici.. sono in teorie molto più fondamentali e base. Di recente un amico ingegnere mi ha per esempio chiesto di dargli una mano a capire alcune equazioni matriciali che ha incontrato nel suo lavoro legato alla robotica. Credo che sia opportuno riempire prima queste lacune prima di preoccuparsi di insegnarli cose più astratte ed avanzate.
"maurer":
Uhm, credo che apatriarca volesse dire (mi corregga se sbaglio) che è difficile fare il salto da zero all'approccio astratto senza il passo intermedio dell'approccio "classico". E sono d'accordo; non è che non si possa fare, ma è difficile. Ciò non toglie che preferisco un corso in cui questo passaggio venga omesso e che sia lasciato come compito all'allievo quello di documentarsi e sviluppare l'intuizione classica (questo vale per corsi avanzati, di sicuro non sui corsi di base, dove invece deve essere mostrato come costruirsi l'intuizione; e, tra parentesi, non ritengo che la TdC elementare abbia il problema di essere troppo astratta).
In effetti mi riferivo esattamente a questo, anche se non era forse espresso nei migliori dei modi. Non metto certamente in dubbio la mancanza di intuizione che ci sta dietro alle costruzione categoriale o ai gruppi di omologia o a determinate proprietà topologiche o .. Ci sono, ma credo che per maturare tale intuizione sia necessaria una certa maturità matematica, una certa tendenza a ragionare in modo astratto e la conoscenza di un certo numero di esempi. Quando sono arrivato a studiare questi concetti, li avevo già in un certo senso interiorizzati perché avevo già notato come le diverse costruzioni continuassero a ripetersi e come molte proprietà si potessero descrivere solo in termini di mappe e diagrammi commutativi...
"ineff":
Secondo te uno studente del primo anno che difficoltà troverebbe a comprendere il concetto di categoria e di funtore? In particolare io ricordo le notevoli difficoltà che ho trovato a capire perché monoide=categoria con un solo oggetto, e sono fortemente convinto che queste difficoltà siano state originate dal mio modo sbagliato di concepire una categoria come un insieme di strutture di un qualche tipo e i morfismi che preservano questa struttura, secondo me se avessi appreso cosa una categoria fosse prima che la mia mente immacolata fosse stata sporcata dagli valangate di esempi relativi a morfismi/funzione avrei trovato più immediato il vedere che un monoide è una categoria con un oggetto (fatto che ha una certa rilevanza come ben sai per sviluppi successivi della teoria).
Sono perfettamente convinto che non ci sia alcuna ragione per cui uno studente del primo anno non debba essere in grado di comprendere la TdC. Ma credo che possa venire considerata come un'inutile costruzione formale prima di avere abbastanza esempi da vederne l'importanza e l'utilità. Credo sia necessario un certo allenamento mentale all'astrattezza (quanto sia necessario dipende ovviamente dalla persona). Dopotutto la maggior parte esce dal liceo con una formazione matematica molto "meccanica", un approccio che poco si adatta alla matematica universitaria. E poi dipende dalle persone, io sono abbastanza abituato a ragionare in termini di relazioni, è in effetti esattamente il modo in cui la mia mente memorizza le cose, ma molte persone affrontano la matematica e la vita con un approccio molto diverso.
@kb: e sì.. alla fine ho cambiato argomento di tesi. Adesso mi occupo di omologia multipersistente.
"killing_buddha":
Questo e' vero e falso nel senso che sono daccordo ma e' controproducente parlare di categorie a chi non sa nient'altro: c'e' un modo categoriale di presentare le nozioni di gruppo, anello, etc, che secondo me dovrebbe essere padronanza di tutti (matematici, fisici, informatici, ingegneri) quelli che studiano un po' di algebra, ma non nomina mai funtori o categorie.
...
..l'intera algebra elementare si sviluppa cosi', e una delle spinte a scrivere la TdC fu proprio l'algebra universale. Ecco, io credo che invece di un corso di algebra alle matricole serva un corso di algebra universale che presenta i concetti inmodo categoriale senza tuttavia nominare mai i nomi "veri" delle cose: capito quello, accettare che esistono gruppi, monoidi, algebre, moduli, reticoli, etc e' un passo certamente molto piu' semplice che non quello che solitamente deve affrontare uno studente (parra' assurdo ma a me nessuno ha detto che i teoremi di isomorfismo hanno tutti la stessa forma per un motivo preciso...). E soperché prattutto capito quello., se e quando sentiremo il bisogno di studiare categorie, non ci si sentira' gabbati, perche' avremo tutti i concetti fissati in testa, solo con un nome diverso.
Anzitutto complimenti per il post, in particolare approvo quanto da te detto sul fatto che la cosa su cui bisogna marciare pesantemente sono le idee categoriali, d'altra parte ci sono delle cose che non condivido, o meglio di cui non sono convinto.
Secondo te uno studente del primo anno che difficoltà troverebbe a comprendere il concetto di categoria e di funtore? In particolare io ricordo le notevoli difficoltà che ho trovato a capire perché monoide=categoria con un solo oggetto, e sono fortemente convinto che queste difficoltà siano state originate dal mio modo sbagliato di concepire una categoria come un insieme di strutture di un qualche tipo e i morfismi che preservano questa struttura, secondo me se avessi appreso cosa una categoria fosse prima che la mia mente immacolata fosse stata sporcata dagli valangate di esempi relativi a morfismi/funzione avrei trovato più immediato il vedere che un monoide è una categoria con un oggetto (fatto che ha una certa rilevanza come ben sai per sviluppi successivi della teoria).
"ineff":
Del resto dal mio punto di vista è natura quella che È mentre la matematica è solo uno strumento che per qualche oscuro motivo ci permette di darne una buona descrizione (ma temo che su questo sia meglio non discutere oltre perché mi sa che è seplicemente una differenza di punti di vista).
Concordo sul fatto che sia una questione interamente soggettiva, e quindi che non abbia senso discuterne ulteriormente.
"ineff":
[quote="killing_buddha"]
trovo ridicolo, per il modo in cui interpreto la conoscenza, pretendere di sapere la Fisica senza sapere piu' matematica di un matematico.
Su questo non sono d'accordo, ribadisco esiste tanta matematica che può essere comoda a un fisico ma in una prima istanza non è strettamente necessaria. Ti provo a fare un esempio, dubito fortemente che a un fisico serva saper calcolare il [tex]\Pi_1[/tex] di uno spazio topologico, o meglio a un fisico che non si occupi di fisica quantistica, o comunque uno che non si occupi di fisica teorica, e questo semplicemente perché non tutti i fisici si occuperanno nella vita di meccanica quantistica ad un certo livello.[/quote]
In effetti, devo dirmi d'accordo con ineff. Mettiamola così: un Fisico dovrebbe conoscere la matematica che deve usare meglio di un matematico.
"ineff":
[quote="apatriarca"]
vedere anche qualcosa di più della matematica moderna, ma credo che un approccio solo moderno, del tutto privo dell'intuizione sia ugualmente sbagliato.
Vero e sbagliato, mi spiego meglio, secondo me sbagli nell'usare la parola "approcio moderno".
Dal mio punto di vista l'approccio moderno è quello che fa uso massiccio di oggetti astratti (vedi l'algebra moderna [grazie algebristi inglesi], la topologia, gli approcci assiomatici e tutto quello che storicamente ne è seguito) tale approccio non è libero da intuzioni anzi, dal mio punto di vista le intuizioni dell'approccio moderno sono molto più profonde poiché esse sono astratte nel senso che catturano l'unità intrinseca di svariati concetti e ci fanno vedere come spesso anche in ambiti diversi finiamo sempre per fare le stesse cose. Mettiamola così l'assenza di intuizione in un corso non è un qualcosa di legato all'approccio moderno, e semmai una scelta di convenienza del docente.[/quote]
Uhm, credo che apatriarca volesse dire (mi corregga se sbaglio) che è difficile fare il salto da zero all'approccio astratto senza il passo intermedio dell'approccio "classico". E sono d'accordo; non è che non si possa fare, ma è difficile. Ciò non toglie che preferisco un corso in cui questo passaggio venga omesso e che sia lasciato come compito all'allievo quello di documentarsi e sviluppare l'intuizione classica (questo vale per corsi avanzati, di sicuro non sui corsi di base, dove invece deve essere mostrato come costruirsi l'intuizione; e, tra parentesi, non ritengo che la TdC elementare abbia il problema di essere troppo astratta).
"ineff":
Per rispondere all'altro commento, a me personalmente non mi piace l'analisi numerica (non voglio spiegare il perché in questa sede), detto questo ritengo cosa ottima e giusta che io sia stato obbligato a seguire e dare un corso di analisi numerica, perché ora posso dire con consapevolezza che quella non è la materia di cui voglio occuparmi, per converso io ho odiato tantissimo i miei corsi di analisi e credevo di odiare quella materia finché non mi sono messo a studiarla. Quello che volevo dire con questo è che non puoi sapere che una cosa non ti serve o non ti piace finché non sei obbligato a sbatterci la testa contro.
Anche qui, ci troviamo d'accordo. Odio la statistica come poche cose e sono contento di poterlo dire per esperienza personale: altrimenti, avrei il dubbio che questo sia un mio pregiudizio.
sono convinto che molte delle idee categoriali possano essere assimilate da uno studente dei corsi del primo anno di matematica, perché non presentano difficoltà molto maggiori a quelle del concetto di gruppo, anello o campo (o altro).
Questo e' vero e falso nel senso che sono daccordo ma e' controproducente parlare di categorie a chi non sa nient'altro: c'e' un modo categoriale di presentare le nozioni di gruppo, anello, etc, che secondo me dovrebbe essere padronanza di tutti (matematici, fisici, informatici, ingegneri) quelli che studiano un po' di algebra, ma non nomina mai funtori o categorie. E risulta efficace perche' e' piu' semplice e conciso: la catena di successioni logiche nel presentare una qualsiasi categoria strutturata e':
Definizioni preliminari: "operazione n-aria", "rispettare" un'operazione n-aria.
[*:31qjxyfr] Un bidulo (nome di fantasia) e' un insieme dotato di tot operazioni n-arie tali che...;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Un omomorfismo di biduli e' una funzione tra due X che "preserva le operazioni";[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Se A e'un X, l'identita' di A e' sempre un omomorfismo di biduli;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] La composizione di omomorfismi di biduli e' un omomorfismo di biduli;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Un isomorfismo tra due biduli A,B e' una funzione biiettiva $f: A\to B$ tale che sia $f$ che $f^{-1}$ siano omomorfismi di biduli;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Un sottobidulo di $A$ e' un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto a tutte le operazioni di bidulo;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Intersezione arbitraria di biduli e' un bidulo; unione di biduli solitamente no;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Il sottobidulo generato da un sottoinsieme e' l'intersezione di tutti i biduli che contengono quel sottoinsieme;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Se la cosa ha senso, definiamo il nucleo/immagine di un omomorfismo di biduli come...;[/*:m:31qjxyfr]
[*:31qjxyfr] Se la cosa ha senso, valgono i teoremi di isomorfismo di biduli seguenti:[/*:m:31qjxyfr][/list:u:31qjxyfr]
..l'intera algebra elementare si sviluppa cosi', e una delle spinte a scrivere la TdC fu proprio l'algebra universale. Ecco, io credo che invece di un corso di algebra alle matricole serva un corso di algebra universale che presenta i concetti inmodo categoriale senza tuttavia nominare mai i nomi "veri" delle cose: capito quello, accettare che esistono gruppi, monoidi, algebre, moduli, reticoli, etc e' un passo certamente molto piu' semplice che non quello che solitamente deve affrontare uno studente (parra' assurdo ma a me nessuno ha detto che i teoremi di isomorfismo hanno tutti la stessa forma per un motivo preciso...). E soprattutto capito quello., se e quando sentiremo il bisogno di studiare categorie, non ci si sentira' gabbati, perche' avremo tutti i concetti fissati in testa, solo con un nome diverso.
Chiedo scusa per la prolissità del post sopra, ma ci tenevo a rispondere ben bene ad ogni punto su indicato.
"maurer":
Eh no! Sostituisci a "sbagliata" la parola "soggettiva" ed avrai perfettamente ragione.
Si sostituisco qui, mi sono espresso male, chiedo scusa.
"maurer":
Dal canto mio, mi professo platonista e mi trovo in totale accordo con la filosofia di A. Connes (per un'idea molto sommaria, vedere qui). In particolare, gli enti matematici hanno un grado di realtà maggiore di quelli fisici.
Per me la fisica è parte della matematica in quanto è la realtà stessa ad essere matematica. Tutto quello che ci circonda esiste, ma esiste ad un livello inferiore del concetto di numero o delle entità geometriche. E questo spiega la frase che ho già ripetuto più e più volte: "La matematica E', tutto il resto vi si adegua".
Qui devo amettere di essere in disaccordo con te, a prescindere dalla filosofia della matematica sottostante. Il problema delle scienze empiriche è che esse vogliono studiare la natura e la matematica in tali scienze è solamente il linguaggio che si rivela consono per descriverla. D'altra parte è altresi vero che tanta matematica nasce proprio per permettere di dare nuove descrizioni, pensiamo al caso della logica: per secoli la logica, intesa come teoria della dimostrazione è stato dominio dei filosofi, fino a quando Boole non ha formalizzato una nuova forma di matematica, l'algebra di Boole, appunto che servisse appunto a formalizzare gli elementi dei ragionamenti logici. A prescindere dal fatto che gli oggetti matematici siano creazioni della mente umana o entita esistenti in se e per se nel mondo delle idee resta comunque il fatto che la ricerca in matematica viene comunque guidata da problematiche di tipo pratico, il caso di Boole ne è un esempio, lui voleva studiare i problemi della logica da un punto di vista matematico. Del resto dal mio punto di vista è natura quella che È mentre la matematica è solo uno strumento che per qualche oscuro motivo ci permette di darne una buona descrizione (ma temo che su questo sia meglio non discutere oltre perché mi sa che è seplicemente una differenza di punti di vista).
"killing_buddha":
trovo ridicolo, per il modo in cui interpreto la conoscenza, pretendere di sapere la Fisica senza sapere piu' matematica di un matematico.
Su questo non sono d'accordo, ribadisco esiste tanta matematica che può essere comoda a un fisico ma in una prima istanza non è strettamente necessaria. Ti provo a fare un esempio, dubito fortemente che a un fisico serva saper calcolare il [tex]\Pi_1[/tex] di uno spazio topologico, o meglio a un fisico che non si occupi di fisica quantistica, o comunque uno che non si occupi di fisica teorica, e questo semplicemente perché non tutti i fisici si occuperanno nella vita di meccanica quantistica ad un certo livello. Spesso molte cose possono essere spiegate anche senza far ricorso a strumenti matematici molto avanzati (il [tex]\Pi_1[/tex] credo sia un esempio, ma magari mi sbaglio, in tal caso sarei felice se mi potessi illuminare al riguardo). Quello che voglio dire qui è che un matematico deve avere un infarinatura generale di ogni branca della matematica, lo stesso non è detto che sia valido per un fisico, che appunto potrebbe non aver bisogno, in prima istanza, di certi strumenti: mi sembra che per fare astronomia non serva poi tutta la topologia algebrica o sbaglio?
Però e indubbio che quella matematica che serve (perché strettamente necessaria) dovrebbe essere saputa da dio anche da un fisico (per la serie se una cosa la dobbiamo fare facciamola bene!).
"apatriarca":
D'altra parte, sono convinto che ogni cosa in matematica sia frutto di un qualche processo evolutivo e le definizioni più belle ed eleganti hanno spesso richiesto anni e diverse "brutte copie" prima di raggiungere il loro stato finale. Conoscere questa evoluzione, la storia che sta dietro a queste idee, è secondo me di importanza fondamentale per comprenderle fino in fondo.
Sono pienamente d'accordo su questo punto, per questo dico sempre che sarebbe bello se nei corsi venissero snocciolate qua è la alcuni cenni storici allo sviluppo dei concetti che vengono presentati nei detti corsi.
Ricordiamoci che la matematica è si formalismo ma che il formalismo è pieno zeppo di idee, e sono quelle che contano!
"apatriarca":
Per questa ragione, e perché credo che molti studenti della laurea triennale non siano del tutto pronti o interessati al "salto categoriale"**, credo che questo linguaggio inizi ad aver senso solo dopo aver faticato dietro a definizioni e idee più concrete.
Questo non lo so, altrove ho già espresso la mia opinione al riguardo e personalmente sono convinto che molte delle idee categoriali possano essere assimilate da uno studente dei corsi del primo anno di matematica, perché non presentano difficoltà molto maggiori a quelle del concetto di gruppo, anello o campo (o altro).
Del resto le mie sono solo elucubrazioni mentali, di fatto è difficile dire se e su cosa gli studenti trovino delle difficoltà in ambito categoriale finché non si fanno dei corsi su tali concetti, e anche quando si facciano tali corsi bisogna vedere la presentazione dei detti concetti.
"apatriarca":
vedere anche qualcosa di più della matematica moderna, ma credo che un approccio solo moderno, del tutto privo dell'intuizione sia ugualmente sbagliato.
Vero e sbagliato, mi spiego meglio, secondo me sbagli nell'usare la parola "approcio moderno".
Dal mio punto di vista l'approccio moderno è quello che fa uso massiccio di oggetti astratti (vedi l'algebra moderna [grazie algebristi inglesi], la topologia, gli approcci assiomatici e tutto quello che storicamente ne è seguito) tale approccio non è libero da intuzioni anzi, dal mio punto di vista le intuizioni dell'approccio moderno sono molto più profonde poiché esse sono astratte nel senso che catturano l'unità intrinseca di svariati concetti e ci fanno vedere come spesso anche in ambiti diversi finiamo sempre per fare le stesse cose. Mettiamola così l'assenza di intuizione in un corso non è un qualcosa di legato all'approccio moderno, e semmai una scelta di convenienza del docente.
"apatriarca":
Credo che nessuno possa o voglia mettere in dubbio l'importanza, per un matematico*, di teorie come quella delle categorie o dell'algebra omologica.
...
Per questa ragione, e perché credo che molti studenti della laurea triennale non siano del tutto pronti o interessati al "salto categoriale"**
...
* credo che un fisico o un ingegnere o .. possa forse trarne profitto, ma non credo sia così fondamentale rispetto ad altre teorie.
** Dopotutto ci sono alcuni che fanno matematica per insegnare o per occuparsi di economia e finanza o anche solo per fare analisi numerica.
Sappi che la teoria delle categorie ha applicazioni in ambito informatico (pensa che c'è un linguaggio di programmazione basato sui suoi concetti) e in modellizzazione di reti, quindi si può servire agli ingegneri, inoltre c'è un simpatico argomento chiamato TQFT (Topological Quantum Field Theory) che per essere fatta necessità del linguaggio delle categorie di ordine superiore, questo per dire come questa serva ai fisici. Certo queste applicazioni della Teoria delle Categorie (da ora in poi TdC) serve ad alcuni tipi di ingegneri e di fisici, ma comunque sono ingegneri e fisici per cui è fondamentale, se per caso vuoi approfondire consiglio di fare un salto sulle pagine dell'professor John Baez.
Per rispondere all'altro commento, a me personalmente non mi piace l'analisi numerica (non voglio spiegare il perché in questa sede), detto questo ritengo cosa ottima e giusta che io sia stato obbligato a seguire e dare un corso di analisi numerica, perché ora posso dire con consapevolezza che quella non è la materia di cui voglio occuparmi, per converso io ho odiato tantissimo i miei corsi di analisi e credevo di odiare quella materia finché non mi sono messo a studiarla. Quello che volevo dire con questo è che non puoi sapere che una cosa non ti serve o non ti piace finché non sei obbligato a sbatterci la testa contro.
"apatriarca":
Conoscere questa evoluzione, la storia che sta dietro a queste idee, è secondo me di importanza fondamentale per comprenderle fino in fondo.
Mi trovi assolutamente d'accordo. Tuttavia, non ritengo che vada insegnata, ossia, non vorrei che mi fosse insegnata, voglio che mi sia lasciata come esercizio a casa. Ma, come abbiamo già appurato, abbiamo idee, motivazioni e filosofie completamente diverse. Per me l'università è una palestra dove, tra le altre cose, io mi scontro con concetti, idee e pensieri di altri prima di me. E' un processo sanguinolento, in cui il mio scopo è strappare con "le cattive" la verità a quelli che già la posseggono (libri o docenti). E come ogni buon allenamento in stile dragon ball, può finire in due modi: l'allievo è distrutto e sconfitto, oppure l'allievo è distrutto ma vincitore. Io non mi risparmio, cerco sempre di distruggermi, in ogni caso, e, in effetti, sto cercando il giorno in cui verrò sconfitto.
Credo che nessuno possa o voglia mettere in dubbio l'importanza, per un matematico*, di teorie come quella delle categorie o dell'algebra omologica. Hanno una grossa importanza per la matematica moderna ed è semplicemente impossibile lavorare su una qualche teoria moderna senza conoscerne almeno le basi. D'altra parte, sono convinto che ogni cosa in matematica sia frutto di un qualche processo evolutivo e le definizioni più belle ed eleganti hanno spesso richiesto anni e diverse "brutte copie" prima di raggiungere il loro stato finale. Conoscere questa evoluzione, la storia che sta dietro a queste idee, è secondo me di importanza fondamentale per comprenderle fino in fondo. Per questa ragione, e perché credo che molti studenti della laurea triennale non siano del tutto pronti o interessati al "salto categoriale"**, credo che questo linguaggio inizi ad aver senso solo dopo aver faticato dietro a definizioni e idee più concrete.
Prendiamo come esempio gli schemi di cui abbiamo parlato in precedenza. Non ho mai messo in dubbio il fatto che gli argomenti trattati nel corso non fossero sufficienti per fare ricerca nel campo e credo che anche Collino sarebbe d'accordo. L'obiettivo non era probabilmente quello. L'obiettivo era forse più che altro spiegare le idee geometriche dietro a queste definizioni e forse a portarci ad apprezzarle meglio. Dopotutto, l'utilità e la bellezza degli schemi si apprezza fino in fondo solo dopo aver faticato dietro alle idee di base. E forse, in questo modo, se ne comprende meglio l'idea intuitiva. Non dico di condividere fino in fondo il programma del corso, credo che sarebbe stato meglio vedere anche qualcosa di più della matematica moderna, ma credo che un approccio solo moderno, del tutto privo dell'intuizione sia ugualmente sbagliato. Ma ognuno ha i propri gusti e interessi, per cui mi rendo conto che se per me un approccio solo "moderno" non sarebbe soddisfacente, voi lo amereste. Dopotutto a me neanche interessa la geometria algebrica e non credo farò domanda di dottorato per fare ricerca. Un approccio più concreto è quindi forse più adatto a quelli che potrebbero essere i miei obiettivi lavorativi.
* credo che un fisico o un ingegnere o .. possa forse trarne profitto, ma non credo sia così fondamentale rispetto ad altre teorie.
** Dopotutto ci sono alcuni che fanno matematica per insegnare o per occuparsi di economia e finanza o anche solo per fare analisi numerica.
Prendiamo come esempio gli schemi di cui abbiamo parlato in precedenza. Non ho mai messo in dubbio il fatto che gli argomenti trattati nel corso non fossero sufficienti per fare ricerca nel campo e credo che anche Collino sarebbe d'accordo. L'obiettivo non era probabilmente quello. L'obiettivo era forse più che altro spiegare le idee geometriche dietro a queste definizioni e forse a portarci ad apprezzarle meglio. Dopotutto, l'utilità e la bellezza degli schemi si apprezza fino in fondo solo dopo aver faticato dietro alle idee di base. E forse, in questo modo, se ne comprende meglio l'idea intuitiva. Non dico di condividere fino in fondo il programma del corso, credo che sarebbe stato meglio vedere anche qualcosa di più della matematica moderna, ma credo che un approccio solo moderno, del tutto privo dell'intuizione sia ugualmente sbagliato. Ma ognuno ha i propri gusti e interessi, per cui mi rendo conto che se per me un approccio solo "moderno" non sarebbe soddisfacente, voi lo amereste. Dopotutto a me neanche interessa la geometria algebrica e non credo farò domanda di dottorato per fare ricerca. Un approccio più concreto è quindi forse più adatto a quelli che potrebbero essere i miei obiettivi lavorativi.
* credo che un fisico o un ingegnere o .. possa forse trarne profitto, ma non credo sia così fondamentale rispetto ad altre teorie.
** Dopotutto ci sono alcuni che fanno matematica per insegnare o per occuparsi di economia e finanza o anche solo per fare analisi numerica.
Mah, io personalmente sarei per l'impostazione usata da Mac Lane http://books.google.it/books?id=piwKmqa ... &q&f=false anche se forse andando un po' più svelto sulla prima parte (insiemi numerici)
Nel senso che spieghi prima le cose base di gruppi e anelli e poi attraverso le costruzioni universali arrivi al concetto di categorie. Una volta introdotte le usi inizialmente poco e poi sempre di più. Dopo un po' riprenderle per vederle in maniera meno ludica. Intanto sei arrivato al concetto di gruppo fondamentale in topologia e colleghi le cose preparando il tutto per omologia e similari.
Nel senso che spieghi prima le cose base di gruppi e anelli e poi attraverso le costruzioni universali arrivi al concetto di categorie. Una volta introdotte le usi inizialmente poco e poi sempre di più. Dopo un po' riprenderle per vederle in maniera meno ludica. Intanto sei arrivato al concetto di gruppo fondamentale in topologia e colleghi le cose preparando il tutto per omologia e similari.
vorrei proprio vedere uno studenti di fisica media che sappia qualcosa di logica matematica
Ne conosco. Ti stupiresti di quanto un fisico sia piu' aperto al cambiamento di un matematico (perche' tanto casino sulle logiche fuzzy? La natura e' intrinsecamente non booleana, sarebbe come avere problemi ad accettare lo spazio curvo...)
Di fatto posso benissimo accettare il fatto che un fisico non sappia che cosa sia un gruppo astratto, o che non si ricordi la dimostrazione del teorema di Stokes per forme, quello che però non accetto è l'assenza di rigore: credo che la cosa più importante che caratterizzi tutte le scienze empiriche e non sia l'obbligo del rigore e la correttezza del ragionamento!
Qui infatti siamo perfettamente d'accordo, non capisco dove sia il problema.
L'ho gia' detto e lo ripeto: io non "detraggo" niente e nessuno. D'altra parte,
E' come se con le quattro note in croce che io so suonare pretendessi di interpretare Rachmaninov: non e' solo per evitare figuracce che evito di millantare conoscenze che non possiedo, quanto piu per una innata tendenza a non parlare MAI di qualcosa che non so: alla luce di questo, quando vedo gente arrivata ai massimi livelli dell'insegnamento e della ricerca, che chiama "topologia banale" la topologia euclidea di R (e che ha difficolta' a concepire che esistano molte topologie diverse su uno stesso insieme) semplicemente mi in****: adesso, senza falsa modestia, vi rendete conto? Dove pretendete di andare? Quale mondo pretendete di descrivere finche' vi manca questo?
questo significa che trovo ridicolo, per il modo in cui interpreto la conoscenza, pretendere di sapere la Fisica senza sapere piu' matematica di un matematico. Proprio perche' la Fisica trova nella natura, e non nel pensiero, i suoi argomenti di indagine, essa deve essere piu' ferma dal punto di vista formale, perche deve usare in modo molto piu' stringente i metodi, i modelli, deve possederli fin delle piu intime pudenda altrimenti continuera' ad applicarli in modo ridicolmente sbagliato, derivando a caso, trattando serie p-adiche come serie euclidee, o altre cose orribili. Se no, che validita' hanno i loro ragionamenti in assenza di verifiche sperimentali? Avete una minima idea di cosa sia la teoria delle stringhe? Fatti salvi gli individui geniali si tratta, secondo me, di matematica di avanguardia in mano a degli emeriti ignoranti (nel senso etimologico della parola). Provate a leggere degli articoli sul tema; si tratta per una gran percentuale di
[*:37fsnivl] Conti che per un matematico non hanno il minimo interesse,[/*:m:37fsnivl]
[*:37fsnivl] Congetture basate su elucubrazioni che non hanno il minimo fondamento di plausibilita',[/*:m:37fsnivl]
[*:37fsnivl] Manipolazioni al limite dell'indegno di tutte le nozioni cui siamo abituati a stare attenti noi (integrali che si scambiano tra loro, integrali che non convergono trattati come convergenti, funzioni che sono sempre tutte continue)[/*:m:37fsnivl][/list:u:37fsnivl]
Proprio perche' i requisiti minimi per essere un buon fisico sono cambiati da quando ci facevamo le pippe coi giroscopi e si sono (fortunatamente) diversificate dal costruire pannelli solari, il percorso di studi di un fisico serio dovrebbe contenere dosi di matematica superiori a quelle che contiene il mio, proprio perche' lui deve usare nel mondo (usare! e anche una volta usati, li deve adeguare al mondo!) i metodi e i modelli che invece io applico con la leggerezza di spirito del poeta e del fantasista. Non solo questo non succede, ma c'e' anche chi ha il coraggio di affermare che questo livello di indagine (dare solide basi formali, e solo poi parlare) non interessa o e' poco utile.
Sbagliando: la coerenza formale e' l'unico modo in cui possiamo patentare un modello atto a descrivere un fenomeno, e sacrificarla equivale a invalidarlo del tutto relegandolo a sega mentale. Il mondo (quello che noi chiamiamo mondo) e' in realta' solo l'immagine omomorfa del modello che costruiamo per interpretare (=memorizzare archiviando secondo canoni predittivi) la somma di ricorrenze percettive cui siamo esposti. Alla luce di questo l'unico ente di studio cui possiamo volgerci e' il modello. Il mondo accade secondo leggi simili al modello, e il modello mima leggi naturali, ma e' come osservare binari paralleli collegati, ogni tanto, da traversine. Sono enti separati, che possono (e in certa misura devono, pena la perdita di liberta' reciproca) restare separati.
In ultima istanza che i conti tornino non importa, i conti devono tornare E ci deve essere alle spalle un modello non solo predittivo, ma anche coerente.
Altrimenti di cosa stiamo parlando? Lo sapete, spero, che se $p$ e' falsa, $p\Rightarrow q$ e' sempre vera.
Vengo poi criticato perche' scrivo troppo, e in modo troppo aulico. Sinceramente non vi capisco: senza falsa modestia credo di essere capace di scrivere in modo efficiente, nel senso che riesco a veicolare nei piu intimi dettagli la natura dei miei pensieri quando li scrivo. Se questi sono ramificati in delle riflessioni complesse, vuol dire che ho una opinione complessa, sono costretto a stratificare i pensieri e a fare un gran numero di distinguo proprio per evitare di fare di tutta l'erba un (pre)fascio. Della serie, se non volete parlare e ascoltare, a cosa serve questo forum, a discutere o a fare gli esercizi per casa? E ancora: se questa vi sembra filosofia, da un lato non sbagliate (la matematica e' per me l'unico modo corretto di fare filosofia), e dall'altro lato trovo intellettualmente povero che la denigriate.
"ineff":
Anche questa è una visone sbagliata, la fisica non è parte della matematica in quanto essa a dei suoi modi di procedere che sono distinti della matematica, e questi suoi modi diversi sono dovuti al fatto che la fisica non crea i suoi oggetti di studio, come si fa in matematica, ma ha il suo oggetto di studio nella natura. Il fisico deve si fare del lavoro matematico nella creazione del modello che descriva le leggi della natura, ma tale modello non ha un valore in se e per se per i fisici (al contrario di quanto accadrebbe per i matematici), un modello ha un suo valore in quanto è coerente con i dati sperimentali (modulo certi errori). Attento maurer a non confondere la fisica matematica con la fisica sono due cose distinte, la prima è una branca della matematica la secondo si serve della prima ma ne è distinta.
Eh no! Sostituisci a "sbagliata" la parola "soggettiva" ed avrai perfettamente ragione. Dal canto mio, mi professo platonista e mi trovo in totale accordo con la filosofia di A. Connes (per un'idea molto sommaria, vedere qui). In particolare, gli enti matematici hanno un grado di realtà maggiore di quelli fisici.
Per me la fisica è parte della matematica in quanto è la realtà stessa ad essere matematica. Tutto quello che ci circonda esiste, ma esiste ad un livello inferiore del concetto di numero o delle entità geometriche. E questo spiega la frase che ho già ripetuto più e più volte: "La matematica E', tutto il resto vi si adegua".
I metodi sono diversi, è vero, ma questo è un caso: l'oggetto di studio è lo stesso (e quello della fisica è un po' più ristretto).
Per il resto:
"dissonance":
[quote="maurer"]Con le categorie, ho ragione di credere che sarebbe stato più immediato.
Ma secondo me non è detto. Ti sei appassionato tanto a questa teoria perché senti che sta unificando tanti concetti che avevi studiato precedentemente distaccati. Se te la avessero presentata da subito è possibile che l'avresti odiata.[/quote]
ha già detto tutto il caro ineff, che riconosco pubblicamente come uno dei miei maestri. Non dubito che la pensiamo allo stesso modo, visto che sono io ad aver imparato da lui. E comunque no, ritengo fortemente che il mio studio del prodotto tensoriale sarebbe stato semplificato. Come dice ineff, ritengo che lo studio delle categorie vada proposto da subito, in maniera diluita. In particolare, introdurrei immediatamente le parole "categoria", "funtore". Per le proprietà universali, attenderei di aver dimostrato il primo teorema di isomorfismo per gruppi. Per il concetto di trasformazione naturale, attenderei di avere il parallelo con l'omotopia. Ho ragione di credere che un programma così strutturato accelererebbe l'apprendimento della matematica, e di molto.
"vict85":
Sinceramente il prodotto tensoriale mi piace poco in tutte le salse che ho incontrato. Quella categoriale un po' meno. Rispetto alla costruzione del gruppo libero, tra l'altro, trovo che le costruzioni siano decisamente meno ‘naturali’. Non so come mai...
Non so cosa dirti, a me sembrano naturali entrambe, ma non mi piace fare fatica mentale, quindi se posso evitare una costruzione esplicita saltello dalla gioia. Ma probabilmente mi sembrano naturali semplicemente perché le uso tutti i giorni da sei mesi a questa parte...
"dissonance":
[quote="maurer"]Con le categorie, ho ragione di credere che sarebbe stato più immediato.
Ma secondo me non è detto. Ti sei appassionato tanto a questa teoria perché senti che sta unificando tanti concetti che avevi studiato precedentemente distaccati. Se te la avessero presentata da subito è possibile che l'avresti odiata.[/quote]
No, su questo concordo con maurer, altrove ho già commentato che secondo me i concetti categoriali potrebbero e dovrebbero essere insegnati sin dai primi corsi universitari cercando di diluirli nel corso di studio in modo tale da permetterli di metabolizzarli, in particolare perché essi hanno l'importantissima funzione di mostrare come spesso in matematica si facciano le stesse cose sotto salse diverse. Io credo che se presenti le costruzioni categoriali nel giusto modo esse possono essere davvero di ausilio per la comprensione di altri concetti, per esempio il conoscere certi concetti come quello di fascio, che io considero squisitamente categoriale visto che è un funtore, mi ha permesso di capire varie analogie tra geometria differenziale, geometria algebrica, geometria complessa e altre dove in pratica si studiano dei fasci rispettivamente di funzioni [tex]C^\infty[/tex], regolari, olomorfe. Aver visto le cose fatte con il linguaggio funtoriale mi ha permesso di shiftare rapidamente la rappresentazione che avevo dei fasci di funzioni regolari (quindi di geometria algebrica) al contesto differenziale e complesso, in questo modo ho capito che essenzialmente (o se preferisci algebricamente/simbolicamente) in tutti questi contesti si fa la stessa cosa, con le debite differenze dovuto al tipo di morfismi che consideriamo. Ovviamente affinché il linguaggio categoriale possa essere fruibile è necessario che sia spiegato nel modo giusto, in particolare con parecchio riguardo agli esempi importanti che possano dare delle rappresentazioni corrette dei concetti.
"vict85":
Comunque tornando sull'argomento delle discussione direi che l'unica cosa che mi aspetta da un fisico è che sia consapevole degli strumenti che utilizza. Se dopo di che, nel pieno della consapevolezza dei loro limiti, decide di usare qualche “scorciatoia” non mi tocca molto. Mi da più fastidio se un fisico pensa davvero che le scorciatoie in questione siano il metodo corretto. Inoltre mi aspetterei nel momento in cui fisica è insegnata ad un matematico un po' più attenzione ai dettagli. Per il resto mi interessa poco.
È esattamente quello che che io, maurer e kb stiamo criticando a molti fisici, il fatto di usare male gli strumenti matematici, e mi sembra che su questo punto siamo tutti d'accordo. Ci tengo a precisare che molti[tex]\ne[/tex] tutti, infatti conosco alcuni studenti di fisica che hanno basi matematiche molto più forti di altri miei compagni di corso.
"maurer":
[quote="ineff"]
altrettanto grossa è la cazzata di dire che la fisica sia un corollario della matematica.
Non credo che nessuno di noi due abbia scritto ciò; di sicuro, nessuno dei due lo intendeva. Ma che può essere vista come parte della matematica, questo sì. Anche l'algebra è parte della matematica, e ovviamente non è un "corollario"! (E non vale il sofisma di dire che A è corollario di A, perché in quanto ho scritto, si evince chiaramente che reputo la fisica parte della matematica, quindi se ne fosse un corollario, lo sarebbe in maniera banale, seguirebbe da se stessa!). Ok, la smetto con i deliri; è tardi, e domani devo studiare...[/quote]
Anche questa è una visone sbagliata, la fisica non è parte della matematica in quanto essa a dei suoi modi di procedere che sono distinti della matematica, e questi suoi modi diversi sono dovuti al fatto che la fisica non crea i suoi oggetti di studio, come si fa in matematica, ma ha il suo oggetto di studio nella natura. Il fisico deve si fare del lavoro matematico nella creazione del modello che descriva le leggi della natura, ma tale modello non ha un valore in se e per se per i fisici (al contrario di quanto accadrebbe per i matematici), un modello ha un suo valore in quanto è coerente con i dati sperimentali (modulo certi errori). Attento maurer a non confondere la fisica matematica con la fisica sono due cose distinte, la prima è una branca della matematica la secondo si serve della prima ma ne è distinta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo