Trasformazioni di variabili aleatorie
Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.
Risposte
"Aeneas":
Sia $X$ una variabile aleatoria la cui densità di probabilità è $f_X(x)=1/2e^(-|x|)$.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione $g(x)$ rappresentata in figura.
Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.
$g(x)={(0,|x|>1),(-x,|x|<=1):}$
Quindi in $y=0$ la $f_Y(y)$ avrà un impulso , cioè:
$y=0->f_y(y)=delta(y)[int_(-infty)^-1f_X(x)dx+int_1^(+infty)f_X(x)dx]=delta(y)[int_(-infty)^(-1)1/2e^(x)dx+int_1^(+infty)1/2e^(-x)dx]}$=
$delta(y){[1/2e^x]_(x=-infty)^(x=1)+[-1/2e^(-x)]_(x=1)^(x=+infty)}=delta(y)[1/2e+1/2e^(-1)]=1/2delta(y)[e+e^(-1)]$
Vediamo ora nell'intervallo $|x|<=1$
Se $|x|<=1 -> |y|<=1$ ed $f_Y(y)=[(f_X(x))/(|(dg(x))/(dx)|)]_(x=-y)=1/2e^(-|y|)$
Per cui
$f_Y(y)=1/2delta(y)[e+e^(-1)]+1/2e^(-|y|)Pi[y/2]$ dove $Pi[y]={(1,|y|<=1/2),(0,|y|>1/2):}$
La media e la varianza le calcoli al solito modo attraverso il teorema fondamentale o applicando la definizione. Se hai problemi dimmelo
"nicola de rosa":
Quindi in $y=0$ la $f_Y(y)$ avrà un impulso
da cosa lo si deduce?
Come mai, inoltre, hai aggiunto la funzione rettangolo?
"Aeneas":
Come mai, inoltre, hai aggiunto la funzione rettangolo?
la funzione $Pi[y/2]$ l'ho introdotta perche $f_Y(Y)=1/2e^(-|y|)$ solo per $|y|<=1<=>-1<=y<=1$
la trasformazione è costante e pari a 0 per $|x|>1$ per cui se applichi il teorema di trasformazione hai una derivata nulla e sta al denominatore per cui la $f_Y(Y)$ tenderà all'infinito per $y=0$ e questo è possibile solo se in $y=0$ hai una delta
Io so che la media è data da $E{Y}=int_(-infty)^(+infty)yf_Y(y)dy$ mentre la varianza è data da $sigma_Y^2=E{Y}-eta_Y^2$.
Quale sarebbe l'altro metodo?
Quale sarebbe l'altro metodo?
"nicola de rosa":
$y=0->f_y(y)=delta(y)[int_(-infty)^-1f_X(x)dx+int_1^(+infty)f_X(x)dx]=delta(y)[int_(-infty)^(-1)1/2e^(x)dx+int_1^(+infty)1/2e^(-x)dx]}$=
$delta(y){[1/2e^x]_(x=-infty)^(x=1)+[-1/2e^(-x)]_(x=1)^(x=+infty)}=delta(y)[1/2e+1/2e^(-1)]=1/2delta(y)[e+e^(-1)]$
Un'altra cosa.. nell'intervallo $]-infty,-1]$ perchè la funzione è diventata $1/2e^x$?Non dovrebbe essere $1/2e^-x$ dal momento che davanti al modulo c'è un segno meno?
"Aeneas":
[quote="nicola de rosa"]
$y=0->f_y(y)=delta(y)[int_(-infty)^-1f_X(x)dx+int_1^(+infty)f_X(x)dx]=delta(y)[int_(-infty)^(-1)1/2e^(x)dx+int_1^(+infty)1/2e^(-x)dx]}$=
$delta(y){[1/2e^x]_(x=-infty)^(x=1)+[-1/2e^(-x)]_(x=1)^(x=+infty)}=delta(y)[1/2e+1/2e^(-1)]=1/2delta(y)[e+e^(-1)]$
Un'altra cosa.. nell'intervallo $]-infty,-1]$ perchè la funzione è diventata $1/2e^x$?Non dovrebbe essere $1/2e^-x$ dal momento che davanti al modulo c'è un segno meno?[/quote]
$|x|={(x,x>=0),(-x,x<0):}$ per cui
$-|x|={(-x,x>=0),(x,x<0):}$
Per la media quella che hai scritto tu seguono dalla definizione.
L'altro modo che io intendevo è che data una trasfprmazione $Y=g(X)$ si ha:
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(x)f_X(x)dx$ e $E[Y^2]=E[g^2(X)]=int_{-infty}^{+infty}g^2(x)f_X(x)dx$ da cui
$sigma_Y^2=E[Y^2]-E^2[Y]$
Questa seconda strada, come noterai non passa attraverso il calcolo della $f_Y(y)$ ma si serve solo della trasformazione $Y=g(X)$ e della $f_X(x)$.
I due modi sono comunque utili per controllare e confrontare i risultati.
Nel tuo caso la media è facile da calcolare e non c'è bisogno di fare alcun integrale.
Utilizzo il secondo metodo: $E[Y]=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(x)f_X(x)dx$
In tal caso $g(X)=0,|x|>1$ per cui questi intervalli non danno contributo alla media. L'unico contributo è quello per $|x|<=1$ cioè
$E[Y]=E[g(X)]=int_{-1}^{+1}g(x)f_X(x)dx=int_{-1}^{+1}(-1/2xe^(-|x|))dx$. Ma la funzione $(-1/2xe^(-|x|))$ è una funzione dispari per cui il suo integrale in un intervallo simmetrico rispetto all'origine è nullo, cioè $E[Y]=0->sigma_Y^2=E[Y^2]=int_{-infty}^{+infty}g^2(x)f_X(x)dx=int_{-1}^{+1}1/2x^2e^(-|x|)dx$=
$2int_0^{1}1/2x^2e^(-|x|)dx=int_0^{1}x^2e^(-x)dx=[-e^(-x)(x^2+2x+2]_0^{1}=2-5e^(-1)$ in cui si sono sfruttate le proprietà per cui nell'intervallo $[0,1],|x|=x$ e la proprietà per cui essendo la funzione $1/2x^2e^(-|x|)$ una funzione pari in un intervallo $[-1,1]$ simmetrico rispetto all'origine, allora il suo integrale in suddetto intervallo e pari al doppio di quello nel semiintervallo $[0,1]$
OK.
"Aeneas":
OK.
ti ho postato pure i risultati di media e varianza
Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]OK.
ti ho postato pure i risultati di media e varianza[/quote]
Grazie,ora confronto con i miei risultati.
"Aeneas":
Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.
$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$
Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
per cui
$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$
Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.
Per media e varianza vale il discorso fatto prima
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]
Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.
$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$
Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
per cui
$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$
Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.
Per media e varianza vale il discorso fatto prima[/quote]
E $F_Y(y)$?
"Aeneas":
[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]
Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.
$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$
Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
per cui
$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$
Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.
Per media e varianza vale il discorso fatto prima[/quote]
E $F_Y(y)$?[/quote]
Puoi seguire due strade:
1)$F_Y(y)=int_(-infty)^{y}f_Y(t)dt$
2)Partire dalla $F_X(x)={(0,x<-2),((x+2)/8,-2<=x<6),(1,x>=6):}$ ed applicare la definizione $F_Y(y)=P{Y<=y}$ e così via
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"][quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]
Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra -2 e 6 e sia $g(x)$ la funzione rappresentata in figura.
Sia inoltre $Y=g(X)$;calcolare la distribuzione di probabilità e la densità di probabilità di $Y$,media e varianza.
$g(x)={(5/4x-1/2,-2<=x<2),(5/4x-9/2,2<=x<=6):}$
Analizziamo l'intervallo $-2<=x<2$. In esso vale $x=(4y+2)/5$ per cui $-2<=x<2<=>-3<=y<2$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
Analizziamo l'intervallo $2<=x<=6$. In esso vale $x=(4y+18)/5$ per cui $2<=x<6<=>-2<=y<=3$ ed
$f_Y(y)=(1/8)/(5/4)=1/10$
per cui
$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$
Infatti l'area sottesa da $f_Y(y)$ è unitaria.
Per media e varianza vale il discorso fatto prima[/quote]
E $F_Y(y)$?[/quote]
Puoi seguire due strade:
1)$F_Y(y)=int_(-infty)^{y}f_Y(t)dt$
2)Partire dalla $F_X(x)={(0,x<-2),((x+2)/8,-2<=x<6),(1,x>=6):}$ ed applicare la definizione $F_Y(y)=P{Y<=y}$ e così via[/quote]
Da dove hai preso $F_X(x)$?
Sembrerebbe la strada più comoda piuttosto che risolvere quell'integrale con rettangoli eppure non mi so raccapezzare!!
Da dove hai preso $F_X(x)$?
Sembrerebbe la strada più comoda piuttosto che risolvere quell'integrale con rettangoli eppure non mi so raccapezzare!![/quote]
La $F_X(x)$ che ti ho scritto è quella di una v.a $U(-2,6)$
Sembrerebbe la strada più comoda piuttosto che risolvere quell'integrale con rettangoli eppure non mi so raccapezzare!!
[/quote]La $F_X(x)$ che ti ho scritto è quella di una v.a $U(-2,6)$
Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.
"nicola de rosa":
$f_Y(y)=1/10Pi[(y+1/2)/5]+1/10Pi[(y-1/2)/5]$
Non mi è chiaro come trai questa conclusione.Boh..
"Aeneas":
Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.
visti gli esempi precedenti, tu come lo risolveresti?
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]
Stessa cosa del precedente solo che $X$ è distribuita uniformemente tra $-2$ e $2$.
visti gli esempi precedenti, tu come lo risolveresti?[/quote]
Ora ti rispondo.
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