Raccolta di esercizi in vista dell'esame.
Salve a tutti ragazzi, mi trovo (mio malgrado) a dover preparare l'esame di probabilità e statistica ad un passo dalla laurea e date le mie pessime esperienze con il docente e con il corso da lui tenuto ho delle enormi difficoltà ad approcciarmi a questa materia, che di per sè trovo anche interessante. Il materiale a mia disposizione è, secondo me, molto scadente (il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro). Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno 
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro.
Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
capire che tipo di teoria devo studiare per capire un pò lo svolgimento (sia chiaro non voglio e non pretendo che mi si svolga l'esercizio. Sono qui sul forum da anni e so che l'etica di questo posto è un'altra, come giusto che sia), ma se mi date delle indicazioni sulla teoria magari posso proporre un mio svolgimento e ci veniamo incontro. Inizio postandone uno che ho trovato nell'ultima prova d'esame:
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Risposte
Ciao Lorin 
provato a cercare qualche alternativa?
vediamo quello che si riesce.
2) la parola "senza rimessa" o senza ripetizione (se si tratta di urne), vuol dire che tale carta non verrà più considerata ed elimanata (messa da parte) dal nostro Universo.
1) L'eliminazione della carta fa dipendere gli eventi successivi perchè è eliminata (la cardinalità dell'Universo è modificato). Quando è indipendente non esiste l'eliminazione della carta, perchè è reimmessa nel mazzo quindi è considerata ancora nella cardinalità dell'Universo.
Il testo è ambiguo, penso sia fatto appositamente.
Sia
$A = {\text{si sia ottenuto un re alla terza estrazione}}$
$B = {\text{si è ottenuto un asso alla quarta}}$
secondo te l'evento $B$ condiziona l'evento $A$? L'evento $B$ si è verificato da condizionare l'evento $A$?
"Lorin":
(il prof ci ha fatto utilizzare il suo testo e se già nel corso lui stesso non è chiaro vi lascio immaginare il libro).
provato a cercare qualche alternativa?
"Lorin":
Non so se il metodo è quello giusto ma avrei pensato di postare la tipologia di esercizi che ho trovato nelle prove d'esame e magari sotto suggerimento di qualcuno
vediamo quello che si riesce.
"Lorin":
Domande:
1)Si tratta di probabilità condizionata? Se si come faccio a capire quando utilizzare la teoria degli eventi dipendenti e indipendenti?
2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
2) la parola "senza rimessa" o senza ripetizione (se si tratta di urne), vuol dire che tale carta non verrà più considerata ed elimanata (messa da parte) dal nostro Universo.
1) L'eliminazione della carta fa dipendere gli eventi successivi perchè è eliminata (la cardinalità dell'Universo è modificato). Quando è indipendente non esiste l'eliminazione della carta, perchè è reimmessa nel mazzo quindi è considerata ancora nella cardinalità dell'Universo.
"Lorin":
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Il testo è ambiguo, penso sia fatto appositamente.
Sia
$A = {\text{si sia ottenuto un re alla terza estrazione}}$
$B = {\text{si è ottenuto un asso alla quarta}}$
secondo te l'evento $B$ condiziona l'evento $A$? L'evento $B$ si è verificato da condizionare l'evento $A$?
Così su due piedi mi verrebbe da pensare che dato che l'evento B è un qualcosa che accade alla quarta estrazione allora l'evento A è indipendente (si può dire?) dall'evento B.
Per la questione libri mi hanno consigliato Calcolo delle probabilità di Ross ma in rete non l'ho trovato e stavo pensando di comprarlo direttamente. Me lo consigli?!
Intanto ho recuperato un altro testo di Ross (Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze). Tu hai qualche consiglio da darmi (approccio alla materia, metodico di studio e/o qualche dispensa/libro da usare)?
Grazie per essere intervenuto.
Per la questione libri mi hanno consigliato Calcolo delle probabilità di Ross ma in rete non l'ho trovato e stavo pensando di comprarlo direttamente. Me lo consigli?!
Intanto ho recuperato un altro testo di Ross (Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze). Tu hai qualche consiglio da darmi (approccio alla materia, metodico di studio e/o qualche dispensa/libro da usare)?
Grazie per essere intervenuto.
"Sergio":
Posso sbagliare, ma mi pare un problema ingannevole.
Io la vedo diversamente,
il testo dice "sapendo che", quindi ti invita a calcolare la p. sapendo che la quarta carta è un asso, e non dice di calcolare la p. prima che avvenga la 4^ estrazione.
E' come dire prendi la prima carta e coprila, prendi la seconda e coprila, prendi la terza e coprila, prendi la quarta scoprila: si tratta di un asso.
Sapendo cio', ti chiede la p. che la 3^ carta sia un re.
Il numero di carte si riduce a 51, ed i re sono sempre 4.
Concordo con quanto dichiarato da Umby.
La probabilità di trovare un re alla terza estrazione è $4/51$.
La probabilità di trovare un re alla terza estrazione è $4/51$.
"Sergio":
[quote="Lorin"]2)L'informazione "senza rimessa" mi dice qualcosa?
Perdonami, ma questa domanda è sconvolgente![/quote]
Il mio dire "mi dice qualcosa" non era rivolto al fatto puramente pratico come tu hai spiegato ma era da intendersi "mi dice qualcosa a livello di probabilità condizionata di eventi dipendenti o indipendenti?" perchè come ho spiegato all'inizio del topic il prof ha fatto un macello nel corso e ci siamo ritrovati (io e molti colleghi) a preparare un esame come se stessimo in una ricevitoria a giocare al superenalotto, per farla breve ci buttavamo a caso nel fare gli esercizi; dato che a me non piace studiare così ho deciso di chiedere a voi una mano per prepararmi teoricamente ad affrontare la prova d'esame.
"Umby":
Posso sbagliare, ma mi pare un problema ingannevole.
Io la vedo diversamente,
il testo dice "sapendo che", quindi ti invita a calcolare la p. sapendo che la quarta carta è un asso, e non dice di calcolare la p. prima che avvenga la 4^ estrazione.
E' come dire prendi la prima carta e coprila, prendi la seconda e coprila, prendi la terza e coprila, prendi la quarta scoprila: si tratta di un asso.
Sapendo cio', ti chiede la p. che la 3^ carta sia un re.
Il numero di carte si riduce a 51, ed i re sono sempre 4.
Ti ringrazio per l'osservazione.
Hai qualche testo da consigliarmi? o appunti?
Eccomi di nuovo stavolta alle prese con un nuovo esercizio in cui è coinvolta una moneta truccata, copio la traccia:
"Lanciando otto volte una moneta truccata con p = 0.6, sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste. Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?"
Domande:
1)Ho letto su delle dispense che quando mi dice che la moneta è truccata con $p$ si intende che la probabilità che esca TESTA è $p$. E' vero?
2)Per capire qual è la probabilità che si ottengano almeno 3 teste dagli 8 lanci devo utilizzare la distribuzione binomiale giusto!?
Appena qualcuno mi conferma o smentisce provo a concludere l'esercizio...
"Lanciando otto volte una moneta truccata con p = 0.6, sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste. Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?"
Domande:
1)Ho letto su delle dispense che quando mi dice che la moneta è truccata con $p$ si intende che la probabilità che esca TESTA è $p$. E' vero?
2)Per capire qual è la probabilità che si ottengano almeno 3 teste dagli 8 lanci devo utilizzare la distribuzione binomiale giusto!?
Appena qualcuno mi conferma o smentisce provo a concludere l'esercizio...
Si estraggono senza rimessa quattro carte da un mazzo di carte francesi. Qual è la probabilità che si sia ottenuto un re alla terza estrazione, sapendo che si è ottenuto un asso alla quarta?
Certo che il problema non è chiarissimo. Non concordo con le soluzioni proposte fino ad ora, mi sembrano troppo semplici probabilmente dovute alla cattiva interpretazione del problema.
Quello che non è chiaro è se badare all'ordine di estrazione oppure no (credo che non si debba badare all'ordine).
La mia riformulazione del problema è questa:
- Se non si deve badare all'ordine:
quante sono le combinazioni di 4 carte che contengono uno ed un solo Re ed almeno un Asso (e quindi la probabilità di estrarre questa combinazione sul totale di combinazioni di 4 carte possibili)?
- Se si deve badare all'ordine:
quante sono le combinazioni di 4 carte che abbiano come 3° estratto un Re, come 4° estratto un Asso e come 1° e 2° estratto una coppia qualsiasi di carte (e quindi la probabilità di estrarre questa combinazione sul totale di combinazioni di 4 carte possibili ordinate col Re al terzo posto e l'Asso al quarto)?
Fammi sapere!
Intanto ringrazio per l'intervento. Per quanto riguarda il primo problema che ho proposto devo dirti che confrontandomi con il docente mi ha confermato lo svolgimento descritto dagli altri utenti in precedenza.
Per quanto riguarda le mie osservazioni invece?!
Per quanto riguarda le mie osservazioni invece?!
Le tue osservazioni sul secondo problema mi sembrano giuste.
ok allora domani mattina provo a postare la mia soluzione iniziale e vediamo se va bene. Grazie!
"Lorin":
Per la questione libri mi hanno consigliato Calcolo delle probabilità di Ross ma in rete non l'ho trovato e stavo pensando di comprarlo direttamente. Me lo consigli?!
Intanto ho recuperato un altro testo di Ross (Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze).
Ross non l'ho utilizzato, ma molti lo consigliano (lo stesso Sergio) quindi...
Io utilizzai il Baldi con approfondimento i due volumi del Feller.
"Lorin":
Domande:
1)Ho letto su delle dispense che quando mi dice che la moneta è truccata con $p$ si intende che la probabilità che esca TESTA è $p$. E' vero?
2)Per capire qual è la probabilità che si ottengano almeno 3 teste dagli 8 lanci devo utilizzare la distribuzione binomiale giusto!?
1) di solito si. Penso che si tratti di una convenzione.
2) Si.
Se ti chiedo la p. che esca la disposizione TTCCCCCC, mi dirai:
Semplice: 0,6 * 0,6 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,4
Puoi anche scriverla come: $0,6 ^ 2 * 0,4 ^6$
Generalizzando:
n=8 (è il numero totale dei lanci)
k=2 (è il numero totale delle teste, nel mio esempio 2)
n-k=6 (se ci sono 8 lanci, e 2 teste, ci saranno 6 croci)
p=0,6 (è la probabilità di uscita della testa[non è 0,5 in quanto la moneta è truccata])
1-p=0,4 (è la probabilità opposta della croce)
$p^k * (1-p)^(n-k)$
----------------------------------------------
Se ora ti chiedo la p. che escano due teste nei complessivi 8 lanci,
è evidente che le 2 teste potrebbero essere la prima e la seconda (come il caso di sopra),
ma potrebbero essere la prima e la terza oppure la quarta e la sesta ... e cosi' via..
Hai 28 modi diversi $((8),(2))$:
Quindi la p. totale di 2T/6C è pari a:
$((n),(k)) * p^k * (1-p)^(n-k)$
Questa è la distribuzione binomiale.
.... continua .... calcolati la p. per [0T8C] [1T7C] ...... [8T0C]
@Umby: ti ringrazio per la conferma e devo dire che l'idea che avevo in mente era proprio questa! 
@Delirium: grazie anche a te per il materiale. Ieri mi è arrivato il Ross a casa e oggi studiandolo ho capito molte più cose. Sicuramente utilizzerò anche gli esercizi delle tue dispense. Grazie
@Delirium: grazie anche a te per il materiale. Ieri mi è arrivato il Ross a casa e oggi studiandolo ho capito molte più cose. Sicuramente utilizzerò anche gli esercizi delle tue dispense. Grazie
"Lorin":
@Umby: ti ringrazio per la conferma e devo dire che l'idea che avevo in mente era proprio questa!
OK. Ma la parte più interessante dell'esercizio non l'hai ancora affrontata.
Suggerimento:
- Calcola le p. delle 9 possibilità: da [8T0C] .... a [0T8C]
- Ignora momentaneamente la frase "sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste", e calcola quanto devi scommettere per le 6 teste per una vincita di 50 Euro affinchè la scommessa sia equa.
- Riformula il tuo campo di osservazione, considerando la frase "sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste"
- La p. della uscita delle 6 teste, a questo punto aumenterà, quindi, ricolcola di nuovo quanto devi scommettere per le 6 teste per una vincita di 50 Euro (a me viene circa 11 Euro, conosci il risultato finale? )
Va bene allora cerco di impostare il mio ragionamento in maniera completa, includendo tutti i conti che ho fatto, sperando che la stanchezza non mi giochi brutti scherzi.
Testo Problema: (Per chi si fosse sintonizzato solo in questo momento)
Lanciando otto volte una moneta truccata con p = 0.6, sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste. Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?
Svolgimento:
Per prima cosa mi occupo di studiare la probabilità che testa almeno 3 volte su otto lanci. Utilizzo la distribuzione binomiale cioè:
$p=p(8,3<=k<=8,0.6)=sum_(k=3)^(8)( (8), (k) ) (0.6)^k(0.4)^(8-k)$
Per motivi di semplicità di calcolo ho preferito passare alla probabilità complementare (perchè si studiano meno casi) e quindi:
$\bar(p)(8,0<=k<=2,0.4)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) ) (0.4)^k(0.6)^(8-k)$
Facendo un pò di conti arrivo a dire che $\bar(p)=0.31 => p=0.69$ che è la probabilità che una moneta truccata si verifica che esca testa almeno 3 volte. Ti trovi!?
Dammi conferma e passo alla parte della scommessa.
Testo Problema: (Per chi si fosse sintonizzato solo in questo momento)
Lanciando otto volte una moneta truccata con p = 0.6, sappiamo che si sono ottenute almeno 3 teste. Se vogliamo scommettere che si sono ottenute 6 teste contro una posta di 50 Euro, quanto dobbiamo scommettere affinchè la scommessa risulti equa?
Svolgimento:
Per prima cosa mi occupo di studiare la probabilità che testa almeno 3 volte su otto lanci. Utilizzo la distribuzione binomiale cioè:
$p=p(8,3<=k<=8,0.6)=sum_(k=3)^(8)( (8), (k) ) (0.6)^k(0.4)^(8-k)$
Per motivi di semplicità di calcolo ho preferito passare alla probabilità complementare (perchè si studiano meno casi) e quindi:
$\bar(p)(8,0<=k<=2,0.4)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) ) (0.4)^k(0.6)^(8-k)$
Facendo un pò di conti arrivo a dire che $\bar(p)=0.31 => p=0.69$ che è la probabilità che una moneta truccata si verifica che esca testa almeno 3 volte. Ti trovi!?
Dammi conferma e passo alla parte della scommessa.
"Lorin":
Dammi conferma e passo alla parte della scommessa.
Non ho capito perchè hai invertito la p. della testa (0,6), con la p. della croce (0,4) durante il calcolo....
Il mio calcolo è diverso, proprio per questo tua "inversione". Ti allego la screen fatta con excel, ed il relativo files.
File excel: http://im3.freeforumzone.it/up/33/5/1649342475.xls
"Lorin":
$p=p(8,3<=k<=8,0.6)=sum_(k=3)^(8)( (8), (k) ) (0.6)^k(0.4)^(8-k)$
Per motivi di semplicità di calcolo ho preferito passare alla probabilità complementare (perchè si studiano meno casi) e quindi:
$\bar(p)(8,0<=k<=2,0.4)=sum_(k=0)^(2)( (8), (k) ) (0.4)^k(0.6)^(8-k)$
Ti riferisci al passaggio da $p$ a $\bar(p)$?
Se si è perchè quando passo alla probabilità complementare non devo invertire $(0.6)$ con $(0.4)$?
Dove $(0.4)$ è la probabilità dell'insuccesso dell'evento $A$={esce croce utilizzando la moneta truccata}
"Lorin":
Se si è perchè quando passo alla probabilità complementare non devo invertire $(0.6)$ con $(0.4)$?
Dove $(0.4)$ è la probabilità dell'insuccesso dell'evento $A$={esce croce utilizzando la moneta truccata}
No.
Perchè la complementarità la effettui già calcolando la sommatoria da 0 a 2 (anzichè da 3 a 8).
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