Raccolta di esercizi in vista dell'esame.
Salve a tutti ragazzi, mi trovo (mio malgrado) a dover preparare l'esame di probabilità e statistica ad un passo dalla laurea e date le mie pessime esperienze con il docente e con il corso da lui tenuto ho delle enormi difficoltà ad approcciarmi a questa materia, che di per sè trovo anche interessante. Il materiale a mia disposizione è, secondo me, molto scadente (il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro). Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno 
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro.
Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro. Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Risposte
Si ora mi sono convinto. Mi sembra solo strano esserci riuscito utilizzando degli strumenti matematici. Prima di questo non aveco un vero e proprio metodo (causa prof). Ti ringrazio ancora
"Lorin":
Ti ringrazio ancora
Figurati... spero di non aver detto molte cavolate.
Quindi a questo punto, posso farti anche una altra domanda a trabocchetto, sull'argomento trattato ?
Confermo il meccanismo! (sn andato oggi dal prof)
Vai pure, spero io di non dire cavolate!
Vai pure, spero io di non dire cavolate!
"Lorin":
Confermo il meccanismo! (sn andato oggi dal prof)
Ottimo...
Bene.
Allora si parla sempre del lancio della stessa moneta truccata con p. 0,6, e sempre di 8 lanci.
La Sisal paga:
500 volte la giocata per l'uscita di [0T8C]
100 volte per [1T7C]
10 volte per [2T6C]
6 volte per [3T5C]
2 volte per [4T4C]
3 volte per [5T3C]
2 volte per [6T2C]
20 volte per [7T1C]
25 volte per [8T0C]
Lorin, che ha appena finito di studiare statistica, dopo aver fatto i suoi calcoli decide di giocarsi tutti i soldi che si ritrova in tasca su una determinata condizione, ma mentre è in fila in attesa di giocare, riceve una soffiata da parte di un suo amico. Ora sa che sono uscite un numero pari di teste (escluso anche le zero teste), e quindi decide di giocare su una altra combinazione.
Domanda: cosa aveva deciso di giocare Lorin prima della soffiata? e cosa dopo?
p.s. se usi lo schemino in excel, ci metti pochissimo.
Da una decina di minuti mi sono liberato e chiedo scusa in anticipo se dirò cose senza senso 
Comunque facendo un calcolo veloce direi che prima della soffiata avrei puntato su 5 teste e 3 croci, perchè calcolando viene che la probabilità che accada questo evento è: $0.27 => 0.27*3=0.84$ che fra tutti i casi è il più alto valore che ottengo. Senza gli strumenti comunque a prima vista avrei detto 0T8C (provando a fare i conti mi viene che la probabilità è bassissima.
EDIT: Nel frattempo volevo proporre un altro esercizio che ho fatto oggi ma ho un piccolo dubbio
Testo:
Stiamo giocando con quattro dadi. Se noi puntiamo sulle uscite nelle quali i punteggi sono a coppie, quante sono quelle che ci fanno vincere?!
Svolgimento:
Proviamo a fissare una stringa di lunghezza quattro dove in ogni spazio avrò l'esito del lancio di un singolo dado. Dato che io voglio studiare solo le uscite che mi fanno vincere cioè tipo: 11-66 , 22-33, 33-44 (e da intendersi così?), se indico con A l'uscita di una faccia di un singolo dado e con $B$ la faccia di un altro dado allora le uscite vincenti sono:
AABB - BBAA - ABAB - BABA - ABBA - BAAB?
RI-EDIT:
Sempre per quanto riguarda l'ultimo esercizio che ho postato, riflettendoci direi che bisogna escluderle configurazioni
BBAA - BABA - BAAB
perchè mi danno lo stesso risultato di AABB - ABAB - ABBA (che ne dite?!)
Comunque facendo un calcolo veloce direi che prima della soffiata avrei puntato su 5 teste e 3 croci, perchè calcolando viene che la probabilità che accada questo evento è: $0.27 => 0.27*3=0.84$ che fra tutti i casi è il più alto valore che ottengo. Senza gli strumenti comunque a prima vista avrei detto 0T8C (provando a fare i conti mi viene che la probabilità è bassissima.
EDIT: Nel frattempo volevo proporre un altro esercizio che ho fatto oggi ma ho un piccolo dubbio
Testo:
Stiamo giocando con quattro dadi. Se noi puntiamo sulle uscite nelle quali i punteggi sono a coppie, quante sono quelle che ci fanno vincere?!
Svolgimento:
Proviamo a fissare una stringa di lunghezza quattro dove in ogni spazio avrò l'esito del lancio di un singolo dado. Dato che io voglio studiare solo le uscite che mi fanno vincere cioè tipo: 11-66 , 22-33, 33-44 (e da intendersi così?), se indico con A l'uscita di una faccia di un singolo dado e con $B$ la faccia di un altro dado allora le uscite vincenti sono:
AABB - BBAA - ABAB - BABA - ABBA - BAAB?
RI-EDIT:
Sempre per quanto riguarda l'ultimo esercizio che ho postato, riflettendoci direi che bisogna escluderle configurazioni
BBAA - BABA - BAAB
perchè mi danno lo stesso risultato di AABB - ABAB - ABBA (che ne dite?!)
"Lorin":
Testo:
Stiamo giocando con quattro dadi. Se noi puntiamo sulle uscite nelle quali i punteggi sono a coppie, quante sono quelle che ci fanno vincere?!
Svolgimento:
Proviamo a fissare una stringa di lunghezza quattro dove in ogni spazio avrò l'esito del lancio di un singolo dado. Dato che io voglio studiare solo le uscite che mi fanno vincere cioè tipo: 11-66 , 22-33, 33-44 (e da intendersi così?),
se inteso come accoppiate diverse, quindi non è ammesso 11-11. (*)
"Lorin":
se indico con A l'uscita di una faccia di un singolo dado e con $B$ la faccia di un altro dado allora le uscite vincenti sono:
AABB - BBAA - ABAB - BABA - ABBA - BAAB?
Te ti stai calcolando le permutazioni con ripetizione (anagrammi), ma questi sono gli eventi possibili, non quelli vincenti (favorevoli).
"Lorin":
RI-EDIT:
Sempre per quanto riguarda l'ultimo esercizio che ho postato, riflettendoci direi che bisogna escluderle configurazioni
BBAA - BABA - BAAB
perchè mi danno lo stesso risultato di AABB - ABAB - ABBA (che ne dite?!)
Un po' meglio, ti sei reso conto che l'ordine nella richiesta conta poco, ma lo svolgimento con la differenziazione in A e B secondo me lo nasconde, facendoti pensare più alle permutazioni che alla stringa in sè.
Hai una stringa di lunghezza $4$ con alfabeto $S = {1,...,6}$, a te interessano le coppie con alfabeto uguale e le stringhe con $2$ coppie differenti.
Se fissiamo con $A = (s,s)$ una coppia di dadi con $s=s$ e $B$ la seconda, quante sono le coppie $\text{(A,B)}$ con \(A \neq B\).
"Lorin":
Comunque facendo un calcolo veloce direi che prima della soffiata avrei puntato su 5 teste e 3 croci, perchè calcolando viene che la probabilità che accada questo evento è: $0.27 => 0.27*3=0.84$ che fra tutti i casi è il più alto valore che ottengo.
Ti avevo detto che ti vedevo "poco convinto" .....
..... e dopo la soffiata ?
"Lorin":
Sempre per quanto riguarda l'ultimo esercizio che ho postato, riflettendoci direi che bisogna escluderle configurazioni
BBAA - BABA - BAAB
Ritengo che il testo ti stia chiedendo le disposizioni totali della "doppia coppia", tra i $6^4$ casi possibili.
Pertanto se come punto di partenza ti calcoli le combinazioni dei 2 numeri (quelli che hai chiamato A e B) $((6),(2))$ = 15 è giusto che tu prenda in esame tutte le 6 disposizioni $((4),(2))$
Hai quindi 90 "DoppieCoppie" possibili (escluso i 6 poker)
Per una verifica, e per esercitarti, potresti calcolare il numero di:
- Poker
- Tris
- Coppia semplice
- 4 Numeri diversi
e verificare che il totale sia 1.296
@Hamming: Uhm...leggendo la tua spiegazione, alla domanda:
Mi verrebbe da dire $ ( (6), (2) ) $ che sarebbero i possibili modi di inserire 6 "oggetti" in due spazi, cioè 15 uscite vincenti. Ora però, dato che non sono convinto al 100% vorrei spiegarti il meccanismo che ho adottato io (con il quale in effetti il numero di uscite favorevoli è troppo alto). Ho fissato una stringa di lunghezza 4, dove ogni casella rappresenta l'uscita di ogni dado, e dato che voglio solo le coppie (diverse), ad esempio: 11-22 , 11-33 (ho pensato alla configurazione AA-BB); poi ho pensato alla vittoria in caso usciva 12-12, 13-13 (e ho tratto la configurazione AB-BA) , ma ora riflettendoci bene questa configurazione non vale perchè non ottengo coppie diverse (grazie per la dritta).
Fondendo la tua osservazione con quella di Umby posso scrivere la soluzione in maniera completa. Grazie ancora!
@Umby: Per quanto riguarda il tuo esercizio ho ragionato sul fatto che $V=S/p$ e ho scelto quel caso perchè era l'unico (a meno di calcoli fatti male) che quando moltiplicavo $p*S$ mi dava il numero più alto rispetto alla scommessa, anche se ora che ci rifletto se io ad esempio scommettevo 1 euro, con i calcoli che ho fatto la Sisal mi doveva pagare tipo 0.84 centesimi, quindi ora non so se effettivamente conviene scommettere
Se fissiamo con A=(s,s) una coppia di dadi con s=s e B la seconda, quante sono le coppie (A,B) con A≠B.
Mi verrebbe da dire $ ( (6), (2) ) $ che sarebbero i possibili modi di inserire 6 "oggetti" in due spazi, cioè 15 uscite vincenti. Ora però, dato che non sono convinto al 100% vorrei spiegarti il meccanismo che ho adottato io (con il quale in effetti il numero di uscite favorevoli è troppo alto). Ho fissato una stringa di lunghezza 4, dove ogni casella rappresenta l'uscita di ogni dado, e dato che voglio solo le coppie (diverse), ad esempio: 11-22 , 11-33 (ho pensato alla configurazione AA-BB); poi ho pensato alla vittoria in caso usciva 12-12, 13-13 (e ho tratto la configurazione AB-BA) , ma ora riflettendoci bene questa configurazione non vale perchè non ottengo coppie diverse
(grazie per la dritta). Fondendo la tua osservazione con quella di Umby posso scrivere la soluzione in maniera completa. Grazie ancora!
@Umby: Per quanto riguarda il tuo esercizio ho ragionato sul fatto che $V=S/p$ e ho scelto quel caso perchè era l'unico (a meno di calcoli fatti male) che quando moltiplicavo $p*S$ mi dava il numero più alto rispetto alla scommessa, anche se ora che ci rifletto se io ad esempio scommettevo 1 euro, con i calcoli che ho fatto la Sisal mi doveva pagare tipo 0.84 centesimi, quindi ora non so se effettivamente conviene scommettere
Altro esercizio fatto ieri.
Testo:
Lanciando quattro volte un dado equo, qual è la probabilità di ottenere la ripetizione di un solo esito (ossia complessivamente solo tre risultati diversi)?
Svolgimento:
Anzitutto ho provato a vederlo in un altro modo, cioè anziché considerare il dado ho pensato di considerare un'urna con sei palline tutte di colore diverso. Quello che voglio, è una stringa di lunghezza 4 dove in ogni blocco voglio tre risultati diversi. Vedendolo tramite l'urna ho pensato di impostare questo problema come un misto di pescaggio con reinserimento e senza reinserimento. Allora:
azione I: pesco A con $p=1/6$ (rimetto A dentro)
azione II: pesco A con $p=1/6$ (non rimetto A)
azione III: pesco B con $p=1/5$ (non rimetto B)
azione IV: pesco C con $p=1/4$
Alla fine ho ottenuto la stringa AABC (dove ottengo la ripetizione di un solo esito e forzo gli altri due ad essere diversi). Dunque indicato con E l'evento richiestomi dal problema allora $P(E)=1/720=0.0013$
Che ne dite!?
Testo:
Lanciando quattro volte un dado equo, qual è la probabilità di ottenere la ripetizione di un solo esito (ossia complessivamente solo tre risultati diversi)?
Svolgimento:
Anzitutto ho provato a vederlo in un altro modo, cioè anziché considerare il dado ho pensato di considerare un'urna con sei palline tutte di colore diverso. Quello che voglio, è una stringa di lunghezza 4 dove in ogni blocco voglio tre risultati diversi. Vedendolo tramite l'urna ho pensato di impostare questo problema come un misto di pescaggio con reinserimento e senza reinserimento. Allora:
azione I: pesco A con $p=1/6$ (rimetto A dentro)
azione II: pesco A con $p=1/6$ (non rimetto A)
azione III: pesco B con $p=1/5$ (non rimetto B)
azione IV: pesco C con $p=1/4$
Alla fine ho ottenuto la stringa AABC (dove ottengo la ripetizione di un solo esito e forzo gli altri due ad essere diversi). Dunque indicato con E l'evento richiestomi dal problema allora $P(E)=1/720=0.0013$
Che ne dite!?
"Lorin":
Che ne dite!?
Vedo almeno un paio di erroracci nel tuo ragionamento.
Il testo mi sembra abbastanza chiaro, ti chiede la p. che tu ottenga una coppia lanciando 4 dadi.
Molto simile a quello precedente, dove ti avevo già consigliato di calcolarti quello che avevo definito la "coppia semplice".
Ti consiglio di verificare sempre il risultato anche (se vuoi) in modo empirico.
Pensa che i casi spossibili sono sempre 1.296 e dire che hai una p. pari a $1/720$ è come se avessi detto che tra i 1.296 ce ne sono 1,8 possibili (già il numero decimale ti deve far pensare ad un errore...).
Quindi, ti invito di nuovo a:
"Umby":
Per una verifica, e per esercitarti, potresti calcolare il numero di:
- Poker
- Tris
- Coppia semplice
- 4 Numeri diversi
e verificare che il totale sia 1.296
"Lorin":
Allora sappiamo dal calcolo precedente che $P(B)=0.95$ (l'abbiamo trovata con la distribuzione binomiale), ora devo trovare
$P(A|B)$= la probabilità che escano 6 teste su otto lanci sapendo che sono uscite almeno 3 teste. Dunque:
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B)) $
ma $P(A nn B)=P(A)$? (perchè A è contenuto in B?)
Dato che $P(A)=28x(0.6)^6(0.4)^2=0.209 => P(A|B)=0.209/(0.95)=0.22$
Ciao lorin leggevo "i tuoi problemi"
mi spieghi perché A è contenuto in B?
grazie
@Umby: Ci devo pensare....
Io ho fatto quel ragionamento perché il testo mi dice che su quattro lanci voglio che escano due risultati uguali e gli altri due devono essere diversi. Però effettivamente dire che su quattro lanci vogliamo la probabilità che escano le coppie, alla fine forza gli altri due risultati ad essere diversi dai risultati della coppia. Mi potresti spiegare meglio perché il mio ragionamento non va bene!?
EDIT: Seguendo il tuo ragionamento è come se volessi chiedere la probabilità che una certa faccia esca due volte. Secondo te lo posso fare anche tramite la distribuzione binomiale?
@matematico91:
A={uscita di 6 teste su otto lanci} ; B={uscita di almeno 3 teste} (almeno gioca un ruolo centrale, prova a pensarci)
Io ho fatto quel ragionamento perché il testo mi dice che su quattro lanci voglio che escano due risultati uguali e gli altri due devono essere diversi. Però effettivamente dire che su quattro lanci vogliamo la probabilità che escano le coppie, alla fine forza gli altri due risultati ad essere diversi dai risultati della coppia. Mi potresti spiegare meglio perché il mio ragionamento non va bene!?
EDIT: Seguendo il tuo ragionamento è come se volessi chiedere la probabilità che una certa faccia esca due volte. Secondo te lo posso fare anche tramite la distribuzione binomiale?
@matematico91:
A={uscita di 6 teste su otto lanci} ; B={uscita di almeno 3 teste} (almeno gioca un ruolo centrale, prova a pensarci)
"Lorin":
EDIT: Seguendo il tuo ragionamento è come se volessi chiedere la probabilità che una certa faccia esca due volte. Secondo te lo posso fare anche tramite la distribuzione binomiale?
Direi di no....
Ricordiamo che si parla di disposizioni e non di combinazioni.
Potresti ragionare cosi'.
Fissiamo che la coppia si trovi in prima e seconda posizione, avremo una disposizione di questo tipo:
[AABC]
la A, la puoi scegliere in 6 modi diversi
la B, solo in 5 (altrimenti fai il tris se uguale ad A)
la C, solo in 4 (altrimenti fai il tris se uguale ad A, oppure la doppia coppia se uguale a B)
per [AABC] abbiamo quindi 120 casi.
Ma il testo ci chiede che esca una coppia, e non che la coppia debba essere necessariamente in 1^ e 2^ posizione.
Quindi, in quanti modi puoi disporre le AA nelle 4 posizioni disponibili ?
$((4),(2))$ = 6
Numero coppie: 120*6 = 720
p. $720/1296$ = 55%
================================================
Riepilogo (su 1296 casi):
- Poker (6)
- Tris (???)
- Coppia semplice (720)
- Doppia coppia (90)
- 4 Numeri diversi (???)
...continua te(vedi ???)
Si ho capito...i soliti errori scemi che faccio nel concentrarmi su un singolo caso. Vabbeee mi stendo da solo un velo pietoso. (comunque tris (120) - 4 carte diverse (360))
Ora però dato che mi ero concentrato sulla tua domanda relativa al poker, tris etc ho trovato un esercizio su un libro che sto usando per prepararmi (Sheldon Ross) e secondo me anche qui mi sto perdendo nel vuoto.
Testo:
Stiamo giocando a poker, qual è la probabilità che vi venga servito un:
1)Colore?
2)Coppia?
3)Tris?
Svolgimento:
1)Dovrebbe essere facile, perchè se fisso una stringa di lunghezza 5 allora basta calcolare $4*( (13) , (5) )$ e dividere per il numero di possibili mani $p=(4*( (13) , (5) ))/( ((52) , (5) ))$ Giusto?!
2)Per la coppia sto trovando un pò di difficoltà invece. Anche qui mi fisso una stringa di lunghezza 5, e ad esempio una possibile configurazione che rientra in questo caso è AABCD, allora:
$13*( (4) , (2) )$ prendo tutte le possibili coppie, ma ho un problema nel gestire gli altri casi perchè mi viene una probabilità che supera 1
come gestisco l'uscita di BCD?
EDIT: Avendo usanto una carta per ogni seme me ne rimangono 12, quindi voglio distribuirle sui 3 posti rimanenti, e uso il coefficiente binomiale in modo che non corro il rischio della ripetizione e moltiplico per $4^3$. Dunque il secondo caso dovrebbe essere:
$p=(78*4^3*220)/( ((52) , (5) ))$
Ora però dato che mi ero concentrato sulla tua domanda relativa al poker, tris etc ho trovato un esercizio su un libro che sto usando per prepararmi (Sheldon Ross) e secondo me anche qui mi sto perdendo nel vuoto.
Testo:
Stiamo giocando a poker, qual è la probabilità che vi venga servito un:
1)Colore?
2)Coppia?
3)Tris?
Svolgimento:
1)Dovrebbe essere facile, perchè se fisso una stringa di lunghezza 5 allora basta calcolare $4*( (13) , (5) )$ e dividere per il numero di possibili mani $p=(4*( (13) , (5) ))/( ((52) , (5) ))$ Giusto?!
2)Per la coppia sto trovando un pò di difficoltà invece. Anche qui mi fisso una stringa di lunghezza 5, e ad esempio una possibile configurazione che rientra in questo caso è AABCD, allora:
$13*( (4) , (2) )$ prendo tutte le possibili coppie, ma ho un problema nel gestire gli altri casi perchè mi viene una probabilità che supera 1
come gestisco l'uscita di BCD?EDIT: Avendo usanto una carta per ogni seme me ne rimangono 12, quindi voglio distribuirle sui 3 posti rimanenti, e uso il coefficiente binomiale in modo che non corro il rischio della ripetizione e moltiplico per $4^3$. Dunque il secondo caso dovrebbe essere:
$p=(78*4^3*220)/( ((52) , (5) ))$
"Lorin":
(comunque tris (120) - 4 carte diverse (360))
per il punti successivi:
1) Dal punto di vista statistico è OK. Dal punto di vista pokeristico NO. Infatti, hai dimenticato che tra i tanti colori ce ne sono alcuni che sono definiti "scale reali". Ce ne sono $13 - 5 + 1 = 9$ per ognuno dei 4 semi. Quindi andrebbero sottratti.
2) Ho difficoltà a capire il tuo ragionamento, in particolare la frase "avendo usato una carta per ogni seme me ne rimangono 12". Penso che il ris. sia errato.
Si in effetti mi sono espresso male, volevo dire che una volta che mi calcolo i modi possibili di ottenere una coppia con un mazzo da 52 carte (che sono 78) allora per ogni seme mi rimangono 12 carte (perchè devo togliere la carta che ho usato per la coppia) dunque ho $( (12) , (3) )$ modi di costruire terne con 12 oggetti (in cui sicuro non ho ripetizioni per definizione di coefficiente binomiale), poi ho pensato di moltiplicare per $4^3$ perchè ad ogni blocchetto della terna (b,c,d) posso associare una carta che appartiene a quattro semi, dunque $4^3*( (12) , (3) )$
EDIT: ho trovato un file su internet di un tizio che fa lo stesso esercizio però con 32 carte e pare che il ragionamento porti allo stesso risultato. Se c'è un modo più elegante di farlo dimmelo, altrimenti lo porto al prof e vedo che dice.
EDIT: ho trovato un file su internet di un tizio che fa lo stesso esercizio però con 32 carte e pare che il ragionamento porti allo stesso risultato. Se c'è un modo più elegante di farlo dimmelo, altrimenti lo porto al prof e vedo che dice.
"Lorin":
EDIT: ho trovato un file su internet di un tizio che fa lo stesso esercizio però con 32 carte e pare che il ragionamento porti allo stesso risultato. Se c'è un modo più elegante di farlo dimmelo, altrimenti lo porto al prof e vedo che dice.
Avevo usato un altro ragionamento, che (se ho fatto bene i conti) porta alla stessa soluzione.
In quanto ad eleganza, il tuo mi sembra migliore.
Sono partito da [AABCD]
La prima A, puoi sceglierla tra le 52 carte. La seconda tra le 3 dello stesso peso. Considerato che stiamo parlando di combinazioni (e non disposizioni), l'ordine tra la prima e la seconda carta non ci interessa (2!).
La B, la scegliamo tra le 48 (le altre 12 carte per i 4 semi)
La C, tra le 44 (le altre 11 per i 4 semi)
La D, tra le 40.
Anche per queste 3, non ci interessa l'ordine(3!), quindi avremo:
$(52*3)/(2!) * (48*44*40)/(3!)$
Ho capito...peró ti volevo chiedere perchè si divide per 2! e 3! ? Nella teoria del calcolo combinatorio non ho mai trovato questa cosa. Tra l'altro il tuo meccanismo lo vedo più diretto. Ti ripeto non ho mai diviso per il numero di permutazioni su un tot di oggetti.
Il problema è che io sono un pò less_formule. Cerco sempre di trovare un ragionamento che non di applicare le formulette (anche perchè poco le conosco, non avendo mai studiato questa materia).
bene,
ricordo che il testo ci sta chiedendo la p, della uscita della coppia, per cui devo decidere di usare due strade:
1) calcolo le disposizioni della coppia e le divido per le disposizioni totali
oppure
2) calcolo le combinazioni della coppia e le divido per le combinazioni totali
Tu avevi scelto la strada 2) (ovvero quelle delle combinazioni) ed io mi sono allineato con il tuo ragionamento. Pertanto il numeratore del nostro calcolo devono essere le combinazioni.
Ora prendiamo le prime due carte. Ho detto che la prima può essere una qualsiasi delle 52 carte, e la seconda solo una delle 3 dello stesso "numero", avrai:
1P - 1C
------1F
------1Q
1C - 1P
------1F
------1Q
1F - 1P
------1C
------1Q
1Q - 1P
------1C
------1F
....
....
....
come vedi il moltiplicare 52*3 mi porta a considerare 2 volte la stessa combinazione (in rosso la prima, ed in blu la equivalente opposta). E' come se avessi calcolato le disposizioni, e quel (2!) mi permette di "ridurle" a combinazioni.
Ovviamente il risultato delle combinazioni va diviso per quelle totali $((52),(5))$, che avevi già calcolato te precedentemente per trovare la p.
bene,
ricordo che il testo ci sta chiedendo la p, della uscita della coppia, per cui devo decidere di usare due strade:
1) calcolo le disposizioni della coppia e le divido per le disposizioni totali
oppure
2) calcolo le combinazioni della coppia e le divido per le combinazioni totali
Tu avevi scelto la strada 2) (ovvero quelle delle combinazioni) ed io mi sono allineato con il tuo ragionamento. Pertanto il numeratore del nostro calcolo devono essere le combinazioni.
Ora prendiamo le prime due carte. Ho detto che la prima può essere una qualsiasi delle 52 carte, e la seconda solo una delle 3 dello stesso "numero", avrai:
1P - 1C
------1F
------1Q
1C - 1P
------1F
------1Q
1F - 1P
------1C
------1Q
1Q - 1P
------1C
------1F
....
....
....
come vedi il moltiplicare 52*3 mi porta a considerare 2 volte la stessa combinazione (in rosso la prima, ed in blu la equivalente opposta). E' come se avessi calcolato le disposizioni, e quel (2!) mi permette di "ridurle" a combinazioni.
Ovviamente il risultato delle combinazioni va diviso per quelle totali $((52),(5))$, che avevi già calcolato te precedentemente per trovare la p.
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