Fisica e matematica: approcci a confronto
Trasferisco qui l'inizio di un cosiddetto "off-topic" (cf. qui) perché se ne possa parlare più liberamente.
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
Infine:
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".
Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
Non lo nego.
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Nel seguito quoterò gli interventi significativi che hanno innescato la discussione.
"maurer":Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Ok, ho improvvisamente capito l'origine del mio problema:
[quote="apatriarca"]L'idea intuitiva e volendo "fisica" di orientazione ha preceduto questa definizione e ne ha guidato le scelte. Tutto il resto è venuto dopo, non prima.
"apartriarca":Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.[/quote]
Sinceramente credo che l'intuizione dietro ai diversi concetti e la loro storia siano importanti pere comprendere a pieno tali concetti e per apprezzare gli strumenti di indagine più moderni ed astratti.
"dissonance":
@maurer: Sono al 100% in disaccordo con te. Questo tuo modo di vedere la matematica è secondo me deleterio. Nel mio piccolo sono invece perfettamente d'accordo con Arnol'd:
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
Non si può snobbare la fisica così. Ragionando come te non ci si sarebbe dovuti occupare neanche di relatività generale, o di meccanica quantistica, perché matematicamente mal poste (agli inizi del secolo scorso era così). Per fortuna i matematici dell'epoca non hanno ragionato a tal modo, e nello sforzo di sistematizzare queste cose si sono sviluppate per bene anche teorie strettamente matematiche. E' un interplay che giova a tutti e due.
"maurer":Questa è una stupidaggine. Se è vero, la colpa è interamente del docente. Ma non perché non ha mosso dalla realtà; semplicemente perché non ha mostrato, dopo o durante un'opportuna trattazione teorica, cosa l'operazione fosse.
Premetto che non voglio accendere una polemica troppo grossa. Tuttavia, ho letto per intero il link che hai postato e ritengo di avere il diritto di sentirmi offeso da certe parole di Arnol'd.
[quote="Arnol'd"]
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
"Arnol'd":Di nuovo: è chiaro che non si può andare avanti a teorie. Ma non si può nemmeno andare avanti ad esempi. Il meglio è una sintesi tra le due cose, con una leggera tendenza verso la teoria.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t3 - 3t, y = t4 - 2t2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
"Arnol'd":
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
Ecco, qui mi sento davvero offeso. Vorrei chiarire una cosa, a scapito di equivoci: io ho ben presente questo possibile significato del determinante. Ho seguito, oppure ho percorso in seguito - adesso non ricordo più - la strada indicata da lui. E, a posteriori, non ritengo che porti ad una semplificazione notevole. Per me non è stato così. Piuttosto, ho sempre avuto una difficoltà incredibile a ricordare il teorema di cambiamento di variabile. Fino a quando non ho scoperto una cosa che si chiama "pull-back di forme differenziali": a quel punto tutto è andato magicamente a posto. Credo di poterlo applicare nel sonno, in questo momento.
"Arnol'd":Un gruppo è quello che è. La bellezza della matematica io la trovo nell'abstract nonsense; partire dal generale e vedere che tutto torna e tutto si adatta alla nostra prima, brillante intuizione basata su nient'altro che una parola: armonia.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
[...]
As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
Per inciso, per me un gruppo è un gruppo di trasformazioni. Anche qui, ho seguito esattamente il percorso che ha delineato Arnol'd; e mi tuffo con gioia nei "more abstract groups".
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
"Arnol'd":
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
Punto uno: ho studiato il teorema di classificazione. Punto due: ho studiato il concetto di "abstract smooth manifold". Punto tre: ho studiato il teorema di Whitney. Ora: ho iniziato lo studio delle varietà dalle sottovarietà di [tex]\mathbb R^n[/tex]; la mia forma mentis mi ha obbligato a cercare l'essenza matematica della questione (abstract manifold). Il buon senso mi ha fatto chiedere se esiste un teorema come quello di Whitney. E' vero, potrebbero non insegnarlo più a Matematica, tanto è stato dimostrato che c'è il teorema di Whitney. So che per me sarebbe andata esattamente così: avrei chiesto, mi sarei sentito rispondere "tanto c'è il teorema di Whitney" e sarei andato a perdere qualche settimana per studiarlo. La mia stessa educazione matematica mi impone di fare questo. Tendenzialmente mi attengo a due regole: i) non usare mai un teorema che non sai dimostrare; ii) se trovi un teorema che non sai dimostrare, imparane la dimostrazione.
"Arnol'd":C'è poco da fare. Posso dire di avere un'ostilità verso il metodo scientifico. Il punto è che non posso essere sicuro di avere ragione; non posso essere sicuro che quello che dico rimarrà vero non per cent'anni, ma per l'eternità. D'altra parte, è noto: dal mio punto di vista la Matematica non è una parte delle scienze naturali. E' incredibilmente più vicina alla Filosofia, o comunque ad una materia umanistica. Se non avessi potuto fare Matematica, avrei optato per Filosofia, probabilmente; se non fosse che in Filosofia, quando due persone sono in disaccordo, non è necessariamente vero che almeno una delle due ha torto.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
"Arnol'd":Potrei scrivere: la Fisica è una parte della Matematica. La Matematica non è una scienza, è un altro nome per Esattezza. La Fisica è la parte della Matematica che descrive le leggi secondo cui la realtà è costretta a comportarsi.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
Infine:
"Arnol'd":Questa citazione è decontestualizzata ed il suo significato è stravolto. Ricordiamo che Hardy andava fiero dei suoi lavori in teoria dei numeri perché erano inutili. Cito dall'Apologia di un Matematico:
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
"Hardy":Questo è quello che pensava Hardy. Non mi sembra che ci sia molto spazio per le applicazioni, nel suo pensiero!
La migliore matematica non solo è bella ma è anche seria, importante, se preferite, ma il termine è molto ambiguo, mentre seria esprime meglio quello che voglio dire. Non mi riferisco alle applicazioni "pratiche" della matematica. [...] Adesso dirò soltanto che se un problema di scacchi è "inutile", nel senso letterale del termine, allora lo è anche la maggior parte della migliore matematica; che solo una piccola parte della matematica ha un'utilità pratica e che quella piccola parte è relativamente noiosa.
"Hardy":Le idee della topologia sono belle in quanto incredibilmente naturali. La topologia (in particolare, il concetto di omotopia) potrebbe essere spiegata tranquillamente ai primi anni del liceo. Si tratta di deformare, è semplicissimo, tutti sanno cosa vuol dire, tutti hanno un'intuizione da cui partire, quindi non c'è bisogno che venga spiegata. Si può partire dall'astratto.
[...]Il matematico [rispetto al poeta] non ha altro materiale con cui lavorare, se non le idee; quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo, perché le idee si usurano meno delle parole.
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
Le idee dell'algebra omologica, della teoria delle categorie sono belle, ma per motivi profondamente diversi. A dirla tutta, non mi aspetto che un fisico medio capirà mai la bellezza dell'algebra astratta. Lui ha fretta, vuole imparare ad usarla, non si sofferma sulla sottile poesia algebrica, è un violentatore della teoria. L'algebra astratta è bella in quanto assolutamente necessaria: quando faccio Geometria - e Dio solo sa quanto adoro fare Geometria - odio dovermi fermare per colpa di qualche concetto formale che non mi è chiaro. Prendiamo il teorema di Van Kampen, ad esempio: l'essenza topologica è ridicola, è facilmente comprensibile a tutti. Eppure non è chiaro il risultato a cui si arriva. Perché? Perché di solito non si è in grado di separare la forma dal contenuto. Il teorema di Van Kampen asserisce che un certo gruppo è il pushout di un certo diagramma. Se io so cos'è un pushout, posso concentrarmi esclusivamente sull'idea topologica.
Esempi del genere se ne possono fare a migliaia: la compattificazione di Stone - Cech, ad esempio, è un altro bell'esemplare. Cosa dice la compattificazione di Stone - Cech? Bah, essenzialmente che [tex]\mathbf{Regular} \subset \mathbf{CompHaus}[/tex] è una sottocategoria riflessiva. Se conosco le aggiunzioni, so già usare la compattificazione di Stone - Cech per risolvere problemi ancora prima di sapere come si fa a costruire. E, con animo incredibilmente sereno, mi dedico ad apprendere l'idea topologica che ci sta sotto.
Condivido il fatto che separare la forma dal contenuto sia in qualche misura folle. Un algebrista che faccia algebra e basta, è davvero deforme ai miei occhi. Fortunatamente non ne conosco nessuno: tutti, sono attenti all'utilizzo dell'algebra negli altri settori della Matematica.
Questo, è il mio modo di vedere le cose. La fisica non ha posto nel mio sistema. Ritengo di avere un'intuizione sufficientemente sviluppata; quando studio, presto uguale attenzione all'idea generatrice, alla forma ed alla capacità tecnica di non essere spaventato dagli oggetti con cui mi accingo a lavorare (non ho paura di fare i conti, se necessario, ma ovviamente preferisco evitarlo). E ciò nonostante, rimane il fatto che [tex]7[/tex] è un numero primo non perché noi pensiamo così, ma perché lo è e basta. Noi siamo semplici constatatori di questa primordiale verità. La Matematica E', tutto il resto vi si adegua.
Fine dell'off-topic.
P.S. Paradossalmente, credo che al lato pratico ci accostiamo alla disciplina con lo stesso modo di fare e con gli stessi risultati finali. Semplicemente, cambia il modo di vivere la materia.
P.P.S. Non voglio dire che il mio modo è quello giusto. Semplicemente, mi sono sentito attaccato dalle parole di Arnol'd ed ho esposto le mie ragioni, che ritengo valide quanto le sue accuse. Questione di punti di vista, insomma.
P.P.P.S. Ho volutamente evitato ogni accenno alla Geometria Algebrica, taglio di Grothendieck. E' talmente tanto astratta da far venire il ribrezzo a chiunque non metta l'astrazione al centro della propria vita. Adoro questo taglio!
E non potete dirmi che le idee super-mega-astratte di stampo categoriale ed omologico di Grothendieck non abbiano portato a risultati concreti. La migliore matematica ha sempre applicazioni. Solo che le applicazioni sono da intendersi "nel resto della matematica".Edit: aggiungo quest'ultima nota, a scanso di equivoci. Prima ho scritto che l'algebra è bella in quanto necessaria a separare il contenuto dalla forma. Poi, ho detto che è folle separare il contenuto dalla forma. Non mi sono espresso nel modo più felice possibile, quindi mi spiego. Una delle capacità fondamentali di essere matematici è di saper distinguere il contenuto dalla forma; ma non per questo bisogna fare l'uno indipendentemente dall'altro: essere capaci a scomporre un succo di frutta per ricavarne i costituenti chimici (ed immaginare per un secondo di farlo mentre si beve il succo, elencando questi costituenti nella propria mente), non significa che vada fatto esplicitamente. Il succo va bevuto per intero, altrimenti non se ne afferra la bontà! E in matematica, è la stessa cosa: dato un teorema, lo scompongo prontamente nelle sue parti, dividendo la forma (l'esoscheletro algebrico) ed il contenuto (l'idea geometrica che brilla all'interno dell'esoscheletro). Dopodiché lo studio, e apprezzo il modo in cui le due parti interagiscono dando luogo ad un'opera d'arte.[/quote]
"Zilpha":
@maurer: Sei molto convincente nelle cose che hai detto... certo un pò assolutista... ma su un punto:
[quote="maurer"]
Sono consapevole che ci sono studenti che non capiscono il legame tra l'algebra lineare e la geometria. Perché si insegna algebra lineare in geometria 1? Chiaramente, questo viene fatto alla luce del programma di Klein: la geometria è lo studio di proprietà invarianti sotto l'azione di un particolare gruppo. La geometria affine è studiare lo spazio euclideo sotto l'azione del gruppo affine, quella proiettiva sotto l'azione del gruppo proiettivo ecc. Trovo buffo che ci sia chi non ha chiaro questo concetto. Ma di chi è la colpa? Non di certo del taglio troppo astratto. Se dovessi tenere io un corso simile non rinuncerei al taglio astratto, cercherei di far capire cosa significa il taglio astratto. Ma partirei comunque dall'astrazione.
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).[/quote]
"maurer":
[quote="Zilpha"]un pò assolutista...
Non lo nego.
"Zilpha":
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.[/quote]
"killing_buddha":Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
OT per OT, e' "scandaloso" che un fisico faccia queste affermazioni: la Terra e', come ogni altro ente fisico, un agglomerato di atomi, quindi non e' un corpo a geometria continua (lo spazio e' per lo piu' vuoto, e il numero di atomi in ogni porzione di esso e' finito: tanto piu' che non disponiamo di una nozione "fisica" di continua decomponibilita' dello spazio). Noi rappresentiamo la Terra come una palla perche' approssimiamo al continuo qualcosa di discreto (ma sicuramente non viviamo in un Universo che segue leggi topologiche, perche' strappare fogli e fare buchi e' possibile). Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
"apatriarca":
[quote="maurer"]Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.[/quote]
Risposte
Vorrei comunque spezzare una piccola lancia a favore dei metodi non omologici o categoriali in algebra. Non tutta l'algebra moderna si basa su questi principi (e anzi direi che la parte che si basa maggiormente su quello sia principalmente concentrata nella geometria algebrica e l'algebra commutativa). Non penso che Martino li incontri spesso per esempio (e non è che lui si occupi di algebra classica). Certo, la tua frase probabilmente risulta abbastanza vera se si esclude la teoria dei gruppi dall'algebra 
... Non sono al corrente però di quanto siano usati questi concetti nelle teorie non commutative.
I gruppi, le algebre di Lie e i Buildings risultano comunque argomenti abbastanza essenziali pur usando principalmente metodi non categoriali ed omologici. Ma forse più all'esterno dell'algebra.
... Non sono al corrente però di quanto siano usati questi concetti nelle teorie non commutative.I gruppi, le algebre di Lie e i Buildings risultano comunque argomenti abbastanza essenziali pur usando principalmente metodi non categoriali ed omologici. Ma forse più all'esterno dell'algebra.
Si', peccato che c'e' chi si ferma prima, perche' era assente quando si spiegava Hegel.
Per Leonardo89.
Sul Mandl, Shaw, Quantum field theory, e lo trovo didatticamente ottimo. In passato, a più riprese, avevo provato sul Landau, Meccanica quantistica relativistica, ma senza risultati. Mi arenavo sul primo capitolo, i fotoni ...
Ora sono a pagina 40 e sto capendo l'equazione di Klein-Gordon, o almeno così mi sembra
Per killing_buddha e tutti.
D'accordo. E' che quando si esprime un'idea, automaticamente si crea una catena dialettica di tesi, antitesi e sintesi.
Ora siamo alla fase di sintesi.
Continiuamo a appassionarci ! La passione è il vero gluone ...
Sul Mandl, Shaw, Quantum field theory, e lo trovo didatticamente ottimo. In passato, a più riprese, avevo provato sul Landau, Meccanica quantistica relativistica, ma senza risultati. Mi arenavo sul primo capitolo, i fotoni ...
Ora sono a pagina 40 e sto capendo l'equazione di Klein-Gordon, o almeno così mi sembra
Per killing_buddha e tutti.
D'accordo. E' che quando si esprime un'idea, automaticamente si crea una catena dialettica di tesi, antitesi e sintesi.
Ora siamo alla fase di sintesi.
Continiuamo a appassionarci ! La passione è il vero gluone ...
"Trovo questo circolo vizioso assolutamente sublime."
Ma anche io, nella maniera piu' assoluta! E' meraviglioso, fatico a trovare qualcosa di piu' vorace nel fagocitare le menti piu' geniali della storia del pensiero occidentale. Ed e' proprio a causa del timore reverenziale che la materia mi incute che trovo imprescindibile lavorare come faccio. Il problema e' che qua sembra che ci sia qualcuno che si risente a vedere espresse opinioni diverse dalle sue. D'altra parte siamo scienziati, non sacerdoti, e' ovvio che se abbiamo una opinione troviamo anche delle motivazioni per crederla vera o perlomeno plausibile. E' con questo spirito che ho fatto gli esempi che ho fatto, denunciando quelli che credo siano i limiti del sistema. Trovo assurdamente limitante fare solo analisi sulla base del fatto che sono un analista, solo algebra sulla base del fatto che sono un algebrista, solo logica sulla base del fatto che sono un logico: e' un punto di vista che limita la mia capacita' espressiva e che soprattutto va contro quella che e' la mia convinzione intima, che la matematica sia una disciplina olistica, e che e' la pigrizia degli individui, e non i limiti della materia, a determinare la parzialita' delle pertinenze. Non capisco cosa ci sia di limitante e incomprensibile in questa idea...
Ma anche io, nella maniera piu' assoluta! E' meraviglioso, fatico a trovare qualcosa di piu' vorace nel fagocitare le menti piu' geniali della storia del pensiero occidentale. Ed e' proprio a causa del timore reverenziale che la materia mi incute che trovo imprescindibile lavorare come faccio. Il problema e' che qua sembra che ci sia qualcuno che si risente a vedere espresse opinioni diverse dalle sue. D'altra parte siamo scienziati, non sacerdoti, e' ovvio che se abbiamo una opinione troviamo anche delle motivazioni per crederla vera o perlomeno plausibile. E' con questo spirito che ho fatto gli esempi che ho fatto, denunciando quelli che credo siano i limiti del sistema. Trovo assurdamente limitante fare solo analisi sulla base del fatto che sono un analista, solo algebra sulla base del fatto che sono un algebrista, solo logica sulla base del fatto che sono un logico: e' un punto di vista che limita la mia capacita' espressiva e che soprattutto va contro quella che e' la mia convinzione intima, che la matematica sia una disciplina olistica, e che e' la pigrizia degli individui, e non i limiti della materia, a determinare la parzialita' delle pertinenze. Non capisco cosa ci sia di limitante e incomprensibile in questa idea...
Scusa se mi intrometto Arrigo e perdona la curiosità ma da dove stai studiando la QFT?
Mi spiace, killing_buddha, con la QFT sono alle prime armi e non sono in grado di giudicare.
Sì, maurer, studiare la fisica (cioè la natura, perchè φύσις = natura) necessita della matematica. La matematica, dal canto suo, trae origine dall'osservazione della natura per poi entrare nel proprio specifico studio di regole e proprietà di enti astratti che, però, hanno origine dall'osservazione della natura, quinda dalla fisica.
Trovo questo circolo vizioso assolutamente sublime.
Sì, maurer, studiare la fisica (cioè la natura, perchè φύσις = natura) necessita della matematica. La matematica, dal canto suo, trae origine dall'osservazione della natura per poi entrare nel proprio specifico studio di regole e proprietà di enti astratti che, però, hanno origine dall'osservazione della natura, quinda dalla fisica.
Trovo questo circolo vizioso assolutamente sublime.
"apatriarca":
Sia il professore che il corso è quello (di qualche anno prima però). Visti i tuoi interessi e il tuo approccio allo studio della matematica, credo che tu abbia fatto bene a cambiare. Il corso ha infatti seguito un approccio molto classico allo studio della geometria algebrica, molto lontano da quelli che sono i tuoi ideali e non credo che ti saresti trovato bene. Non ti saprei comunque dire esattamente come ha spiegato gli schemi perché non ho seguito molto il corso. So solo che ci sono nel programma delle lezioni.
Ok. E comunque, non è per polemizzare ancora, ma un'introduzione agli schemi non può bastare: questo è, stando a quanto mi hanno detto i miei attuali docenti a Milano, il minimo sindacale per poter dire di aver iniziato a studiare la geometria algebrica (sottintendendo l'aggettivo moderna).
"apatriarca":
Per quanto riguarda algebra commutativa posso dirti che, nonostante l'approccio decisamente diverso, gli argomenti trattati nel tuo corso li avevo fatti tutti l'anno che l'avevo seguito. So però che mio fratello ha trattato meno argomenti. Ho in effetti l'impressione che con gli anni i corsi e in generale il corso di studi peggiorino invece di migliorare. In ogni caso sono in generale d'accordo che il livello dei corsi a Torino non sia molto alto, ma parte della colpa sembrerebbe anche e soprattutto dai corsi di base. Una della cose che mi aveva sconvolto quando avevo fatto il corso di algebra commutativa e che non tutti sembravano avere una decente familiarità con gli anelli. Ma come è possibile?! E ho l'impressione che ci sia in molti una certa indolenza e poco desiderio di imparare sul serio.
Oh, sì, concordo perfettamente. Quando l'ho seguito io l'anno scorso, certa gente (non io!) non sapeva l'enunciato dell'assioma della scelta. E abbiamo dovuto dimostrare che in ogni anello non nullo c'è almeno un ideale massimale (cfr. la mia firma).
Però, se da un lato c'è l'indolenza degli studenti, dall'altro c'è il problema: chi lascia che gli studenti siano indolenti? Una maggiore severità e serietà da parte dei docenti (e, solo per alcuni di cui taccio il nome, competenza e rigore *), magari, aiuterebbe ad alzare il livello complessivo...
* In particolare, per chi è di Torino e legge, non mi riferisco al docente del corso di geometria algebrica linkato in precedenza, sulla cui competenza non ho proprio un bel nulla da ridire, anzi!
"maurer":
Click. No, io non l'ho mai seguita, non ho mai completato il mio percorso di studi (quinquennale) a Torino, me ne sono andato via prima, spaventato dal programma di corsi come questo. Posso chiederti invece io, dove hai visto gli schemi? E con quale docente? Chiedo, perché ho conosciuto il docente del corso che ho linkato, e ho disapprovato in tutto e per tutto, fino all'ultima virgola, fino all'ultima dispensa consigliata il suo corso di Geometria 3. Per me, quello è il male assoluto. Serve forse che ricordi come definisce le forme differenziali in Geometria 3? O che ricordi che il teorema di Stokes è dimostrato per il cubo 3-dimensionale, invece che su una varietà qualsiasi?
E comunque ho seguito per intero questo corso (algebra commutativa), l'anno scorso (quando facevo ancora la triennale). E quest'anno ho seguito quest'altro. E sai cos'è successo il primo giorno di lezione? Sono scoppiato a ridere. Perché il primo corso di algebra commutativa della magistrale di Milano iniziava esattamente dove era finito l'unico (di cui fossi a conoscenza) della magistrale di Torino; non solo: dava per scontata una buona padronanza del linguaggio categoriale ed una notevole dimestichezza con l'uso esplicito di tensori e localizzazioni. Cose che, per inciso, avevo poi imparato per studio ed esercizio personale, non perché stimolato dal corso che ho seguito.
Sia il professore che il corso è quello (di qualche anno prima però). Visti i tuoi interessi e il tuo approccio allo studio della matematica, credo che tu abbia fatto bene a cambiare. Il corso ha infatti seguito un approccio molto classico allo studio della geometria algebrica, molto lontano da quelli che sono i tuoi ideali e non credo che ti saresti trovato bene. Non ti saprei comunque dire esattamente come ha spiegato gli schemi perché non ho seguito molto il corso. So solo che ci sono nel programma delle lezioni. Per quanto riguarda algebra commutativa posso dirti che, nonostante l'approccio decisamente diverso, gli argomenti trattati nel tuo corso li avevo fatti tutti l'anno che l'avevo seguito. So però che mio fratello ha trattato meno argomenti. Ho in effetti l'impressione che con gli anni i corsi e in generale il corso di studi peggiorino invece di migliorare. In ogni caso sono in generale d'accordo che il livello dei corsi a Torino non sia molto alto, ma parte della colpa sembrerebbe anche e soprattutto dai corsi di base. Una della cose che mi aveva sconvolto quando avevo fatto il corso di algebra commutativa e che non tutti sembravano avere una decente familiarità con gli anelli. Ma come è possibile?! E ho l'impressione che ci sia in molti una certa indolenza e poco desiderio di imparare sul serio.
Attualmente sto studiando la teoria quantistica dei campi.
Fatico a trovare una nota introduttiva piu' chiara di questa sull'argomento : mi farebbe piacere una tua opinione.
@Gugo82: potresti essere così gentile da intervenire un'ultima volta per darmi un riferimento dove verificare quello che dici riguardo a Cantor? Sul libro di Carl Boyer è spiegato? Non posso certo dirmi un esperto di storia della matematica, ma in una certa misura mi interessa e se quello che ho detto è sbagliato, sono dieci volte più interessato ad estirpare una falsa idea dalla mia testa (e sostituirla con una giusta).
@dissonance: apprezzo il consiglio, ma la mia cattiva esperienza con Fisica 2 mi dice il contrario. Cioè, per quel poco che conosco me stesso, credo che non un simile approccio non mi porterebbe molto lontano. Lo vedo anche in altri settori: ricordo che avevo faticato molto a comprendere la compattificazione di Stone-Cech la prima volta che l'ho studiata, e non mi è mai rimasta bene impressa. Tuttavia, ora che so che è equivalente a dire che [tex]\mathbf{CompHaus} \subset \mathbf{Regular}[/tex] è una sottocategoria riflessiva, ritengo di averla imparata davvero bene (e per dire questo, mi baso sul fatto che non ho paura ad usarla).
In ogni caso, se devo prendere una facciata, prenderò una facciata!
@Martino: infatti!
@anonymous_af8479: bene. Finalmente troviamo un accordo. Vorrei dire un'ultima cosa: né io, né killing_buddha vantiamo superiorità della matematica sulla fisica. Se rileggi con attenzione i post precedenti, noi ci limitiamo a constatare un dato di fatto, che è questo: per studiare la fisica, servono basi di matematica. Per fare Geometria Algebrica (io parlo di questo perché è questo il settore dove le mie conoscenze sono maggiormente concentrate), non serve conoscere la fisica:
Per il resto, mi trovi perfettamente d'accordo con te, e quello che evidenzi è senza dubbio uno dei problemi più grossi e centrali dello stato dell'insegnamento italiano.
Edit: Ecco, ho letto adesso il paragrafo del libro di Boyer sulla vita di Cantor e, sebbene non suffragi apertamente la mia idea, neppure ci ho trovato il più piccolo segno che possa indicare che siffatta idea sia sbagliata. Quindi, a maggior ragione, rinnovo la domanda: dove posso verificare quello che ha detto Gugo?
@dissonance: apprezzo il consiglio, ma la mia cattiva esperienza con Fisica 2 mi dice il contrario. Cioè, per quel poco che conosco me stesso, credo che non un simile approccio non mi porterebbe molto lontano. Lo vedo anche in altri settori: ricordo che avevo faticato molto a comprendere la compattificazione di Stone-Cech la prima volta che l'ho studiata, e non mi è mai rimasta bene impressa. Tuttavia, ora che so che è equivalente a dire che [tex]\mathbf{CompHaus} \subset \mathbf{Regular}[/tex] è una sottocategoria riflessiva, ritengo di averla imparata davvero bene (e per dire questo, mi baso sul fatto che non ho paura ad usarla).
In ogni caso, se devo prendere una facciata, prenderò una facciata!
@Martino: infatti!
@anonymous_af8479: bene. Finalmente troviamo un accordo. Vorrei dire un'ultima cosa: né io, né killing_buddha vantiamo superiorità della matematica sulla fisica. Se rileggi con attenzione i post precedenti, noi ci limitiamo a constatare un dato di fatto, che è questo: per studiare la fisica, servono basi di matematica. Per fare Geometria Algebrica (io parlo di questo perché è questo il settore dove le mie conoscenze sono maggiormente concentrate), non serve conoscere la fisica:
"killing_buddha":
La fisica ha bisogno della Matematica; benche' dimostrare di essere eclettici sia un'ottima dote per un uomo di scienza (e benche' solitamente il buono scienziato trovi l'eclettismo la conditio sine qua non per lavorare bene) il viceversa e' falso.
Alla luce di questa dipendenza (badate, non e' una accezione negativa: e' un dato di fatto, allo stesso modo neutro in cui si intende la nozione di dipendenza logica tra concetti), i Fisici dovrebbero mettere in conto di acquisire una pertinenza matematica almeno pari a quella dei matematici: altro modo di penetrare i segreti della propria materia e' una "via regia alla Geometria", quindi crea false pertinenze.
Per il resto, mi trovi perfettamente d'accordo con te, e quello che evidenzi è senza dubbio uno dei problemi più grossi e centrali dello stato dell'insegnamento italiano.
Edit: Ecco, ho letto adesso il paragrafo del libro di Boyer sulla vita di Cantor e, sebbene non suffragi apertamente la mia idea, neppure ci ho trovato il più piccolo segno che possa indicare che siffatta idea sia sbagliata. Quindi, a maggior ragione, rinnovo la domanda: dove posso verificare quello che ha detto Gugo?
Sono d'accordo con dissonance. Attualmente sto studiando la teoria quantistica dei campi. E' per me (che mi sono laureato prima dell'avvento dei quarks) difficilissima sia concettualmente che matematicamente. Prima cerco di capire i concetti fisici senza entrare troppo nei dettagli matematici e poi cerco di approfondirne il formalismo e, miracolo, ci sto capendo qialcosa ...
"dissonance":
[quote="maurer"]
Io un giorno studierò relatività ristretta e generale. L'ho promesso a me stesso. Solo, lo farò quando conoscerò a menadito ogni singola variazione di ogni singolo teorema di geometria differenziale (dimostrazione inclusa). Quindi, mi sono messo l'anima in pace ed attendo che arrivi il momento giusto.
Sbagliato! Completamente sbagliato. Pure io ho provato a procedere così e non sono arrivato da nessuna parte. Ora sto seguendo un percorso (parzialmente) inverso: prima studio le idee fisiche senza badare troppo al formalismo matematico e poi cerco di capirne la precisa formalizzazione. Questo approccio sta dando frutti. Il percorso inverso non ne ha mai dati altrettanti.[/quote]Io più che "sbagliato" direi "difficile". E se davvero è sbagliato, non trovo nessuna ragione per non credere che sia giusto
D'accordo, killing_buddha e maurer.
Secondo me, però, bisogna smettere di vantare presunte superiorità d'ambo le parti: siamo tutti sulla stessa barca.
Per quanto riguarda la qualità dell'insegnamento (a tutti i livelli) in Italia la situazione è tragica semplicemente perchè, secondo me, il sistema di arrualamento degli insegnanti è basato sulle graduatorie dove conta l'anzianità di insegnamento (è paradossale !), quanti figli ho, se ho fatto il militare o se mio nonno è invalido di guerra ed altre amenità del genere. Così era ai miei tempi e temo sia più o meno ancora così.
La vera tragedia è il reclutamento per graduatorie !
In Inghilterra (per mia esperienza personale degli anni '90), se una scuola elementare o un'università aveva bisogno di un insegnante, metteva un bell'annuncio sul giornale, con tanto di stemma della scuola e dichiarazione delle competenze richieste, nonchè con pubblicazione dello stipendio proposto. Tu telefonavi, fissavi una interview e se andavi bene, ti assumevano. Così c'era la gara ad accaparrarsi gli insegnanti migliori ...
Così dovrebbe essere anche da noi.
Secondo me, però, bisogna smettere di vantare presunte superiorità d'ambo le parti: siamo tutti sulla stessa barca.
Per quanto riguarda la qualità dell'insegnamento (a tutti i livelli) in Italia la situazione è tragica semplicemente perchè, secondo me, il sistema di arrualamento degli insegnanti è basato sulle graduatorie dove conta l'anzianità di insegnamento (è paradossale !), quanti figli ho, se ho fatto il militare o se mio nonno è invalido di guerra ed altre amenità del genere. Così era ai miei tempi e temo sia più o meno ancora così.
La vera tragedia è il reclutamento per graduatorie !
In Inghilterra (per mia esperienza personale degli anni '90), se una scuola elementare o un'università aveva bisogno di un insegnante, metteva un bell'annuncio sul giornale, con tanto di stemma della scuola e dichiarazione delle competenze richieste, nonchè con pubblicazione dello stipendio proposto. Tu telefonavi, fissavi una interview e se andavi bene, ti assumevano. Così c'era la gara ad accaparrarsi gli insegnanti migliori ...
Così dovrebbe essere anche da noi.
Scusate se intervengo in modo così lapidario, ma non ho proprio il tempo di leggere tutto... Però vorrei fare un commento.
Sbagliato! Completamente sbagliato. Pure io ho provato a procedere così e non sono arrivato da nessuna parte. Ora sto seguendo un percorso (parzialmente) inverso: prima studio le idee fisiche senza badare troppo al formalismo matematico e poi cerco di capirne la precisa formalizzazione. Questo approccio sta dando frutti. Il percorso inverso non ne ha mai dati altrettanti.
"maurer":
Io un giorno studierò relatività ristretta e generale. L'ho promesso a me stesso. Solo, lo farò quando conoscerò a menadito ogni singola variazione di ogni singolo teorema di geometria differenziale (dimostrazione inclusa). Quindi, mi sono messo l'anima in pace ed attendo che arrivi il momento giusto.
Sbagliato! Completamente sbagliato. Pure io ho provato a procedere così e non sono arrivato da nessuna parte. Ora sto seguendo un percorso (parzialmente) inverso: prima studio le idee fisiche senza badare troppo al formalismo matematico e poi cerco di capirne la precisa formalizzazione. Questo approccio sta dando frutti. Il percorso inverso non ne ha mai dati altrettanti.
"apatriarca":
[quote="maurer"]Scusa, ma tu stai dicendo forse che "siccome non possiamo avere il meglio, possiamo accontentarci del meno peggio"???! Ecco, questo è per me un atteggiamento da demonizzare.
In un certo senso era proprio quello che stavo dicendo. Il problema dei corsi di fisica è che spesso sono costretti ad usare strumenti o teoremi matematici che richiedono capacità o conoscenze maggiori di quelle di cui sono dotati gli studenti del corso. Tu stesso ne sei testimone con il tuo esame di fisica 2. Chi deve fare un corso di questo tipo è quindi costretto a scegliere se essere completamente rigoroso e quindi non dare dimostrazioni dei teoremi che non potrebbe dimostrare, o dare una dimostrazione intuitiva o di un caso particolare. Sinceramente preferisco il secondo approccio che permette comunque allo studente di avere un'idea migliore del perché quel teorema sia effettivamente valido, anche se non dispone di una dimostrazione completamente rigorosa. Più avanti nella sua carriera potrà poi, se interessato, riempire questa lacuna, ma avrà intanto acquisito una certa intuizione riguardo a quel teorema e al suo significato fisico. Per cui, a meno di spostare gli esami di fisica molto più avanti nel curriculum degli studenti, cosa che comunque ritengo dannosa per via della quantità di esempi e di intuizione che fornisce ai primi esami di analisi, credo che ci si debba accontentare. Non vedo in effetti cosa potremmo fare per cambiare questo stato e non sono neanche certo di quale potrebbe essere la soluzione migliore al problema.[/quote]
Io un giorno studierò relatività ristretta e generale. L'ho promesso a me stesso. Solo, lo farò quando conoscerò a menadito ogni singola variazione di ogni singolo teorema di geometria differenziale (dimostrazione inclusa). Quindi, mi sono messo l'anima in pace ed attendo che arrivi il momento giusto.
Comunque, a parte questo, vedo che concordi sul fatto che il metodo è, allo stato attuale, sbagliato. La domanda: "come va cambiato?" è una domanda difficile, e, a questo stadio della conversazione, è quello che secondo me si dovrebbe iniziare a dibattere. Tu hai esposto il tuo parere, ed io ti rispondo: potrei essere davvero d'accordo con te, ma il problema è che le scelte di cui parli sono assai delicate. Due considerazioni, in particolare. Entrambe sono da riferirsi a corsi di laurea diversi da quello di matematica:
1) i teoremi su cui si potrebbe fare il discorso che fai tu, sono teoremi avanzati (se contestualizzati al corso in cui sono proposti). La mia idea è che sia più importante avere una salda conoscenza fondata contemporaneamente su rigore ed intuizione in egual misura di tutto quello che sta intorno ai teoremi fulcro. E poi, bisognerebbe conoscere il teorema e le sue conseguenze, ovviamente, ma si potrebbe evitare di scendere nei dettagli tecnici della dimostrazione. Per quello ci siamo noi!
(ho in mente, in particolare, quest'esempio: la dimostrazione che [tex]\text{Ext}[/tex] e [tex]\text{Tor}[/tex] sono due [tex]\delta[/tex]-funtori (co)omologici universali è davvero piuttosto tecnica; e ciò nonostante, le proprietà dei [tex]\delta[/tex]-funtori (co)omologici universali sono irrinunciabili oramai per qualunque approccio alla topologia algebrica ed a tante altre discipline; lo so che questo è un esempio matematico, ma immagino che il rapporto topologia algebrica : algebra omologica possa essere riletto come il rapporto fisica : matematica, o, per lo meno, mi sembra una buona approssimazione).2) a chi vorresti che fosse affidata la scelta di quali teoremi "censurare" e quali no? Ad un fisico o ad un ingegnere che a sua volta ha imparato queste cose da un altro fisico o ingegnere, oppure ad un matematico che ha, per propria scelta, dedicato parte della sua vita a studiare nel dettaglio queste cose? Personalmente, io non vorrei mai che ad insegnarmi la fisica teorica fosse stata una persona come me. Piuttosto, avrei voluto un fisico teorico bravo.
"apatriarca":
Non credo che ci si debba accontentare di quello che si ha, ma credo che ognuno si debba scegliere le proprie battaglie in base a quelli che sono i propri ideali e i propri obiettivi. Ho certamente tanti interessi e ogni giorno riesco ad imparare qualcosa di nuovo, ma non ho certamente la pretesa o l'interesse di imparare tutto. Se mi interesso a qualcosa è perché mi appassiona e mi piace e non ho grossi problemi ad accettare un voto non eccezionale in un esame che non mi interessa. E credo che ci siano cose molto più importanti dello studio, soprattutto di quello universitario. Ma non è accontentarsi, è scegliere. Ho scelto di non interessarmi di quella cosa perché ci sono altre cose più importanti per me. Ognuno ha le proprie motivazioni per fare quello che fa. Noi due abbiamo certamente motivazioni e filosofie molto diverse.
Bene, la questione è chiarita, per me. Le motivazioni e le filosofie sono innegabilmente diverse; le abbiamo confrontate, e tanto mi basta.
Puntualizzo semplicemente sul fatto che per me non è importante lo studio universitario in sé, ma quanto strumento per diventare competitivo a livello di ricerca internazionale. Questo è il mio attuale e più immediato obiettivo "a lungo termine" (perché, invece, quello a breve termine è studiare le estensioni di Kan!), e mi regolo di conseguenza.
"apatriarca":
Non l'ho mai messo in dubbio. Parlavo della matematica usata come strumento nella fisica, non discutevo certamente di ricerca matematica.
Immaginavo. Ho semplicemente sentito il bisogno di puntualizzare.
"apatriarca":
Certamente non è comunque vero che la proprietà della matematica secondo cui "se due matematici non sono d'accordo, almeno uno dei due sta sbagliando" (che è comunque vera solo per risultati dimostrabili o dimostrati) derivi dalla scienza. Ci sono tantissime diatribe teoriche nelle diverse scienze che non hanno una risposta definitiva.
Anche in matematica, se è per questo. Prendi l'oidificazione del concetto di spazio vettoriale (ho citato la prima cosa che mi è venuta in mente). Ma il fatto che non ci sia soluzione attuale, non significa che tutti crediamo fermamente che un giorno si arriverà ad appianare tutte le diatribe. O, meglio, che al tendere del tempo a più infinito, ogni singola diatriba tenda a scomparire (convergenza puntuale e non assoluta!
). Mentre questo non è certamente possibile in materie tipicamente umanistiche: di interpretazioni della Divina Commedia ce ne sono a bizzeffe, ma ognuno sceglie quella che gli piace di più, non perché è inconfutabilmente la migliore, ma su basi personali."apatriarca":
Nell'università di Torino, per esempio, si insegna la Geometria Algebrica senza dire che cos'è uno schema! Ora, volete prendermi in giro? Volete davvero farmi credere che una persona possa sperare di essere competitivo a livello di ricerca internazionale nel settore della geometria algebrica ignorando quanto detto da Grothendieck e compagnia?
Ma in che anno l'hai fatta Geometria Algebrica? Io li ho fatti gli schemi.
Click. No, io non l'ho mai seguita, non ho mai completato il mio percorso di studi (quinquennale) a Torino, me ne sono andato via prima, spaventato dal programma di corsi come questo. Posso chiederti invece io, dove hai visto gli schemi? E con quale docente? Chiedo, perché ho conosciuto il docente del corso che ho linkato, e ho disapprovato in tutto e per tutto, fino all'ultima virgola, fino all'ultima dispensa consigliata il suo corso di Geometria 3. Per me, quello è il male assoluto. Serve forse che ricordi come definisce le forme differenziali in Geometria 3? O che ricordi che il teorema di Stokes è dimostrato per il cubo 3-dimensionale, invece che su una varietà qualsiasi?
E comunque ho seguito per intero questo corso (algebra commutativa), l'anno scorso (quando facevo ancora la triennale). E quest'anno ho seguito quest'altro. E sai cos'è successo il primo giorno di lezione? Sono scoppiato a ridere. Perché il primo corso di algebra commutativa della magistrale di Milano iniziava esattamente dove era finito l'unico (di cui fossi a conoscenza) della magistrale di Torino; non solo: dava per scontata una buona padronanza del linguaggio categoriale ed una notevole dimestichezza con l'uso esplicito di tensori e localizzazioni. Cose che, per inciso, avevo poi imparato per studio ed esercizio personale, non perché stimolato dal corso che ho seguito.
Intervengo un'ultima volta, giacché ho notato che finalmente una risposta è arrivata e non voglio fare torto alla gentilezza di maurer.
Non credo che Cantor volesse risolvere un problema concreto nel senso stretto del termine. Piuttosto, il suo lavoro si colloca nel pieno della crisi dei fondamenti, si accompagna ai tentativi di Frege di fondare sistematicamente l'aritmetica. Il bisogno, in questo caso, mi sembra puramente filosofico e di interesse teorico. Quindi, la mia risposta è "sì", per puro diletto.[/quote]
Sbagliato (e non avevo dubbi che avrei avuto una risposta del genere da uno che si occupa di Algebra; è già successo molte altre volte).
Ciò mi conferma come l'ignoranza della storia, e della storia della Matematica in particolare, possa generare opinioni aberranti (vedi qui e seguenti).
Bene, allora non sono l'unico ad ignorare gran parte della Matematica moderna... Ciò mi rincuora, giacché leggendo i post di killing_buddha pensavo di essere l'unico in difetto.
Ad ogni modo, continuo a ritenere che sia inutile continuare a discutere.
Quindi vi saluto cordialmente.
"maurer":
[quote="gugo82"]Oppure, perché Cantor ha inventato la teoria della cardinalità? Per puro diletto?
Non credo che Cantor volesse risolvere un problema concreto nel senso stretto del termine. Piuttosto, il suo lavoro si colloca nel pieno della crisi dei fondamenti, si accompagna ai tentativi di Frege di fondare sistematicamente l'aritmetica. Il bisogno, in questo caso, mi sembra puramente filosofico e di interesse teorico. Quindi, la mia risposta è "sì", per puro diletto.[/quote]
Sbagliato (e non avevo dubbi che avrei avuto una risposta del genere da uno che si occupa di Algebra; è già successo molte altre volte).
Ciò mi conferma come l'ignoranza della storia, e della storia della Matematica in particolare, possa generare opinioni aberranti (vedi qui e seguenti).
"maurer":
Per quanto riguarda la disuguaglianza isoperimetrica, non conosco la definizione di de Giorgi di perimetro (o non l'ho mai chiamata così), quindi non mi esprimo in proposito.
Bene, allora non sono l'unico ad ignorare gran parte della Matematica moderna... Ciò mi rincuora, giacché leggendo i post di killing_buddha pensavo di essere l'unico in difetto.
Ad ogni modo, continuo a ritenere che sia inutile continuare a discutere.
Quindi vi saluto cordialmente.
"maurer":
Scusa, ma tu stai dicendo forse che "siccome non possiamo avere il meglio, possiamo accontentarci del meno peggio"???! Ecco, questo è per me un atteggiamento da demonizzare.
In un certo senso era proprio quello che stavo dicendo. Il problema dei corsi di fisica è che spesso sono costretti ad usare strumenti o teoremi matematici che richiedono capacità o conoscenze maggiori di quelle di cui sono dotati gli studenti del corso. Tu stesso ne sei testimone con il tuo esame di fisica 2. Chi deve fare un corso di questo tipo è quindi costretto a scegliere se essere completamente rigoroso e quindi non dare dimostrazioni dei teoremi che non potrebbe dimostrare, o dare una dimostrazione intuitiva o di un caso particolare. Sinceramente preferisco il secondo approccio che permette comunque allo studente di avere un'idea migliore del perché quel teorema sia effettivamente valido, anche se non dispone di una dimostrazione completamente rigorosa. Più avanti nella sua carriera potrà poi, se interessato, riempire questa lacuna, ma avrà intanto acquisito una certa intuizione riguardo a quel teorema e al suo significato fisico. Per cui, a meno di spostare gli esami di fisica molto più avanti nel curriculum degli studenti, cosa che comunque ritengo dannosa per via della quantità di esempi e di intuizione che fornisce ai primi esami di analisi, credo che ci si debba accontentare. Non vedo in effetti cosa potremmo fare per cambiare questo stato e non sono neanche certo di quale potrebbe essere la soluzione migliore al problema.
Come il fatto di prendere un 25 ad un esame ed accettare. Io personalmente rifiuto per principio ogni voto inferiore a 30 (con un'unica eccezione, che è il mio 29 di Fisica 2; e le motivazioni sono molteplici; prima fra tutte è che se avessi dovuto ristudiarlo seriamente, mi ci sarebbero voluti 4 anni per sistemare la matematica sottostante; e non avevo interesse a ritardare la mia laurea per questo motivo, tanto più che sapevo che la matematica necessaria l'avrei studiata comunque). E' una questione di orgoglio intellettuale e trovo profondamente ed assolutamente sbagliato insegnare ad "accontentarsi di quel che si ha". L'arroganza e la sete inesauribile di conoscenza di nuove cose sono due dei tratti più caratteristici del mio profilo intellettuale. Non potrei mai accontentarmi del mio stato attuale, qualunque esso sia. Il mio maestro, da questo punto di vista, è stato il grande Faust di Goethe. La lotta contro la mediocrità, la battaglia per innalzare il livello medio, è un compito a cui tutti siamo chiamati a partecipare. Non possiamo di certo lasciare che l'umanità perseveri nei propri errori! Noi abbiamo l'obbligo morale a cambiare lo status quo delle cose, questo è un imperativo categorico nel senso kantiano. L'umanità deve trascendere se stessa, proprio come insegna Zarathustra e noi, la generazione attuale, abbiamo il compito di aiutarla in questa grande impresa (@Leonardo89: questa è la grande impresa della nostra generazione, in contrapposizione alla mia piccola impresa su questo forum).
Non credo che ci si debba accontentare di quello che si ha, ma credo che ognuno si debba scegliere le proprie battaglie in base a quelli che sono i propri ideali e i propri obiettivi. Ho certamente tanti interessi e ogni giorno riesco ad imparare qualcosa di nuovo, ma non ho certamente la pretesa o l'interesse di imparare tutto. Se mi interesso a qualcosa è perché mi appassiona e mi piace e non ho grossi problemi ad accettare un voto non eccezionale in un esame che non mi interessa. E credo che ci siano cose molto più importanti dello studio, soprattutto di quello universitario. Ma non è accontentarsi, è scegliere. Ho scelto di non interessarmi di quella cosa perché ci sono altre cose più importanti per me. Ognuno ha le proprie motivazioni per fare quello che fa. Noi due abbiamo certamente motivazioni e filosofie molto diverse.
La prima frase è vera solo dal punto di vista di chi studia fisica, ovviamente. Dal mio punto di vista la matematica è indipendente, ha solo qualche piccolo debito di riconoscenza nei confronti dell'esperienza sensibile che ha dato il primissimo input, dopodiché si è sviluppata ed auto-sostenuta.
Non l'ho mai messo in dubbio. Parlavo della matematica usata come strumento nella fisica, non discutevo certamente di ricerca matematica.
Io non percepisco la matematica come uno strumento, la studio e mi piace in quanto astratta e ci dedico del tempo per il mio diletto personale: provo un perverso piacere a vedere come costruzioni complicate si aggreghino insieme con un'eleganza incredibile dando luogo ad una vera opera d'arte.
L'ho già scritto: dal mio punto di vista la matematica è molto più vicina ad una materia umanistica che non ad una materia scientifica. Non la reputo una scienza; la colloco, in realtà, esattamente al confine tra scientifico ed umanistico. Dalla scienza prende una caratteristica particolarmente piacevole: se due matematici non sono d'accordo, almeno uno dei due sta sbagliando. Dalla sfera umanistica prende la meraviglia della libertà di creazione: non siamo vincolati a descrivere un mondo, non siamo obbligati a dover fare qualcosa per un rendiconto; possiamo dimenticarci di tutto e provare il piacere di dire una cosa e poterne sostenere la validità su basi puramente estetiche.
Qui siamo abbastanza d'accordo. Anche se preferisco la semplicità alle "costruzioni complicate". A me piace la capacità di alcune costruzioni di rendere semplice qualcosa di complicato. Credo che la matematica non sia una scienza in quanto non condivide con le scienze il loro metodo di indagine. Ma qui sarebbe necessario dare una definizione di scienza e credo che sarebbe fuori tema. Certamente non è comunque vero che la proprietà della matematica secondo cui "se due matematici non sono d'accordo, almeno uno dei due sta sbagliando" (che è comunque vera solo per risultati dimostrabili o dimostrati) derivi dalla scienza. Ci sono tantissime diatribe teoriche nelle diverse scienze che non hanno una risposta definitiva.
Nell'università di Torino, per esempio, si insegna la Geometria Algebrica senza dire che cos'è uno schema! Ora, volete prendermi in giro? Volete davvero farmi credere che una persona possa sperare di essere competitivo a livello di ricerca internazionale nel settore della geometria algebrica ignorando quanto detto da Grothendieck e compagnia?
Ma in che anno l'hai fatta Geometria Algebrica? Io li ho fatti gli schemi.
Anzi, di più, nella ricerca avanzata su cosa siano spazio, tempo e materia (teorie delle stringhe/brane, gravitazione a loops, cosmologia, modello standard ecc.), oggi non si riesce più a distinguere fra fisica e matematica. Siamo in un periodo storico alla ... Newton ... Un fisico deve essere anche un matematico nel senso più profondo del termine e viceversa.
E secondo te cosa intendo quando dico
"Trovo che non ci sia terra franca piu' fertile della linea di confine tra le nostre due discipline, per arricchire entrambi di idee profonde, in qualita' cosi' come in quantita' (che sono poi le due direzioni in cui la Scienza si dipana: profondita' e ampiezza). Sono fermamente convinto che il blocco intellettuale che spesso ci impedisce di comunicare si possa (e si debba, anzi, e' dovere di qualunque studioso onesto farlo) abbattere"
@anonymous_af8479: Oh, sì e su questo siamo tutti d'accordo. Il problema è che l'educazione attuale non ci permette di raggiungere quel livello se non a nostre ingenti spese intellettuali, quando, invece, basterebbe un piccolo sforzo per semplificare la vita di tutti quegli studenti che vogliono prendere parte a questo importante momento storico.
E il problema, per inciso, non riguarda solo il rapporto fisica-matematica. Nell'università di Torino, per esempio, si insegna la Geometria Algebrica senza dire che cos'è uno schema! Ora, volete prendermi in giro? Volete davvero farmi credere che una persona possa sperare di essere competitivo a livello di ricerca internazionale nel settore della geometria algebrica ignorando quanto detto da Grothendieck e compagnia?
Comunque, in particolare:
Mi trovi d'accordo. Questo è quello che il momento storico attuale esige. E noi chiediamo: è davvero quello che l'università ci insegna ad essere? E' davvero quello che la nostra società produce? La risposta, sinceramente, mi sembra che sia no.
E il problema, per inciso, non riguarda solo il rapporto fisica-matematica. Nell'università di Torino, per esempio, si insegna la Geometria Algebrica senza dire che cos'è uno schema! Ora, volete prendermi in giro? Volete davvero farmi credere che una persona possa sperare di essere competitivo a livello di ricerca internazionale nel settore della geometria algebrica ignorando quanto detto da Grothendieck e compagnia?
Comunque, in particolare:
"anonymous_af8479":
Trovo, in definitiva, che la questione "fisica contro matematica o viceversa" sia un argomento superato dalla Storia. Oggi, fisici e matematici, in tutto il mondo collaborano, ognuno portando le proprie specificità, per cercare di capire l'Universo (al cui interno ci metto anche la mente umana) ed imitarne leggi e fenomeni a nostro vantaggio.
Mi trovi d'accordo. Questo è quello che il momento storico attuale esige. E noi chiediamo: è davvero quello che l'università ci insegna ad essere? E' davvero quello che la nostra società produce? La risposta, sinceramente, mi sembra che sia no.
Per killing_buddha.
Tu dici ... "deve adeguarsi a) ad essere educato da fisici che non sanno la matematica" ...
Beh, io direi che l'affermazione è invertibile. Comunque, se si aspetta di avere insegnati perfetti si rimane analfabeti.
Trovo, in definitiva, che la questione "fisica contro matematica o viceversa" sia un argomento superato dalla Storia. Oggi, fisici e matematici, in tutto il mondo collaborano, ognuno portando le proprie specificità, per cercare di capire l'Universo (al cui interno ci metto anche la mente umana) ed imitarne leggi e fenomeni a nostro vantaggio.
Anzi, di più, nella ricerca avanzata su cosa siano spazio, tempo e materia (teorie delle stringhe/brane, gravitazione a loops, cosmologia, modello standard ecc.), oggi non si riesce più a distinguere fra fisica e matematica. Siamo in un periodo storico alla ... Newton ... Un fisico deve essere anche un matematico nel senso più profondo del termine e viceversa.
Tu dici ... "deve adeguarsi a) ad essere educato da fisici che non sanno la matematica" ...
Beh, io direi che l'affermazione è invertibile. Comunque, se si aspetta di avere insegnati perfetti si rimane analfabeti.
Trovo, in definitiva, che la questione "fisica contro matematica o viceversa" sia un argomento superato dalla Storia. Oggi, fisici e matematici, in tutto il mondo collaborano, ognuno portando le proprie specificità, per cercare di capire l'Universo (al cui interno ci metto anche la mente umana) ed imitarne leggi e fenomeni a nostro vantaggio.
Anzi, di più, nella ricerca avanzata su cosa siano spazio, tempo e materia (teorie delle stringhe/brane, gravitazione a loops, cosmologia, modello standard ecc.), oggi non si riesce più a distinguere fra fisica e matematica. Siamo in un periodo storico alla ... Newton ... Un fisico deve essere anche un matematico nel senso più profondo del termine e viceversa.
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