Raccolta di esercizi in vista dell'esame.
Salve a tutti ragazzi, mi trovo (mio malgrado) a dover preparare l'esame di probabilità e statistica ad un passo dalla laurea e date le mie pessime esperienze con il docente e con il corso da lui tenuto ho delle enormi difficoltà ad approcciarmi a questa materia, che di per sè trovo anche interessante. Il materiale a mia disposizione è, secondo me, molto scadente (il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro). Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno 
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro.
Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro. Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Risposte
Si ma anche io in vero preferisco ragionare utilizzando il minimo numero di formule possibili per questo preferisco il tuo modo di ragionare. Il dividere quindi per 3! alla fine mi evita le ripetizioni, quindi svolge lo stesso ruolo del r! nella formula del coefficiente binomiale $( (n) , (r) )$ se non ho capito male
Esattamente,
quel divisore serve proprio a "ridurre" le disposizioni in combinazioni
quel divisore serve proprio a "ridurre" le disposizioni in combinazioni
Perfetto perfetto!
P.S.
Ricordi l'esercizio sul valore atteso che feci l'altro giorno? tu mi dicesti che c'era un modo per farlo senza scomodare quell'equazione che avevo usato...posso fare qualche ulteriore delucidazione!? :O
P.S.
Ricordi l'esercizio sul valore atteso che feci l'altro giorno? tu mi dicesti che c'era un modo per farlo senza scomodare quell'equazione che avevo usato...posso fare qualche ulteriore delucidazione!? :O
era qui ?
non lo vedo...
non lo vedo...
Eccomi a rompervi di nuovo con i miei carissimi esercizi di calcolo delle probabilità.
Testo:
Si considerano tre urne A, B e C contenenti biglie rosse e nere. In A sono 4 biglie rosse e 2 nere; in B sono 4 biglie rosse e 8 nere; in C sono 3 biglie rosse e 1 nera. Si estraggono a caso tre biglie, una per urna. Sapendo che sono state estratte esattamente due biglie nere, qual è la probabilità che da B sia stata estratta una biglia nera?
Premessa:
Oggi sono andato dal prof per fargli vedere un pò gli esercizi che sto facendo e lui mi ha mostrato l'approccio utilizzando il teorema di Bayes per questo esercizio, ma io non l'ho capito e mi è venuta un'idea per farlo in maniera molto elementare. Ditemi voi che ne pensate e se eventualmente si può fare anche con Bayes.
Svolgimento:
Dall'informazione del problema ho pensato a scrivere le possibili configurazioni che verificano l'estrazione delle tre biglie. Al primo posto metterò l'estrazione dall'urna A, al secondo posto dell'urna B, al terzo della C. Dunque abbiamo:
Rossa - Nera - Nera
Nera - Rossa - Nera
Nera - Nera - Rossa
quindi $P(E)=2/3$
perchè due sono le configurazioni in cui al secondo posto c'è la nera, su un totale di 3 estrazioni.
Che ne dite!? (tra l'altro anche al prof viene lo stesso risultato, ma con molta più fatica)
Testo:
Si considerano tre urne A, B e C contenenti biglie rosse e nere. In A sono 4 biglie rosse e 2 nere; in B sono 4 biglie rosse e 8 nere; in C sono 3 biglie rosse e 1 nera. Si estraggono a caso tre biglie, una per urna. Sapendo che sono state estratte esattamente due biglie nere, qual è la probabilità che da B sia stata estratta una biglia nera?
Premessa:
Oggi sono andato dal prof per fargli vedere un pò gli esercizi che sto facendo e lui mi ha mostrato l'approccio utilizzando il teorema di Bayes per questo esercizio, ma io non l'ho capito e mi è venuta un'idea per farlo in maniera molto elementare. Ditemi voi che ne pensate e se eventualmente si può fare anche con Bayes.
Svolgimento:
Dall'informazione del problema ho pensato a scrivere le possibili configurazioni che verificano l'estrazione delle tre biglie. Al primo posto metterò l'estrazione dall'urna A, al secondo posto dell'urna B, al terzo della C. Dunque abbiamo:
Rossa - Nera - Nera
Nera - Rossa - Nera
Nera - Nera - Rossa
quindi $P(E)=2/3$
perchè due sono le configurazioni in cui al secondo posto c'è la nera, su un totale di 3 estrazioni.
Che ne dite!? (tra l'altro anche al prof viene lo stesso risultato, ma con molta più fatica)
@Lorin: Ad un primo esame direi che però non hai sfruttato nessuna delle informazioni quantitative sulle urne...
Si ma in effetti non sono pienamente convinto ma non ci ho capito nulla di come ha fatto il mio prof, o meglio ho qualche flashback ma mi sembrava davvero troppo complesso. Se qualcuno mi può aiutare...
Io farei così:
\[ E_A : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $A$} \]
\[ E_B : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $B$} \]
\[ E_C : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $C$} \]
Consideri ora
\[ T : \text{dalle estrazioni risultano esattamente due palline nere} \]
\[ T = (E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) \]
Usando la definizione di probabilità condizionata:
\[ P( E_B | T ) = \frac{P( E_B \wedge [ (E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) ] )}{P((E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C))} \]
\[ = \frac{P ( E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) + P(\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C)}{P(E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) + P(E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) + P(\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) }\]
Però, se non ho sbagliato i conti, risulta $\frac{10}{11}$ che non è il valore da te indicato. Casomai più tardi controllerò eventuali sviste...
\[ E_A : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $A$} \]
\[ E_B : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $B$} \]
\[ E_C : \text{esce nera all'estrazione in cui consideri $C$} \]
Consideri ora
\[ T : \text{dalle estrazioni risultano esattamente due palline nere} \]
\[ T = (E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) \]
Usando la definizione di probabilità condizionata:
\[ P( E_B | T ) = \frac{P( E_B \wedge [ (E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) ] )}{P((E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) \vee (E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) \vee (\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C))} \]
\[ = \frac{P ( E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) + P(\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C)}{P(E_A \wedge E_B \wedge \overline{E}_C) + P(E_A \wedge \overline{E}_B \wedge E_C) + P(\overline{E}_A \wedge E_B \wedge E_C) }\]
Però, se non ho sbagliato i conti, risulta $\frac{10}{11}$ che non è il valore da te indicato. Casomai più tardi controllerò eventuali sviste...
Sul risultato confermo 2/3. Comunque nel caso fammi sapere...
Ti posso chiedere di postare quello che ti ricordi del ragionamento del tuo professore?
Il problema sta nel fatto che io e il docente utilizziamo due impostazioni diverse, cioè lui quando deve svolgere un esercizio lo fa in maniera molto più empirica della mia, nel senso che non si mette a scrivere tutti gli eventi e tutte le cose, quando spiega lo svolgimento ti costruisce lui la formula passo passo, ma ahimè sono ancora molto lontano da questo meccanismo. Sono abituato più ad un impostazione "scolastica". Ora ti dico un pò come lo avrei pensato di fare utilizzando Bayes (ci ho pensato un pò stamattina).
Indico con $U_i , i=1,2,3$ le tre urne, poi con:
$B=${estrazione di due biglie nere} , $E_i=${estrazione biglia nera dall'i-sima urna}
allora quello posso calcolare $P(E_2|B)$ (Bayes) , che ne dite? (non sono molto convinto)
Indico con $U_i , i=1,2,3$ le tre urne, poi con:
$B=${estrazione di due biglie nere} , $E_i=${estrazione biglia nera dall'i-sima urna}
allora quello posso calcolare $P(E_2|B)$ (Bayes) , che ne dite? (non sono molto convinto)
Ciao.
Posso confermare che anche a me viene $10/11$
Posso confermare che anche a me viene $10/11$
Ok...ma ora quello che vorrei un attimo capire è: si può impostare con Bayes in modo che glielo porto a vedere e vediamo che dice?!
Intanto vi posto il mio ragionamento utilizzando Bayes (e dovrei trovarmi come voi se tutti i conti sono giusti)
$P(E_2|B)=(P(B|E_2)P(E_2))/(P(B))$
$P(E_2)=2/3$
$P(B|E_2)=5/12$ l'ho calcolata pensando anche a quello che aveva detto Seneca, cioè questa qui è la probabilità di estrarre due palline nere sapendo che una nera la trovo nella seconda urna, andando a vedere i vari casi due sono quelli di mio interesse: N-N-R e R-N-N le cui probabilità condizionate le posso scrivere (dato che sono eventi indipendenti) così:
$P(N-N-R|E_2)= 2/6*3/4$
$P(R-N-N|E_2)=4/6*1/4$
dunque $P(B|E_2)=P(N-N-R|E_2)+P(R-N-N|E_2)=5/12$
mentre $P(B)=11/36$
quindi $P(E_2|B)=10/11$
$P(E_2|B)=(P(B|E_2)P(E_2))/(P(B))$
$P(E_2)=2/3$
$P(B|E_2)=5/12$ l'ho calcolata pensando anche a quello che aveva detto Seneca, cioè questa qui è la probabilità di estrarre due palline nere sapendo che una nera la trovo nella seconda urna, andando a vedere i vari casi due sono quelli di mio interesse: N-N-R e R-N-N le cui probabilità condizionate le posso scrivere (dato che sono eventi indipendenti) così:
$P(N-N-R|E_2)= 2/6*3/4$
$P(R-N-N|E_2)=4/6*1/4$
dunque $P(B|E_2)=P(N-N-R|E_2)+P(R-N-N|E_2)=5/12$
mentre $P(B)=11/36$
quindi $P(E_2|B)=10/11$
"Lorin":
Indico con $U_i , i=1,2,3$ le tre urne, poi con:
$B=${estrazione di due biglie nere} , $E_i=${estrazione biglia nera dall'i-sima urna}
allora quello posso calcolare $P(E_2|B)$ (Bayes) , che ne dite? (non sono molto convinto)
Ti faccio notare che questa descrizione del problema è esattamente quella che ho fatto anche io qui, con l'eccezione del calcolo di $P(E_2|B)$ (che io ho chiamato $P(E_B | T)$), che tu hai proposto mediante Bayes mentre io l'ho fatto mediante la definizione di probabilità condizionata, ché mi sembrava più semplice.
Ti ritrovi?
Si si 
"Lorin":
Ok...ma ora quello che vorrei un attimo capire è: si può impostare con Bayes in modo che glielo porto a vedere e vediamo che dice?!
Volendo potresti anche sfruttare la più elementare proprietà, già usata qualche giorno fa per il quesito delle 6T2C:
casi favorevoli / casi possibili
I possibili sono [R-N-N] [N-N-R] [N-R-N]. I favorevoli solo i primi 2 eventi dei 3.
Quindi: $(R.N.N + N.N.R) / (R.N.N + N.N.R + N.R.N)$
dove:
RNN = $4/6 * 8/12 * 1/4 = 1/9$
NNR = $2/6 * 8/12 * 3/4 = 1/6$
NRN = $2/6 * 4/12 * 1/4 = 1/36$
Quindi:
$(1/9 + 1/6) / (1/9 + 1/6 + 1/36)$
Si infatti, anche io ci ho pensato...
Grazie a tutti come sempre!
Ora un altro esercizio di cui ho parecchie difficoltà di approccio perchè è una sorta di problema inverso.
Testo:
Si estraggono 5 biglie con rimessa da un’urna contenente 10 biglie: se esce 3 volte una biglia rossa e 1 volta una biglia nera, calcolare la probabilità che l’urna contenga 2 biglie rosse, 2 biglie nere e 6 biglie di altri colori.
Ci ho pensato un pò questa mattina nel frattempo finivo il problema precedente ma non sono giunto a nessuna soluzione. Magari qualcuno mi può dare un input e nel frattempo ci ripenso con più calma. Grazie!
Grazie a tutti come sempre!
Ora un altro esercizio di cui ho parecchie difficoltà di approccio perchè è una sorta di problema inverso.
Testo:
Si estraggono 5 biglie con rimessa da un’urna contenente 10 biglie: se esce 3 volte una biglia rossa e 1 volta una biglia nera, calcolare la probabilità che l’urna contenga 2 biglie rosse, 2 biglie nere e 6 biglie di altri colori.
Ci ho pensato un pò questa mattina nel frattempo finivo il problema precedente ma non sono giunto a nessuna soluzione. Magari qualcuno mi può dare un input e nel frattempo ci ripenso con più calma. Grazie!
Proviamo...
\( R_2 : \text{ l'urna contiene 2 palline rosse } \)
\( N_2 : \text{ l'urna contiene 2 palline nere } \)
\[\text{Pr}(R_2 \wedge N_2 \;|\;\text{escono 3 rosse e una nera}) = \dots \]
Da qui riesci a concludere?
\( R_2 : \text{ l'urna contiene 2 palline rosse } \)
\( N_2 : \text{ l'urna contiene 2 palline nere } \)
\[\text{Pr}(R_2 \wedge N_2 \;|\;\text{escono 3 rosse e una nera}) = \dots \]
Da qui riesci a concludere?
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