Trasformazioni di variabili aleatorie

[Sk_Anonymous]

Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]

Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.

visti gli esempi precedenti, tu come lo risolveresti?[/quote]

Ora ti rispondo.[/quote]

ma $X$ è una v.a $U(-3,3)$ o è $U(-2,2)$?

[Sk_Anonymous]

Tra $-2$ e $2$

[Sk_Anonymous]

$g(x)={(-4,-2<=x<-1),(2x-2,-1<=x<0),(2x+2,0<=x<2),(4,2<=x<=4):}

laddove ho costanti che faccio?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Tra $-2$ e $2$

il mio risultato

$f_Y(y)=1/4delta(y+4)+1/4delta(y-4)+1/8Pi[(y+3)/2]+1/8Pi[(y-3)/2]$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$g(x)={(-4,-2<=x<-1),(2x-2,-1<=x<0),(2x+2,0<=x<2),(4,2<=x<=4):}

laddove ho costanti che faccio?

$g(x)={(-4,-2<=x<-1),(2x-2,-1<=x<0),(2x+2,0<=x<1),(4,1<=x<=2):}

Per le costanti bisogna fare il discorso delle delta....come avrai notato dal mio risultato

[Sk_Anonymous]

In pratica In corrispondenza di "parti piatte" nella $g(x)$ abbiamo impulsi in $f_Y(y)$ credo...

[Sk_Anonymous]

Calcolando $f_Y(y)$ si vede che esso è uguale ad $1/8$ tra $-1$ ed $1$ (delta a parte)

Ma come arrivi poi ad esprimere il tutto in due $rect$?

[Sk_Anonymous]

Da dove prendi l'argomento del $Pi$?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Calcolando $f_Y(y)$ si vede che esso è uguale ad $1/8$ tra $-1$ ed $1$ (delta a parte)

Ma come arrivi poi ad esprimere il tutto in due $rect$?

Una funzione del tipo $f(x)={(K,a<=x<=b),(0,else):}$ può essere scritta nel modo seguente:
$f(x)=KPi[(x-((a+b)/2))/(b-a)]$

ecco per cui escono quelle funzioni.

la considerazione sulle $delta()$ è giusta

[Sk_Anonymous]

In questo caso l'intervallo è $-2<=x<=2$ come fa a venirti in quel modo?la differenza fa zero!

[Sk_Anonymous]

a meno che non si debbano considerare gli intervalli in cui si ha impulso...in quel caso tutto torna!

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]


Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.

$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$

Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$

Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$

per cui

$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$

Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.

Per media e varianza vale il discorso fatto prima[/quote]

In questo caso l'argomento del primo rect credo che si ottenga da $x=(4y+2)/5=(y+1/2)/5$ ma il secondo,se il ragionamento è corretto,non dovrebbe essere $(y+9/2)/5$?

[Sk_Anonymous]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]


Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.

$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$

Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$

Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$

per cui

$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$

Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.

Per media e varianza vale il discorso fatto prima[/quote]

In questo caso l'argomento del primo rect credo che si ottenga da $x=(4y+2)/5=(y+1/2)/5$ ma il secondo,se il ragionamento è corretto,non dovrebbe essere $(y+9/2)/5$?[/quote]

???

[_nicola de rosa]

Una funzione generica del tipo $f(x)={(K,a<=x<=b),(0,else):}$ può essere scritta nel modo seguente:
$f(x)=KPi[(x-((a+b)/2))/(b-a)]$

Infatti la tua pdf può essere scritta come $f_X(x)=1/4Pi[x/4]$

Nei tuoi esercizi c'erano intervalli del tipo $[-3,2]$ per cui si ha $Pi[(y-(-3+2)/2)/(2-(-3))]=Pi[(y+1/2)/5]$

ed intervalli del tipo $[-2,3]$ per cui si ha $Pi[(y-(3-2)/2)/(3-(-2))]=Pi[(y-1/2)/5]$

Anzi in tal caso essendo gli intervalli sovrapposti, potremo , per scrivere più chiaramente le cose, fare una suddivisione per i seguenti intervalli
$[-3,-2]->f_Y(y)=1/10$
$[-2,2]->f_Y(y)=1/10+1/10=1/5$
$[2,3]->f_Y(y)=1/10$

per cui

$f_Y(y)={(1/10,-3<=y<=-2),(1/5,-2<=y<=2),(1/10,2<=y<=3):}$

[Sk_Anonymous]

Come si effettua lo studio $F_Y(y)=P{Y<=y}$ ?

[faco1]

"Aeneas":Come si effettua lo studio $F_Y(y)=P{Y<=y}$ ?

scusa in che senso?

[Sk_Anonymous]

C'è qualcuno che saprebbe spiegarmelo?!

[Sk_Anonymous]

Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra $-2$ e $4$. Sia inoltre

$g(x)={(|x|-1,1<=|x|<=3),(1-x^2,|x|<=1),(0,"altrove"):}$.

Sia $Y$ la v.a. ottenuta tramite la trasformazione $Y=g(X)$.

Calcolare la densità di probabilità e il valore medio di $Y$.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra $-2$ e $4$. Sia inoltre

$g(x)={(|x|-1,1<=|x|<=3),(1-x^2,|x|<=1),(0,"altrove"):}$.

Sia $Y$ la v.a. ottenuta tramite la trasformazione $Y=g(X)$.

Calcolare la densità di probabilità e il valore medio di $Y$.

Innanzitutto i possibili valori assumibili dalla variabile $x$ sono compresi nell'intervallo $(-2,4)$.

Poi $1<=|x|<=3 <=> -3<=x<=-1$ $ U$ $ 1<=x<=3$ per cui, ricordando quanto detto, la trasformazione diventa:


$g(x)={(-x-1,-2
1)Ora consideriamo il caso $-2 $x=-1-y$
$|(d(g(x)))/(dx)|=|(d(-x-1))/(dx)|=1$
$ -2-2<(-1-y)<=-1 <=> 0<=y<1$ per cui per
$0<=y<1->f_Y(y)=1/6$

2)Ora consideriamo il caso $1<=x<=3$:
$x=1+y$
$|(d(g(x)))/(dx)|=|(d(x-1))/(dx)|=1$
$ 1<=x<=3->1<=(1+y)<=3 <=> 0<=y<=2$ per cui per
$0<=y<=2->f_Y(y)=1/6$

3) Consideriamo ora $g(x)=1-x^2$ con $-1<=x<=1$
$|(d(g(x)))/(dx)|=|(d(1-x^2))/(dx)|=2|x|$
$x^2=1-y->x=+-sqrt(1-y$
Ora nell'intervallo $-1<=x<=0->g(x)=-2x$ la soluzione accettabile è $x=-sqrt(1-y)$ e nell'intervallo $0<=x<=1->g(x)=2x$ la soluzione accettabile è $x=sqrt(1-y)$.
Ora se $-1<=x<=0->-1<=-sqrt(1-y)<=0->0<=y<1$ e $f_Y(y)=(1/6)/(-2(-sqrt(1-y)))=1/(12sqrt(1-y))$

Ora se $0<=x<=1->0<=sqrt(1-y)<=1->0<=y<1$ e $f_Y(y)=(1/6)/(2(sqrt(1-y)))=1/(12sqrt(1-y))$

Per cui se $0<=y<1->f_Y(y)=1/(12sqrt(1-y))+1/(12sqrt(1-y))=1/(6sqrt(1-y))$

4)$y=0->f_Y(y)=1/6delta(y)$

In conclusione

$f_Y(y)={(1/(6sqrt(1-y))+1/6+1/6,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}={(1/(6sqrt(1-y))+1/3,0<=y<1),(1/6,1<=y<=2),(1/6delta(y),y=0):}$

Infatti $int_{-infty}^{+infty}f_Y(y)dy=int_1^2(1/6)dy+int_0^1(1/(6sqrt(1-y))+1/3)dy+1/6=1/6+[y/3-1/3sqrt(1-y)]_0^1+1/6=1/6+2/3+1/6=1$

Per la $E[Y],sigma_Y^2$ appliga il teorema per cui
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(x)f_X(x)dx$
$E[Y^2]=E[g^2(X)]=int_{-infty}^{+infty}g^2(x)f_X(x)dx$
$sigma_Y^2=E[Y^2]-E^2[Y]$

oppure applicando la definizione.

Troverai facendo i conti che:

$E[Y]=23/36$
$E[Y^2]=61/90$
$sigma_Y^2=61/90-529/1296=1747/6480

[Sk_Anonymous]

Ok,grazie.

Se l'esercizio mi chiedeva anche $F_Y(y)$ com avrei dovuto procedere?