Come Formalizzare una Dimostrazione?
Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Risposte
"mklplo":
@Bremen000:Per quanto riguarda le gare,la prof mi ha già chiesto di partecipare al premio Morelli,però si terrà fra qualche ,mese.Invece per quello che hai detto circa il fatto che
"Ci sono problemi anche molto difficili e stimolanti ma che non necessitano di preparazione pregressa!E ci sono anche le dimostrazioni che non sono per nulla banali!"
a cosa ti riferivi precisamente?
Mi riferivo alle olimpiadi di matematica, in particolare alla fase di febbraio; alcuni esercizi (quelli finali) sono dimostrazioni e sono tutt'altro che banali. Ma anche le gare a squadre hanno problemi molto stimolanti secondo me e soprattutto non c'è teoria difficile dietro.
Per esempio guarda: http://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gare-distrettuali/
"mklplo":
al momento,stiamo studiando le funzioni,è inutile dire che al terzo liceo,non c'è quasi niente da dimostrare.
Mah ad esempio sfruttando la definizione di funzione come particolare relazione puoi dimostrare cose tipo
$f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) = f^{-1}(A \cup B)$ e affini...per dire che qualcosa da dimostrare c'è sempre.
@axpgn:dato che al momento,stiamo studiando le funzioni,è inutile dire che al terzo liceo,non c'è quasi niente da dimostrare.Poi le poche dimostrazioni necessarie,sono semplici.
@Indrjo Dedej:per quanto riguarda la logica,so solo quei pochi accenni che si fanno ad analisi 1.
@Indrjo Dedej:per quanto riguarda la logica,so solo quei pochi accenni che si fanno ad analisi 1.
@mklplo
Sintetizzando quanto detto qui sopra: sei in grado di dimostrare in modo formalmente perfetto tutto quanto hai studiato finora al Liceo? Se sì, puoi andare oltre, altrimenti ha poco senso ...
Cordialmente, Alex
Sintetizzando quanto detto qui sopra: sei in grado di dimostrare in modo formalmente perfetto tutto quanto hai studiato finora al Liceo? Se sì, puoi andare oltre, altrimenti ha poco senso ...
Cordialmente, Alex
"mklplo":
@axpgn:quali dovrebbero essere il "livello" delle cose che dovrei provare a dimostrare?
Non sono @axpgn, ma tento di risponderti. @axpgn mi perdonerà. Sei in terza liceo, giusto? La matematica delle superiori è pur sempre matematica, anche se somministrata in pillole. Non vedi assiomi e teoremi - forse ce n'è qualcuno -, ma le definizioni ci sono. Geometria euclidea aparte, ovviamente
. Bene come esercizietto da fare puoi dotare tu la teoria che ti viene esposta nel tuo libro con l'ossatura tipica in matematica che riscontri nella matematica universitaria. Sarà molto difficile , ma molto costruttivo e sicuramente ti aiuterà in quello che cerchi. La matematica delle superiori è noiosa per il motivo che non sembra affatto quella universitaria, come dici tu. Fidati che riconsidererai quello che sai facendo alle superiori. Ti sembreranno cose banali quello che stai facendo ora alle superiori, ma alla fine in matematica niente è banale 
. Perciò, te l'ho detto altre volte, prendi la geometria euclidea e studiala.Altra domanda: come sei messo con la logica?
come libro ho usato il Pagani-Salsa.
Che libro di analisi 1 hai usato?
Grazie,per la risposta,ma in che modo le nozioni di compattezza su $RR$ e le successioni sono collegate;perché nel libro di analisi 1 che ho usato,l'unica definizione di compatto era legata alle famiglie di aperti e ai ricoprimenti.
Quel teorema di analisi 1 non si dimostra per ricoprimenti ma per successioni, ed e' una dimostrazione molto piu' semplice e basilare che non puoi ignorare. Ripeto: se non padroneggi alla perfezione gli argomenti dell'analisi 1 non ha alcun senso andare a impelagarsi con la topologia generale...
Ho modificato il mio post precedente,e lo ripeto,mi sono rifatto solo al teorema per funzioni $f:[a,b]->RR$.
Infatti nella dimostrazione,$X$ è un sottoinsieme compatto di $RR$.
Infatti nella dimostrazione,$X$ è un sottoinsieme compatto di $RR$.
No, volevi dimostrare che una funzione continua manda compatti in compatti, fatto ben noto negli spazi topologici. Ma la mia impressione e' che tu non sappia dimostrare questo fatto neanche per funzioni $f:[a,b]\to\mathbb R$. Se e' vero non ha alcun senso che tu vada cosi' avanti con delle lacune cosi' serie...
Scusate,volete dirmi,che senza che io me ne accorgessi ho provato(fallendo)a dimostrare una generalizzazione del teorema di partenza?
In realtà la mia dimostrazione era mirata solo al teorema per la funzioni a una variabile reale,non era mia intenzione dimostrare il caso generale.Per sapere,considerando,quello che ho fatto come dimostrazione solo del caso specifico,non generale,dov'è che ho sbagliato?
@axpgn:quali dovrebbero essere il "livello" delle cose che dovrei provare a dimostrare?
@Bremen000:Per quanto riguarda le gare,la prof mi ha già chiesto di partecipare al premio Morelli,però si terrà fra qualche ,mese.Invece per quello che hai detto circa il fatto che
"Ci sono problemi anche molto difficili e stimolanti ma che non necessitano di preparazione pregressa!E ci sono anche le dimostrazioni che non sono per nulla banali!"
a cosa ti riferivi precisamente?
Comunque,grazie a tutti per il fatto che mi avete risposto nuovamente.
In realtà la mia dimostrazione era mirata solo al teorema per la funzioni a una variabile reale,non era mia intenzione dimostrare il caso generale.Per sapere,considerando,quello che ho fatto come dimostrazione solo del caso specifico,non generale,dov'è che ho sbagliato?
@axpgn:quali dovrebbero essere il "livello" delle cose che dovrei provare a dimostrare?
@Bremen000:Per quanto riguarda le gare,la prof mi ha già chiesto di partecipare al premio Morelli,però si terrà fra qualche ,mese.Invece per quello che hai detto circa il fatto che
"Ci sono problemi anche molto difficili e stimolanti ma che non necessitano di preparazione pregressa!E ci sono anche le dimostrazioni che non sono per nulla banali!"
a cosa ti riferivi precisamente?
Comunque,grazie a tutti per il fatto che mi avete risposto nuovamente.
Concordo e aggiungo: non ha nessun senso vedere questo teorema nella sua versione piu' generale negli spazi topologici quando non lo sai dimostrare nel caso di una funzione $f:[a,b]\to\mathbb R$. Io ti consiglierei fortemente di imparare prima di tutto questo caso in cui capisci bene cosa stai facendo e la topologia resta giustamente un po' nascosta. Se non sai padroneggiare per bene le situazioni di base piu' semplici non puoi imbarcarti in situazioni piu' generali.
Ma non è questione di scocciarsi...è che non si sa da dove partire; quello che scrivi (mi riferisco a questo post) fa capire che non hai capito. Non hai capito cosa è uno spazio topologico (parli di compattezza e spazi generali ma in realtà conosci solo $RR$ dove la compattezza è più facile) e non hai capito come si fa una dimostrazione (fai nel mezzo dei tuoi ragionamenti assunzioni ulteriori rispetto alle ipotesi, il che non ha senso). Il punto è che tutto ciò è più che normale vista la tua età, io personalmente non avrei capito un accidente di queste cose a 15 anni. Per esempio potresti darti alle gare di matematica! Ci sono problemi anche molto difficili e stimolanti ma che non necessitano di preparazione pregressa! E ci sono anche le dimostrazioni che non sono per nulla banali!
Io aggiungerei questo: imparare a fare dimostrazioni è una buonissima iniziativa, quindi fai benissimo a farlo; il problema sta nel fatto che inizi dalla fine cioè con dimostrazioni di cose "difficili" (quantomeno per la tua situazione attuale) mentre comincia col dimostrare quello che conosci per vedere se ti riesce bene e magari trovare qualche dimostrazione alternativa.
@Bremen000
Anche se me lo dicono in molti,proprio,il rinunciare a provare a studiare la matematica universitaria,non è una cosa che mi riesce.Quindi,anche se con molti sforzi,preferirei imparare a dimostrare i teoremi e capirli;ma capisco anche che ormai alcuni si siano scocciati di rispondere alle mie domande(anche perché mi ci molto vuole del tempo per capire alcuni concetti)
Anche se me lo dicono in molti,proprio,il rinunciare a provare a studiare la matematica universitaria,non è una cosa che mi riesce.Quindi,anche se con molti sforzi,preferirei imparare a dimostrare i teoremi e capirli;ma capisco anche che ormai alcuni si siano scocciati di rispondere alle mie domande(anche perché mi ci molto vuole del tempo per capire alcuni concetti)
@mklplo: so che te lo hanno già detto in molti, siccome sinceramente apprezzo il tuo impegno e ci siamo incrociati in qualche discussione mi sento di consigliarti nuovamente di fare un passo indietro prima di tuffarti in tali questioni; ne avrai tutto il tempo.
Ho provato a fare qualcosa,ma non sono sicuro che vada bene,ecco cosa ho provato:
1)Assumiamo che $f(X)$ sia compatto,e che \( f^{-1}:f(X)\rightarrow X \) sia continua e biiettiva.
2)Poi prendo una famiglia di aperti,che indico con $B$,che è un ricoprimento di $f(X)$
3)Poi so che $f^-1$ di un insieme aperto,mi restituisce un aperto;così facendo è possibile creare un'altra famiglia di aperti,che indico con $A$,che è un ricoprimento di $X$.Da qui segue che $X$ è compatto
4)Infine,per un teorema,so che la funzione inversa di $f^-1$,cioè $f$, è una funzione continua.
Dato che,partendo da ciò che voglio dimostrare,sono arrivato alle ipotesi senza contraddizioni(ammesso e non concesso che non abbia fatto errori),allora il teorema è dimostrato.
1)Assumiamo che $f(X)$ sia compatto,e che \( f^{-1}:f(X)\rightarrow X \) sia continua e biiettiva.
2)Poi prendo una famiglia di aperti,che indico con $B$,che è un ricoprimento di $f(X)$
3)Poi so che $f^-1$ di un insieme aperto,mi restituisce un aperto;così facendo è possibile creare un'altra famiglia di aperti,che indico con $A$,che è un ricoprimento di $X$.Da qui segue che $X$ è compatto
4)Infine,per un teorema,so che la funzione inversa di $f^-1$,cioè $f$, è una funzione continua.
Dato che,partendo da ciò che voglio dimostrare,sono arrivato alle ipotesi senza contraddizioni(ammesso e non concesso che non abbia fatto errori),allora il teorema è dimostrato.
Grazie nuovamente,riproverò a fare la dimostrazione e poi la riporterò
Il problema e' che per rendere rigoroso quello che hai scritto e' necessario passare attraverso le successioni, perlomeno e' la strada piu' tipica a livello di analisi 1. Se non le conosci te le devi studiare se vuoi imparare a formalizzare una dimostrazione come questa.
@Luca.Lussardi
Grazie,ma il punto non è come dimostrare quel teorema(tralasciando che con le successioni non saprei minimamente come fare a dimostrare che dall'immagine posso estrarre una sotto-successione finita),ma come imparare a formalizzare un ragionamento,che riesco a esprimere(con qualche difficoltà) solo a parole(come nell'esempio di prima).
Grazie,ma il punto non è come dimostrare quel teorema(tralasciando che con le successioni non saprei minimamente come fare a dimostrare che dall'immagine posso estrarre una sotto-successione finita),ma come imparare a formalizzare un ragionamento,che riesco a esprimere(con qualche difficoltà) solo a parole(come nell'esempio di prima).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo