Trasformazioni di variabili aleatorie
Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.
Risposte
"Aeneas":
Il testo è identico ai precedenti e $X$ è distr. unif. in $[-3.3]$
Alla fine quanto vale $F_Y(y)$?
Sia $XU[-5,5]$. Sia $Y$ una v.a. ottenuta come trasformazione della $X$ per mezzo della funzione $g(x)$ della figura:
Calcolare e disegnare $f_Y(y)$.
Calcolare la media.
$g(x)={(-x-3,-5<=x<-2),(-x-1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(x-3,2<=x<=5):}
da cui ho ottenuto che:
$f_Y(y)=1/5rect((y-1/2)/3)+1/5rect(y-1/2)+1/5delta(y)$ il cui grafico è (dovrebbe essere):
Infine la media dovrebbe essere:
$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)y*f_Y(y)dy=int_(-3/2)^(3/2)y*1/5dy+int_(-1/2)^(1/2)y*1/5dy+1/5*0=2/5int_0^(3/2)ydy+2/5int_0^(1/2)ydy=1/5[y^2]_0^(3/2)+1/5[y^2]_0^(1/2)=9/20+1/20=1/2$
Calcolare e disegnare $f_Y(y)$.
Calcolare la media.
$g(x)={(-x-3,-5<=x<-2),(-x-1,-2<=x<-1),(0,-1<=x<1),(x-1,1<=x<2),(x-3,2<=x<=5):}
da cui ho ottenuto che:
$f_Y(y)=1/5rect((y-1/2)/3)+1/5rect(y-1/2)+1/5delta(y)$ il cui grafico è (dovrebbe essere):
Infine la media dovrebbe essere:
$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)y*f_Y(y)dy=int_(-3/2)^(3/2)y*1/5dy+int_(-1/2)^(1/2)y*1/5dy+1/5*0=2/5int_0^(3/2)ydy+2/5int_0^(1/2)ydy=1/5[y^2]_0^(3/2)+1/5[y^2]_0^(1/2)=9/20+1/20=1/2$
Bene il calcolo di $f_Y(y)$ (finalmente...scherzo)
La media : NO:
$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)y*f_Y(y)dy=int_(-1)^(2)y*1/5dy+int_(0)^(1)y*1/5dy+1/5*0=[y^2/10]_{-1}^{2}+[y^2/10]_{0}^{1}$=
$4/10-1/10+1/10=2/5$
La media : NO:
$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)y*f_Y(y)dy=int_(-1)^(2)y*1/5dy+int_(0)^(1)y*1/5dy+1/5*0=[y^2/10]_{-1}^{2}+[y^2/10]_{0}^{1}$=
$4/10-1/10+1/10=2/5$
Il grafico è ok?
L'unica cosa in cui mi confondo in questi esercizi è,come in modo irritante ho ripetuto,il calcolo di $F_Y(y)$ quando nella densità di probabilità compaiono delta di dirac.
Se puoi farmi capire...
L'unica cosa in cui mi confondo in questi esercizi è,come in modo irritante ho ripetuto,il calcolo di $F_Y(y)$ quando nella densità di probabilità compaiono delta di dirac.
Se puoi farmi capire...
"Aeneas":
Il grafico è ok?
L'unica cosa in cui mi confondo in questi esercizi è,come in modo irritante ho ripetuto,il calcolo di $F_Y(y)$ quando nella densità di probabilità compaiono delta di dirac.
Se puoi farmi capire...
Ovviamente la $f_Y(y)=1/5rect((y-1/2)/3)+1/5rect(y-1/2)+1/5delta(y)$ calcolata va bene, però è sempre meglio scriverla come somma di funzioni che si riferiscono ad intervalli disgiunti. Mi spiego meglio. Per come calcolata si ha:
$f_Y(y)={(1/5,-1<=y<=2),(1/5,0<=y<=1),(1/5,y=0):}$
Per cui è meglio prendere in considerazione tre intervalli disgiunti : $[-1,0),[0,1),[1,2)$ per cui
$f_Y(y)={(1/5,-1<=y<0),(2/5,0<=y<1),(1/5,1<=y<2),(1/5,y=0):}$
per cui il grafico è giusto.
Calcolo CDF:
$y<-1->F_Y(y)=0$
$-1<=y<0->F_Y(y)=int_{-1}^{y}1/5du=y/5+1/5$
$0<=y<1->F_Y(y)=int_{0}^{y}2/5du=(2y)/5$
$1<=y<2->F_Y(y)=int_{1}^{y}1/5du=y/5-1/5$
$y>=2->F_Y(y)=1$
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]Il grafico è ok?
L'unica cosa in cui mi confondo in questi esercizi è,come in modo irritante ho ripetuto,il calcolo di $F_Y(y)$ quando nella densità di probabilità compaiono delta di dirac.
Se puoi farmi capire...
Ovviamente la $f_Y(y)=1/5rect((y-1/2)/3)+1/5rect(y-1/2)+1/5delta(y)$ calcolata va bene, però è sempre meglio scriverla come somma di funzioni che si riferiscono ad intervalli disgiunti. Mi spiego meglio. Per come calcolata si ha:
$f_Y(y)={(1/5,-1<=y<=2),(1/5,0<=y<=1),(1/5,y=0):}$
Per cui è meglio prendere in considerazione tre intervalli disgiunti : $[-1,0),[0,1),[1,2)$ per cui
$f_Y(y)={(1/5,-1<=y<0),(2/5,0<=y<1),(1/5,1<=y<2),(1/5,y=0):}$
per cui il grafico è giusto.
Calcolo CDF:
$y<-1->F_Y(y)=0$
$-1<=y<0->F_Y(y)=int_{-1}^{y}1/5du=y/5+1/5$
$0<=y<1->F_Y(y)=int_{0}^{y}2/5du=(2y)/5$
$1<=y<2->F_Y(y)=int_{1}^{y}1/5du=y/5-1/5$
$y>=2->F_Y(y)=1$[/quote]
Ho capito.Grazie.
Se abbiamo:
$f_y(y)={(1/6,-1<=y<0),(1/6,0<=y<1):}+1/6delta(y+1)+1/3delta(y)+1/6delta(y-1)$,
allora:
$F_Y(y)={(0,y<-1),(1/6(y+1),-1<=y<0),(1/6y,0<=y<1),(1,y>=1):}$?
Purtroppo il libro porta:
$F_Y(y)={(0,y<-1),((y+2)/6,-1<=y<0),((y+4)/6,0<=y<1),(1,y>=1):}$
Chi sbaglia?!
$f_y(y)={(1/6,-1<=y<0),(1/6,0<=y<1):}+1/6delta(y+1)+1/3delta(y)+1/6delta(y-1)$,
allora:
$F_Y(y)={(0,y<-1),(1/6(y+1),-1<=y<0),(1/6y,0<=y<1),(1,y>=1):}$?
Purtroppo il libro porta:
$F_Y(y)={(0,y<-1),((y+2)/6,-1<=y<0),((y+4)/6,0<=y<1),(1,y>=1):}$
Chi sbaglia?!
"Aeneas":
Se abbiamo:
$f_y(y)={(1/6,-1<=y<0),(1/6,0<=y<1):}+1/6delta(y+1)+1/3delta(y)+1/6delta(y-1)$,
allora:
$F_Y(y)={(0,y<-1),(1/6(y+1),-1<=y<0),(1/6y,0<=y<1),(1,y>=1):}$?
Purtroppo il libro porta:
$F_Y(y)={(0,y<-1),((y+2)/6,-1<=y<0),((y+4)/6,0<=y<1),(1,y>=1):}$
Chi sbaglia?!
non so se è la $f_Y(y)$ sbagliata o meno, quindi se mi fornisci il testo completo forse è meglio
"Aeneas":
[quote="Aeneas"]
Il testo è identico ai precedenti e $X$ è distr. unif. in $[-3.3]$
Alla fine quanto vale $F_Y(y)$?[/quote]
E allora?Come la mettiamo?
Sia $X$ una v.a. la cui funzione dnsità di probabilità è $f_X(x)=k*delta(x-3)+1/10*rect((x-1)/6)$ e sia $g(x)=e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la v.a. ottenuta trasformando la $X$ tramite la funzione $g(x)$.Calcolare media e varianza di $Y$.
Sia $Y$ la v.a. ottenuta trasformando la $X$ tramite la funzione $g(x)$.Calcolare media e varianza di $Y$.
Ho capito come si fa,l'unico dubbio è questo:
$E{Y^2}=int_(-infty)^(+infty)y^2f_Y(y)dy=1/4int_0^1y^2dy+1/2=1/12+1/2=7/12$
da cui,avendo trovato $E{Y}=5/8$ segue che $sigma_Y^2=7/12-25/64=37/192$?
$E{Y^2}=int_(-infty)^(+infty)y^2f_Y(y)dy=1/4int_0^1y^2dy+1/2=1/12+1/2=7/12$
da cui,avendo trovato $E{Y}=5/8$ segue che $sigma_Y^2=7/12-25/64=37/192$?
Sia $X$ v.a. esponenzile bilatera,cioè: $f_X(x)=1/2*exp(-|x|)$.
La v.a. $Y$ viene ottenuta secondo la legge $Y=g(X)$,ove la funzione $g(x)={(0,-2<=x<=2),(x/2,|x|>2):}$.
Calcolare $f_y(y),F_Y(y)$ e valutare media e varianza di $Y$.
La v.a. $Y$ viene ottenuta secondo la legge $Y=g(X)$,ove la funzione $g(x)={(0,-2<=x<=2),(x/2,|x|>2):}$.
Calcolare $f_y(y),F_Y(y)$ e valutare media e varianza di $Y$.
"Aeneas":
Ho capito come si fa,l'unico dubbio è questo:
$E{Y^2}=int_(-infty)^(+infty)y^2f_Y(y)dy=1/4int_0^1y^2dy+1/2=1/12+1/2=7/12$
da cui,avendo trovato $E{Y}=5/8$ segue che $sigma_Y^2=7/12-25/64=37/192$?
Innanzitutto trovi $k$ e poi applichi il teorema fondamentale sul calcolo della media
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(X)f_X(x)dx$
$E[Y^2]=E[g^2(X)]=int_{-infty}^{+infty}g^2(X)f_X(x)dx$
"Aeneas":
Sia $X$ v.a. esponenzile bilatera,cioè: $f_X(x)=1/2*exp(-|x|)$.
La v.a. $Y$ viene ottenuta secondo la legge $Y=g(X)$,ove la funzione $g(x)={(0,-2<=x<=2),(x/2,|x|>2):}$.
Calcolare $f_y(y),F_Y(y)$ e valutare media e varianza di $Y$.
Classico modo di procedere: posta una tua soluzione e poi vediamo se hai fatto bene
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]Ho capito come si fa,l'unico dubbio è questo:
$E{Y^2}=int_(-infty)^(+infty)y^2f_Y(y)dy=1/4int_0^1y^2dy+1/2=1/12+1/2=7/12$
da cui,avendo trovato $E{Y}=5/8$ segue che $sigma_Y^2=7/12-25/64=37/192$?
Innanzitutto trovi $k$ e poi applichi il teorema fondamentale sul calcolo della media
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(X)f_X(x)dx$
$E[Y^2]=E[g^2(X)]=int_{-infty}^{+infty}g^2(X)f_X(x)dx$[/quote]
Si,ho fatto così,volevo solo confrontare i risultati.
"Aeneas":
[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]Ho capito come si fa,l'unico dubbio è questo:
$E{Y^2}=int_(-infty)^(+infty)y^2f_Y(y)dy=1/4int_0^1y^2dy+1/2=1/12+1/2=7/12$
da cui,avendo trovato $E{Y}=5/8$ segue che $sigma_Y^2=7/12-25/64=37/192$?
Innanzitutto trovi $k$ e poi applichi il teorema fondamentale sul calcolo della media
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(X)f_X(x)dx$
$E[Y^2]=E[g^2(X)]=int_{-infty}^{+infty}g^2(X)f_X(x)dx$[/quote]
Si,ho fatto così,volevo solo confrontare i risultati.[/quote]
Non è che della trasformazione $Y=g(X)$ te ne sei infischiato? fai bene i conti e semmai posta i calcoli
Allora..
Imponendo che deve essere $int_(-infty)^(+infty)f_X(x)dx=1$ ho ottenuto $k=9/10$.
Pertanto: $f_X(x)=9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)$
ora: $g(x)={(e^x,x<0),(e^(-x),x>=0):}$
$E{Y}=E{g}=int_(-infty)^(+infty)g(x)*f_X(x)dx=
$=int_(-infty)^0[e^x*(9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)]dx+int_0^(+infty)[e^(-x)*(9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)]dx=
$=9/10int_(-infty)^0e^x*delta(x-3)dx+1/10int_(-3)^0e^xdx+9/10int_0^(+infty)e^x*delta(x-3)dx+1/10int_0^3e^(-x)dx=
$=(9e^(-3))/10+1/10[e^x]_(-3)^0+(9e^(-3))/10-1/10[e^-x]_0^3=
$=9/5*e^(-3)+1/10*(1-e^(-3))-1/10*(e^(-3)-1)=9/5*e^(-3)+1/5*(1-e^(-3))=1/5+8/5*e^(-3)
Imponendo che deve essere $int_(-infty)^(+infty)f_X(x)dx=1$ ho ottenuto $k=9/10$.
Pertanto: $f_X(x)=9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)$
ora: $g(x)={(e^x,x<0),(e^(-x),x>=0):}$
$E{Y}=E{g}=int_(-infty)^(+infty)g(x)*f_X(x)dx=
$=int_(-infty)^0[e^x*(9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)]dx+int_0^(+infty)[e^(-x)*(9/10delta(x-3)+1/10rect((x-1)/6)]dx=
$=9/10int_(-infty)^0e^x*delta(x-3)dx+1/10int_(-3)^0e^xdx+9/10int_0^(+infty)e^x*delta(x-3)dx+1/10int_0^3e^(-x)dx=
$=(9e^(-3))/10+1/10[e^x]_(-3)^0+(9e^(-3))/10-1/10[e^-x]_0^3=
$=9/5*e^(-3)+1/10*(1-e^(-3))-1/10*(e^(-3)-1)=9/5*e^(-3)+1/5*(1-e^(-3))=1/5+8/5*e^(-3)
spero che i calcoli siano giusti;ricopiando dal quaderno mi sono accorto che avevo scritto male $9/10$ motivo per cui mi sembrava un altro $1/10$.
Chi non capisce la propria scrittura è...
Chi non capisce la propria scrittura è...
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]Sia $X$ v.a. esponenzile bilatera,cioè: $f_X(x)=1/2*exp(-|x|)$.
La v.a. $Y$ viene ottenuta secondo la legge $Y=g(X)$,ove la funzione $g(x)={(0,-2<=x<=2),(x/2,|x|>2):}$.
Calcolare $f_y(y),F_Y(y)$ e valutare media e varianza di $Y$.
Classico modo di procedere: posta una tua soluzione e poi vediamo se hai fatto bene[/quote]
Sia $-2<=x<=2$
$f_Y(y)=delta(y)*int_(-2)^2f_X(x)dx=delta(y)*int_(-2)^(0)1/2*e^xdx+delta(y)*int_0^(2)1/2e^(-x)dx=
$=1/2delta(y)*(1-e^(-2))+1/2delta(y)*(1-e^(-2))=delta(y)*(1-e^(-2))$
$|x|>2$
$y=x/2 => |y|>1$
$f_Y(y)=[(f_X(x))/|g^'(x)|]_(x=2y)=e^(-|2y|)$
per cui $f_Y(y)={(e^(-|2y|),|y|>1),(delta(y)*(1-e^(-2)),"altrove"):}
ora c'è il solito delta che mette in crisi l'espressione della $F_Y(y)$ come capitato negli esercizi precedenti.
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