Come Formalizzare una Dimostrazione?

[mklplo751]

Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?

[mklplo751]

Ho provato a ragionarci un attimo e ho fatto così:
1) \( \exists \omega \not \in \mathbb{R}:\omega >n,\forall n \in \mathbb{N} \)
2) \( 0=a_{\omega} 3) \( x \leq 0 \)
Spero che la dimostrazione vada bene,usando solo i concetti di intorno e di limite,non ci riesco.

[mklplo751]

@vict85:ci proverò.

[vict85]

Ripensandoci quell'aspetto è abbastanza immediato:

\(\displaystyle 0 = \lim_{i\to\infty} \{ a_i\} = \limsup_{i\to\infty} a_i = \inf_n\bigl\{ \sup_{i\ge n} \{a_i\} \bigr\} = \inf \{ a_n\}\) dove l'ultimo passaggio è motivato dal fatto che la successione decrescente e quindi il primo elemento della sottosuccessione è sempre maggiore di ogni altro.

Devo ammettere però che ho usato un approccio più comune nei corsi di analisi superiore che in quelli della triennale. Quindi ti potrebbe essere utile provare a dimostrarlo usando gli intorni e la definizione di limite.

[mklplo751]

@vict85:quindi andava bene dal punto di vista formale?
E invece per quel che riguarda l'altro esercizio che hai postato,per dimostrare che $i n f {a_i}=0$,si può usare la nozione di limite insieme alle condizioni di monotonia e decrescenza.Giusto?

[vict85]

Secondo me l'approccio proposto da mklplo era assolutamente valido e anche più sintetico.

Insomma se \(\displaystyle x < \varepsilon\) per ogni \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \), allora è per definizione un minorante dell'insieme \(\displaystyle \epsilon\in\mathbb{R}^+ \). Siccome l'estremo inferiore è il più grande tra tutti i minoranti di un insieme, allora si ha banalmente \(\displaystyle x\le \inf\ \mathbb{R}^+ = 0 \). Insomma una semplicemente dimostrazione nella teoria degli insiemi totalmente ordinati.

Tra l'altro vorrei far notare che nella pratica non si usa il fatto che \(\displaystyle x < \varepsilon\) per ogni \(\displaystyle \varepsilon\in\mathbb{R}^+ \) ma che esiste una qualche successione decrescente \(\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}\) a valori in \(\mathbb{R}^+\) monotona decrescente e tale che \(\displaystyle a_i\to 0 \). Questo caso richiede molta più attenzione. Infatti il fatto che \(\inf \{ a_i \} = 0\) va dimostrato.

[mklplo751]

@Indrjo Dedej:Cosa intendi precisamente,per "giustificare l'intuizione"?

[Indrjo Dedej]

Mmm... ok, forse risulta difficile da capire ciò che ho fatto. Modifico il post con la dimostrazione. Guarda se va bene.

[axpgn]

... mmmm ... non sono d'accordo ... è chiaramente una sottigliezza però dato l'argomento della discussione penso che conti ... quello che voglio dire è che la condizione in ipotesi è $x<=epsilon$ mentre tu scrivi $x<=x/2$ ... ora, son d'accordo che si arrivi facilmente ad associare $epsilon$ con $x/2$ però questa associazione non la deve fare chi legge (la dimostrazione) ma chi la scrive ... non sembra anche a te?

Cordialmente, Alex

[Indrjo Dedej]

Non mi pare di aver sottointeso nulla di importante. Infatti penso che dovrebbe essere sufficiente una cosa del tipo:

Se per ogni numero reale positivo vale ..., allora vale sicuramente per $x/2$, che è un numero reale positivo

O no? Magari non mi so esprimere.

[axpgn]

Non ho detto che hai sbagliato ma siccome l'argomento in discussione è proprio sul "come" allora sottintendere qualcosa in una dimostrazione non mi pare una buona cosa, non ti pare? IMHO

[Indrjo Dedej]

Sì, è proprio il mio.

Ma alla fine non c'è nulla di sbagliato. Non ho detto "Prendo $varepsilon=...$", ma ho detto "Se per ogni numero reale positivo vale ..., allora vale sicuramente per $x/2$, che è un numero reale positivo".
Scusami, sarà l'orario...

[axpgn]

@Indrjo Dedei
Potevi sceglierlo meno complicato ... ... o è proprio il tuo?

Io qui

"Indrjo Dedej":... allora a maggior ragione $ x \leq x/2 $, il che però è chiaramente falso.

farei così "... allora, prendendo $epsilon=x/2$, si avrà $ x \leq x/2 $, il che però è chiaramente falso. ..."

Isn't it?

Cordialmente, Alex

[Indrjo Dedej]

Ma il nome me lo scrivete sempre male...
Cosa manca?

[axpgn]

@Indrio
Per me manca un "pezzettino" nella tua dimostrazione ...

[Indrjo Dedej]

Allora, ti metto la dimostrazione qui sotto che è molto semplice. Per certi versi è come quella di @Delirium. Il punto di arrivo è lo stesso. Ho cercato di essere chiaro pur di allungare una dimostrazione di due righe massimo.

Se per ogni $\varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0$ si ha che $x \leq \varepsilon$, allora $x \leq 0$.

Agiamo per assurdo. Supponiamo che sia $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 : x \leq \varepsilon$ e che per assurdo $x>0$, la negazione di $x \leq 0$. In tal caso da $x>0$ segue che $x/2>0$. Ma se $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 : x \leq \varepsilon$, allora a maggior ragione, preso $\varepsilon=x/2$, si ha $x \leq x/2$, il che però è chiaramente falso. La negazione che abbiamo fatto porta a contraddizioni e quindi il teorema che volevamo dimostrare deve essere necessariamente vero.

Poi se vogliamo mettiamo $x=|m-n|$ ed abbiamo quello che @Delirium ti ha proposto. @Delirium ha proceduto in una maniera "diretta". Io invece ho scelto un risultato intermedio più semplice per arrivare al risultato di @Delirium. Attenzione a ciascun passo, ai quantificatori!

In merito al tuo post potrebbe anche andare bene, ma devi giustificare quello che dici. Tu hai espresso un'intuizione. Se non la motivi è un'intuizione e basta e in matematica non vale!

[mklplo751]

@Indrjo Dedej:Allora,in pratica si tratta di dimostrare che $x<\epsilon \forall epsilon \in (0,+oo)$,il che vuol dire che $x<= i n f (0,+oo)$,che si traduce in $x<=0$.Giusto?
@vict85:onestamente,ho capito meglio la tua dimostrazione per il caso generale,che quella del libro per il caso specifico.

[vict85]

Da quel che ho potuto osservare da uno sguardo rapido sul Pagani-Salsa, la versione unidimensionale del teorema in questione è dimostrato senza usare la definizione di compatto, ma usando solo concetti base di analisi 1. È sostanzialmente un corollario dei vari teoremi sulle funzioni continue su un intervallo. Lo si fa anche nei licei scientifici (per lo meno fino a 10 anni fa ).

Detto questo non concordo con Luca sulla maggiore immediatezza del teorema unidimensionale. La dimostrazione del teorema generico è piuttosto banale e rapida:

Teorema Siano \(X\) e \(Y\) due spazi topologici, \(C\subseteq X\) un insieme compatto, e \(f\colon X\to Y\) una funzione continua. L'immagine \(f(C)\) di \(C\) tramite \(f\) è compatta in \(Y\).

Dimostrazione: Sia \(\{ U_{i} \}\) un ricoprimento di \(f(C)\) composto da aperti di \(\displaystyle Y \). Per la continuità di \(\displaystyle f \), gli insiemi \(\displaystyle f^{-1}U_i \) sono aperti in \(\displaystyle X \). Per la compattezza, esiste un sottoricoprimento aperto \(\displaystyle \{ f^{-1}U_j \} \) di \(C\). Siccome \(\cup_j \{ f^{-1}U_j \} \supseteq C \), si ha che \(\cup_j U_j \supseteq f(C)\). \(\Box\)

Per semplicità ho eliminato il riferimento alle due topologie, e non mi sono messo a far riferimento agli insieme degli indici.

Come si può vedere la dimostrazione è molto semplice, d’altra parte la dimostrazione del teorema unidimensionale è molto più espressiva. Anche perché un insieme compatto in \(\mathbb{R}^n\) ha proprietà più forti dell'essere semplicemente compatto.

[Indrjo Dedej]

Si può pure cominciare col dimostrare che se per ogni $varepsilon>0$ si ha $x

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[Sk_Anonymous]

"mklplo":beh,se \( m\neq n \) ,esisterà un numero reale positivo minore di $|m-n|$,che renderà falsa l'affermazione.

Giusto, ma ancora non sei completamente formale. Se \( m \ne n\), allora esiste \( \mathbb{R} \ni \bar{\epsilon} > 0 \) tale che \( \bar{\epsilon} = |m-n|\); per ipotesi \(|m-n| < \epsilon\) per ogni \(\epsilon >0\). Prendi \(\epsilon = \bar{\epsilon}/2\). Contraddizione.

[mklplo751]

beh,se \( m\neq n \) ,esisterà un numero reale positivo minore di $|m-n|$,che renderà falsa l'affermazione.