Come Formalizzare una Dimostrazione?
Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Risposte
"mklplo":
@Delirium:dato che $|m-n|$ è strettamente minore di qualsiasi intero positivo,significa che $m-n=0$ che implica $m=n$.Giusto?
Mmm, quello che dici è falso (errore evidenziato in rosso) - \(\epsilon \) è un numero reale (forse avrei dovuto specificarlo). Inoltre non usi il fatto che \( |m-n| \ge 0 \) per ogni \(n,m\) (anche se probabilmente lo sottointendi). Sono quisquilie, ma si inizia da queste cose, non dalla compattezza in spazi topologici.
Prova a supporre per assurdo \( m \ne n\); cosa succede?
@Delirium:dato che $|m-n|$ è strettamente minore di qualsiasi intero positivo,significa che $m-n=0$ che implica $m=n$.Giusto?
@axpgn:comunque,penso di essere riuscito a dimostrare quella proprietà delle equazioni.
@axpgn:comunque,penso di essere riuscito a dimostrare quella proprietà delle equazioni.
"mklplo":
[...] @Delirium:grazie per avermi consigliato il libro,gli darò dopo un'occhiata.E al terzo anno non si studiano i limiti,bensì al 5°(per sapere,basta applicare la definizione di limite,giusto?) [...]
No, prova a risolverlo (i limiti non servono)
@Indrjo Dedej:Grazie,proverò a leggere anche questo libro,ma,in poche parole cos'è la congettura di Goldback?
edit:ho fatto una ricerca,a quanto pare è una congettura abbastanza famosa;inoltre il teorema che il professore mi chiese di dimostrare è una formulazione precedente,della suddetta congettura;che poi fu modificata da Euler,nella forma che si usa oggi.Ciò mi fa capire che per più di due mesi cercai una dimostrazione che era ed è ben oltre le mie possibilità.
edit:ho fatto una ricerca,a quanto pare è una congettura abbastanza famosa;inoltre il teorema che il professore mi chiese di dimostrare è una formulazione precedente,della suddetta congettura;che poi fu modificata da Euler,nella forma che si usa oggi.Ciò mi fa capire che per più di due mesi cercai una dimostrazione che era ed è ben oltre le mie possibilità.
Sì, in breve sì.
Mah, lì per lì secondo me stava per chiederti di provare la congettura di Goldbach. Hahaha. Ma avrà pensato di andarci "piano" tanto per cominciare. Hahaha. Letto "Zio Petros e la congettura di Goldbach"? Se non l'hai fatto è un libro carino che ti può fornire uno spaccato del Novecento.
Mah, lì per lì secondo me stava per chiederti di provare la congettura di Goldbach. Hahaha. Ma avrà pensato di andarci "piano" tanto per cominciare. Hahaha. Letto "Zio Petros e la congettura di Goldbach"? Se non l'hai fatto è un libro carino che ti può fornire uno spaccato del Novecento.
@Indrjo Dedej:per ricapitolare,i punti sono:
1)Provare a dimostrare anche cose banali,che si fanno al liceo.
2)Provare a fare gli esercizi delle olimpiadi di matematica.
giusto?
1)Provare a dimostrare anche cose banali,che si fanno al liceo.
2)Provare a fare gli esercizi delle olimpiadi di matematica.
giusto?
@mklplo, incomincia da questi spunti che ti sono stati da poco forniti, numeri primi a parte. Il mondo dei numeri primi è affascinante e molto ricco, probabilmente - anzi sicuramente - noi ne abbiamo afferrato una piccola, ma molto piccola parte...
Sinceramente non lo so.
@otta96:perchè,che conoscenze richiederebbe la dimostrazione?
Nel senso che si usa sempre di banale.
@otta96:in che senso non è banale?
@Indrjo Dedej:è veramente qualcosa di così complicato,quel teorema sui numeri primi?
@Indrjo Dedej:è veramente qualcosa di così complicato,quel teorema sui numeri primi?
Sembra,che abbiamo scritto quasi in contemporanea,infatti il post precedente è riferito al post di Bremen000,in cui è presente il link delle olimpiadi.
@Indrjo Dedej:forse la "mia"matematica,gira intorno l'analisi,perchè è l'unica cosa che fin ad ora ho studiato,a parte un po' di algebra.Penso che seguirò il tuo consiglio e proverò a dimostrare anche cose banali.
@Delirium:grazie per avermi consigliato il libro,gli darò dopo un'occhiata.E al terzo anno non si studiano i limiti,bensì al 5°(per sapere,basta applicare la definizione di limite,giusto?)
@axpgn:non mi uccidere,se pensavo che quella proprietà delle equazioni fosse un'assioma;proverò a dimostrarlo appena ho finito di mangiare.
Comunque vi ringrazio,per le vostre risposte.
@Indrjo Dedej:forse la "mia"matematica,gira intorno l'analisi,perchè è l'unica cosa che fin ad ora ho studiato,a parte un po' di algebra.Penso che seguirò il tuo consiglio e proverò a dimostrare anche cose banali.
@Delirium:grazie per avermi consigliato il libro,gli darò dopo un'occhiata.E al terzo anno non si studiano i limiti,bensì al 5°(per sapere,basta applicare la definizione di limite,giusto?)
@axpgn:non mi uccidere,se pensavo che quella proprietà delle equazioni fosse un'assioma;proverò a dimostrarlo appena ho finito di mangiare.
Comunque vi ringrazio,per le vostre risposte.
Ricordati: quando ci sono i numeri primi in mezzo, non c'è nulla di facile. Me lo confermate?
"mklplo":
forse per molti di voi la dimostrazione è banale
O forse no...
@Bremen000:per quanto riguarda le olimpiadi,ho deciso di non partecipare per alcuni problemi tecnici;poi,per quanto riguarda
le dimostrazioni,è vero che c'è ne sono sempre,ma molte di esse sono semplici.
Anche se ci fu un teorema che il mio professore,mi chiese di dimostrare e ancora oggi non so come fare(il teorema non c'entra col nostro programma didattico)
il teorema afferma:"Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi."
Io pensavo che fosse qualcosa di semplice,ma mi sono subito ricreduto(forse per molti di voi la dimostrazione è banale,ma per me no).
le dimostrazioni,è vero che c'è ne sono sempre,ma molte di esse sono semplici.
Anche se ci fu un teorema che il mio professore,mi chiese di dimostrare e ancora oggi non so come fare(il teorema non c'entra col nostro programma didattico)
il teorema afferma:"Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi."
Io pensavo che fosse qualcosa di semplice,ma mi sono subito ricreduto(forse per molti di voi la dimostrazione è banale,ma per me no).
È proprio lì che lo aspetto .. ... la forma, voglio vedere la forma ...
... la forma, voglio vedere la forma ...
Le cose banali ma non così tanto che intendevo... 
"mklplo":
@axpgn:dato che al momento,stiamo studiando le funzioni,è inutile dire che al terzo liceo,non c'è quasi niente da dimostrare.Poi le poche dimostrazioni necessarie,sono semplici.
Really? Stai dicendo sul serio?
Per esempio prova a dimostrare perché due equazioni sono equivalenti se aggiungo o tolgo qualcosa ad entrambi i membri ...
"Bremen000":
[...] Ci sono problemi anche molto difficili e stimolanti ma che non necessitano di preparazione pregressa! E ci sono anche le dimostrazioni che non sono per nulla banali!
Questo e' un buon consiglio. C'e' questo libro di Polya e Szegö che contiene una marea di esercizi "elementari" ma tutt'altro che banali.
"mklplo":
@axpgn:dato che al momento,stiamo studiando le funzioni,è inutile dire che al terzo liceo,non c'è quasi niente da dimostrare.Poi le poche dimostrazioni necessarie,sono semplici.
Avete gia' fatto i limiti? Riusciresti a dimostrare che se \(n, m \in \mathbb{R}\) e \(|n-m| < \epsilon \) per ogni \(\epsilon > 0\), allora \(n=m\)?
Non è per tarparti le ali, mklplo. Fidati che ci guadagnerai un sacco. So hai una grandissima voglia di imparare e, certo, queste cosa su cui ti sei soffermato in questa discussione è meravigliosa e affascinante.
Mmm
Mi sembra che la tua matematica giri attorno a analisi. Sai padroneggiare i connettivi e i quantificatori? Ti ricordo che in questa questione i connettivi e i quantificatori ci sono e come, anche se non si vedono.
Ti sbagli. Sulle funzioni c'è da dire e come. Possono essere semplici le cose da dimostrare e semplici le dimostrazioni, ma il tuo rigore - la "formalizzazione" che tu intendi - può guadagnarci enormemente. Te lo assicuro.
Come ho detto all'inizio, sembra che ti andiamo contro, ma lo facciamo per farti crescere matematicamente.
Poi fai come ti pare.
Mmm
Mi sembra che la tua matematica giri attorno a analisi. Sai padroneggiare i connettivi e i quantificatori? Ti ricordo che in questa questione i connettivi e i quantificatori ci sono e come, anche se non si vedono.Ti sbagli. Sulle funzioni c'è da dire e come. Possono essere semplici le cose da dimostrare e semplici le dimostrazioni, ma il tuo rigore - la "formalizzazione" che tu intendi - può guadagnarci enormemente. Te lo assicuro.
Come ho detto all'inizio, sembra che ti andiamo contro, ma lo facciamo per farti crescere matematicamente.
Poi fai come ti pare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo