Fisica e matematica: approcci a confronto
Trasferisco qui l'inizio di un cosiddetto "off-topic" (cf. qui) perché se ne possa parlare più liberamente.
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
Infine:
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".
Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
Non lo nego.
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
"maurer":Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Ok, ho improvvisamente capito l'origine del mio problema:
[quote="apatriarca"]L'idea intuitiva e volendo "fisica" di orientazione ha preceduto questa definizione e ne ha guidato le scelte. Tutto il resto è venuto dopo, non prima.
"apartriarca":Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.[/quote]
Sinceramente credo che l'intuizione dietro ai diversi concetti e la loro storia siano importanti pere comprendere a pieno tali concetti e per apprezzare gli strumenti di indagine più moderni ed astratti.
"dissonance":
@maurer: Sono al 100% in disaccordo con te. Questo tuo modo di vedere la matematica è secondo me deleterio. Nel mio piccolo sono invece perfettamente d'accordo con Arnol'd:
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
Non si può snobbare la fisica così. Ragionando come te non ci si sarebbe dovuti occupare neanche di relatività generale, o di meccanica quantistica, perché matematicamente mal poste (agli inizi del secolo scorso era così). Per fortuna i matematici dell'epoca non hanno ragionato a tal modo, e nello sforzo di sistematizzare queste cose si sono sviluppate per bene anche teorie strettamente matematiche. E' un interplay che giova a tutti e due.
"maurer":Questa è una stupidaggine. Se è vero, la colpa è interamente del docente. Ma non perché non ha mosso dalla realtà; semplicemente perché non ha mostrato, dopo o durante un'opportuna trattazione teorica, cosa l'operazione fosse.
Premetto che non voglio accendere una polemica troppo grossa. Tuttavia, ho letto per intero il link che hai postato e ritengo di avere il diritto di sentirmi offeso da certe parole di Arnol'd.
[quote="Arnol'd"]
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
"Arnol'd":Di nuovo: è chiaro che non si può andare avanti a teorie. Ma non si può nemmeno andare avanti ad esempi. Il meglio è una sintesi tra le due cose, con una leggera tendenza verso la teoria.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t3 - 3t, y = t4 - 2t2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
"Arnol'd":
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
"Arnol'd":Un gruppo è quello che è. La bellezza della matematica io la trovo nell'abstract nonsense; partire dal generale e vedere che tutto torna e tutto si adatta alla nostra prima, brillante intuizione basata su nient'altro che una parola: armonia.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
[...]
As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
"Arnol'd":
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
"Arnol'd":C'è poco da fare. Posso dire di avere un'ostilità verso il metodo scientifico. Il punto è che non posso essere sicuro di avere ragione; non posso essere sicuro che quello che dico rimarrà vero non per cent'anni, ma per l'eternità. D'altra parte, è noto: dal mio punto di vista la Matematica non è una parte delle scienze naturali. E' incredibilmente più vicina alla Filosofia, o comunque ad una materia umanistica. Se non avessi potuto fare Matematica, avrei optato per Filosofia, probabilmente; se non fosse che in Filosofia, quando due persone sono in disaccordo, non è necessariamente vero che almeno una delle due ha torto.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
"Arnol'd":Potrei scrivere: la Fisica è una parte della Matematica. La Matematica non è una scienza, è un altro nome per Esattezza. La Fisica è la parte della Matematica che descrive le leggi secondo cui la realtà è costretta a comportarsi.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
Infine:
"Arnol'd":Questa citazione è decontestualizzata ed il suo significato è stravolto. Ricordiamo che Hardy andava fiero dei suoi lavori in teoria dei numeri perché erano inutili. Cito dall'Apologia di un Matematico:
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
"Hardy":Questo è quello che pensava Hardy. Non mi sembra che ci sia molto spazio per le applicazioni, nel suo pensiero!
La migliore matematica non solo è bella ma è anche seria, importante, se preferite, ma il termine è molto ambiguo, mentre seria esprime meglio quello che voglio dire. Non mi riferisco alle applicazioni "pratiche" della matematica. [...] Adesso dirò soltanto che se un problema di scacchi è "inutile", nel senso letterale del termine, allora lo è anche la maggior parte della migliore matematica; che solo una piccola parte della matematica ha un'utilità pratica e che quella piccola parte è relativamente noiosa.
"Hardy":Le idee della topologia sono belle in quanto incredibilmente naturali. La topologia (in particolare, il concetto di omotopia) potrebbe essere spiegata tranquillamente ai primi anni del liceo. Si tratta di deformare, è semplicissimo, tutti sanno cosa vuol dire, tutti hanno un'intuizione da cui partire, quindi non c'è bisogno che venga spiegata. Si può partire dall'astratto.
[...]Il matematico [rispetto al poeta] non ha altro materiale con cui lavorare, se non le idee; quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo, perché le idee si usurano meno delle parole.
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
"Zilpha":
@maurer: Sei molto convincente nelle cose che hai detto... certo un pò assolutista... ma su un punto:
[quote="maurer"]
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
"maurer":
[quote="Zilpha"]un pò assolutista...
Non lo nego.
"Zilpha":
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
"killing_buddha":Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
OT per OT, e' "scandaloso" che un fisico faccia queste affermazioni: la Terra e', come ogni altro ente fisico, un agglomerato di atomi, quindi non e' un corpo a geometria continua (lo spazio e' per lo piu' vuoto, e il numero di atomi in ogni porzione di esso e' finito: tanto piu' che non disponiamo di una nozione "fisica" di continua decomponibilita' dello spazio). Noi rappresentiamo la Terra come una palla perche' approssimiamo al continuo qualcosa di discreto (ma sicuramente non viviamo in un Universo che segue leggi topologiche, perche' strappare fogli e fare buchi e' possibile). Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
"apatriarca":
[quote="maurer"]Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Risposte
"maurer":
Dico soltanto che forse mi avrebbe fatto bene studiare prima categorie di vedere il prodotto tensoriale (e parlo di questo perché è quello che uso più spesso). Ci ho messo un po' ad abituarmi alla convivenza della costruzione concreta e della proprietà universale: era la prima volta che incontravo un costrutto del genere e non è stato immediato abituarvisi. Con le categorie, ho ragione di credere che sarebbe stato più immediato.
Sinceramente il prodotto tensoriale mi piace poco in tutte le salse che ho incontrato. Quella categoriale un po' meno. Rispetto alla costruzione del gruppo libero, tra l'altro, trovo che le costruzioni siano decisamente meno ‘naturali’. Non so come mai...
Comunque tornando sull'argomento delle discussione direi che l'unica cosa che mi aspetta da un fisico è che sia consapevole degli strumenti che utilizza. Se dopo di che, nel pieno della consapevolezza dei loro limiti, decide di usare qualche “scorciatoia” non mi tocca molto. Mi da più fastidio se un fisico pensa davvero che le scorciatoie in questione siano il metodo corretto. Inoltre mi aspetterei nel momento in cui fisica è insegnata ad un matematico un po' più attenzione ai dettagli. Per il resto mi interessa poco.
"maurer":
Con le categorie, ho ragione di credere che sarebbe stato più immediato.
Ma secondo me non è detto. Ti sei appassionato tanto a questa teoria perché senti che sta unificando tanti concetti che avevi studiato precedentemente distaccati. Se te la avessero presentata da subito è possibile che l'avresti odiata.
@vict85: leggo adesso il tuo messaggio, non ho niente da aggiungere. Dico soltanto che forse mi avrebbe fatto bene studiare prima categorie di vedere il prodotto tensoriale (e parlo di questo perché è quello che uso più spesso). Ci ho messo un po' ad abituarmi alla convivenza della costruzione concreta e della proprietà universale: era la prima volta che incontravo un costrutto del genere e non è stato immediato abituarvisi. Con le categorie, ho ragione di credere che sarebbe stato più immediato.
@ineff: forse ci siamo fatti un po' prendere la mano. Sicuramente, abbiamo nascosto i nuclei del nostro pensiero in un fiume di parole. Tuttavia:
Non credo che nessuno di noi due abbia scritto ciò; di sicuro, nessuno dei due lo intendeva. Ma che può essere vista come parte della matematica, questo sì. Anche l'algebra è parte della matematica, e ovviamente non è un "corollario"! (E non vale il sofisma di dire che A è corollario di A, perché in quanto ho scritto, si evince chiaramente che reputo la fisica parte della matematica, quindi se ne fosse un corollario, lo sarebbe in maniera banale, seguirebbe da se stessa!). Ok, la smetto con i deliri; è tardi, e domani devo studiare...
@ineff: forse ci siamo fatti un po' prendere la mano. Sicuramente, abbiamo nascosto i nuclei del nostro pensiero in un fiume di parole. Tuttavia:
"ineff":
altrettanto grossa è la cazzata di dire che la fisica sia un corollario della matematica.
Non credo che nessuno di noi due abbia scritto ciò; di sicuro, nessuno dei due lo intendeva. Ma che può essere vista come parte della matematica, questo sì. Anche l'algebra è parte della matematica, e ovviamente non è un "corollario"! (E non vale il sofisma di dire che A è corollario di A, perché in quanto ho scritto, si evince chiaramente che reputo la fisica parte della matematica, quindi se ne fosse un corollario, lo sarebbe in maniera banale, seguirebbe da se stessa!). Ok, la smetto con i deliri; è tardi, e domani devo studiare...
No, stavo dicendo che non ha senso esagerare e che non si usa spessissimo. So che si usano e non sono contrario (anche considerando che trovo il libro di Mac Lane di algebra uno dei migliori). Stavo solo cercando di difendere metodi più specifici rispetto al modo di vedere queste cose di Maurer e Killing. Ammetto tra l'altro che avevo frainteso il messaggio di Maurer e mi sono accorto rileggendo che di fatto eravamo d'accordo su quella definizione (ma poi non avevo voglia di cancellare e modificare). Non volevo mettere in dubbio la potenza delle categorie ma non penso che possa risolvere ogni problema e che ogni tanto vale la pena utilizzare metodi diversi.
Premetto comunque che io non chiamo teorici dei gruppi uno che studio i gruppi abeliani
. Fondamentalmente perché i gruppi abeliani sono banalmente \(\displaystyle \mathbf{Z} \)-moduli e quindi poco interessanti di per se (per uno, ben inteso, a cui non interessano i moduli su PID)*. I gruppi abeliani forniscono d'altra parte utili esempi per caratterizzazioni particolari.
La definizione di gruppo libero è un esempio del fatto che ogni tanto si usino. Nelle estensioni di gruppi per esempio si usano massicciamente ma nella maggior parte dei casi ti capita di tanto in tanto di trovarti una sequenza esatta o una qualche proprietà universale ma in genere si usano metodi specifici o di altri settori della matematica (combinatori, differenziali, metrici, topologici ma anche analitici e probabilistici). Questi metodi hanno ragioni di esistere abbastanza specifiche come il fatto che il gruppo viene inteso come il gruppo di trasformazione di qualcosa o che in qualche modo tu hai definito strutture geometriche oppure qualche spazio di probabilità su di esso. Una parte della bellezza dei gruppi penso sia che se X è una parola del tipo geometrico, analitico, probabilistico, topologico... allora c'é qualcuno che studia teoria X dei gruppi
.
Per quanto riguarda la definizione di gruppo libero comunque in genere sotto la definizione c'é scritto qualcosa del tipo “l'esistenza è dimostrabile con metodi di algebra universale/categorie ma preferiamo fornirne una costruzione concreta”. E in effetti penso che visualizzare il gruppo libero in quel modo sia utile. Come lo è anche comprendere l'universalità delle definizione rispetto alla costruzione.
* La loro classificazione è quindi semplicemente quella degli \(\displaystyle \mathbf{Z} \)-moduli.
Premetto comunque che io non chiamo teorici dei gruppi uno che studio i gruppi abeliani
. Fondamentalmente perché i gruppi abeliani sono banalmente \(\displaystyle \mathbf{Z} \)-moduli e quindi poco interessanti di per se (per uno, ben inteso, a cui non interessano i moduli su PID)*. I gruppi abeliani forniscono d'altra parte utili esempi per caratterizzazioni particolari.La definizione di gruppo libero è un esempio del fatto che ogni tanto si usino. Nelle estensioni di gruppi per esempio si usano massicciamente ma nella maggior parte dei casi ti capita di tanto in tanto di trovarti una sequenza esatta o una qualche proprietà universale ma in genere si usano metodi specifici o di altri settori della matematica (combinatori, differenziali, metrici, topologici ma anche analitici e probabilistici). Questi metodi hanno ragioni di esistere abbastanza specifiche come il fatto che il gruppo viene inteso come il gruppo di trasformazione di qualcosa o che in qualche modo tu hai definito strutture geometriche oppure qualche spazio di probabilità su di esso. Una parte della bellezza dei gruppi penso sia che se X è una parola del tipo geometrico, analitico, probabilistico, topologico... allora c'é qualcuno che studia teoria X dei gruppi
.Per quanto riguarda la definizione di gruppo libero comunque in genere sotto la definizione c'é scritto qualcosa del tipo “l'esistenza è dimostrabile con metodi di algebra universale/categorie ma preferiamo fornirne una costruzione concreta”. E in effetti penso che visualizzare il gruppo libero in quel modo sia utile. Come lo è anche comprendere l'universalità delle definizione rispetto alla costruzione.
* La loro classificazione è quindi semplicemente quella degli \(\displaystyle \mathbf{Z} \)-moduli.
"vict85":
La definizione di Gruppo Libero che generalmente si usa è:
1) piuttosto breve,
2) fornisce informazioni essenziali sul gruppo,
3) la capisce chiunque sappia cos'é un gruppo,
4) è categoriale.
Quando usi definizioni via proprietà universale stai tacitamente facendo teoria delle categorie che tu lo voglia o no.
La definizione che ha dato Maurer di gruppo libero è di fatto equivalente alla tua il fatto che tu non te ne renda conto è probabilmente dovuto al fatto che non conosci il linguaggio dei funtori aggiunti. Tale linguaggio non è detto a priori che sia fondamentale, ma si è rivelato (e continua a rivelarsi) un linguaggio molto utile.
Se non sbaglio sei stato tu a dire che il linguaggio categoriale non serve alla teoria dei gruppi, questo mi sembra falso, infatti se non sbaglio esistono importanti teoremi sulla classificazione dei gruppi (abeliani, ma forse non solo, non ricordo di preciso) che fanno uso di metodi coomologici (faccio riferimento alla comologia dei gruppi abeliani), e l'algebra omologica è difatto teoria delle categorie, infatti essa fa uso dei principali concetti categoriali (a partire da quello di funtore).
Salve a tutti.
Ci tengo a precisare che mi sono appena iscritto a questo forum proprio perché è stata attratta la mia attenzione su questo thread e vorrei poter dire la mia opinione, spero che ciò non vi dispiaccia.
Anzitutto esprimo con tutto me stesso il mio disgusto per le aberrazioni che sono state pronunciate in questo thread: in particolare mi riferisco a coloro che hanno detto che la definizione di gruppo astratto non serve o che la matematica è sempre motivata da un fondamento fisico.
Non sto qui a citare le parti a cui mi riferisco ma mi limito a dare delle risposte a tali cose:
tutto il formalismo è l'astrazione matematica non è una mera (consentitemi l'espressione) sega mentale, come alcuni pensano, ma ben si è uno strumento che serve a semplificare la risoluzione di problemi. In praticolare per rispondere alla domanda "perché gli algebristi continuano a torturare gli studenti con definizioni [di gruppo] astratta" la risposta è semplice, nella pratica esistono tanti esempi di gruppi che non sono costituiti da permutazioni, gli esempi numerici al riguardo sono pressoché innumerevoli. A coloro che invece credono che la matematica trovi il suo fondamento e le sue motivazioni nella fisica vorrei ricordare che Einstein stesso ha detto che non avrebbe mai potuto concepire la teoria delle relatività se prima non avesse visto il lavoro di Mikowski sui i suoi spazi non Euclidei!!! Inoltre le geometrie non euclidee che tanta importanza hanno in fisica non sono certamente nate per questioni di tipo fisiche, i lavori di Lobachevsky e Bolyai miravano alla risoluzione del problema del 5°postulato di euclide, un problema di tipo puramente fondazionale per la matematica che non mi sembra avesse o abbia di per se nulla a che vedere con la fisica o un'altra scienza empirica.
Detto questo non nego che in origine la matematica sia nata da motivi pratici, ne che tutt'ora parte del suo sviluppo sia legato dalle altre scienze (anzi), quello che voglio dire e che la matematica è una disciplina completamente autonoma e indipendente e personalmente trovo sintomo di ignoranza affermare che la matematica sia una branca della fisica, non meno di coloro che affermano che la fisica è una branca della matematica.
Adesso infatti intendo colpire anche i detrattori della fisica (si parlo con voi cari i miei maurer e kb): così come è una gigantesca cazzata dire che la matematica è fisica, vorrei proprio vedere uno studenti di fisica media che sappia qualcosa di logica matematica, altrettanto grossa è la cazzata di dire che la fisica sia un corollario della matematica. Bisogna evitare di cadere nella trappola in cui noi matematici (o aspiranti tali) cadiamo del disprezzare le scienze empiriche, infatti tali scienze sono ben diverse dalla nostra in quanto devono scontrarsi con la realtà e pertanto sebbene un matematico, in linea di principio potrebbe non farsene niente dell'intuizione empirica stessa cosa non può dirse per un fisico o altro scienzato non matematico. Detto questo penso che tanto killing_buddha quanto maurer si lamentassero di una brutta tendenza che c'è nei corsi universitari di fisica in cui spesso è volentieri non vengono trattati adeguantamente gli strumenti matematici che servono per la fisica.
Troppe volte ho visto fare certe porcherie tipo moltiplicare e/o dividere per [tex]dx[/tex], cose che mi fanno sempre accapponare la pelle, ma sopratutto fare queste cose senza dimostrazione o perlomeno una spiegazione rigorosa del perché tali cose possano essere fatte.
Di fatto posso benissimo accettare il fatto che un fisico non sappia che cosa sia un gruppo astratto, o che non si ricordi la dimostrazione del teorema di Stokes per forme, quello che però non accetto è l'assenza di rigore: credo che la cosa più importante che caratterizzi tutte le scienze empiriche e non sia l'obbligo del rigore e la correttezza del ragionamento!
Chiaramente questo è tipo della matematica che è una scienza puramente ipotetico-deduttiva, in cui gli oggetti di studio vengono definiti dagli matematici, nel momento in cui mettono gli assiomi, e poi lo studio di tali oggetti si esaurice nel vedere quali proprietà derivino dalla scelta degli assiomi (cosa che a priori in generale non si conosce). Ma d'altra parte non credo che il modo ipotetico-deduttivo sia alieno alle altre scienze: ciò che contraddistingue le scienze empiriche da quelle matematiche e che queste studiano degli oggetti che vorremo che in linea di principio si accordassero con i dati sperimentali, perché vorremo che descrivessero la realtà in cui viviamo, ma una volta fatti questi modelli vorremo utilizzarli per poter fare delle predizioni e per poter fare questo è necessario il rigore ipotetico-deduttivo. E altresi chiaro che una persona che studia fisica non può studiare contemporaneamente tutta la matematica ma d'altra parte è anche vero che se la matematica è il linguaggio della natura (cosa che io non credo, al massimo è il linguaggio che costruiamo per parlare della natura, tra le altre cose) e chiaro un fisico deve avere delle buone basi di matematica, e sopratutto deve rispettare tale disciplina facendo operazioni che siano leciti per essa (insomma non facendo le cose a ****, come si suol dire.
Spero di essere riuscito a esprimere la mia opinione, chiedo scusa per le forti punte espressive che ho usato e spero di non aver offeso nessuno, ma ho avuto bisogno di tali punte per poter esprimere il forte senso di disprezzo per un pensiero che non vuole riconoscere a tutte le scienze la loro dignità, senza distinzione alcuna.
Ci tengo a precisare che mi sono appena iscritto a questo forum proprio perché è stata attratta la mia attenzione su questo thread e vorrei poter dire la mia opinione, spero che ciò non vi dispiaccia.
Anzitutto esprimo con tutto me stesso il mio disgusto per le aberrazioni che sono state pronunciate in questo thread: in particolare mi riferisco a coloro che hanno detto che la definizione di gruppo astratto non serve o che la matematica è sempre motivata da un fondamento fisico.
Non sto qui a citare le parti a cui mi riferisco ma mi limito a dare delle risposte a tali cose:
tutto il formalismo è l'astrazione matematica non è una mera (consentitemi l'espressione) sega mentale, come alcuni pensano, ma ben si è uno strumento che serve a semplificare la risoluzione di problemi. In praticolare per rispondere alla domanda "perché gli algebristi continuano a torturare gli studenti con definizioni [di gruppo] astratta" la risposta è semplice, nella pratica esistono tanti esempi di gruppi che non sono costituiti da permutazioni, gli esempi numerici al riguardo sono pressoché innumerevoli. A coloro che invece credono che la matematica trovi il suo fondamento e le sue motivazioni nella fisica vorrei ricordare che Einstein stesso ha detto che non avrebbe mai potuto concepire la teoria delle relatività se prima non avesse visto il lavoro di Mikowski sui i suoi spazi non Euclidei!!! Inoltre le geometrie non euclidee che tanta importanza hanno in fisica non sono certamente nate per questioni di tipo fisiche, i lavori di Lobachevsky e Bolyai miravano alla risoluzione del problema del 5°postulato di euclide, un problema di tipo puramente fondazionale per la matematica che non mi sembra avesse o abbia di per se nulla a che vedere con la fisica o un'altra scienza empirica.
Detto questo non nego che in origine la matematica sia nata da motivi pratici, ne che tutt'ora parte del suo sviluppo sia legato dalle altre scienze (anzi), quello che voglio dire e che la matematica è una disciplina completamente autonoma e indipendente e personalmente trovo sintomo di ignoranza affermare che la matematica sia una branca della fisica, non meno di coloro che affermano che la fisica è una branca della matematica.
Adesso infatti intendo colpire anche i detrattori della fisica (si parlo con voi cari i miei maurer e kb): così come è una gigantesca cazzata dire che la matematica è fisica, vorrei proprio vedere uno studenti di fisica media che sappia qualcosa di logica matematica, altrettanto grossa è la cazzata di dire che la fisica sia un corollario della matematica. Bisogna evitare di cadere nella trappola in cui noi matematici (o aspiranti tali) cadiamo del disprezzare le scienze empiriche, infatti tali scienze sono ben diverse dalla nostra in quanto devono scontrarsi con la realtà e pertanto sebbene un matematico, in linea di principio potrebbe non farsene niente dell'intuizione empirica stessa cosa non può dirse per un fisico o altro scienzato non matematico. Detto questo penso che tanto killing_buddha quanto maurer si lamentassero di una brutta tendenza che c'è nei corsi universitari di fisica in cui spesso è volentieri non vengono trattati adeguantamente gli strumenti matematici che servono per la fisica.
Troppe volte ho visto fare certe porcherie tipo moltiplicare e/o dividere per [tex]dx[/tex], cose che mi fanno sempre accapponare la pelle, ma sopratutto fare queste cose senza dimostrazione o perlomeno una spiegazione rigorosa del perché tali cose possano essere fatte.
Di fatto posso benissimo accettare il fatto che un fisico non sappia che cosa sia un gruppo astratto, o che non si ricordi la dimostrazione del teorema di Stokes per forme, quello che però non accetto è l'assenza di rigore: credo che la cosa più importante che caratterizzi tutte le scienze empiriche e non sia l'obbligo del rigore e la correttezza del ragionamento!
Chiaramente questo è tipo della matematica che è una scienza puramente ipotetico-deduttiva, in cui gli oggetti di studio vengono definiti dagli matematici, nel momento in cui mettono gli assiomi, e poi lo studio di tali oggetti si esaurice nel vedere quali proprietà derivino dalla scelta degli assiomi (cosa che a priori in generale non si conosce). Ma d'altra parte non credo che il modo ipotetico-deduttivo sia alieno alle altre scienze: ciò che contraddistingue le scienze empiriche da quelle matematiche e che queste studiano degli oggetti che vorremo che in linea di principio si accordassero con i dati sperimentali, perché vorremo che descrivessero la realtà in cui viviamo, ma una volta fatti questi modelli vorremo utilizzarli per poter fare delle predizioni e per poter fare questo è necessario il rigore ipotetico-deduttivo. E altresi chiaro che una persona che studia fisica non può studiare contemporaneamente tutta la matematica ma d'altra parte è anche vero che se la matematica è il linguaggio della natura (cosa che io non credo, al massimo è il linguaggio che costruiamo per parlare della natura, tra le altre cose) e chiaro un fisico deve avere delle buone basi di matematica, e sopratutto deve rispettare tale disciplina facendo operazioni che siano leciti per essa (insomma non facendo le cose a ****, come si suol dire.
Spero di essere riuscito a esprimere la mia opinione, chiedo scusa per le forti punte espressive che ho usato e spero di non aver offeso nessuno, ma ho avuto bisogno di tali punte per poter esprimere il forte senso di disprezzo per un pensiero che non vuole riconoscere a tutte le scienze la loro dignità, senza distinzione alcuna.
"maurer":
Tanto per fare un esempio, la costruzione del gruppo libero su un insieme (che tutti sappiamo essere per lo meno lunga) si può riassumere facilmente così: "il funtore dimenticante [tex]\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}[/tex] ha un aggiunto sinistro per il teorema di aggiunzione di Freyd". Dopodiché non hai più bisogno di nulla; tutte le proprietà che servono del gruppo libero le ricavi dall'aggiunzione. Il metodo è pulito, perché quando studi qualche costruzione algebrica per le prime volte hai (solitamente, io mi riferisco a quella che è stata la mia personale esperienza) la tendenza a voler usare esplicitamente la costruzione. E solo dopo ti rendi conto che, in effetti, la costruzione è inutile ai fini delle proprietà: fai tutto con le proprietà universali.
La definizione di Gruppo Libero che generalmente si usa è:1) piuttosto breve,
2) fornisce informazioni essenziali sul gruppo,
3) la capisce chiunque sappia cos'é un gruppo,
4) è categoriale.
In pratica si definiscono i gruppi liberi come quei gruppi che soddisfano una proprietà universale. Non so a che definizione tu ti riferisca ma quella usata è questa. Si fanno spesso delle costruzione per dare una maggiore comprensione di alcune operazioni sul gruppo libero (come la funzione lunghezza) ma la dimostrazione che questi sono gruppi usa spesso strani “trucchi”.
La tua invece è piuttosto oscura e fornisce informazioni indirette. Non vedo perché uno dovrebbe preferirla a quella base. Se proprio vuoi un'altra caratterizzazione categoriale dei gruppi liberi allora si può anche usare il fatto che i gruppi liberi sono gli oggetti proiettivi di [tex]\mathbf{Grp}[/tex]. Anche se non penso che sia ugualmente espressiva della definizione originale.
Stesso dicasi per il prodotto tensoriale. Io non sono contro le categorie e l'algebra omologica; come ho detto, mi sono espresso per controbilanciare gli eccessi nell'altra parte ma una cosa è usare le categorie e le proprietà universali per semplificare e un'altra, come invece mi sembrava stessi facendo tu con i gruppi liberi, per semplice piaciere nel definire tutto usando i funtori aggiunti.
@killing_buddha
Ti ho risposto per pm.
Ti ho risposto per pm.
Ecco, hai mail.
SPET-TA-CO-LO! Ok, mi informerò... e studierò le categorie modello a breve, spero!
Haha, non andiamo OT
Per il momento non lo so, le ho sentite nominare da poco. Prova a vedere sul Borceux-Bourn... o a googlare, non si sa mai Con l'occasione, se te lo leggi poi me lo racconti.
comunque non credo che
in fondo in $\mathbf{Top}$ non vale il 5-lemma, sbaglio?
Questo si salva di sicuro, e' il metodo di Quillen-Maltsiniotis di cui mi sembrava di averti parlato (i funtori derivati sono estensioni di Kan: ti mando un email altrimenti mi tocca scrivere dieci pagine).
D'altra parte nelle categorie modello ci sono le HSS (homotopy spectral sequences). Tra l'altro leggiti l'articolo di Grandis: forse una cat simile alla nostra $\mathbf{Act}$ ha una struttura modello!!
Per il momento non lo so, le ho sentite nominare da poco. Prova a vedere sul Borceux-Bourn... o a googlare, non si sa mai
Con l'occasione, se te lo leggi poi me lo racconti.comunque non credo che
le categorie modello sono categorie omologiche?
in fondo in $\mathbf{Top}$ non vale il 5-lemma, sbaglio?
l'esistenza dei funtori derivati sinistri per funtori esatti a destra
Questo si salva di sicuro, e' il metodo di Quillen-Maltsiniotis di cui mi sembrava di averti parlato (i funtori derivati sono estensioni di Kan: ti mando un email altrimenti mi tocca scrivere dieci pagine).
D'altra parte nelle categorie modello ci sono le HSS (homotopy spectral sequences). Tra l'altro leggiti l'articolo di Grandis: forse una cat simile alla nostra $\mathbf{Act}$ ha una struttura modello!!
Ecco, questa sì che è una figata!
Ma sai anche dirmi se i teoremi importanti, come l'esistenza dei funtori derivati sinistri per funtori esatti a destra, la possibilità di usare successioni spettrali ecc. si possono ottenere in queste categorie? La presenza dello snake lemma mi fa sperare per un sì... ma non si sa mai!
E, soprattutto, le categorie modello sono categorie omologiche?
Ma sai anche dirmi se i teoremi importanti, come l'esistenza dei funtori derivati sinistri per funtori esatti a destra, la possibilità di usare successioni spettrali ecc. si possono ottenere in queste categorie? La presenza dello snake lemma mi fa sperare per un sì... ma non si sa mai!
E, soprattutto, le categorie modello sono categorie omologiche?
"Volevo solo cercare di controbilanciare gli eccessi che si stanno riversando ultimamente su scienzematematiche"
sususususu non andiamo OT
E invece...
sususususu non andiamo OT
L'algebra omologica, invece, si può fare solo su categorie abeliane
E invece...
Quoto Martino.
@vict85: io ho spesso affiancato nei miei discorsi precedenti, algebra omologica e teoria delle categorie. Tuttavia, facendolo, volevo dare esempi abbastanza diversi. La teoria delle categorie è assolutamente generale; si può applicare a qualsiasi settore della matematica ed i risultati non tardano ad arrivare.
L'algebra omologica, invece, si può fare solo su categorie abeliane, quindi è intrinsecamente vincolata ad un contesto commutativo (per come la conosco io; non so se l'approccio basato sul concetto di categorie modello può spingersi oltre).
Tanto per fare un esempio, la costruzione del gruppo libero su un insieme (che tutti sappiamo essere per lo meno lunga) si può riassumere facilmente così: "il funtore dimenticante [tex]\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}[/tex] ha un aggiunto sinistro per il teorema di aggiunzione di Freyd". Dopodiché non hai più bisogno di nulla; tutte le proprietà che servono del gruppo libero le ricavi dall'aggiunzione. Il metodo è pulito, perché quando studi qualche costruzione algebrica per le prime volte hai (solitamente, io mi riferisco a quella che è stata la mia personale esperienza) la tendenza a voler usare esplicitamente la costruzione. E solo dopo ti rendi conto che, in effetti, la costruzione è inutile ai fini delle proprietà: fai tutto con le proprietà universali.
Se vuoi, un altro esempio è dato dal prodotto tensoriale: la costruzione esplicita lascia perplessi la prima volta che viene affrontata. Ma poi non è nulla di difficile: usando con maestria la proprietà universale, vieni a capo di praticamente ogni problema.
@vict85: io ho spesso affiancato nei miei discorsi precedenti, algebra omologica e teoria delle categorie. Tuttavia, facendolo, volevo dare esempi abbastanza diversi. La teoria delle categorie è assolutamente generale; si può applicare a qualsiasi settore della matematica ed i risultati non tardano ad arrivare.
L'algebra omologica, invece, si può fare solo su categorie abeliane, quindi è intrinsecamente vincolata ad un contesto commutativo (per come la conosco io; non so se l'approccio basato sul concetto di categorie modello può spingersi oltre).
Tanto per fare un esempio, la costruzione del gruppo libero su un insieme (che tutti sappiamo essere per lo meno lunga) si può riassumere facilmente così: "il funtore dimenticante [tex]\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}[/tex] ha un aggiunto sinistro per il teorema di aggiunzione di Freyd". Dopodiché non hai più bisogno di nulla; tutte le proprietà che servono del gruppo libero le ricavi dall'aggiunzione. Il metodo è pulito, perché quando studi qualche costruzione algebrica per le prime volte hai (solitamente, io mi riferisco a quella che è stata la mia personale esperienza) la tendenza a voler usare esplicitamente la costruzione. E solo dopo ti rendi conto che, in effetti, la costruzione è inutile ai fini delle proprietà: fai tutto con le proprietà universali.
Se vuoi, un altro esempio è dato dal prodotto tensoriale: la costruzione esplicita lascia perplessi la prima volta che viene affrontata. Ma poi non è nulla di difficile: usando con maestria la proprietà universale, vieni a capo di praticamente ogni problema.
Ok, ma io cercavo solo di dire che non tutta l'algebra è algebra commutativa e non tutta la geometria è geometria algebrica. Ci sono dei settori di entrambi (in cui metto in particolar modo ampi parti della teoria dei gruppi dato che poi è il settore che conosco di più) in cui penso che cercare di rappresentare tutto in termini di funtori e proprietà universale potrebbe distrarre e non permette di cogliere aspetti più immediati con altri approcci (e ugualmente corretti). Sinceramente trovo che su anelli e campi ci sia troppa struttura ...Volevo solo cercare di controbilanciare gli eccessi che si stanno riversando ultimamente su scienzematematiche
...
Io sono dell'opinione che in algebra commutativa e geometria algebrica l'approccio (il linguaggio) categoriale è in assoluto il più utile e pulito. Un motivo è che spesso un insieme di condizioni di compatibilità si riesce a riassumere con "*** è un funtore", oppure "*** è una trasformazione naturale". Un altro motivo è che le proprietà universali, che per essere definite a mano richiedono parole, formule e diagrammi, arrivano ad essere immediate se uno sa cos'è un funtore rappresentabile. Un altro motivo è che ci sono concetti che rendono naturale la costruzione di associazioni non evidenti a partire da associazioni evidenti (un esempio è la ricerca di aggiunti del funtore "forgetful"). Ma si potrebbe andare avanti.
"Leonardo89":
La mia tesi triennale verterà sull'algebra non commutativa.
Ancora non arriviamo a scegliere l'argomento ma nel frattempo il mio relatore mi ha detto che devo studiarmi quasi 50 pagine di introduzione alle categorie prese da una sua dispensa (prodotti e coprodotti fibrati, limiti e colimiti, grafi, categorie quoziente), giusto come prerequisito.
Forse sarà un caso, forse il mio relatore e maurer la pensano allo stesso modo, chissà...
L'algebra non commutativa per quanto ne so è nata anche come generalizzazione di concetti di algebra commutativa. Quindi è assolutamente probabile che richieda di conoscere i metodi usati in algebra commutativa. È possibile però che esistano approcci meno categoriali. Come ho detto non conosco l'argomento.
La mia tesi triennale verterà sull'algebra non commutativa.
Ancora non arriviamo a scegliere l'argomento ma nel frattempo il mio relatore mi ha detto che devo studiarmi quasi 50 pagine di introduzione alle categorie prese da una sua dispensa (prodotti e coprodotti fibrati, limiti e colimiti, grafi, categorie quoziente), giusto come prerequisito.
Mi interessa, vorresti dirmi di piu'? In particolare io ho studiato un po' di deformazione-quantizzazione geometrica. C'e' legame?
"anonymous_af8479":
Per Leonardo89.
Sul Mandl, Shaw, Quantum field theory, e lo trovo didatticamente ottimo. In passato, a più riprese, avevo provato sul Landau, Meccanica quantistica relativistica, ma senza risultati. Mi arenavo sul primo capitolo, i fotoni ...
Ora sono a pagina 40 e sto capendo l'equazione di Klein-Gordon, o almeno così mi sembra
Grazie mille, era giusto una mia curiosità.
"vict85":
Vorrei comunque spezzare una piccola lancia a favore dei metodi non omologici o categoriali in algebra. Non tutta l'algebra moderna si basa su questi principi (e anzi direi che la parte che si basa maggiormente su quello sia principalmente concentrata nella geometria algebrica e l'algebra commutativa). Non penso che Martino li incontri spesso per esempio (e non è che lui si occupi di algebra classica). Certo, la tua frase probabilmente risulta abbastanza vera se si esclude la teoria dei gruppi dall'algebra
La mia tesi triennale verterà sull'algebra non commutativa.
Ancora non arriviamo a scegliere l'argomento ma nel frattempo il mio relatore mi ha detto che devo studiarmi quasi 50 pagine di introduzione alle categorie prese da una sua dispensa (prodotti e coprodotti fibrati, limiti e colimiti, grafi, categorie quoziente), giusto come prerequisito.
Forse sarà un caso, forse il mio relatore e maurer la pensano allo stesso modo, chissà...
"maurer":
Però, se da un lato c'è l'indolenza degli studenti, dall'altro c'è il problema: chi lascia che gli studenti siano indolenti? Una maggiore severità e serietà da parte dei docenti (e, solo per alcuni di cui taccio il nome, competenza e rigore *), magari, aiuterebbe ad alzare il livello complessivo...
Potrebbe essere che prof severi e rigorosi (tocca bocciarne tanti agli esami) passano per quelli che non sanno insegnare e diminuiscono il rendimento complessivo?
Vi racconto un episodio accaduto a Genova una decina di anni fa (magari Fioravante Patrone conosce meglio la storia), io l'ho letto sul giornale e vi riporto quanto scritto dai giornalisti.
Allora nel corso di laurea in economia e commercio era previsto un esame di statistica nei primi anni ma non essendo considerato propedeutico per nessun altro esame veniva lasciato spesso come ultimo, col risultato che lo studente non era preparato (più passano gli anni peggio è nello studio della matematica, siete d'accordo?) e sperava di passare comunque l'esame, insomma "mi manca solo questo, ho già la tesi pronta...". Il prof serio, severo e rigoroso... BOCCIAVA.
Alle lamentele degli studenti il Consiglio di corso di laurea trovò lo stratagemma di istituire un corso di recupero tenuto da dottorandi/ricercatori di matematica in modo tale che gli studenti che dovevano recuperare potessero farlo. Il prof ci tenne a dichiarare che comunque non bastava seguire il corso per essere promossi, pretendeva proprio che gli studenti imparassero, non so se poi tutti gli studenti che dovevano recuperare ce l'abbiano fatta (sospetto di sì).
Attualmente spero che siano state inserite delle propedeuticità per evitare casi del genere.
Cosa pensate di questo episodio?
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