Trasformazioni di variabili aleatorie

[Sk_Anonymous]

Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.

[Sk_Anonymous]

$g(x)={(1,-3<=x<2),(-1-x,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<=5):}4

Ho un impulso centrato in $y=1$ di ampiezza $1/8$ se $-3<=x<-2$
$f_Y(y)=1/4,0<=y<1$
impulso centrato in $y=0$ di ampiezza $1/4$ se $-1<=x<1$
altro impulso centrato in $y=1$ ma di ampiezza $3/8$ quando $2<=x<=5$.

[Sk_Anonymous]

scusa ho postato la figura errata ora edito

[Sk_Anonymous]

$y<0 => F_Y(y)=1,y>1 => f_Y(y)=0$

[Sk_Anonymous]

$0<=y<1 => F_Y(y)=int_0^(y)1/4du+1/2+1/4=1/4y+3/4

ok?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$0<=y<1 => F_Y(y)=int_0^(y)1/4du+1/2+1/4=1/4y+3/4

ok?

$g(x)={(1,-3<=x<-2),(-x-1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<5):}$

$f_Y(y)=1/2delta(y-1)+1/4delta(y)+1/4Pi[y-1/2]$ ed infatti $int_{-infty}^{+infty}f_Y(y)dy=1/2+1/4+1/4=1$

$F_Y(y)={(0,y<0),(1/4+int_{0}^{y}1/4dt=(y+1)/4,0<=y<1),(2/4+1/2=1,y>1):}$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]$0<=y<1 => F_Y(y)=int_0^(y)1/4du+1/2+1/4=1/4y+3/4

ok?

$g(x)={(1,-3<=x<-2),(-x-1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<5):}$

$f_Y(y)=1/2delta(y-1)+1/4delta(y)+1/4Pi[y-1/2]$ ed infatti $int_{-infty}^{+infty}f_Y(y)dy=1/2+1/4+1/4=1$

$F_Y(y)={(0,y<0),(1/4+int_{0}^{y}1/4dt=(y+1)/4,0<=y<1),(2/4+1/2=1,y>1):}$[/quote]

l'intervallo $yin[-1,0]$ da dove l'hai preso?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]$0<=y<1 => F_Y(y)=int_0^(y)1/4du+1/2+1/4=1/4y+3/4

ok?

$g(x)={(1,-3<=x<-2),(-x-1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(1,2<=x<5):}$

$f_Y(y)=1/2delta(y-1)+1/4delta(y)+1/4Pi[y-1/2]$ ed infatti $int_{-infty}^{+infty}f_Y(y)dy=1/2+1/4+1/4=1$

$F_Y(y)={(0,y<0),(1/4+int_{0}^{y}1/4dt=(y+1)/4,0<=y<1),(2/4+1/2=1,y>1):}$[/quote]

l'intervallo $yin[-1,0]$ da dove l'hai preso?[/quote]

da nessun parte, ho editato infatti

[_nicola de rosa]

te ne propongo uno:

Sia $X$ una v.a con $f_X(x)=1/2Pi[(x-x_0)/Delta]+1/2delta(x-Delta)$
1) Determinare $x_0,Delta$ in modo che $f_X(x)$ sia una valida pdf e valga $E[X]=1$
2)Determinare $F_X(x)$
3)Calcolare $P(X=1),P(1

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

Deve essere:

$int_(-infty)^(+infty)[1/2*Pi((x-x_0)/Delta)+1/2*delta(x-Delta)]dx=1$

$=> int_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)1/2dx+1/2=1 => 1/2*(Delta/2+x_0+Delta/2-x_0)+1/2=1 => Delta=1$

[Sk_Anonymous]

$E[X]=1$

$=> int_(-infty)^(+infty)x*f_X(x)dx=1 <=> int_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)1/2xdx+int_(-infty)^(+infty)x*1/2*delta(x-Delta)dx=1 <=>
$<=> 1/4[x^2]_(-Delta/2-x_0)^(Delta/2+x_0)+Delta/2=1 <=> 1/4*[(Delta/2+x_0)^2-(-Delta/2-x_0)^2]+Delta/2=1 <=>
$<=> 1/4*[Delta^2/4+x_0^2+Delta*x_0-Delta^2/4-Delta*x_0-x_0^2]+Delta/2=1

[Sk_Anonymous]

c'è qualcosa che non va.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$E[X]=1$

$=> int_(-infty)^(+infty)x*f_X(x)dx=1 <=> int_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)1/2xdx+int_(-infty)^(+infty)x*1/2*delta(x-Delta)dx=1 <=>
$<=> 1/4[x^2]_(-Delta/2-x_0)^(Delta/2+x_0)+Delta/2=1 <=> 1/4*[(Delta/2+x_0)^2-(-Delta/2-x_0)^2]+Delta/2=1 <=>
$<=> 1/4*[Delta^2/4+x_0^2+Delta*x_0-Delta^2/4-Delta*x_0-x_0^2]+Delta/2=1

$1/4[x^2]_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)+Delta/2=1 <=> 1/4*[(Delta/2+x_0)^2-(-Delta/2+x_0)^2]+Delta/2=1 <=>$ $1/4*[Delta^2/4+x_0^2+Delta*x_0-Delta^2/4+Delta*x_0-x_0^2]+Delta/2=1<=>1/2Delta*x_0+1/2Delta=1$
cioè $1/2x_0=1/2->x_0=1$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]$E[X]=1$

$=> int_(-infty)^(+infty)x*f_X(x)dx=1 <=> int_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)1/2xdx+int_(-infty)^(+infty)x*1/2*delta(x-Delta)dx=1 <=>
$<=> 1/4[x^2]_(-Delta/2-x_0)^(Delta/2+x_0)+Delta/2=1 <=> 1/4*[(Delta/2+x_0)^2-(-Delta/2-x_0)^2]+Delta/2=1 <=>
$<=> 1/4*[Delta^2/4+x_0^2+Delta*x_0-Delta^2/4-Delta*x_0-x_0^2]+Delta/2=1

$1/4[x^2]_(-Delta/2+x_0)^(Delta/2+x_0)+Delta/2=1 <=> 1/4*[(Delta/2+x_0)^2-(-Delta/2+x_0)^2]+Delta/2=1 <=>$ $1/4*[Delta^2/4+x_0^2+Delta*x_0-Delta^2/4+Delta*x_0-x_0^2]+Delta/2=1<=>1/2Delta*x_0+1/2Delta=1$
cioè $1/2x_0=1/2->x_0=1$[/quote]

Il solito distratto
Il bello è che sopra gli estremi li avevo scritti per bene!

[Sk_Anonymous]

$F_Y(y)=int_(1/2)^y1/2dt+1/2

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$F_Y(y)=int_(1/2)^y1/2dt+1/2

Calma.

Sappiamo che $f_X(x)=1/2Pi[x-1/2]+1/2delta(x-1)$

Quindi vanno distinti due casi $1/2<=x<1,1<=x<=3/2$

Allora

$F_X(x)={(0,x<1/2),(int_{1/2}^{x}1/2du=1/2(x-1/2)=(2x-1)/4,1/2<=x<1),(1/4+1/2+int_{1}^{x}1/2du=3/4+1/2(x-1)=(2x+1)/4,1/2<=x<=3/2),(1,x>3/2):}$

[voidnull]

ciao ho trovato posto giusto dove postare spero che mi rispondiate.l' esercizio è il seguente data $U \sim [-2,2]$la funzione g(x) rappresentata in figura in formule:$\{(2-x \if x>=1) ,(x \if|x|<=1),(-2-x \if x<=-1):}$
[asvg]axes("labels", "grid");line([-2, 0], [-1, -1]);line([-1, -1], [1, 1]); line([1, 1], [2, 0]);[/asvg]data poi la trasformazione $Y=g(X)$ determinare media varianza e cdf della Y - ok - media = 0 , varianza = 1/3 - - per la cdf panico.
allora nota la formula fondamentale $Fy(y)=P({ Y<=y })$ $\{(1 \if y>=1) ,(0 \ify<=1),(........... if 0<=y<=1),(.......... if -1<=y<=0):}$
io procederei così ma penso e sò è sbagliato prendo un generico punto sull'asse y compreso tra -1 e 0
e dico che la $Fy(y)$ $1<=y<=0 = [1- P{y<=x<=2-y}] $ e questo è giusto .
qual'è lo sbaglio che compio se dico che P{y<=x<=2-y} è uguale a 2-2y?vorrei capire come si svolge più che il brutale risultato che ho su dei fogli ma non sò se è giusto aiutatemi nello svolgimento