Raccolta di esercizi in vista dell'esame.
Salve a tutti ragazzi, mi trovo (mio malgrado) a dover preparare l'esame di probabilità e statistica ad un passo dalla laurea e date le mie pessime esperienze con il docente e con il corso da lui tenuto ho delle enormi difficoltà ad approcciarmi a questa materia, che di per sè trovo anche interessante. Il materiale a mia disposizione è, secondo me, molto scadente (il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro). Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno 
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro.
Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro. Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Risposte
Ah perfetto quindi per la complementarietà basta scambiare il range in cui il $k$ varia. O.O
E io che pensavo bisognasse scambiare anche le probabilità ù_ù
Ti ringrazio allora
E io che pensavo bisognasse scambiare anche le probabilità ù_ù
Ti ringrazio allora
Esatto. 
Se ci fai caso, il tuo 31%, è la somma di 20,90+8,96+1,68 (vedi screen), ed è la p. che si verifichino 6T, 7T, 8T ( diversa dalla richiesta del testo...)
Se ci fai caso, il tuo 31%, è la somma di 20,90+8,96+1,68 (vedi screen), ed è la p. che si verifichino 6T, 7T, 8T ( diversa dalla richiesta del testo...)
Allora ho appena finito di riaggiustare i conti seguendo la correzione fatta da Umby e adesso riposto tutti i passaggi:
$p=(8,3<=k<=8,0.6)=sum_(k=3)^(8)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) $
passo alla complementare per una questione di semplicità:
$\bar(p) = (8,0<=k<=2, 0.6)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) = 0.049$
ed è qui che non mi trovo
sbaglio qualcosa?
$p=(8,3<=k<=8,0.6)=sum_(k=3)^(8)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) $
passo alla complementare per una questione di semplicità:
$\bar(p) = (8,0<=k<=2, 0.6)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) = 0.049$
ed è qui che non mi trovo
sbaglio qualcosa?
"Lorin":
$p=(8,3<=k<=8,0.6)$
Dove hai trovato questa notazione della probabilità?
In realtà quella che ho trovato io è $p=p(\ldots)$ nel mio ultimo intervento ho saltato una p e quindi cade proprio il concetto di funzione di probabilità (scusate). Comunque l'ho trovata su internet
"Lorin":
$\bar(p) = (8,0<=k<=2, 0.6)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) = 0.049$
ed è qui che non mi trovo
Ti ricordo che $p = 1 - \bar{p}$
"Lorin":
In realtà quella che ho trovato io è $ p=p(\ldots) $ nel mio ultimo intervento ho saltato una p e quindi cade proprio il concetto di funzione di probabilità (scusate). Comunque l'ho trovata su internet
ok ho capito ora.
Ma a dirti la verità non mi piace molto, introduce troppi simboli ed ambiguità forse per introdurre le variabili aleatore che forse non hai ancora visto...(suppongo, non lo so).
La $p$ minuscola indica il valore della probabilità, la $p(...)$ va bene indica la funzione che si calcola, ma è meglio che utilizzi la notazione più standard $P{...}$ oppure $P(...)$ oppure ancora \(\mathbb{P}\{\ldots\}\). Infine la $,$ oppure $;$ indica un ben preciso significato nella suddivisione di più eventi.
Nella tua notazione ti porti dietro un sacco di informazioni che basta fissare una sola volta.
Sia \(X \sim \text{Bin}(8,0.6)\) una v.a.
evento ${3 <= X <= 8}$
probabilità da calcolare $p = P{3 <= X <= 8}$
non serve scomporlo così tanto basterebbe scrivere $P{3 <= X <= 8}$ e via. Difatti $X$ ha in sè tutte le informazioni che servono.
"Lorin":
$\bar(p) = (8,0<=k<=2, 0.6)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) )(0.6)^k(0.4)^(8-k) = 0.049$
ed è qui che non mi trovo
Perchè dici che "non ti trovi"
se fai: 1-0,049 ottieni 0,95. E' lo stesso risultato che ho indicato nella mia screen precedente (espressa in % vedi 95,02 3-8Teste)
Ti manca ancora calcolare quanto dovresti scommettere per una vincita di 50 Euro. Ma te conosci il risultato ? Altri utenti hanno svolto l'esercizio ? A me viene 11 Euro (... ma non so, se è corretto !!! ).
@Hamming_burst: Ti ringrazio per le precisazioni, in effetti è molto più ordinato e coerente magari dire $P(\ldots)$.
@Umby: Vero, scusami ma tra ieri e oggi sono successe un paio di cose private che non mi stanno facendo capire nulla. Nel pomeriggio ti posto il procedimento (come ce lo ha spiegato il prof) relativo alla scommessa e vediamo se è lo stesso che usi tu, nel caso contrario imparerò qualcosa di nuovo. Grazie ancora per la pazienza, si può dire che sto imparando più qui che durante il corso.
EDIT: per quanto concerne il risultato purtroppo non lo so perchè questo esercizio è preso da una prova d'esame!
Martedi comunque vado dal prof per la correzione e ti confermerò tutto.
@Umby: Vero, scusami ma tra ieri e oggi sono successe un paio di cose private che non mi stanno facendo capire nulla. Nel pomeriggio ti posto il procedimento (come ce lo ha spiegato il prof) relativo alla scommessa e vediamo se è lo stesso che usi tu, nel caso contrario imparerò qualcosa di nuovo. Grazie ancora per la pazienza, si può dire che sto imparando più qui che durante il corso.
EDIT: per quanto concerne il risultato purtroppo non lo so perchè questo esercizio è preso da una prova d'esame!
Martedi comunque vado dal prof per la correzione e ti confermerò tutto.
Ok!
A questo punto fino a qui tutto chiaro, adesso riporto la seconda parte dell'esercizio:
Testo:
Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?
Svolgimento:
Seguendo la notazione suggeritami da hamming devo calcolare prima $P(X=6)=( (8), (6) )(0.95)^6(0.049)^2=0.05 $
Ora io so che se indico con $P(neg(X=6))=0.95$ e con $S'=50$ euro allora affinchè la scommessa sia equa dovrebbe verificarsi che:
$(P(neg(X=6)))/(P(X=6))=50/x$ (almeno così mi dicono gli appunti del corso)
dunque $x=50*(P(X=6))/(P(neg(X=6)))=2.63$
fustigatemi pure
A questo punto fino a qui tutto chiaro, adesso riporto la seconda parte dell'esercizio:
Testo:
Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?
Svolgimento:
Seguendo la notazione suggeritami da hamming devo calcolare prima $P(X=6)=( (8), (6) )(0.95)^6(0.049)^2=0.05 $
Ora io so che se indico con $P(neg(X=6))=0.95$ e con $S'=50$ euro allora affinchè la scommessa sia equa dovrebbe verificarsi che:
$(P(neg(X=6)))/(P(X=6))=50/x$ (almeno così mi dicono gli appunti del corso)
dunque $x=50*(P(X=6))/(P(neg(X=6)))=2.63$
fustigatemi pure
@Lorin: Non ho familiarità con il gergo delle scommesse. Cosa significa contro una posta?
Da quello che ho capito io (sempre dal "fantomatico corso") scommessa contro vuol dire si sono scommessi 50 euro sul fatto che un certo evento non accada (nel nostro caso si scommette 50 euro sul fatto che non esca testa sei volte su 8 lanci)
"Seneca":
@Lorin: Non ho familiarità con il gergo delle scommesse. Cosa significa contro una posta?
Io l'ho interpretato così:
Se esce l'evento 6Teste vinco 50 Euro
Se non esce l'evento 6Teste io perdo x Euro.
Domanda: affinchè la scommessa sia equa, quanto vale x?
Una scommessa viene definita equa quando la vincita è inversamente proporzionale alla sua prob.
Esempio: tiro due dadi
Se il banco paga 30 volte l'uscita del 2 (1+1), tu giocheresti ? IO NO
e se invece paga 40 volte ? IO SI
e se invece paga 36 volte ? SI e NO. Infatti in questo caso la scommessa è equa (la p. è proprio $1/36$, quindi giocando infinite volte non sarò ne perdente, ne vincente.
Mentre nel primo caso la vincita è piu' bassa, e quindi non conviene giocare
e nel secondo caso è piu' alta (...ma questo non succederà mai..
) perchè significherebbe che il banco parte perdente.
Quindi nel mio caso perchè tu ti trovi 11 euro e io no?
"Lorin":
Quindi nel mio caso perchè tu ti trovi 11 euro e io no?
Sinceramente, pur sforzandomi, non sono riuscito a capire il tuo ragionamento.
Inoltre, mi sembra, che non hai tenuto minimamente conto della frase "sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste".
Io continuo nel mio ragionamento (tutto da verificare), usando ancora una screen di excel per renderlo piu' leggibile.
Nella prima parte abbiamo calcolato le p. delle 9 possibili condizioni:
partendo da [0T8C] [1T7C] ..... fino alla [8T0C] (vedi colonna H), e fin qui, mi sembra tutto chiaro
Ora ci vien detto "che si sono ottenute almeno 3 teste", quindi dobbiamo ridisegnare il nostro campo di osservazione, scartando quelle righe "non valide" (ovvero la 0T8C, 1T7C, 2T6C), e ricalcolare di nuovo le % delle altre 6 condizioni ancora in gioco. La nuova colonna J fa tutto questo.
Possiamo vedere che scartando le prime 3 righe le % delle altre sono (ovviamente) aumentate;
in particolare la riga [6T2C] è passata da 20% al 22%.
Questo significa che se il banco ci paga 50 Euro per questa condizione, se intendiamo avere una giocata equa dobbiamo scommettere $50 Euro * 0,22 = 11 Euro$
S.E.& O.
Guarda a noi purtroppo il prof ci ha dato dei libri da utilizzare per gli esercizi e ci ha lasciato allo sbaraglio. Io ho trovato la questione della scommessa su "calcolo delle probabilità (collana Schaum)" e lo fa in termini di probabilitá che un evento accada e che non accada, per questo ho usato quella formula nel mio intervento ad inizio pagina. Non ho mai usato excel per fare gli esercizi.
"Lorin":
Non ho mai usato excel per fare gli esercizi.
mbè... uso excel, per fare le operazioni elementari, allo stesso modo di quando usiamo la calcolatrice per fare i ns. calcoli. Anche per rappresentare graficamente i miei calcoli, affinchè siano più comprensibili di formulone complicate...
In sintesi:
Stiamo puntando 11 Euro su un determinato evento (che ha la p. di uscita del 22%), e se si verifica la ns. condizione vinciamo 50 Euro.
Ciò significa che se giochiamo 100 volte, paghiamo (11*100 = 1.100) Euro.
Ci aspettiamo che su 100 volte, vinceremo 22 volte (50*22 = 1.100) Euro.
La scommessa è equa.
Il fatto che tu usi excel non era un modo per dire che tu non sai fare i conti, anzi. Io quello che però voglio capire è in che modo posso impostare il mio esercizio utilizzando gli strumenti del prof.
Ricapitoliamo un attimo altrimenti mi perdo.
Allora la parte del calcolo con la distribuzione binomiale va bene, quindi per la prima parte dell'esercizio ho $P(3<=X<=8)=0.95$. Ora sulla questione della scommessa (la tua spiegazione mi ha convinto che alla fine non posso proseguire senza tener conto delle informazioni che mi da il problema "sappiamo che si sono ottenute...", quindi volevo un pò capire se magari potevo farlo in termini di probabilità condizionata, cioè chiamo:
$A=${ottenere 6 teste su otto lanci}
$B$={si sono ottenute almeno 3 teste su 8 lanci}
e vado a studiare $P(A|B)$?
come lo vedi questo approccio?
Ricapitoliamo un attimo altrimenti mi perdo.
Allora la parte del calcolo con la distribuzione binomiale va bene, quindi per la prima parte dell'esercizio ho $P(3<=X<=8)=0.95$. Ora sulla questione della scommessa (la tua spiegazione mi ha convinto che alla fine non posso proseguire senza tener conto delle informazioni che mi da il problema "sappiamo che si sono ottenute...", quindi volevo un pò capire se magari potevo farlo in termini di probabilità condizionata, cioè chiamo:
$A=${ottenere 6 teste su otto lanci}
$B$={si sono ottenute almeno 3 teste su 8 lanci}
e vado a studiare $P(A|B)$?
come lo vedi questo approccio?
"Lorin":
e vado a studiare $P(A|B)$?
come lo vedi questo approccio?
ok, ora fai il calcolo, e vedi se ti viene 0,22
Allora sappiamo dal calcolo precedente che $P(B)=0.95$ (l'abbiamo trovata con la distribuzione binomiale), ora devo trovare
$P(A|B)$= la probabilità che escano 6 teste su otto lanci sapendo che sono uscite almeno 3 teste. Dunque:
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B)) $
ma $P(A nn B)=P(A)$? (perchè A è contenuto in B?)
Dato che $P(A)=28x(0.6)^6(0.4)^2=0.209 => P(A|B)=0.209/(0.95)=0.22$
$P(A|B)$= la probabilità che escano 6 teste su otto lanci sapendo che sono uscite almeno 3 teste. Dunque:
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B)) $
ma $P(A nn B)=P(A)$? (perchè A è contenuto in B?)
Dato che $P(A)=28x(0.6)^6(0.4)^2=0.209 => P(A|B)=0.209/(0.95)=0.22$
"Lorin":
ma $P(A nn B)=P(A)$? (perchè A è contenuto in B?)
esatto...
"Lorin":
Dato che $P(A)=28x(0.6)^6(0.4)^2=0.209 => P(A|B)=0.209/(0.95)=0.22$
Perfetto..
(..anche se non ti vedo molto convinto.. )Ora sull' ultimo passaggio concordi con i "miei" 11 Euro ?
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