Fisica e matematica: approcci a confronto
Trasferisco qui l'inizio di un cosiddetto "off-topic" (cf. qui) perché se ne possa parlare più liberamente.
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
Infine:
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".
Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
Non lo nego.
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
"maurer":Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Ok, ho improvvisamente capito l'origine del mio problema:
[quote="apatriarca"]L'idea intuitiva e volendo "fisica" di orientazione ha preceduto questa definizione e ne ha guidato le scelte. Tutto il resto è venuto dopo, non prima.
"apartriarca":Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.[/quote]
Sinceramente credo che l'intuizione dietro ai diversi concetti e la loro storia siano importanti pere comprendere a pieno tali concetti e per apprezzare gli strumenti di indagine più moderni ed astratti.
"dissonance":
@maurer: Sono al 100% in disaccordo con te. Questo tuo modo di vedere la matematica è secondo me deleterio. Nel mio piccolo sono invece perfettamente d'accordo con Arnol'd:
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
Non si può snobbare la fisica così. Ragionando come te non ci si sarebbe dovuti occupare neanche di relatività generale, o di meccanica quantistica, perché matematicamente mal poste (agli inizi del secolo scorso era così). Per fortuna i matematici dell'epoca non hanno ragionato a tal modo, e nello sforzo di sistematizzare queste cose si sono sviluppate per bene anche teorie strettamente matematiche. E' un interplay che giova a tutti e due.
"maurer":Questa è una stupidaggine. Se è vero, la colpa è interamente del docente. Ma non perché non ha mosso dalla realtà; semplicemente perché non ha mostrato, dopo o durante un'opportuna trattazione teorica, cosa l'operazione fosse.
Premetto che non voglio accendere una polemica troppo grossa. Tuttavia, ho letto per intero il link che hai postato e ritengo di avere il diritto di sentirmi offeso da certe parole di Arnol'd.
[quote="Arnol'd"]
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
"Arnol'd":Di nuovo: è chiaro che non si può andare avanti a teorie. Ma non si può nemmeno andare avanti ad esempi. Il meglio è una sintesi tra le due cose, con una leggera tendenza verso la teoria.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t3 - 3t, y = t4 - 2t2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
"Arnol'd":
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
"Arnol'd":Un gruppo è quello che è. La bellezza della matematica io la trovo nell'abstract nonsense; partire dal generale e vedere che tutto torna e tutto si adatta alla nostra prima, brillante intuizione basata su nient'altro che una parola: armonia.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
[...]
As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
"Arnol'd":
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
"Arnol'd":C'è poco da fare. Posso dire di avere un'ostilità verso il metodo scientifico. Il punto è che non posso essere sicuro di avere ragione; non posso essere sicuro che quello che dico rimarrà vero non per cent'anni, ma per l'eternità. D'altra parte, è noto: dal mio punto di vista la Matematica non è una parte delle scienze naturali. E' incredibilmente più vicina alla Filosofia, o comunque ad una materia umanistica. Se non avessi potuto fare Matematica, avrei optato per Filosofia, probabilmente; se non fosse che in Filosofia, quando due persone sono in disaccordo, non è necessariamente vero che almeno una delle due ha torto.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
"Arnol'd":Potrei scrivere: la Fisica è una parte della Matematica. La Matematica non è una scienza, è un altro nome per Esattezza. La Fisica è la parte della Matematica che descrive le leggi secondo cui la realtà è costretta a comportarsi.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
Infine:
"Arnol'd":Questa citazione è decontestualizzata ed il suo significato è stravolto. Ricordiamo che Hardy andava fiero dei suoi lavori in teoria dei numeri perché erano inutili. Cito dall'Apologia di un Matematico:
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
"Hardy":Questo è quello che pensava Hardy. Non mi sembra che ci sia molto spazio per le applicazioni, nel suo pensiero!
La migliore matematica non solo è bella ma è anche seria, importante, se preferite, ma il termine è molto ambiguo, mentre seria esprime meglio quello che voglio dire. Non mi riferisco alle applicazioni "pratiche" della matematica. [...] Adesso dirò soltanto che se un problema di scacchi è "inutile", nel senso letterale del termine, allora lo è anche la maggior parte della migliore matematica; che solo una piccola parte della matematica ha un'utilità pratica e che quella piccola parte è relativamente noiosa.
"Hardy":Le idee della topologia sono belle in quanto incredibilmente naturali. La topologia (in particolare, il concetto di omotopia) potrebbe essere spiegata tranquillamente ai primi anni del liceo. Si tratta di deformare, è semplicissimo, tutti sanno cosa vuol dire, tutti hanno un'intuizione da cui partire, quindi non c'è bisogno che venga spiegata. Si può partire dall'astratto.
[...]Il matematico [rispetto al poeta] non ha altro materiale con cui lavorare, se non le idee; quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo, perché le idee si usurano meno delle parole.
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
"Zilpha":
@maurer: Sei molto convincente nelle cose che hai detto... certo un pò assolutista... ma su un punto:
[quote="maurer"]
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
"maurer":
[quote="Zilpha"]un pò assolutista...
Non lo nego.
"Zilpha":
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
"killing_buddha":Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
OT per OT, e' "scandaloso" che un fisico faccia queste affermazioni: la Terra e', come ogni altro ente fisico, un agglomerato di atomi, quindi non e' un corpo a geometria continua (lo spazio e' per lo piu' vuoto, e il numero di atomi in ogni porzione di esso e' finito: tanto piu' che non disponiamo di una nozione "fisica" di continua decomponibilita' dello spazio). Noi rappresentiamo la Terra come una palla perche' approssimiamo al continuo qualcosa di discreto (ma sicuramente non viviamo in un Universo che segue leggi topologiche, perche' strappare fogli e fare buchi e' possibile). Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
"apatriarca":
[quote="maurer"]Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Risposte
Ti ringrazio per aver risposto.
Credo che quel che delinei tu sia la solita vecchia trincea tra bourbakisti e filo-poincare' che noi matematici ben conosciamo. D'altra parte, mi permetto di dire che il tuo intervento non ha centrato appieno il topic:
Sottoscrivo col sangue! Non c'e' niente di piu' difficile e sottovalutato della divulgazione. Ma qui non si parla di questo; qui stiamo discutendo (spero amichevolmente) a proposito di questo fatto: puo' la fisica pretendere di fare delle affermazioni sensate senza avere dalla sua una conoscenza della Matematica almeno pari a quella che ha un Matematico?
Ecco, la mia opinione provocatoria e' che questo non sia possibile: provo a spiegare perche' in modo schematico.
1) Solitamente -semplificando molto- quel che accade e' che un Fisico manipola gli strumenti teorici che possiede senza sapere davvero cosa fa. Questo processo e' pernicioso, perche' costante preda dell'ex falso quodlibet sequitur: nel momento in cui (come sta accadendo da qualche tempo) un fisico teorico si appella a dei canoni "estetici" anziche' sperimentali per produrre nuovo materiale, esso si pone in una no-mans-land che gli impedisce di essere sia un fisico (perche' non sta descrivendo il mondo) sia un matematico (per ovvie lacune formali). Ovviamente i geni ci sono, vedi alla voce Witten o Kontsevich o Atiyah, ma ovviamente l'umanita' e' fatta da individui per lo piu' normali, che hanno delle lacune obbrobriose in tutte le materie che sono pietre angolari della fisica moderna e contemporanea (non ho ancora trovato un laureato in fisica che sappia cos'e' un tensore, per tacere di quelli che dopo tre anni di corsi di studio ignorano cosa sia uno spazio proiettivo... con quale spirito troveresti plausibile che un individuo del genere possa capire in cosa consistono le equazioni di Seiberg-Witten, la supersimmetria o anche solo l'analisi funzionale?).
2) C'e' questa contraddizione interna del sistema: da una parte, se provi a chiedere a un qualunque aspirante fisico teorico se si sente pronto a studiare la sua materia, questo ti risponde puntualmente di no. E se allora provi a chiedere se perlomeno gli sembra che la Matematica necessaria a questa impresa gli sembra sufficiente, di nuovo ti risponde di no.
D'altra parte questo status quo non viene mai ne' denunciato ne' vengono fatte delle proposte volte a migliorare la situazione: ci si limita a cercare di sopravvivere come si puo' sia alla raffazzonaggine dei corsi sia all'ignoranza di chi li tiene (ti posso riportare un aneddoto vergognoso cui ho assistito: ad una lezione dell'unico corso di teoria dei gruppi che tocca ai fisici di qui, il docente non riusciva a determinare quale permutazione ne coniugasse una in un'altra. E non parlo del fatto che non sapeva comporle: lui proprio ignorava l'esistenza di un risultato che permetta di determinarla, e pretendeva che gli studenti andassero per tentativi trovando una permutazione che, diciamo, coniughi $(12)(679)$ in $(34)(519)$.. e' ridicolo. Sotto ogni punto di vista.
3) Fin dall'inizio della mia vita di studente, ho sempre pensato che la sola attenuante di non fare i morti che farebbe un medico pressapochista non dovrebbe giustificare nessuno ad un apprendimento approssimativo: si chiama onesta' intellettuale. Fare e comunicare Matematica (cosa che anche i non-matematici spesso fanno, per passione o per obbligo) passa per rispettare delle norme igieniche fondamentali, la prima delle quali e' l'attinenza scrupolosa ad alcune regole sintattiche elementari (ma purtroppo molto poco diffuse nella “cultura” comune dei suddetti non-matematici; se volessimo indagare le cause dello spaventoso analfabetismo matematico delle persone, si potrebbero cercare a colpo sicuro nella totale e impunita assenza di rigore con cui i concetti vengono presentati, anche quando l'eta' e la vocazione lo permettono: l'intuizione e' un passo fondamentale -e lo ripeto, fondamentale, fondamentale- ma, semplicemente, non e' ammissibile che ancora si confonda il concetto di semplicita' con il concetto di brevita'. Continuare a farlo continuera' a creare schiere di persone convinte di saper maneggiare artisticamente gli strumenti che le sono stati impartiti, laddove l'unica cosa che sanno fare e' fidarsi di chi quei modelli li maneggia sul serio, e l'unica cosa che hanno fatto -purtroppo- e' stata spendere anni di vita a vedersi inculcata una fenomenologia a-metodica.).
Il punto e': in una Scienza olistica come la nostra, la forma e' veicolo della sostanza, e la sua univocita' strumento dell'ermeneutica, in modo che le due parti del discorso non possano essere scisse senza sacrificare il senso stesso delle parole, lasciandolo naufragare verso i reami della Filosofia spicciola.
Quello che intendevo con le mie parole e' allora questo: Se il tempo e' poco (ed e' pochissimo!), a piu' vale comunicare l'idea di fondo, ma (e questa differenza e' marginale, nel senso che traccia il confine tra un lavoro ben fatto e uno mal fatto) senza confondere questo con la formazione vera e propria, cui lo studente deve poi sopperire da solo. Dare poche idee generali (e corrette, ovvio!), e le coordinate per lavorare in autonomia, una volta finita la festa: e' tanto complicato? Eppure nessuno e' in grado di farlo, o -a questo punto il dubbio mi sorge spontaneo- non vuole farlo. Come mai? mi chiedo io.
4) Nessun fisico sa di preciso cos'e' un tensore (ed e' un'opinione che sono pronto a difendere fino all'ultimo grado di giudizio, se necessario: nessun fisico sa di preciso cos'e' un tensore). La filosofia di fondo che ho visto sposare nei corridoi del dipartimento di Fisica di qui e' "chi se ne importa, in fondo, di cos'e', sappiamo (forse) come si usa, e tanto basta."
Bene: questo assunto, che potrei a questo livello solo non condividere sul mero piano filosofico, risulta poi anche operativamente inefficiente, sulla base di verifiche sperimentali; prendete un campione a caso, vedrete che chi sa cosa sta facendo, sa anche come utilizzare quello che fa (per il semplice motivo che la pertinenza teorica riempie gia' meta' di quella operativa), e viceversa chi non sa cosa tocca procede alla cieca, pastrugna sul foglio simboli senza senso andando a orecchio, come l'impreparato interrogato a sorpresa, ragiona per debole analogia, e continua imperterrito a fare cose che non sa spiegare (e' scuserete la poesia della constatazione, ma la piu' grande sconfitta per uno scienziato e' non capire quel che fa. Nessuno stupore che poi la Matematica venga vista, da grandi e piccoli, come la sospetta opera di alchimia di un negromante!). Ora, io ho provato in vari contesti a spiegare cos'e' davvero un tensore ad amici e colleghi, li' nelle suddette aule, o nelle mie, mostrando che tutta quella congerie di definizioni al limite del religioso sono l'emanazione di un'unica idea, complessa ma riconducibile a poche idee elementari, e dopo il necessario yoga tutte le istanze locali del concetto di tensore si possono recuperare immutate, e anzi arricchite da un preziosissimo aspetto astratto e generale (il piu' divertente dei quali: dalla definizione corretta di tensore si derivano con poca fatica i diagrammi di Feynman). Ora, credi sia stato esecrato e cacciato dalla stanza come un pedante piazzista? Credi che abbia dovuto sopportare facce annoiate e legare la gente alla sedia per costringerla ad ascoltarmi? O credi piuttosto che, nella speranza di capire finalmente qualcosa che persino gli insegnanti sembrano ignorare e trattare come un fatto di fede, sia stato invitato a prolungare e ripetere se necessario l'esibizione davanti ad altri?
Ora, il punto e': si trattano gli studenti come dei somari, scherzando sul fatto che la Matematica e' un "male necessario" cui qualche esame (clinico o universitario) potra' porre rimedio, e dopo ci sara' solo da divertirsi a collegare fili a una macchineta. Si tende a scordare pero' che nessuno studente e' pigro nel senso colpevole del termine, quanto piuttosto perche' e' stato sobillato da questa filosofia cosi' fiacca e indolente.
Tutti, nessuno escluso, provano piacere nell'imparare quel che non sanno. Il problema e' che si continua, si continua, si continua imperterriti, da un lato a pensare che dare delle basi solide ai propri studenti non sia compito nostro, o peggio non sia compito di nessuno, e dall'altro a pensare che determinare le leggi fisse con cui il cosmo emerge dal caos (niente di meno si prefigge la Fisica) viene confuso con l'abilita' di collegare fili a una macchinetta, spendendo un numero vergognoso di ore nei laboratori prima di avere le sufficienti basi per parlare dei sistemi che osserviamo. Lo trovo assurdo nella stessa misura in cui troverei poco plausibile che un brasiliano riesca a orientarsi e a comunicare, laddove venisse catapultato nel giro di qualche ora in un sobborgo di Novgorod.
Come va a finire? Che le colpe dei padri ricadono sui nipoti: quando qualcuno chiedera' a un ex-studente cosa diavolo e' quel bizzarro mostro disegnato alla lavagna armato di corna, pedici e indici, si continuera' con quel mantra ottocentesco per cui “un tensore e' un oggetto (?) che trasforma (?) secondo queste regole”. Ci vogliamo una buona volta evolvere da questa visione, che e' addirittura pre-hilbertiana, morta e sepolta, della Matematica? Senza tema di esagerare la Matematica moderna e', fin nelle piu' recondite budella, stata riscritta secondo i canoni strutturalisti: non e' importante la natura degli enti in studio, ma le leggi che governano le relazioni mutue tra gli enti, che possono essere trattati come indefiniti, in un senso leibniziano, senza perdere nulla del contenuto informativo precedente, e anzi arricchendolo di maggiore potenza espressiva e generalita'. Si decide, certo, che tutto quello che non puo' essere espresso secondo canoni strutturalisti non deve essere preso in considerazione (qualcuno, ad oggi, si preoccupa ancora di strutture che non sono una categoria?), ma ci si accorge anche che restano fuori delle teorie talmente malcerte, isolate e marginali che non vale la pena preoccuparsi di quel che non riusciamo a toccare.
Credo che quel che delinei tu sia la solita vecchia trincea tra bourbakisti e filo-poincare' che noi matematici ben conosciamo. D'altra parte, mi permetto di dire che il tuo intervento non ha centrato appieno il topic:
Spiegare qualcosa in termini comprensibili non è facile, affatto.
Sottoscrivo col sangue! Non c'e' niente di piu' difficile e sottovalutato della divulgazione. Ma qui non si parla di questo; qui stiamo discutendo (spero amichevolmente) a proposito di questo fatto: puo' la fisica pretendere di fare delle affermazioni sensate senza avere dalla sua una conoscenza della Matematica almeno pari a quella che ha un Matematico?
Ecco, la mia opinione provocatoria e' che questo non sia possibile: provo a spiegare perche' in modo schematico.
1) Solitamente -semplificando molto- quel che accade e' che un Fisico manipola gli strumenti teorici che possiede senza sapere davvero cosa fa. Questo processo e' pernicioso, perche' costante preda dell'ex falso quodlibet sequitur: nel momento in cui (come sta accadendo da qualche tempo) un fisico teorico si appella a dei canoni "estetici" anziche' sperimentali per produrre nuovo materiale, esso si pone in una no-mans-land che gli impedisce di essere sia un fisico (perche' non sta descrivendo il mondo) sia un matematico (per ovvie lacune formali). Ovviamente i geni ci sono, vedi alla voce Witten o Kontsevich o Atiyah, ma ovviamente l'umanita' e' fatta da individui per lo piu' normali, che hanno delle lacune obbrobriose in tutte le materie che sono pietre angolari della fisica moderna e contemporanea (non ho ancora trovato un laureato in fisica che sappia cos'e' un tensore, per tacere di quelli che dopo tre anni di corsi di studio ignorano cosa sia uno spazio proiettivo... con quale spirito troveresti plausibile che un individuo del genere possa capire in cosa consistono le equazioni di Seiberg-Witten, la supersimmetria o anche solo l'analisi funzionale?).
2) C'e' questa contraddizione interna del sistema: da una parte, se provi a chiedere a un qualunque aspirante fisico teorico se si sente pronto a studiare la sua materia, questo ti risponde puntualmente di no. E se allora provi a chiedere se perlomeno gli sembra che la Matematica necessaria a questa impresa gli sembra sufficiente, di nuovo ti risponde di no.
D'altra parte questo status quo non viene mai ne' denunciato ne' vengono fatte delle proposte volte a migliorare la situazione: ci si limita a cercare di sopravvivere come si puo' sia alla raffazzonaggine dei corsi sia all'ignoranza di chi li tiene (ti posso riportare un aneddoto vergognoso cui ho assistito: ad una lezione dell'unico corso di teoria dei gruppi che tocca ai fisici di qui, il docente non riusciva a determinare quale permutazione ne coniugasse una in un'altra. E non parlo del fatto che non sapeva comporle: lui proprio ignorava l'esistenza di un risultato che permetta di determinarla, e pretendeva che gli studenti andassero per tentativi trovando una permutazione che, diciamo, coniughi $(12)(679)$ in $(34)(519)$.. e' ridicolo. Sotto ogni punto di vista.
3) Fin dall'inizio della mia vita di studente, ho sempre pensato che la sola attenuante di non fare i morti che farebbe un medico pressapochista non dovrebbe giustificare nessuno ad un apprendimento approssimativo: si chiama onesta' intellettuale. Fare e comunicare Matematica (cosa che anche i non-matematici spesso fanno, per passione o per obbligo) passa per rispettare delle norme igieniche fondamentali, la prima delle quali e' l'attinenza scrupolosa ad alcune regole sintattiche elementari (ma purtroppo molto poco diffuse nella “cultura” comune dei suddetti non-matematici; se volessimo indagare le cause dello spaventoso analfabetismo matematico delle persone, si potrebbero cercare a colpo sicuro nella totale e impunita assenza di rigore con cui i concetti vengono presentati, anche quando l'eta' e la vocazione lo permettono: l'intuizione e' un passo fondamentale -e lo ripeto, fondamentale, fondamentale- ma, semplicemente, non e' ammissibile che ancora si confonda il concetto di semplicita' con il concetto di brevita'. Continuare a farlo continuera' a creare schiere di persone convinte di saper maneggiare artisticamente gli strumenti che le sono stati impartiti, laddove l'unica cosa che sanno fare e' fidarsi di chi quei modelli li maneggia sul serio, e l'unica cosa che hanno fatto -purtroppo- e' stata spendere anni di vita a vedersi inculcata una fenomenologia a-metodica.).
Il punto e': in una Scienza olistica come la nostra, la forma e' veicolo della sostanza, e la sua univocita' strumento dell'ermeneutica, in modo che le due parti del discorso non possano essere scisse senza sacrificare il senso stesso delle parole, lasciandolo naufragare verso i reami della Filosofia spicciola.
Quello che intendevo con le mie parole e' allora questo: Se il tempo e' poco (ed e' pochissimo!), a piu' vale comunicare l'idea di fondo, ma (e questa differenza e' marginale, nel senso che traccia il confine tra un lavoro ben fatto e uno mal fatto) senza confondere questo con la formazione vera e propria, cui lo studente deve poi sopperire da solo. Dare poche idee generali (e corrette, ovvio!), e le coordinate per lavorare in autonomia, una volta finita la festa: e' tanto complicato? Eppure nessuno e' in grado di farlo, o -a questo punto il dubbio mi sorge spontaneo- non vuole farlo. Come mai? mi chiedo io.
4) Nessun fisico sa di preciso cos'e' un tensore (ed e' un'opinione che sono pronto a difendere fino all'ultimo grado di giudizio, se necessario: nessun fisico sa di preciso cos'e' un tensore). La filosofia di fondo che ho visto sposare nei corridoi del dipartimento di Fisica di qui e' "chi se ne importa, in fondo, di cos'e', sappiamo (forse) come si usa, e tanto basta."
Bene: questo assunto, che potrei a questo livello solo non condividere sul mero piano filosofico, risulta poi anche operativamente inefficiente, sulla base di verifiche sperimentali; prendete un campione a caso, vedrete che chi sa cosa sta facendo, sa anche come utilizzare quello che fa (per il semplice motivo che la pertinenza teorica riempie gia' meta' di quella operativa), e viceversa chi non sa cosa tocca procede alla cieca, pastrugna sul foglio simboli senza senso andando a orecchio, come l'impreparato interrogato a sorpresa, ragiona per debole analogia, e continua imperterrito a fare cose che non sa spiegare (e' scuserete la poesia della constatazione, ma la piu' grande sconfitta per uno scienziato e' non capire quel che fa. Nessuno stupore che poi la Matematica venga vista, da grandi e piccoli, come la sospetta opera di alchimia di un negromante!). Ora, io ho provato in vari contesti a spiegare cos'e' davvero un tensore ad amici e colleghi, li' nelle suddette aule, o nelle mie, mostrando che tutta quella congerie di definizioni al limite del religioso sono l'emanazione di un'unica idea, complessa ma riconducibile a poche idee elementari, e dopo il necessario yoga tutte le istanze locali del concetto di tensore si possono recuperare immutate, e anzi arricchite da un preziosissimo aspetto astratto e generale (il piu' divertente dei quali: dalla definizione corretta di tensore si derivano con poca fatica i diagrammi di Feynman). Ora, credi sia stato esecrato e cacciato dalla stanza come un pedante piazzista? Credi che abbia dovuto sopportare facce annoiate e legare la gente alla sedia per costringerla ad ascoltarmi? O credi piuttosto che, nella speranza di capire finalmente qualcosa che persino gli insegnanti sembrano ignorare e trattare come un fatto di fede, sia stato invitato a prolungare e ripetere se necessario l'esibizione davanti ad altri?
Ora, il punto e': si trattano gli studenti come dei somari, scherzando sul fatto che la Matematica e' un "male necessario" cui qualche esame (clinico o universitario) potra' porre rimedio, e dopo ci sara' solo da divertirsi a collegare fili a una macchineta. Si tende a scordare pero' che nessuno studente e' pigro nel senso colpevole del termine, quanto piuttosto perche' e' stato sobillato da questa filosofia cosi' fiacca e indolente.
Tutti, nessuno escluso, provano piacere nell'imparare quel che non sanno. Il problema e' che si continua, si continua, si continua imperterriti, da un lato a pensare che dare delle basi solide ai propri studenti non sia compito nostro, o peggio non sia compito di nessuno, e dall'altro a pensare che determinare le leggi fisse con cui il cosmo emerge dal caos (niente di meno si prefigge la Fisica) viene confuso con l'abilita' di collegare fili a una macchinetta, spendendo un numero vergognoso di ore nei laboratori prima di avere le sufficienti basi per parlare dei sistemi che osserviamo. Lo trovo assurdo nella stessa misura in cui troverei poco plausibile che un brasiliano riesca a orientarsi e a comunicare, laddove venisse catapultato nel giro di qualche ora in un sobborgo di Novgorod.
Come va a finire? Che le colpe dei padri ricadono sui nipoti: quando qualcuno chiedera' a un ex-studente cosa diavolo e' quel bizzarro mostro disegnato alla lavagna armato di corna, pedici e indici, si continuera' con quel mantra ottocentesco per cui “un tensore e' un oggetto (?) che trasforma (?) secondo queste regole”. Ci vogliamo una buona volta evolvere da questa visione, che e' addirittura pre-hilbertiana, morta e sepolta, della Matematica? Senza tema di esagerare la Matematica moderna e', fin nelle piu' recondite budella, stata riscritta secondo i canoni strutturalisti: non e' importante la natura degli enti in studio, ma le leggi che governano le relazioni mutue tra gli enti, che possono essere trattati come indefiniti, in un senso leibniziano, senza perdere nulla del contenuto informativo precedente, e anzi arricchendolo di maggiore potenza espressiva e generalita'. Si decide, certo, che tutto quello che non puo' essere espresso secondo canoni strutturalisti non deve essere preso in considerazione (qualcuno, ad oggi, si preoccupa ancora di strutture che non sono una categoria?), ma ci si accorge anche che restano fuori delle teorie talmente malcerte, isolate e marginali che non vale la pena preoccuparsi di quel che non riusciamo a toccare.
Qualche parola in libertà.
Mi riservo di chiarire qualche punto quando sarò meno incasinato.
Contesto vivamente la frase in grassetto.
Spiegare qualcosa in termini comprensibili non è facile, affatto.
Non so con chi hai a che fare di solito... Hai mai provato a spiegare ciò che studi alla gente per strada?
Per difendere il proprio spazio di pubblicazione, vorrai dire...
Sinceramente, mi interessa davvero poco questa roba e non posso dare un'opinione circostanziata.
Tuttavia mi pare di capire che, da un po' di tempo (cioè da quando la mole di dati prodotti da un esperimento non è più gestibile serenamente da un pool di scienziati), i Fisici si stanno rivolgendo a Matematici che trattano di cose astrattissime semplicemente perchè non ci capiscono più un cavolo dei dati in loro possesso.
E, per contrappasso, le teorie astratte sfornate dai Matematici non forniscono (o quasi) idee per verificare le loro previsioni.
Insomma, mi pare tanto una situazione di stallo in cui ognuno può proporre ciò che vuole... E c'è chi ci sguazza.
Sull'importanza del rigore non ci piove.
Tuttavia ci sono concetti di base che sono più chiari se espressi mediante un esempio, che per mezzo di un teorema lungo millemila pagine (mi viene sempre in mente un celeberrimo capitolo del Geometric Measure Theory di Federer, in cui c'è il teorema con l'enunciato più lungo che mi è mai capitato di trovare).
Il rigore è confinato nell'ambito accademico e serve solamente a delimitare un territorio per i propri "discendenti".
Quando si vuole parlare di Matematica con altri, il rigore serve quanto il due di briscola.
Mi riservo di chiarire qualche punto quando sarò meno incasinato.
"killing_buddha":
Trovo che non ci sia terra franca piu' fertile della linea di confine tra le nostre due discipline, per arricchire entrambi di idee profonde, in qualita' cosi' come in quantita' (che sono poi le due direzioni in cui la Scienza si dipana: profondita' e ampiezza). Sono fermamente convinto che il blocco intellettuale che spesso ci impedisce di comunicare si possa (e si debba, anzi, e' dovere di qualunque studioso onesto farlo) abbattere: ma questo ha il prezzo (alto per alcuni?) della precisione, dell'attinenza a un metodo. E' sufficiente cosi' poca fatica a esprimersi chiaramente, in modo privo di ambiguita', anche senza ricordare Wittgenstein, o senza sposarne le idee (“tutto cio' che puo' essere detto, puo' essere detto in modo chiaro: di quel che resta non vale la pena provare a parlare”), che mi sembra sempre incredibile che qualcuno si rifiuti di farlo!
Contesto vivamente la frase in grassetto.
Spiegare qualcosa in termini comprensibili non è facile, affatto.
Non so con chi hai a che fare di solito... Hai mai provato a spiegare ciò che studi alla gente per strada?
"killing_buddha":
Invece usualmente accade tutto il contrario, ed ambo le parti si arroccano su delle assurde dimostrazioni di hybris solo per difendere lo status quo della loro disciplina.
Per difendere il proprio spazio di pubblicazione, vorrai dire...
"killing_buddha":
Ci siamo accorti pero' che da tempo l'andazzo fuori dall'Italia e' tutt'altro che questo? Ci siamo accorti che il tempo potra' solo aumentare il rigore che sara' ineliminabilmente necessario a leggere un libro di Fisica Matematica serio? Gli ultimi vent'anni di ricerca mostrano che questo cammino e' ineluttabile, perche' il mondo scientifico si sta accorgendo che l'unico modo di dare ossigeno allo stato di stagnazione in cui versa la ricerca di nuovi modelli fisici e' impostare un programma di ampio respiro e di matrice strutturalista (i.e. inarrivabilmente piu' astratto): personalmente penso a Paul Aspinwall, Sheldon Katz, tutto il lavoro di John Baez sulla “categorificazione” della Meccanica Quantistica, la geometria non-commutativa di Alain Connes, il bizzarro lavoro di Matilde Marcolli, quello del fisico italiano Tomasiello (tanto per citarne uno), il lavoro di Bridgeland, M. Douglas, Kontsevich e il lavoro della scuola di Zurigo (Cattaneo in testa), il lavoro di Paugam sulla QFT da un punto di vista n-categoriale che ho linkato a maurer, l'uso della teoria dei topoi in Loop Quantum Gravity da parte di Isham e Lee Smolin (Isham nel suo libro “Differential Geometry for Physicists” accenna con grazia alla definizione di fascio e di topos, tanto per farvi capire quanto e' vicino alla pratica di molti studenti un pezzo cosi' profondo di Matematica contemporanea), l'uso costante e quotidiano di tecniche che vengono da teoria dell'omotopia, topologia algebrica, geometria algebrica -con sconfinamenti addirittura nel regno della geometria p-adica!- anche nei piu' reconditi meandri della ricerca disperata di nuovi modelli matematici per capire il comportamento del mondo...
Sinceramente, mi interessa davvero poco questa roba e non posso dare un'opinione circostanziata.
Tuttavia mi pare di capire che, da un po' di tempo (cioè da quando la mole di dati prodotti da un esperimento non è più gestibile serenamente da un pool di scienziati), i Fisici si stanno rivolgendo a Matematici che trattano di cose astrattissime semplicemente perchè non ci capiscono più un cavolo dei dati in loro possesso.
E, per contrappasso, le teorie astratte sfornate dai Matematici non forniscono (o quasi) idee per verificare le loro previsioni.
Insomma, mi pare tanto una situazione di stallo in cui ognuno può proporre ciò che vuole... E c'è chi ci sguazza.
"killing_buddha":
Mi ritrovo particolarmente nelle parole di Urs Schreiber (l'autore di un libro intitolato “Mathematical Foundations of Quantum Field- and Perturbative String Theory“):
Sull'importanza del rigore non ci piove.
Tuttavia ci sono concetti di base che sono più chiari se espressi mediante un esempio, che per mezzo di un teorema lungo millemila pagine (mi viene sempre in mente un celeberrimo capitolo del Geometric Measure Theory di Federer, in cui c'è il teorema con l'enunciato più lungo che mi è mai capitato di trovare).
Il rigore è confinato nell'ambito accademico e serve solamente a delimitare un territorio per i propri "discendenti".
Quando si vuole parlare di Matematica con altri, il rigore serve quanto il due di briscola.
Tutti interventi molto interessanti e anche impegnativi. Vi chiedo scusa se mi allontano dalla discussione per un po', ho purtroppo dei tempi molto stretti con l'università (come al solito) e intervenire qui richiede del lavoro.
"maurer":
Lo dici a me?! Credo di odiare i conti come poche cose (forse giusto la fisica ed il lato pratico della meccanica razionale, quello in cui si vedono quegli oggetti terribili chiamati pendoli, riescono a rivaleggiare con i conti). E anch'io voglio avere il maggior numero di armi possibili per attaccare e sconfiggere i problemi.
No, non mi riferivo a te, ma alla dispensa che dovrei studiare invece di stare qui a scrivere sul forum..
Maurer mi perdonera' per la noia che lo cogliera' nel rileggere qualcosa che ho gia' scritto, e che lui conosce, ma io parto da queste considerazioni:
Trovo che non ci sia terra franca piu' fertile della linea di confine tra le nostre due discipline, per arricchire entrambi di idee profonde, in qualita' cosi' come in quantita' (che sono poi le due direzioni in cui la Scienza si dipana: profondita' e ampiezza). Sono fermamente convinto che il blocco intellettuale che spesso ci impedisce di comunicare si possa (e si debba, anzi, e' dovere di qualunque studioso onesto farlo) abbattere: ma questo ha il prezzo (alto per alcuni?) della precisione, dell'attinenza a un metodo. E' sufficiente cosi' poca fatica a esprimersi chiaramente, in modo privo di ambiguita', anche senza ricordare Wittgenstein, o senza sposarne le idee (“tutto cio' che puo' essere detto, puo' essere detto in modo chiaro: di quel che resta non vale la pena provare a parlare”), che mi sembra sempre incredibile che qualcuno si rifiuti di farlo!
Invece usualmente accade tutto il contrario, ed ambo le parti si arroccano su delle assurde dimostrazioni di hybris solo per difendere lo status quo della loro disciplina. Ci siamo accorti pero' che da tempo l'andazzo fuori dall'Italia e' tutt'altro che questo? Ci siamo accorti che il tempo potra' solo aumentare il rigore che sara' ineliminabilmente necessario a leggere un libro di Fisica Matematica serio? Gli ultimi vent'anni di ricerca mostrano che questo cammino e' ineluttabile, perche' il mondo scientifico si sta accorgendo che l'unico modo di dare ossigeno allo stato di stagnazione in cui versa la ricerca di nuovi modelli fisici e' impostare un programma di ampio respiro e di matrice strutturalista (i.e. inarrivabilmente piu' astratto): personalmente penso a Paul Aspinwall, Sheldon Katz, tutto il lavoro di John Baez sulla “categorificazione” della Meccanica Quantistica, la geometria non-commutativa di Alain Connes, il bizzarro lavoro di Matilde Marcolli, quello del fisico italiano Tomasiello (tanto per citarne uno), il lavoro di Bridgeland, M. Douglas, Kontsevich e il lavoro della scuola di Zurigo (Cattaneo in testa), il lavoro di Paugam sulla QFT da un punto di vista n-categoriale che ho linkato a maurer, l'uso della teoria dei topoi in Loop Quantum Gravity da parte di Isham e Lee Smolin (Isham nel suo libro “Differential Geometry for Physicists” accenna con grazia alla definizione di fascio e di topos, tanto per farvi capire quanto e' vicino alla pratica di molti studenti un pezzo cosi' profondo di Matematica contemporanea), l'uso costante e quotidiano di tecniche che vengono da teoria dell'omotopia, topologia algebrica, geometria algebrica -con sconfinamenti addirittura nel regno della geometria p-adica!- anche nei piu' reconditi meandri della ricerca disperata di nuovi modelli matematici per capire il comportamento del mondo...
Mi ritrovo particolarmente nelle parole di Urs Schreiber (l'autore di un libro intitolato “Mathematical Foundations of Quantum Field- and Perturbative String Theory“):
Trovo che non ci sia terra franca piu' fertile della linea di confine tra le nostre due discipline, per arricchire entrambi di idee profonde, in qualita' cosi' come in quantita' (che sono poi le due direzioni in cui la Scienza si dipana: profondita' e ampiezza). Sono fermamente convinto che il blocco intellettuale che spesso ci impedisce di comunicare si possa (e si debba, anzi, e' dovere di qualunque studioso onesto farlo) abbattere: ma questo ha il prezzo (alto per alcuni?) della precisione, dell'attinenza a un metodo. E' sufficiente cosi' poca fatica a esprimersi chiaramente, in modo privo di ambiguita', anche senza ricordare Wittgenstein, o senza sposarne le idee (“tutto cio' che puo' essere detto, puo' essere detto in modo chiaro: di quel che resta non vale la pena provare a parlare”), che mi sembra sempre incredibile che qualcuno si rifiuti di farlo!
Invece usualmente accade tutto il contrario, ed ambo le parti si arroccano su delle assurde dimostrazioni di hybris solo per difendere lo status quo della loro disciplina. Ci siamo accorti pero' che da tempo l'andazzo fuori dall'Italia e' tutt'altro che questo? Ci siamo accorti che il tempo potra' solo aumentare il rigore che sara' ineliminabilmente necessario a leggere un libro di Fisica Matematica serio? Gli ultimi vent'anni di ricerca mostrano che questo cammino e' ineluttabile, perche' il mondo scientifico si sta accorgendo che l'unico modo di dare ossigeno allo stato di stagnazione in cui versa la ricerca di nuovi modelli fisici e' impostare un programma di ampio respiro e di matrice strutturalista (i.e. inarrivabilmente piu' astratto): personalmente penso a Paul Aspinwall, Sheldon Katz, tutto il lavoro di John Baez sulla “categorificazione” della Meccanica Quantistica, la geometria non-commutativa di Alain Connes, il bizzarro lavoro di Matilde Marcolli, quello del fisico italiano Tomasiello (tanto per citarne uno), il lavoro di Bridgeland, M. Douglas, Kontsevich e il lavoro della scuola di Zurigo (Cattaneo in testa), il lavoro di Paugam sulla QFT da un punto di vista n-categoriale che ho linkato a maurer, l'uso della teoria dei topoi in Loop Quantum Gravity da parte di Isham e Lee Smolin (Isham nel suo libro “Differential Geometry for Physicists” accenna con grazia alla definizione di fascio e di topos, tanto per farvi capire quanto e' vicino alla pratica di molti studenti un pezzo cosi' profondo di Matematica contemporanea), l'uso costante e quotidiano di tecniche che vengono da teoria dell'omotopia, topologia algebrica, geometria algebrica -con sconfinamenti addirittura nel regno della geometria p-adica!- anche nei piu' reconditi meandri della ricerca disperata di nuovi modelli matematici per capire il comportamento del mondo...
Mi ritrovo particolarmente nelle parole di Urs Schreiber (l'autore di un libro intitolato “Mathematical Foundations of Quantum Field- and Perturbative String Theory“):
Rigor is clarity of concepts and precision of arguments. Therefore in the end there is no question that we want rigor.
To get there we need freedom for speculation, first, but for good speculation we need...
...solid ground, which is the only ground that serves as a good jumping-off point for further speculation.[/list:u:38mzr15o]
in the words of our review, which is all about this issue.
Sometimes physicists behave is if rigor is all about replacing an obvious but non-precise argument with a tedious and boring proof. But more often than not rigor is about identifying the precise and clear definitions such that the obvious argument becomes also undoubtly correct. There are many historical examples.
For instance the simple notion of differential forms and exterior derivatives. It's not a big deal in the end, but when they were introduced into physics they not only provided rigor for a multitude of vague arguments about infinitesimal variation and extended quantity. Maybe more importantly, they clarified structure. Maxwell still filled two pages with the equations of electromagnetism at a time when even the concepts of linear algebra were an arcane mystery. Today we say just [tex]d*dA=j_{el}[/tex] and see much further, for instance derive the charge quantization law rigorously with child's ease. The clear and precise concept is what does this for us.
And while probaby engineers could (and maybe do?) work using Maxwell's original concepts, the theoreticians would have been stuck. One can't see the subtleties of self-dual higher gauge theory, for instance, without the rigorous concept of de Rham theory.
There are many more examples like this. Here is another one: rational CFT was "fully understood" and declared solved at a non-rigorous level for a long time. When the rigorous FRS-classification of full rational CFT was established, it not onyl turned out that some of the supposed rational CFT construction in the literature did not actually exist, while other existed that had been missed, more importantly was: suddenly it was very clear why and which of these examples exist. Based on the solid ground of this new rigor, it is now much easier to base new non-rigorous arguments that go much further than one could do before. For instance about the behaviour of rational CFT in holography.
Rigor is about clarity and precision, which is needed for seeing further. As Ellis Cooper just said elsewhere:
Rigor cleans the window through which intuition shines.[/list:u:38mzr15o]
"apatriarca":
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace?
Uhm... non ho spiegato molto bene il mio punto di vista. Quello che volevo dire è: consideriamo quel prefascio; toh, guarda! [tex]\mathbb Z[/tex] ha due generatori, quindi posso fare il ragionamento che ho fatto e posso chiedermi cosa succede quando ho una sezione globale. E poi: oh! ma questo coincide con la nozione di orientabilità che si dava una volta, solo che è più generale ed astratta! Fantastico! Ho deciso: d'ora in poi quando mi diranno orientabilità, sarà questa la prima cosa che mi farò venire in mente, riservandomi di usare le altre come seconda scelta qualora si rivelassero più utili.
"apatriarca":
Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Questo, non l'ho mai detto. Anzi, mi sembra di essere stato piuttosto chiaro sul fatto che ne apprezzo anche altre, prima fra tutte quella con le n-forme. Ho semplicemente detto, che per me l'idea fisica di orientazione e di "regola della mano destra", non ha senso: cioè, non ha senso nella mia mente. Se riuscite a farmi capire che diavolo significa, sarò felice di cambiare idea! A quanto mi sembra di capire, per voi è una cosa intuitiva quanto il fatto che il pongo possa essere deformato. Beh, per me è intuitiva l'idea di deformazione, è intuitiva l'idea di fascio, ma non è intuitiva la regola della mano destra!
Quindi, non potendo partire da questo concetto, in quanto non intuitiva per me, ho cercato una spiegazione comprensibile dal mio cervello. E quella con i fasci è la migliore che ho trovato.
"apatriarca":
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo.
Concordo. E strumenti tecnici quali fasci, categorie, fibrati, forme differenziali in quanto sezioni di un fibrato, meritano di essere concetti intuitivi. La Matematica avanza, gli studenti devono accelerare e correre in gioventù, se vogliono arrivare in tempo utile alla soglia della ricerca! Potessi decidere, farei imparare a mio figlio il lemma di Yoneda e il linguaggio dei fasci prima di iniziare a camminare ed a parlare.
"apatriarca":
Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone.
Dal canto mio, credo di aver capito cosa intendi. E la penso come te: ogni concetto matematico ha almeno un modo di essere visto; per ogni problema, esiste un modo di vedere gli oggetti coinvolti che banalizzano il problema stesso. Di questo sono fermamente convinto. E, per questo motivo, preferisco (in genere) di gran lunga una dimostrazione di due righe che si appoggia a 100 pagine di teoria che non una dimostrazione di cinque pagine auto-contenuta (ad esempio: dimostrazione di Erdos vs dimostrazione di Hadamard del teorema dei numeri primi).
"apatriarca":
Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.
Lo dici a me?! Credo di odiare i conti come poche cose (forse giusto la fisica ed il lato pratico della meccanica razionale, quello in cui si vedono quegli oggetti terribili chiamati pendoli, riescono a rivaleggiare con i conti). E anch'io voglio avere il maggior numero di armi possibili per attaccare e sconfiggere i problemi. Ma certe frecce non posso proprio usarle, perché vanno contro la mia etica. Non mi si può chiedere di usare l'idea di infinitesimo dei fisici, non mi si può chiedere di integrare come fanno loro. E' vero: sono metodi che funzionano; ma sono vigliacchi e non hanno validità ai miei occhi.
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