Come Formalizzare una Dimostrazione?
Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Risposte
Grazie della risposta.Quindi gli ordinali e i cardinali,mi conviene non usarli nelle dimostrazioni.Giusto?
"mklplo":
Proprio per il fatto che l'infinito non è un numero che prima avevo usato $omega$,che indica il più piccolo numero ordinale transfinito.Inoltre ho scelto di usare un numero che non appartiene ad $NN$,ma più grande di qualsiasi altro numero naturale,proprio per evidenziare il fatto,che il minimo non esiste,e che il suo $i n f$ sia uguale a $0$.Ora non so se sia o meno corretto,usare i numeri ordinali in questa dimostrazione,ma nel caso non lo sia,mi piacerebbe sapere anche il perché(per cercare di evitare errori futuri).
@Indrjo Dedej:grazie per il link,farò qualche ricerca in merito.
Non mescolare cose. Una successione non è altro che una funzione \(a\colon \mathbb{N}\to X\). Al fine di estenderlo ad ordinarli superiori devi avere un modo per farlo. I limiti sono ciò che si usa generalmente a questo scopo, e potrebbero non esistere. Detto questo è raro incontrare ordinali e cardinali al di fuori di corsi di logica.
Io gli ho detto un sacco di volte che la geometria euclidea serve... 
@josquino:questo penso che sia più qualcosa di soggettivo.
"mklplo":
.Inoltre già trovo difficoltà con dimostrazioni che usano l'analisi e l'algebra,figuriamoci la geometria euclidea..
A me sembra il contrario. Non sono più difficili le serie, le successioni, gli insiemi rispetto ai triangoli, alle parallele, ecc..?
@josquino:grazie anche a te per la risposta;ma onestamente,con la geometria eucliedea,non vado per niente d'accordo.Inoltre già trovo difficoltà con dimostrazioni che usano l'analisi e l'algebra,figuriamoci la geometria euclidea.Comunque,penso che il consiglio potrà essere utile a qualcun altro che in futuro leggerà la discussione.
Volendo rispondere alla domanda del Topic dico che anche io mi sono posto il problema di come imparare a fare dimostrazioni in modo rigoroso, in quanto è da poco che ho cominciato a studiare fisica e matematica ( e non ho 15 anni ma una decina in più).
Mi sono subito messo a fare la geometria euclidea. Cercavo un libro in italiano in cui ci fosse la teoria il più completa possibile. Alla fine ho trovato un libro vecchissimo (elementi di geometria di Amaldi, Enriques) in una edizione abbastanza recente. Lo sto trovando utilissimo in quanto ha una impostazione rigorosa come cercavo in cui tutto è costruito dalle definizioni e dai postulati e ci sono tantissimi esercizi ,quasi tutti dimostrazioni. Quindi io consiglierei la geometria euclidea con un testo simile, soprattutto se si è uno studente del liceo. Per fare un esempio si trovano centinaia di esercizi di questo tipo:
"dimostrare che se due lati di un triangolo sono diseguali, la bisettrice uscente dal loro vertice comune divide il lato opposto in parti diseguali ed è maggiore quella adiacente al lato maggiore."
Secondo me sono cose semplici ma su cui ci si fa le ossa.
Mi sono subito messo a fare la geometria euclidea. Cercavo un libro in italiano in cui ci fosse la teoria il più completa possibile. Alla fine ho trovato un libro vecchissimo (elementi di geometria di Amaldi, Enriques) in una edizione abbastanza recente. Lo sto trovando utilissimo in quanto ha una impostazione rigorosa come cercavo in cui tutto è costruito dalle definizioni e dai postulati e ci sono tantissimi esercizi ,quasi tutti dimostrazioni. Quindi io consiglierei la geometria euclidea con un testo simile, soprattutto se si è uno studente del liceo. Per fare un esempio si trovano centinaia di esercizi di questo tipo:
"dimostrare che se due lati di un triangolo sono diseguali, la bisettrice uscente dal loro vertice comune divide il lato opposto in parti diseguali ed è maggiore quella adiacente al lato maggiore."
Secondo me sono cose semplici ma su cui ci si fa le ossa.
@Indrjo Dedej:lo spero anch'io,infatti,per quanto riguarda questi "numeri",ne so veramente pochissimo.
Non lo so. Mi sembra che valga lo stesso quello che ho detto... Magari qualcuno che se ne intende ti può dare un parere più azzeccato.
infatti ho detto ordinali e non cardinali.
Aspetta un attimo. Perché stai usando i cardinali? L'infinto $infty$ e $aleph$ sono cose diverse.
Non sono un'esperto ma $aleph_0$ indica la cardinalità del numerabile - quella di $NN$, $ZZ$ e di $QQ$ per intenderci. Non è un vero e proprio numero nel senso che conosci, non è un numero naturale tanto meno. $aleph_0$ - e compagnia bella - non indica il numero di elementi, non è un numero naturale, ma indica l'equipotenza a $NN$, con lo $0$ o meno. Non so se sia corretto il fatto di confrontare un cardinale con un numero naturale.
L'infinito $infty$ è solo un simbolo introdotto per comodità, per semplificare alcune cose, ma non è un numero, questa volta in tutti i sensi immaginabili.
Non sono un'esperto ma $aleph_0$ indica la cardinalità del numerabile - quella di $NN$, $ZZ$ e di $QQ$ per intenderci. Non è un vero e proprio numero nel senso che conosci, non è un numero naturale tanto meno. $aleph_0$ - e compagnia bella - non indica il numero di elementi, non è un numero naturale, ma indica l'equipotenza a $NN$, con lo $0$ o meno. Non so se sia corretto il fatto di confrontare un cardinale con un numero naturale.
L'infinito $infty$ è solo un simbolo introdotto per comodità, per semplificare alcune cose, ma non è un numero, questa volta in tutti i sensi immaginabili.
Proprio per il fatto che l'infinito non è un numero che prima avevo usato $omega$,che indica il più piccolo numero ordinale transfinito.Inoltre ho scelto di usare un numero che non appartiene ad $NN$,ma più grande di qualsiasi altro numero naturale,proprio per evidenziare il fatto,che il minimo non esiste,e che il suo $i n f$ sia uguale a $0$.Ora non so se sia o meno corretto,usare i numeri ordinali in questa dimostrazione,ma nel caso non lo sia,mi piacerebbe sapere anche il perché(per cercare di evitare errori futuri).
@Indrjo Dedej:grazie per il link,farò qualche ricerca in merito.
@Indrjo Dedej:grazie per il link,farò qualche ricerca in merito.
Pensandoci su mi sono reso conto di aver semplicemente dimostrato che il queste due affermazioni sono equivalenti:
[list=1][*:w1wehaon]\(\forall u\in U\), \( x < u \) implica \(\displaystyle x\le a \);[/*:m:w1wehaon]
[*:w1wehaon]\(\displaystyle a = \inf\,U \);[/*:m:w1wehaon][/list:o:w1wehaon]
Il punto è che dimostrare che \(0 = \inf\,\mathbb{R}^+\) è semplice per via della definizione di \(\mathbb{R}^+\) e ho finito per darlo per scontato. Cerco quindi di dimostrare questo passaggio un pochino più formalmente (sperando di non essere troppo arrugginito dato che non mi occupo di matematica da 2 anni). Nel dimostrarlo ho usato solo il fatto che \(\mathbb{R}\) è un ordine totale e denso (nota che \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso).
\(\mathbb{R}\) è un ordine totale e quindi per ogni \(a,b\in\mathbb{R}\) si deve avere \(a < b\), \(b < a\) oppure \(a = b\). Quindi:
[list=1][*:w1wehaon] \(0\) è banalmente un minorante di \(\mathbb{R}^+\);[/*:m:w1wehaon]
[*:w1wehaon] ogni elemento di \(\mathbb{R}^-\) è un minorante di \(\mathbb{R}^+\) in quanto è minore di \(\displaystyle 0 \) (le relazioni d'ordine sono transitive). [/*:m:w1wehaon][/list:o:w1wehaon]
Non rimane altro da dimostrare che \(\mathbb{R}^+\) non possiede minimi. Ma questo viene dimostrato usando la densità dell'insieme. Infatti, per ogni \(m\in\mathbb{R}^+\) esiste un \(n\in\mathbb{R}^+\) tale che \(0< n< m\) e quindi \(\displaystyle m \) non è un minorante di \(\mathbb{R}^+\).
[list=1][*:w1wehaon]\(\forall u\in U\), \( x < u \) implica \(\displaystyle x\le a \);[/*:m:w1wehaon]
[*:w1wehaon]\(\displaystyle a = \inf\,U \);[/*:m:w1wehaon][/list:o:w1wehaon]
Il punto è che dimostrare che \(0 = \inf\,\mathbb{R}^+\) è semplice per via della definizione di \(\mathbb{R}^+\) e ho finito per darlo per scontato. Cerco quindi di dimostrare questo passaggio un pochino più formalmente (sperando di non essere troppo arrugginito dato che non mi occupo di matematica da 2 anni). Nel dimostrarlo ho usato solo il fatto che \(\mathbb{R}\) è un ordine totale e denso (nota che \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso).
\(\mathbb{R}\) è un ordine totale e quindi per ogni \(a,b\in\mathbb{R}\) si deve avere \(a < b\), \(b < a\) oppure \(a = b\). Quindi:
[list=1][*:w1wehaon] \(0\) è banalmente un minorante di \(\mathbb{R}^+\);[/*:m:w1wehaon]
[*:w1wehaon] ogni elemento di \(\mathbb{R}^-\) è un minorante di \(\mathbb{R}^+\) in quanto è minore di \(\displaystyle 0 \) (le relazioni d'ordine sono transitive). [/*:m:w1wehaon][/list:o:w1wehaon]
Non rimane altro da dimostrare che \(\mathbb{R}^+\) non possiede minimi. Ma questo viene dimostrato usando la densità dell'insieme. Infatti, per ogni \(m\in\mathbb{R}^+\) esiste un \(n\in\mathbb{R}^+\) tale che \(0< n< m\) e quindi \(\displaystyle m \) non è un minorante di \(\mathbb{R}^+\).
Ma in generale $+infty$ e $-infty$ non sono numeri...
@mklplo, se sei nei paraggi prova a vedere se ti interessa:
http://effediesse.mate.polimi.it/?arg=s ... pagina=335. Sicuramente ci saranno delle iniziative affini altrove...
@mklplo, se sei nei paraggi prova a vedere se ti interessa:
http://effediesse.mate.polimi.it/?arg=s ... pagina=335. Sicuramente ci saranno delle iniziative affini altrove...
@vict85 Mmmm... Interessante... Aspetta che ci penso...
Mmmm... Interessante... Aspetta che ci penso...
"mklplo":
Quello che ho provato a fare è stato considerare,penso si capisca meglio se al posto di $a_ omega$,mettessi $a_oo$,che non appartiene alla successione,ma per la monotonia e per la decrescenza,esso è più piccolo di qualsiasi altro elemento,ed è pari $0$.Ne consegue che $x<=a_oo$,cioè $x<=0$.
L'infinito non fa parte dell'insieme dei numeri naturali. Cerca di seguire l'approccio di Indrjo Dedej. La dimostrazione è simile, semplicemente non puoi prendere un elemento qualsiasi.
"Indrjo Dedej":
@vict85, non ho detto che il tentativo di @mklplo era sbagliato. Ho solo detto che ha avuto una intuizione che però non giustificato, non è riuscito a supportare la sua affermazione con una dimostrazione. Io non gli "complicherei" le cose...
Tra parentesi: vi faccio notare che la proprietà che ho dimostrato vale anche se al posto di $RR$ ci metti $QQ$. Mentre inf e sup hanno senso con il sostegno della completezza. O no? Usando inf, sembrerebbe una proprietà peculiare di $RR$, quando non lo è.
Io trovo personalmente più comprensibile una dimostrazione che usa proprietà globali. Detto questo hai parzialmente ragione, l’\(\inf\) può non esistere, ma può essere definito per insiemi ordinati qualsiasi. Quindi il teorema vale se e solo se l’\(\inf\) esiste. Siccome l'insieme \(\displaystyle \mathbb{R}^+ = \{x\in \mathbb{R} : x > 0 \} \) è per definizione l'insieme dei maggioranti di \(0\) (meno lo \(0\) ), il tutto si conclude se si accetta il fatto che i minoranti dell'insieme dei maggioranti di un elemento è l'insieme dei minoranti per quel particolare elemento. Penso che questo sia vero se e solo se l'ordine è totale.
@vict85, non ho detto che il tentativo di @mklplo era sbagliato. Ho solo detto che ha avuto una intuizione che però non giustificato, non è riuscito a supportare la sua affermazione con una dimostrazione. Io non gli "complicherei" le cose...
Tra parentesi: vi faccio notare che la proprietà che ho dimostrato vale anche se al posto di $RR$ ci metti $QQ$. Mentre inf e sup hanno senso con il sostegno della completezza. O no? Usando inf, sembrerebbe una proprietà peculiare di $RR$, quando non lo è.
Tra parentesi: vi faccio notare che la proprietà che ho dimostrato vale anche se al posto di $RR$ ci metti $QQ$. Mentre inf e sup hanno senso con il sostegno della completezza. O no? Usando inf, sembrerebbe una proprietà peculiare di $RR$, quando non lo è.
Quello che ho provato a fare è stato considerare,penso si capisca meglio se al posto di $a_ omega$,mettessi $a_oo$,che non appartiene alla successione,ma per la monotonia e per la decrescenza,esso è più piccolo di qualsiasi altro elemento,ed è pari $0$.Ne consegue che $x<=a_oo$,cioè $x<=0$.
Non mi è molto chiaro quello che stai cercando di fare: di fatto devi dimostrare due cose:
1) \(0\) è effettivamente un minorante di \(\{a_i\}\)
2) è il maggiore di questi minoranti.
Devi usare la decrescenza e la definizione di limite (ho fatto riferimento al concetto di intorno perché viene usato nella definizione di limite).
1) \(0\) è effettivamente un minorante di \(\{a_i\}\)
2) è il maggiore di questi minoranti.
Devi usare la decrescenza e la definizione di limite (ho fatto riferimento al concetto di intorno perché viene usato nella definizione di limite).
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