Modelli matematici per il mercato finanziario

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Questo nuovo tema emerge da un altro topic (Mi sono laureato!)
Prima di aprire un forum interamente dedicato a questo tema, contiamo quante persone sono interessate a condividere dubbi, informazioni, ipotesi, articoli, software relativi a questo tema.
Il tema è strettamente correlato all'analisi statistica delle serie storiche di dati che possono essere i prezzi di chiusura dei titoli di borsa di un mercato ma anche le temperature registrate nei vari giorni, le macchie solari ecc. ecc.
L'argomento è interessante ma altrettanto complesso, non ci sono tra di noi, credo, esperti di questo settore ma raccontarci qualcosa per chi ha interesse ad approfondire può vaelere la pena.

[Fioravante Patrone1]

rispondo alla questione posta da kinder
sono moralmente certo che, per ogni dato $a_0 > 0$, le traiettorie (discrete) vadano a zero quasi certamente (dico "quasi certamente" in senso tecnico, ovvero "quasi ovunque")

non sono però esperto di processi stocastici/catene di Markov, per cui non ho sottomano gli strumenti per provarlo

secondo me la soluzione la si trova su un classico quale "Denumerable Markov Chains" di Kemeny, che però non ho al momento sottomano
infatti il processo stocastico descritto è a tempi discreti
gli stati che possono essere coinvolti sono una infinità numerabile
la memoria del processo è tutta racchiusa nello stato attuale (quindi ho catena markoviana) e le prob di transizione sono date

tutto qua
come vedete, non sono abbastanza tosto

[kinder1]

Louis

probabilmente non riesci a leggere bene le formule perché non hai installato MathML. Se è così, trovi come fare in https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 8884#58884, e ti suggerisco caldamente di farlo.

Ringrazio Fioravante per il contributo, per me comprensibile solo per quanto riguarda l'italiano, perché il tema accennato non lo conosco, ma sospetto che debba essere interessante. Cercherò qualcosa, nella speranza che non necessiti di ulteriori conoscenze propedeutiche che potrei non avere. Ho solo una domanda ulteriore per Fioravante: quando dici ovunque, ti riferisci all'insieme a cui appartiene $delta$?

Tornando alla proposta che fai, Louis, se provi vedi che anche se la variazione invece di essere di ampiezza % costante la fai variare (con Excel è facile, per esempio puoi utilizzare la distribuzione normale inversa, la funzione è NORMSINV(), che però è normalizzata ), il risultato non cambia, se il segno lo assegni in maniera random, perché vieni a creare una situazione sostanzialmente simmetrica e simile alla precedente, che ti riporta a convergere a zero. Prova, e fammi sapere.
Mi rimane un poco oscura la tua proposta di far convergere una successione casuale ad un tasso prefissato: cosa intendi?

[Fioravante Patrone1]

"kinder":Ho solo una domanda ulteriore per Fioravante: quando dici ovunque, ti riferisci all'insieme a cui appartiene $delta$?

no, non intendo questo.


Provo ad essere più esplicito.
Per me ci sono due parametri dati: $a_0 > 0$ e $\delta \in (0,1)$.
Fissati questi due parametri (ad esempio: $a_0 = 3$ e $\delta = 0.1$), quello che tu hai descritto è un processo stocatico a tempi discreti (e più specificamente una catena di Markov). Ad ogni "istante" $n$ il valore $a_n$ è una variabile aleatoria. Diciamo che è $a_n(\omega)$, dove $\omega$ sta in un opportuno spazio di probabilità $(\Omega, \Sigma, P)$.

Io credo che $lim_{n -> oo} a_n(\omega) = 0$ per quasi ogni $\omega$. Cioè, il limite vale zero tranne che per $\omega \in N$, dove $N$ è un insieme misurabile di misura nulla (cioè $P(N) = 0$).

Sono convinto che questo fatto valga comunque siano scelti i parametri $a_0$ e $\delta$.

Non sono però in grado di provarlo, non avendo sufficente dimestichezza con queste cose. Il riferimento che citavo dovrebbe essere sufficiente per trovare la prova o indizi sufficienti per provarlo.

[kinder1]

invece di seguire il saggio consiglio del Prof. Patrone (anche perché non ho il libro) ho fatto qualche elucubrazione per capire qualcosa di più sul comportamento della successione di cui sopra, giungendo ad un risultato che mi ha un po' sorpreso, perché non in linea colle mie aspettative. La mia rusticità matematica non mi consente di trarre conclusioni, per cui spero che qualche anima pia mi possa delucidare.

Le considerazioni sono le seguenti.

Per un generico termine della successione posso dire che vale:
$a_n=a_0*(1+delta)^r(1-delta)^(n-r)$, con $rin[0,n]$, essendo $r$ il numero di successi su $n$ lanci, essendo il successo il caso di avere $(1+delta)$. Questo fenomeno è descritto dalla distribuzione binomiale, con probabilità, in questo caso, $p=0.5$.
Per $n$ grande possiamo approssimarla alla distribuzione normale, con valore medio (uguale al mediano), $mu=p*n$.
E' chiaro che il termine $(1+delta)^r(1-delta)^(n-r)$ è maggiore o minore di 1 in dipendenza da $r$. I valori di $r$ per cui vale $(1+delta)^r(1-delta)^(n-r)<1$ sono dati da: $r Per fare un esempio, se $delta=0.03$ allora $r/n=0.508$. Si vede quindi che questo valore di $r$ non è molto lontano dal valore mediano, che vale $0.5*n$. Si vede infatti che al tendere di $delta$ a zero quel valore limite di $r$ tende proprio a $n/2$. Ne deduco quindi che la probabilità di avere una sequenza che porta a $a_n

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[Louis2]

"kinder":

Tornando alla proposta che fai, Louis, se provi vedi che anche se la variazione invece di essere di ampiezza % costante la fai variare (con Excel è facile, per esempio puoi utilizzare la distribuzione normale inversa, la funzione è NORMSINV(), che però è normalizzata ), il risultato non cambia, se il segno lo assegni in maniera random, perché vieni a creare una situazione sostanzialmente simmetrica e simile alla precedente, che ti riporta a convergere a zero. Prova, e fammi sapere.
Mi rimane un poco oscura la tua proposta di far convergere una successione casuale ad un tasso prefissato: cosa intendi?

Ecco perché non vedo le formule. Adesso provo a istallare il prg.
Se tutto il tuo problema è quello di far convergere la serie ad un valore diverso da zero, credo che si possa risolvere così:
1) costruiamo la serie casuale come sopra (che ti converge nel limite tendente a infinito, verso lo zero)
2) costruiamo una serie di capitalizzazione composta in modo che a1=a0*(1+i)
3) sommiamo le due componenti

la serie risultante convergerà a i

La distribuzione casuale per la volatilità, è per rendere la successione casuale più aderente alla realtà, visto che a periodi di scarsa volatilità, improvvisamente si succedono periodi di elevata volatilità.

Non so se mi sono spiegato bene.

Ciao
Louis

[Louis2]

Ciao a tutti.
Visto che il discorso si è arenato nuovamente, ma che è possibile far convergere una serie casuale in un punto i, e visto che il topic ha dell'interesse registrato dalle presenze, Vi posto alcuni link utili, da leggere, per farsi una idea.

http://scienzapertutti.lnf.infn.it/Quar ... ewP/7.html

http://xmau.com/mate/art/benford.html

http://aleasrv.cs.unitn.it/techalea.nsf

Buona lettura

Louis