Trasformazioni di variabili aleatorie

[Sk_Anonymous]

Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ok,grazie.

Se l'esercizio mi chiedeva anche $F_Y(y)$ com avrei dovuto procedere?

Ho corretto il post precedente e la pdf è

$f_Y(y)={(1/(6sqrt(1-y))+1/3,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}$

Ricordiamo che cosa è una CDF.
$F_Y(y)=Pr{Y<=y}=int_{-infty}^yf_Y(u)du$ per cui, ricordando che $F(-infty)=0,F(+infty)=1$e svolgendo questo integrale semplice ottieni la CDF.

Se hai problemi nel calcolo fammelo sapere. Ma non dovrebbero esserci problemi

[Sk_Anonymous]

Quindi devo calcolare:

$int_(-infty)^0 1/6delta(y)dy+int_0^1(1/(6sqrt(1-y))+1/3)dy+int_1^2 1/6dy$?

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":

In conclusione

$f_Y(y)={(1/(6sqrt(1-y))+1/6+1/6,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}={(1/(6sqrt(1-y))+1/3,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}$

Nella prima riga del sistema,perchè hai scritto due volte $1/6$?

[Sk_Anonymous]

Ho una variabile aleatoria $X$ distribuita unif. in $[-2,2]$ trasformata in accordo alla funzione rappresentata in figura.Devo calcolare $f_Y(y)$.
Ho fatto così

$g(x)$ ha espressione

$g(x)={(x+2,-2<=x<1),(-x,-1<=x<1),(0,"altrove"):}$

Primo caso:$-2<=x<-1$

$x=y-2 => yin[0,1]$
$|g^{\prime}(x)|=1$,
$f_X(x)={(1/4,-2<=x<=2),(0,"altrimenti"):}$
$=>f_Y(y)=1/4$

Secondo caso: $-1<=x<1$

$y=-x => y in [-1,1]$
$|g^{\prime}(x)|=1 => f_Y(y)=1/4$

1<=x<=2
$f_Y(y)=1/4delta(y)$.


Peccato che il risultato del libro è
$f_Y(y)={(1/4,-1<=y<0),(1/2,0<=y<1),(0,"altrove"):}+1/4delta(y)$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Quindi devo calcolare:

$int_(-infty)^0 1/6delta(y)dy+int_0^1(1/(6sqrt(1-y))+1/3)dy+int_1^2 1/6dy$?

$0<=y<1->F_Y(y)=int_{0}^{y}(1/(6sqrt(1-u))+1/3)du$
$1<=y<2->F_Y(y)=int_1^{y}1/6du$
$y<0->F_Y(y)=0$
$y>2->F_Y(y)=1$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"]

In conclusione

$f_Y(y)={(1/(6sqrt(1-y))+1/6+1/6,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}={(1/(6sqrt(1-y))+1/3,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}$

Nella prima riga del sistema,perchè hai scritto due volte $1/6$?[/quote]

perchè nell'intervallo $0<=y<1$ ricadono 3 contributi se vedi i calcoli da me svolti nel primo post a riguardo

[_nicola de rosa]

"Aeneas":

Ho una variabile aleatoria $X$ distribuita unif. in $[-2,2]$ trasformata in accordo alla funzione rappresentata in figura.Devo calcolare $f_Y(y)$.
Ho fatto così

$g(x)$ ha espressione

$g(x)={(x+2,-2<=x<1),(-x,-1<=x<1),(0,"altrove"):}$

Primo caso:$-2<=x<-1$

$x=y-2 => yin[0,1]$
$|g^{\prime}(x)|=1$,
$f_X(x)={(1/4,-2<=x<=2),(0,"altrimenti"):}$
$=>f_Y(y)=1/4$

Secondo caso: $-1<=x<1$

$y=-x => y in [-1,1]$
$|g^{\prime}(x)|=1 => f_Y(y)=1/4$

1<=x<=2
$f_Y(y)=1/4delta(y)$.


Peccato che il risultato del libro è
$f_Y(y)={(1/4,-1<=y<0),(1/2,0<=y<1),(0,"altrove"):}+1/4delta(y)$

Solito ragionamento: i valori assumibili ricadono nell'intervallo $(-2,2)$ per cui la trasformazione è:


$g(x)={(x+2,-2<=x<1),(-x,-1<=x<1),(0,1<=x<=2):}$

1)$-2<=x<=-1->x=y-2->-2<=y-2<=-1->0<=y<=1,f_Y(y)=1/4$
2)$-1<=x<=1->-1<=-y<=1->-1<=y<=1,f_Y(y)=1/4$
3)$y=0->f_Y(y)=1/4delta(y)$

Per cui
$f_Y(y)={(1/4+1/4,0<=y<1),(1/4,-1<=y<0),(1/4delta(y),y=0):}={(1/2,0<=y<1),(1/4,-1<=y<0),(1/4delta(y),y=0):}$

Al di fuori di questi intervalli vale ovviamente $f_Y(y)=0$ dal momento che all'esterno dell'intervallo $(-2,2)$ $f_X(x)=0$.

Per cui ti trovi ora col libro

[Sk_Anonymous]

Ok,grazie...sempre gentile!Ciao

[Sk_Anonymous]

Il testo è identico ai precedenti e $X$ è distr. unif. in $[-3.3]$
Ho fatto così:

$g(X)={(-1,-3<=x<-2),(x+1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<=3):}$
da cui ho ottenuto:

$f_Y(y)={(1/6delta(y+1),-1<=y<-2),(1/6,-1<=y<0),(1/6delta(y),-1<=y<1),(1/6,1<=y<2),(1/6delta(y-1),2<=y<=3):}$

Facendo $int_(-infty)^(+infty)f_Y(y)dy$ non viene uno,pertanto ho sbagliato a svolgere l'esercizio...vorrei capire dove...

[_nicola de rosa]

"Aeneas":

Il testo è identico ai precedenti e $X$ è distr. unif. in $[-3.3]$
Ho fatto così:

$g(X)={(-1,-3<=x<-2),(x+1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<=3):}$
da cui ho ottenuto:

$f_Y(y)={(1/6delta(y+1),-1<=y<-2),(1/6,-1<=y<0),(1/6delta(y),-1<=y<1),(1/6,1<=y<2),(1/6delta(y-1),2<=y<=3):}$

Facendo $int_(-infty)^(+infty)f_Y(y)dy$ non viene uno,pertanto ho sbagliato a svolgere l'esercizio...vorrei capire dove...

La trasformazione l'hai scritta bene le probabilità un pò meno.

$g(X)={(-1,-3<=x<-2),(x+1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<=3):}$

1)$y=-1->f_Y(y)=Pr{-3<=x<-2}delta(y+1)=1/6delta(y+1)$ tu hai un impulso in $y=-1$ non nell'intervallo come scritto da te. Hai fatto questo errore 3 volte;
2)$y=x+1,-2<=x<-1->-2<=y-1<-1->-1<=y<0->f_Y(y)=1/6$
3)$y=0->f_Y(y)=delta(y)*Pr{-1<=x<=1)=1/3delta(y)$
4)$y=x-1->1<=y+1<2->0<=y<1->f_Y(y)=1/6$
5)$y=1->f_Y(y)=Pr{2<=x<=3}delta(y-1)=1/6delta(y-1)$

Per cui

$f_Y(y)={(1/6delta(y+1),y=-1),(1/6,-1<=y<0),(1/3delta(y),y=0),(1/6,0<=y<1),(1/6delta(y-1),y=1):}$

e l'area sottesa ora fa effettivamente 1

[Sk_Anonymous]

Perchè nel punto 3 viene $1/3delta(y)$?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Perchè nel punto 3 viene $1/3delta(y)$?

perchè l'ampiezza dell'impulso è pari alla probabilità $Pr{-1<=X<=1}=int_-1^{+1}1/6dx=1/6*2=1/3$

[Sk_Anonymous]

Per quanto riguarda l'ultimo esercizio,se devo calcolare $F_Y(y)$ devo integrare $1/6$ una volta in $[-1,y]$ ed una seconda in $[0,y]$ e laddove ho impulsi ch si fa?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Per quanto riguarda l'ultimo esercizio,se devo calcolare $F_Y(y)$ devo integrare $1/6$ una volta in $[-1,y]$ ed una seconda in $[0,y]$ e laddove ho impulsi ch si fa?

sì la strada da seguire è quella che hai indicato. per gli impulsi verificherai nella CDF che ci sono quei salti in corrispondenza dei punti $y=-1,0,1$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]Per quanto riguarda l'ultimo esercizio,se devo calcolare $F_Y(y)$ devo integrare $1/6$ una volta in $[-1,y]$ ed una seconda in $[0,y]$ e laddove ho impulsi ch si fa?

sì la strada da seguire è quella che hai indicato. per gli impulsi verificherai nella CDF che ci sono quei salti in corrispondenza dei punti $y=-1,0,1$[/quote]

Scusami,in che modo?

[Sk_Anonymous]

La v.a. $X$ distribuita uniformemente in $[-10,10]$ tramite la $g(x)$ rappresentata in figura:

Sia $Y=g(X)$.Determinare $f_Y(y)$ e la media di $Y$.

ho fatto così:

$g(x)={(0,-10<=x<-4),(1,-4<=x<-3),(-2-x,-3<=x<-2),(0,-2<=x<2),(x-2,2<=x<3),(1,3<=x<4),(0,4<=x<=10):}$

per cui $f_Y(y)={(1/20,-3<=x<-2),(1/20,2<=x<3):}+3/10delta(y)+1/20delta(y-1)+1/5delta(y)+1/20delta(y-1)+3/10delta(y)$

$E[Y]=E[g(x)]=1/20*[int_(-4)^(-3)dx-int_(-3)^(-2)(2+x)dx+int_2^3(x-2)+int_3^4dx]=3/20

[Sk_Anonymous]

"Aeneas":

Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.

Questo esercizio l'avevo proposto tempo fa e mi ero fermato al calcolo di $f_Y(y)$

ora ho calcolato il valor medio e mi è venuto nullo,mentre la varianza mi è venuta pari a $8$ .è esatto?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":La v.a. $X$ distribuita uniformemente in $[-10,10]$ tramite la $g(x)$ rappresentata in figura:

Sia $Y=g(X)$.Determinare $f_Y(y)$ e la media di $Y$.

ho fatto così:

$g(x)={(0,-10<=x<-4),(1,-4<=x<-3),(-2-x,-3<=x<-2),(0,-2<=x<2),(x-2,2<=x<3),(1,3<=x<4),(0,4<=x<=10):}$

per cui $f_Y(y)={(1/20,-3<=x<-2),(1/20,2<=x<3):}+3/10delta(y)+1/20delta(y-1)+1/5delta(y)+1/20delta(y-1)+3/10delta(y)$

$E[Y]=E[g(x)]=1/20*[int_(-4)^(-3)dx-int_(-3)^(-2)(2+x)dx+int_2^3(x-2)+int_3^4dx]=3/20

E' l'ennesima volta che lo dico: secondo te ha senso scrivere ad esempio $f_Y(y)=1/20.-3<=x<=-2$? per me no perchè devi esprimere una limitazione sulla variabile $y$ non $x$.

Per cui

$y=-x-2.>x=-2-y->-3<=-2-y<=-2->0<=y<=1->f_Y(y)=1/20$
$y=x-2->x=y+2->2<=y+2<=3->0<=y<=1->f_Y(y)=1/20$

Per cui

$f_Y(y)=1/20*2*Pi[y-1/2]+1/10delta(y-1)+4/5delta(y)=1/10Pi[y-1/2]+1/10delta(y-1)+4/5delta(y)$. Ho sommato le varie delta che avevi tu correttamente indicato.

La tua media fornisce un risultato giusto anche se io l'avrei ricavata in quest'altro modo:
$E[Y]=1/10int_{0}^{1}ydy+1/10*1+4/5*0=1/20+1/10=3/20$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="Aeneas"]

Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.

Questo esercizio l'avevo proposto tempo fa e mi ero fermato al calcolo di $f_Y(y)$

ora ho calcolato il valor medio e mi è venuto nullo,mentre la varianza mi è venuta pari a $8$ .è esatto?[/quote]

$E[Y]=0,E[Y^2]=sigma_Y^2=38/3$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]La v.a. $X$ distribuita uniformemente in $[-10,10]$ tramite la $g(x)$ rappresentata in figura:

Sia $Y=g(X)$.Determinare $f_Y(y)$ e la media di $Y$.

ho fatto così:

$g(x)={(0,-10<=x<-4),(1,-4<=x<-3),(-2-x,-3<=x<-2),(0,-2<=x<2),(x-2,2<=x<3),(1,3<=x<4),(0,4<=x<=10):}$

per cui $f_Y(y)={(1/20,-3<=x<-2),(1/20,2<=x<3):}+3/10delta(y)+1/20delta(y-1)+1/5delta(y)+1/20delta(y-1)+3/10delta(y)$

$E[Y]=E[g(x)]=1/20*[int_(-4)^(-3)dx-int_(-3)^(-2)(2+x)dx+int_2^3(x-2)+int_3^4dx]=3/20

E' l'ennesima volta che lo dico: secondo te ha senso scrivere ad esempio $f_Y(y)=1/20.-3<=x<=-2$? per me no perchè devi esprimere una limitazione sulla variabile $y$ non $x$.

[/quote]

Certo che non ha senso...avevo la testa tra le nuvole perchè stavo contemporaneamente aiutando un utente sugli integrali!