Come Formalizzare una Dimostrazione?
Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?
Risposte
Grazie nuovamente per la risposta.
Per quanto riguarda il libro,grazie per avermelo consigliato,appena posso lo incomincerò a leggere(ammesso che sia possibile trovarlo).Invece,per ciò che concerne la geometria euclidea,riproverò a capire come vengono condotte le sue dimostrazioni,il vero problema è che io non sono ne bravo a visualizzare le varie figure geometriche ne so rappresentarle decentemente(ecco il motivo per cui mi affido continuamente alla geometria analitica e all'analisi).Infine,per filosofia,dato che siamo a Democrito,penso che ci vorrà ancora un po' per arrivare a Platone.
p.s:inoltra abbiamo studiato(più o meno) Zenone,ma se non sbaglio,si può dimostrare che le sue conclusioni siano false.Poi di Archimede,anche se conosco i lavori non ho mai visto come abbia dimostrato i sui risultati.Per concludere,Eudosso,ha dimostrato il "teorema" che io ho pensato di dimostrare usando l' $i n f$?
edit:per quanto riguarda il libro che mi hai consigliato,non sono stato capace di trovarlo;caso mai chiederò consiglio nella sezione apposita,sperando di trovare almeno uno dei libri che forse,spero,qualcuno mi consiglierà.
Per quanto riguarda il libro,grazie per avermelo consigliato,appena posso lo incomincerò a leggere(ammesso che sia possibile trovarlo).Invece,per ciò che concerne la geometria euclidea,riproverò a capire come vengono condotte le sue dimostrazioni,il vero problema è che io non sono ne bravo a visualizzare le varie figure geometriche ne so rappresentarle decentemente(ecco il motivo per cui mi affido continuamente alla geometria analitica e all'analisi).Infine,per filosofia,dato che siamo a Democrito,penso che ci vorrà ancora un po' per arrivare a Platone.
p.s:inoltra abbiamo studiato(più o meno) Zenone,ma se non sbaglio,si può dimostrare che le sue conclusioni siano false.Poi di Archimede,anche se conosco i lavori non ho mai visto come abbia dimostrato i sui risultati.Per concludere,Eudosso,ha dimostrato il "teorema" che io ho pensato di dimostrare usando l' $i n f$?
edit:per quanto riguarda il libro che mi hai consigliato,non sono stato capace di trovarlo;caso mai chiederò consiglio nella sezione apposita,sperando di trovare almeno uno dei libri che forse,spero,qualcuno mi consiglierà.
Io quel libro non lo conosco. Io ho "Introduzione alla logica e al linguaggio matematico" di Bagni. È per informatici, ma per me è utilissimo. È fatto in due parti: una prima con con insiemistica, relazioni, numeri naturali e cardinalità; la seconda introduzione alla logica vera e propria. Quello che devi tenere a mente che Bagni era anche uno studioso della didattica della matematica. Anche se non ti interessa il sistema di Hilbert, te lo consiglio per la prima parte. Lì è dedicata molta attenzione all'esposizione e alle dimostrazioni. Incomincia da questo. Io ho fatto così.
Te l'ho già detto altre volte e te lo ripeto: prendi in considerazione la geometria euclidea. Va bene, non ti interessano i contenuti, ma fai attenzione al modo di condurre una dimostrazione. Le dimostrazioni che ci sono sui tuoi libri di biennio in geometria sono a livello "stilistico" pari a quelle di tutta la matematica avanzata che ti puoi immaginare e trovare. Non ti chiedo di riprendere tutta la geometria euclidea, ma di osservare il modo di condurre una dimostrazione decente dal punto di vista logico.
Sei in terza giusto? Ricordati che c'è anche filosofia. Vedi Pitagora, Platone e Aristotele, sopprattutto quest'ultimo. Il povero Euclide non lo cita nessun prof di filosofia purtroppo. Ma Euclide basa i suoi Elementi su la logica di Aristotele con l'aggiunta del metodo di dimostrazione per assurdo. Poi ci saranno altri filosofi interessanti, ma incomincia a fare attenzione a questi. Zenone, Eudosso e Archimede sono importantissimi: il primo con il paradosso di Achille e della tartaruga si è confrontato con uno dei limiti della ragione umana (il concetto di "vicinissimo" per esempio), il secondo ha dimostrato un teorema che abbiamo citato prima in questa discussione (prova a indovinare quale), il terzo il metodo di esaustione, che penso che tu conosca.
Te l'ho già detto altre volte e te lo ripeto: prendi in considerazione la geometria euclidea. Va bene, non ti interessano i contenuti, ma fai attenzione al modo di condurre una dimostrazione. Le dimostrazioni che ci sono sui tuoi libri di biennio in geometria sono a livello "stilistico" pari a quelle di tutta la matematica avanzata che ti puoi immaginare e trovare. Non ti chiedo di riprendere tutta la geometria euclidea, ma di osservare il modo di condurre una dimostrazione decente dal punto di vista logico.
Sei in terza giusto? Ricordati che c'è anche filosofia. Vedi Pitagora, Platone e Aristotele, sopprattutto quest'ultimo. Il povero Euclide non lo cita nessun prof di filosofia purtroppo. Ma Euclide basa i suoi Elementi su la logica di Aristotele con l'aggiunta del metodo di dimostrazione per assurdo. Poi ci saranno altri filosofi interessanti, ma incomincia a fare attenzione a questi. Zenone, Eudosso e Archimede sono importantissimi: il primo con il paradosso di Achille e della tartaruga si è confrontato con uno dei limiti della ragione umana (il concetto di "vicinissimo" per esempio), il secondo ha dimostrato un teorema che abbiamo citato prima in questa discussione (prova a indovinare quale), il terzo il metodo di esaustione, che penso che tu conosca.
ok,grazie per la risposta.
[ot]comunque,se non sbaglio,hai detto che la logica matematica è utile per imparare a dimostrare;per sapere,conosci il libro "Logic and Structure" di Dirk van Dalen?
E se sì,secondo te va bene per un principiante?[/ot]
[ot]comunque,se non sbaglio,hai detto che la logica matematica è utile per imparare a dimostrare;per sapere,conosci il libro "Logic and Structure" di Dirk van Dalen?
E se sì,secondo te va bene per un principiante?[/ot]
Non penso che ci sia qualcosa di male.
Scusate,ma mi è venuto un altro dubbio su come formalizzare una dimostrazione.Il dubbio sarebbe:"Ad un esame di Analisi(per esempio) una dimostrazione di un teorema può essere fatta anche con strumenti di un altro ramo della matematica?".Se non vi reca disturbo,potreste togliermi questo dubbio?
Secondo voi,le dimostrazioni precedenti,sono corrette,o presentano degli errori?
Per quanto riguarda l'implicazione inversa,ho fatto così:
Per definizione di una funzione $f :X -> Y$ è invertibile se esiste una funzione $f^(-1):Y->X$,tale che $(f \circ f^(-1))(y)=id_Y$ e $(f^(-1) \circ f)(x)=id_X$.Questa condizione è soddisfatta dal fatto che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro e una funzione suriettiva ha un inverso destro.Per dimostrare queste altre affermazioni ho fatto i seguenti passaggi:
1:Iniettività) \( f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2 \rightarrow id_X(x_1)=id_X(x_2) \rightarrow (f^{-1} \circ f)(x_1)=(f^{-1} \circ f)(x_2) \) (il che significa che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro)
2:Suriettività)
\( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:f^{-1}(y)=x \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:(f \circ f^{-1})(y)=f(x) \) (il che significa che una funzione suriettiva ha un inverso destro).
Così,ho dimostrato(salvo errori) che una funzione biiettiva è anche invertibile(onestamente sulla suriettività ho sempre qualche dubbio sulla dimostrazione,quindi non sono certo di averla fatta bene).
Per definizione di una funzione $f :X -> Y$ è invertibile se esiste una funzione $f^(-1):Y->X$,tale che $(f \circ f^(-1))(y)=id_Y$ e $(f^(-1) \circ f)(x)=id_X$.Questa condizione è soddisfatta dal fatto che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro e una funzione suriettiva ha un inverso destro.Per dimostrare queste altre affermazioni ho fatto i seguenti passaggi:
1:Iniettività) \( f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2 \rightarrow id_X(x_1)=id_X(x_2) \rightarrow (f^{-1} \circ f)(x_1)=(f^{-1} \circ f)(x_2) \) (il che significa che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro)
2:Suriettività)
\( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:f^{-1}(y)=x \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:(f \circ f^{-1})(y)=f(x) \) (il che significa che una funzione suriettiva ha un inverso destro).
Così,ho dimostrato(salvo errori) che una funzione biiettiva è anche invertibile(onestamente sulla suriettività ho sempre qualche dubbio sulla dimostrazione,quindi non sono certo di averla fatta bene).
Ecco,basandomi sugli aiuti che mi avete dati(che sono innumerevoli),ora proverò a fare la dimostrazione,per quanto riguarda la suriettività:
Sia $f$ una funzione invertibile e sia $f^(-1)$ la sua inversa;allora per la definizione di suriettività,abbiamo: \( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \).Ora " applicando $f^-1$ all'espressione"(lo messo fra virgolette perchè dubito fortemente che sia un termine corretto,magari qualcuno potrebbe spiegarmi come dire) otteniamo \( \forall y \in Y \exists x \in X:(f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(y) \),che per definizione di inversa,arriviamo al risultato \( \forall y \in Y \exists x \in X:x=f^{-1}(y) \).Così abbiamo dimostrato che la funzione è suriettiva.
Sia $f$ una funzione invertibile e sia $f^(-1)$ la sua inversa;allora per la definizione di suriettività,abbiamo: \( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \).Ora " applicando $f^-1$ all'espressione"(lo messo fra virgolette perchè dubito fortemente che sia un termine corretto,magari qualcuno potrebbe spiegarmi come dire) otteniamo \( \forall y \in Y \exists x \in X:(f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(y) \),che per definizione di inversa,arriviamo al risultato \( \forall y \in Y \exists x \in X:x=f^{-1}(y) \).Così abbiamo dimostrato che la funzione è suriettiva.
@vict85:grazie,appena ho tempo,posterò le dimostrazioni.
"mklplo":
[...]Sia \(f: X \rightarrow Y\) una funzione,essa è invertibili se e solo se è biiettiva.
D7)Per assurdo:
Se $f$ non fosse iniettiva,allora \( \exists y \in Y:y= \begin{cases} f^{-1}(x_1) \\ f^{-1}(x_2) \end{cases} \) dove \(x_1 \neq x_2\),
il che,non può essere vero,per la definizione di funzione.
Se $f$ non fosse suriettiva allora
\( X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(f(X) \cup f(A))=X \cup A \) (il che è vero se $A$ è contenuto uguale ad $X$,ma che mi porta ad una contraddizione,perché se $X \cup A=X$,allora $f(X)=Y$,il che è vero,se la funzione è suriettiva.
Vediamo di iniziartela, così da mostrarti come si scrive un dimostrazione.
Supponiamo che \(f\) sia invertibile e sia \(\displaystyle f^{-1} \) la sua inversa. Siano \(x_1,x_2\in X\) tali che \(y = f(x_1) = f(x_2)\). Sia inoltre \(x = f(y)\). Per l'invertibilità di \(\displaystyle f \), si ricava che \(\displaystyle x_1 = (f^{-1}\circ f)(x_1) = f^{-1}( y ) = x \) e \(\displaystyle x_2 = (f^{-1}\circ f)(x_2) = f^{-1}( y ) = x \), ovvero che \(x_1 = x = x_3\). Pertanto \(\displaystyle f \) è una funzione iniettiva.
Lascio a te la suriettività... hint invertibile a destra significa che per ogni \(y\in Y\), \(\displaystyle (f\circ f^{-1})(y) = y \).
Abbiamo dunque dimostrato che tutte le funzioni invertibili sono biiettive. Dimostriamo dunque l'implicazione inversa. Sia quindi \(f\) una funzione biiettiva. Questa parte non la inizio perché non l'avevi trattata nella tua precedente dimostrazione e voglio darti la possibilità di pensarci su.
La teoria delle categorie richiede un livello di comprensione dei vari argomenti "base" superiore a quello che hai ora. Quello che intendevo io è che puoi definire una funzione iniettiva nel seguente modo:
Similmente si può definire una funzione suriettiva come:
cambia solo il lato.[/nota] implica la suriettività.
Nota che se definisci una funzione invertibile come una funzione invertibile sia a destra che a sinistra, il fatto che l'inversa destra e sinistra sia la stessa diventa un teorema.
Nota che usando diverse definizioni ciò che ora ho scritto come "definizione" diventa un teorema nella teoria che parte dalle altre definizioni. Puoi provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti, ma solo dopo aver finito D7
.
Siano \(X\), \(Y\) due insiemi e sia \(f\colon X\to Y\) una funzione tra di loro. Si dice che \(\displaystyle f \) è iniettiva[nota]Nella teoria delle categorie (concrete) una funzione di questo tipo è chiamata monomorfismo o morfismo monico. Quindi è un po' improprio dire che questa è la definizione di iniettivo, seppur i due concetti coincidano per gli insiemi. Diciamo che è un po' come per invertibile e biettiva.[/nota] se per ogni insieme \(\displaystyle Z \) e coppia di funzioni \(\displaystyle h, k\, \colon X \to Y \), \(f\circ h = f\circ k\) implica \(h = k\).La proprietà scritta sopra prende il nome di cancellabile a sinistra. Nota che con questa definizione è semplice dimostrare che una funzione invertibile a sinistra[nota]Con invertibile a sinistra si intende una funzione \(f\colon X\to Y\) che possiede un inverso sinistro ovvero che esiste una \(\displaystyle g\colon X\to Y \) tale che \(\displaystyle g\circ f = \mathrm{id}_X \)[/nota] è iniettiva.
Similmente si può definire una funzione suriettiva come:
Siano \(X\), \(Y\) due insiemi e sia \(f\colon X\to Y\) una funzione tra di loro. Si dice che \(\displaystyle f \) è suriettiva[nota]Nella teoria delle categorie (concrete) una funzione di questo tipo è chiamata epimorfismo o morfismo epic.[/nota] se per ogni insieme \(\displaystyle Z \) e coppia di funzioni \(\displaystyle h, k\, \colon X \to Y \), \(h\circ f = k\circ f\) implica \(h = k\).La proprietà scritta sopra prende il nome di cancellabile a destra. Similmente a quanto detto per l'iniettività è facile mostrare che invertibile a destra[nota]La definizione è analoga a quella a sinistra,
cambia solo il lato.[/nota] implica la suriettività.
Nota che se definisci una funzione invertibile come una funzione invertibile sia a destra che a sinistra, il fatto che l'inversa destra e sinistra sia la stessa diventa un teorema.
Nota che usando diverse definizioni ciò che ora ho scritto come "definizione" diventa un teorema nella teoria che parte dalle altre definizioni. Puoi provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti, ma solo dopo aver finito D7
.
"Indrjo Dedej":
Cerchiamo di essere molto più rigorosi:
Una funzione $f:X \mapsto Y$ per cui esiste almeno una funzione $g:Y \mapsto X$ tale che
$g \circ f= id_X$ e $f \circ g=id_Y$
è detta invertibile e $g$ inversa di $f$.
Volevo solo far notare che in genere non si prende questa come definizione di funzione invertibile, ma piuttosto una funzione che è sia iniettiva che suriettiva.
P.S. Ho guardato su Wikipedia e in effetti la definisce come hai fatto tu, a quanto pare non è la maggior parte a usare la definizione che uso io come invece pensavo, a questo punto quello che ho detto era solo per far notare che non tutti usano la stessa definizione.
@Indrjo Dede:in realtà,una volta tanto,non mi sarei gettato nello studio di un'altra disciplina,salvo che non fosse stato un argomento di analisi 1 o un argomento importante ed elementare di algebra lineare.Per quanto riguarda la logica,io conosco i quantificatori e i connettivi(ovviamente quelli base,non so se ne esistano altri oltre congiunzione,disgiunzione,implicazione,coimplicazione),ma ho ancora qualche difficoltà nell'usare correttamente implicazione e coimplicazione(come si è visto).Ora pensando a ciò che mi avete detto,tolte di mezzo le interrogazioni,potrò concentrarmi sul riprovare a dimostrare quel teorema.
Lascia stare la teoria delle categorie, per ora. So che andrai a informarti di questa meravigliosa disciplina. Non si colloca né in analisi né in algebra. Questi due ambiti usano talvolta gli strumenti della teoria delle categorie. Se avrai pazienza potresti arrivarci... Per ora concentrati su quanto ti abbiamo detto. So che sei curioso, ma incomincia a padroneggiare semplici dimostrazioni prima.
Va da sé, avrai capito che devi possedere quei pochi elementi di logica, dei quali te ne ho già evidenziati alcuni.
Certo che è difficile tenerti su una sola cosa, che sfori in altri ambiti. Attento: va benissimo la curiosità, ma deve esserci ordine, criterio e perseveranza in quello che fai, non saltare di quà e di là.
Va da sé, avrai capito che devi possedere quei pochi elementi di logica, dei quali te ne ho già evidenziati alcuni.
Certo che è difficile tenerti su una sola cosa, che sfori in altri ambiti. Attento: va benissimo la curiosità, ma deve esserci ordine, criterio e perseveranza in quello che fai, non saltare di quà e di là.
@vict85:Grazie per la risposta,per sapere,ma in quale teorema,ho sbagliato a scrivere l'ipotesi,o ho sbagliato la definizione(fattasi eccezione per la funzione inversa che già mi è stato detto che ho sbagliato)?
Appena posso,riproverò a fare la dimostrazione usando gli elementi.
Per curiosità,che vuol dire questo ?
Cioè,il definire quelle proprietà in maniera categoriale è una conoscenza tipica di analisi 1 o di algebra lineare?
Perché nel caso,subito dopo essere migliorato nelle dimostrazioni,dovrò studiarmele(dato che non è ho mai sentito parlare)
Appena posso,riproverò a fare la dimostrazione usando gli elementi.
Per curiosità,che vuol dire questo ?
"vict85":
Insomma puoi definire iniettivo e suriettivo in maniera del tutto categoriale e dimostrare il tutto attraverso diagrammi commutativi, ma non te lo consiglio.
Cioè,il definire quelle proprietà in maniera categoriale è una conoscenza tipica di analisi 1 o di algebra lineare?
Perché nel caso,subito dopo essere migliorato nelle dimostrazioni,dovrò studiarmele(dato che non è ho mai sentito parlare)
Con dati intendo le ipotesi e le definizioni. Se non hai ben compreso questi due non puoi iniziare la dimostrazione.
Comunque non è meglio lavorare con gli elementi, è semplicemente più semplice per un principiante. Insomma puoi definire iniettivo e suriettivo in maniera del tutto categoriale e dimostrare il tutto attraverso diagrammi commutativi, ma non te lo consiglio.
Comunque non è meglio lavorare con gli elementi, è semplicemente più semplice per un principiante. Insomma puoi definire iniettivo e suriettivo in maniera del tutto categoriale e dimostrare il tutto attraverso diagrammi commutativi, ma non te lo consiglio.
@vict85:Perchè quando si fanno questo genere di dimostrazioni è meglio lavorare con gli elementi?
e in che senso,dovrei formalizzare i dati?
e in che senso,dovrei formalizzare i dati?
"Indrjo Dedej":
[...] Non so se i moderatori possano modificare i messaggi.
[...]
Possiamo nella/e sezioni in cui siamo moderatori. Non ho poteri di moderatore in questa sezione del forum.
"Indrjo Dedej":
Ciao! (Oramai buona sera...)
@vict85, io usato "se e solo se" nella definizione perché penso di avere delle buone motivazioni. La coimplicazione indica una equivalenza logica. Dal punto di vista logico, guardando le tavole di verità, una coimplicazione di due enunciati è vera quando i due enunciati hanno lo stesso valore di verità. A mio parere la coimplicazione in una definizione si presta bene a definire nuovi concetti. Il "se" ha un significato molto importante e ben preciso in matematica. Con "girare la frase" intendi una cosa del genere:
Una funzione $f:X \mapsto Y$ tale che
$\forall x,y \in X: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$
è detta iniettiva.
A me non è che piaccia tanto... Ci saranno altre maniere, senza usare il "se"...
Beh, questione di preferenze stilistiche. In generale non adoro l'uso delle implicazioni in una frase. Per esempio, l 'iniettività è definita equivalentemente richiedendo che per ogni \(x,y\in X\) si abbia \(f(x)\neq f(y)\) oppure \(x = y\). Ma sono questioni di stile. Insomma il se e solo se lo si trova anche in alcuni libri.
"Indrjo Dedej":
@mklplo, io ho proceduto così per la D2, che poi è la traccia che ti ha fornito @vict85.
Siano $f:X \mapsto Y$ e $g:Y \mapsto Z$ funzioni suriettive. Da queste ipotesi segue che per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $y \in Y$ per cui $g(y)=z$. Analogamente per ogni $y \in Y$ esiste almeno un $x \in X$ tale che $f(x)=y$. In definitiva:
per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $x \in X$ per cui $z=g(f(x))=(g \circ f)(x)$.
Ovvero: $g \circ f$ è suriettiva.
Per quanto riguarda la D7 non mi hai ancora detto la definizione di invertibilità o di funzione inversa... È importante la definizione perché costituisce un punto di partenza.
Si era quello che intendevo anche io, per questo tipo di dimostrazioni lavorare direttamente con gli elementi è spesso la via più semplice. Concordo su D7. Nella dimostrazione è tra l'altro poco chiaro quali siano le ipotesi e cosa si la tesi. Per formalizzare una dimostrazione devi prima di tutto formalizzare i dati da cui stai partendo e il risultato che vuoi ottenere.
@Indrjo Dedej:ah,ok,non avevo capito.Comunque,anche cambiando la definizione,in che modo posso modificare la dimostrazione?(perchè non ho ancora capito se il secondo tentativo sia andato o meno bene).
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