Raccolta di esercizi in vista dell'esame.
Salve a tutti ragazzi, mi trovo (mio malgrado) a dover preparare l'esame di probabilità e statistica ad un passo dalla laurea e date le mie pessime esperienze con il docente e con il corso da lui tenuto ho delle enormi difficoltà ad approcciarmi a questa materia, che di per sè trovo anche interessante. Il materiale a mia disposizione è, secondo me, molto scadente (il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro). Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno 
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro.
Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro. Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Risposte
Ci penso un pò su e vedo di scrivere qualcosa (in questi giorni sono un pò incasinato)
Ok probabilità condizionata. Se non ho capito male anche qui si può utilizzare Bayes. Nel senso che:
$R_i$={urna contiene i palline rosse}
$N_i$={urna contiene i palline nere}
$E=${esce 3 volte rossa e 1 nera}
$P(R_2 nn N_2|E)=(P(E|R_2 nn N_2)P(R_2 nn N_2))/(P(E))$ (conviene vederlo così?)
Se è così allora non dovrebbe essere difficile calcolare $P(E|R_2 nn N_2)$, in quanto basta calcolare la probabilità che esca la configurazione $R-R-R-N-A$ (A=altri colori), cioè:
$2/10*2/10*2/10*2/10*6/10=48/10^5$
fin qui tutto ok?!
$R_i$={urna contiene i palline rosse}
$N_i$={urna contiene i palline nere}
$E=${esce 3 volte rossa e 1 nera}
$P(R_2 nn N_2|E)=(P(E|R_2 nn N_2)P(R_2 nn N_2))/(P(E))$ (conviene vederlo così?)
Se è così allora non dovrebbe essere difficile calcolare $P(E|R_2 nn N_2)$, in quanto basta calcolare la probabilità che esca la configurazione $R-R-R-N-A$ (A=altri colori), cioè:
$2/10*2/10*2/10*2/10*6/10=48/10^5$
fin qui tutto ok?!
Sono appena tornato dall'incontro con il prof per la correzione e credo di aver risolto il problema. Lui mi ha consigliato di indicare con $E$={esce 3 volte rossa, 1 nera} e con $H$={urna contiene 2 rosse, 2 nere e 6 di altri colori} e di calcolare:
$P(H|E)=(P(E|H)P(H))/(P(E))$
dove: $P(E|H)=(5!)/(3!*1!*1!)(2/10)^3(2/10)*(6/10)$
mentre per $P(E)$ mi ha consigliato di vederla come somma di eventi (ognuno dei quali condizionato, in cui in pratica devo tener conto di tutte le possibili configurazioni delle palline nelle urne, tenendo presente la richiesta dell'evento E), insomma alla fine viene una sommatoria di 21 termini (lui mi ha detto che l'importante è l'impostazione non li vuole tutti i calcoli), mentre per $P(H)$ basta vederla come probabilità assoluta (anche qui c'è da scrivere un pò tutti i casi possibili) dovrebbe essere $1/55$. Appena ho tempo provo a scrivere tutto in maniera più decente.
$P(H|E)=(P(E|H)P(H))/(P(E))$
dove: $P(E|H)=(5!)/(3!*1!*1!)(2/10)^3(2/10)*(6/10)$
mentre per $P(E)$ mi ha consigliato di vederla come somma di eventi (ognuno dei quali condizionato, in cui in pratica devo tener conto di tutte le possibili configurazioni delle palline nelle urne, tenendo presente la richiesta dell'evento E), insomma alla fine viene una sommatoria di 21 termini (lui mi ha detto che l'importante è l'impostazione non li vuole tutti i calcoli), mentre per $P(H)$ basta vederla come probabilità assoluta (anche qui c'è da scrivere un pò tutti i casi possibili) dovrebbe essere $1/55$. Appena ho tempo provo a scrivere tutto in maniera più decente.
"Lorin":
.... insomma alla fine viene una sommatoria di 21 termini .....
perchè 21 e non 36 ?
Li ho contati manualmente e le possibili terne di probabilitá (coerenti con l'ipotesi che escano 3 rosse, 1nera) sono proprio 21.
"Lorin":
Li ho contati manualmente e le possibili terne di probabilitá (coerenti con l'ipotesi che escano 3 rosse, 1nera) sono proprio 21.
Stai valutando che:
"Lorin":
Si estraggono 5 biglie con rimessa .....
Ora provo a spiegarti come ho ragionato e come sono usciti i 21 casi.
Ho indicato con p la probabilità di avere i palline rosse all'interno dell'urna, con q la probabilità di avere j palline nere, con r la probabilità di avere k palline di altri colori, quindi il primo caso possibile è
$H_1={p=3/10, q=1/10, r=6/10 }$
(non posso avere meno di 3 rosse e 1 nera perchè altrimenti sulle cinque estrazioni non posso mai avere 3 rosse e 1 nera, quindi questo per me è il caso minimo. Ad esempio ${p=1/10, q=2/10 ...}$ già non va bene!)
Gli altri $H_i$ li ottengo facendo variare i numeratori delle probabilità che ho messo in $H_1$ in modo tale che la somma dei numeratori sia sempre 10 e che si rispettino i casi minimi affinchè l'evento $E$ possa verificarsi, perchè io voglio
$P(E)=sum_(i=1)^(21)P(E|H_i)$
Ho indicato con p la probabilità di avere i palline rosse all'interno dell'urna, con q la probabilità di avere j palline nere, con r la probabilità di avere k palline di altri colori, quindi il primo caso possibile è
$H_1={p=3/10, q=1/10, r=6/10 }$
(non posso avere meno di 3 rosse e 1 nera perchè altrimenti sulle cinque estrazioni non posso mai avere 3 rosse e 1 nera, quindi questo per me è il caso minimo. Ad esempio ${p=1/10, q=2/10 ...}$ già non va bene!)
Gli altri $H_i$ li ottengo facendo variare i numeratori delle probabilità che ho messo in $H_1$ in modo tale che la somma dei numeratori sia sempre 10 e che si rispettino i casi minimi affinchè l'evento $E$ possa verificarsi, perchè io voglio
$P(E)=sum_(i=1)^(21)P(E|H_i)$
"Lorin":
(non posso avere meno di 3 rosse e 1 nera perchè altrimenti sulle cinque estrazioni non posso mai avere 3 rosse e 1 nera, quindi questo per me è il caso minimo. Ad esempio ${p=1/10, q=2/10 ...}$ già non va bene!)
continuo ad insistere, che le estrazioni sono con rimessa, quindi non capisco questo tuo ragionamento...
(...probabilmente avro' interpretato male io il testo....
)
Non so...ieri il prof cosi mi ha detto di vederle. Peró sono curioso di vedere le altre 15 situazioni come escono, me ne scrivi qualcuna?! (come ti dissi non mi fido tantissimo del suo ragionamento)
EDIT: Mi sa che hai ragione e posso considerare anche i casi minimi
$p=1/10 , q=1/10$
EDIT: Mi sa che hai ragione e posso considerare anche i casi minimi
$p=1/10 , q=1/10$
Li ho trovati i 15 casi mancanti e hai ragione perchè non ho sfruttato l'ipotesi della rimessa 
"Lorin":
Li ho trovati i 15 casi mancanti e hai ragione perchè non ho sfruttato l'ipotesi della rimessa
avevo capito che non avevi considerato la rimessa, ecco perchè l'ho sottolineato un paio di volte..
conosci il risultato ?
Lo porto al prof per un ulteriore conferma e ti faccio sapere!
Il risultato non c'è purtroppo...ma ti farò sapere!
Il risultato non c'è purtroppo...ma ti farò sapere!
a me viene molto basso... 
circa lo 0,86%
circa lo 0,86%
Io non sono riuscito a farlo il calcolo perchè sinceramente il pensiero di gestire una sommatoria con 21 termini non mi alletta. Però, ti ripeto, il prof stesso mi ha detto che quando i calcoli sono pesanti gli basta leggere il ragionamento e un'impostazione generale.
"Lorin":
Io non sono riuscito a farlo il calcolo perchè sinceramente il pensiero di gestire una sommatoria con 21 termini non mi alletta. Però, ti ripeto, il prof stesso mi ha detto che quando i calcoli sono pesanti gli basta leggere il ragionamento e un'impostazione generale.
Mi sembra chiaro che il calcolo l'ho fatto per una sola riga (in excel). Per poi ricopiare il tutto nelle righe successive.
Ecco perchè qualche giorno fa ti dissi che un foglio elettronico ti aiuta nei calcoli "pesanti".
Il conoscere il risultato ti aiuta a capire se il calcolo è effettivamente corretto o meno....
Allora ragazzi vi volevo informare che qualche giorno fa ho sostenuto l'esame scritto e su 25 (più o meno) persone sono stato l'unico a passare 
. A breve farò l'orale (dipende dal prof) e vi dirò tutto...preferisco ringraziarvi a lavoro compiuto
. A breve farò l'orale (dipende dal prof) e vi dirò tutto...preferisco ringraziarvi a lavoro compiuto
Ragazzi allora...
Oggi ho sostenuto l'orale dell'esame di probabilità e statistica ed è andato bene (30). Ne approfitto per ringraziarvi ancora per l'aiuto che mi avete dato...e per la pazienza con cui mi avete assistito e avete sopportato la mia ignoranza in materia. Le nostre chiacchierate mi hanno aperto un pò la mente e mi hanno fatto capire come avvicinarmi al calcolo delle probabilità e all'analisi combinatoria. Grazie di tutto...
Oggi ho sostenuto l'orale dell'esame di probabilità e statistica ed è andato bene (30). Ne approfitto per ringraziarvi ancora per l'aiuto che mi avete dato...e per la pazienza con cui mi avete assistito e avete sopportato la mia ignoranza in materia. Le nostre chiacchierate mi hanno aperto un pò la mente e mi hanno fatto capire come avvicinarmi al calcolo delle probabilità e all'analisi combinatoria. Grazie di tutto...
Fantastico...
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