[Scienze delle costruzioni] Esercizio trave isostatica
http://i45.tinypic.com/35070qe.jpg
Dall'esercizio che ho postato sto trovando difficolta nel calcolarmi l'equazioni del 2 tronco, in modo particolare il momento,chi mi puoi aiutare ?
Dall'esercizio che ho postato sto trovando difficolta nel calcolarmi l'equazioni del 2 tronco, in modo particolare il momento,chi mi puoi aiutare ?
Risposte
"JoJo_90":Eh si magari se mi chiarisci meglio questo concetto sarebbe ottimo
Come prima cosa ti dico che c'è un errore nelle reazioni del bipendolo. Se fai una verifica di equilibrio alla rotazione te ne accorgi. Se non te ne accorgi la facciamo passo passo.
"JoJo_90":... Non lo sapevo,DOH!
In poche parole nel traguardare la trave devi arrivare fino a quando non incontri un vincolo interno
"JoJo_90":Hai detto che posso guardare anche a destra della sezione $z$ in modo tale da vedere solo il carico distribuito,ma non lo vedo tutto se io seziono in quel tratto o sbaglio ? ritornando ad un dubbio scritto nel post precedente faccio bene a denominare l'estremo a destra libero D ?
In questo caso comunque per comodità potevi guardare a destra della sezione, così vedi solo il carico distribuito:
$M(z) = q(l-z)*(l-z)/2 = (q(l-z)^2)/2$
"JoJo_90":
Una ultima cosa che volevo dirti è quella di fare attenzione a non confondre la $Q$ maiuscola con la $q$ minuscola in quanto in generale non sono la stessa cosa. Infatti se con $Q$ indichi la risultante del carico distribuito e con $q$ indichi il carico unitario, allora vale la relazione $Q= ql$. Quindi quando nel calcolo delle sollecitazioni scrivi $Ql$ non è corretto, ma dovresti scrivere $ql$ oppure se vuoi usare la maiuscola scrivi solo $Q$ (spero di non averti fatto confondere).
Io ho finito. Se ci sono altri dubbi o cose non chiare non esitare a chiedere (nota: ricorda di controllare la reazione del bipendolo).
Ciao.
OK
Bonus track
http://i50.tinypic.com/20uxxtl.jpg passaggi corretti in questi sistema ?
Cominciamo con la reazione del bipendolo. Allora ripercorro il ragionamento che mi porta alla determinazione delle reazioni vincolari. Metto quì l'immagine così ce l'abbiamo sempre sott'occhio:
Possiamo scrivere le equazioni cardinali o più brevemente possiamo dire che: la struttura è costituita da due tratti ($AB$ e $BCD$). Il secondo inoltre è isostatico per cui per esso possiamo calcolarci le reazioni vincolari semplicemente.
Reazioni tratto $BCD$
Il tratto risulta essere vincolato con un vincolo che può reagire con una forza orizzontale e un momento (il bipendolo) e con un vincolo che può reagire solo verticalmente (il carrello). Allora possiamo concludere che:
- Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale si ha che il bipendolo non reagisce orizzontalmente (infatti se esso reagisse non ci sarebbero altre forze orizzontali che potrebbero equilibrare la sua reazione; in altre parole esso non devendo rispondere a nessuna azione orizzontale non reagisce); quindi $R_B^(x) = 0$.
- Per l'equilibrio alla traslazione verticale, il carrello essendo l'unico vincolo presente che può reagire verticalmente, si prenderà tutto il carico reagendo quindi con una forza verso l'alto di modulo pari al carico; quindi $R_C= Q = ql$ .
- Per l'equilibrio alla rotazione invece c'è da equilibrare il momento generato dalla coppia costituita da $R_C$ con $Q$; tale momento è un momento orario di modulo $Q*l/2 = ql*l/2 = (ql^2)/2$; l'unico vincolo che può reagire a momento è il bipendolo posto in $B$ e pertanto esso reagirà con un momento antiorario e di modulo ovviamente $(ql^2)/2$.
La reazione del bipendolo adesso la riportiamo uguale in modulo ma verso opposto dal lato del tratto $AB$ (i vincoli interni infatti reagiscono sempre con reazioni uguali e opposte nei due tratti).
Allora la situazione adesso è questa:
Rimane adesso da equilibrare il primo tratto.
Reazioni tratto $AB$
Notiamo che su di esso agisce solo il momento del bipendolo. Quindi:
- Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale si ha che l'incastro non reagisce orizzontalmente e nemmeno verticalmente; quindi $R_A^(x) = R_A^(y) = 0$.
- Per l'equilibrio alla rotazione si ha che l'incastro reagisce con un momento uguale e opposto al bipendolo; quindi $M_A = (ql^2)/2$.
Come vedi quindi il bipendolo deve reagire a sinistra con un momento orario e di conseguenza a destra deve reagire con un momento antiorario. Non era necessario fare tutto questo ragionamento per arrivare a dire che il verso che avevi messo era sbagliato perchè i versi delle reazioni dei vincoli interni devono essere sempre opposti, mentre tu avevi messo i momenti che si "inseguivano" essendo tutti e due orari; ho preferito però fare tutto il ragionamento perchè ritengo ti possa essere utile.
In definitiva le reazioni sono le seguenti:
Facendo adesso una verifica con l'equazione di equilibrio alla rotazione attorno ad $A$ per esempio, possiamo verificare se quanto fatto è corretto. Operando quindi in questo modo si ottiene:
Verifica alla rotazione attorno ad $A$
$M_A - M_B^((AB)) + M_B^((BCD)) + R_C * 2l - Q*5/2 l = 0$
$(ql^2)/2 - (ql^2)/2 + (ql^2)/2 + ql * 2l - ql * 5/2 l = 0$
$ (ql^2)/2 + 2ql^2 - 5/2ql^2 = 0$
$ (1/2 + 2 - 5/2)ql^2 = 0 => (-2+2)ql^2 = 0 => 0=0$. Equilibrio soddisfatto!
Questa è una ulteriore conferma che i versi e i moduli di tutte le reazioni sono corretti.
Nota: la verifica che ho fatto è una verifica globale; infatti se si vuole, si può verificare solo un tratto alla volta.
Ben. Se su questo ci siamo vado avanti. Altrimenti se hai bisogno di ulteriori chiarimenti sono qui.
P.S. Come avrai notato non ho scritto nessuna equazione cardinale, perchè per le strutture isostatiche preferisco fare questo tipo di ragionamenti che hanno il duplice scopo di evitare di risolvere un sistema e di "capire" la struttura. Ciò non toglie che si può benissimo procedere con le equazioni cardinali, le quali confermeranno che la reazione del bipendolo ha il verso come quello ottenuto.
Possiamo scrivere le equazioni cardinali o più brevemente possiamo dire che: la struttura è costituita da due tratti ($AB$ e $BCD$). Il secondo inoltre è isostatico per cui per esso possiamo calcolarci le reazioni vincolari semplicemente.
Reazioni tratto $BCD$
Il tratto risulta essere vincolato con un vincolo che può reagire con una forza orizzontale e un momento (il bipendolo) e con un vincolo che può reagire solo verticalmente (il carrello). Allora possiamo concludere che:
- Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale si ha che il bipendolo non reagisce orizzontalmente (infatti se esso reagisse non ci sarebbero altre forze orizzontali che potrebbero equilibrare la sua reazione; in altre parole esso non devendo rispondere a nessuna azione orizzontale non reagisce); quindi $R_B^(x) = 0$.
- Per l'equilibrio alla traslazione verticale, il carrello essendo l'unico vincolo presente che può reagire verticalmente, si prenderà tutto il carico reagendo quindi con una forza verso l'alto di modulo pari al carico; quindi $R_C= Q = ql$ .
- Per l'equilibrio alla rotazione invece c'è da equilibrare il momento generato dalla coppia costituita da $R_C$ con $Q$; tale momento è un momento orario di modulo $Q*l/2 = ql*l/2 = (ql^2)/2$; l'unico vincolo che può reagire a momento è il bipendolo posto in $B$ e pertanto esso reagirà con un momento antiorario e di modulo ovviamente $(ql^2)/2$.
La reazione del bipendolo adesso la riportiamo uguale in modulo ma verso opposto dal lato del tratto $AB$ (i vincoli interni infatti reagiscono sempre con reazioni uguali e opposte nei due tratti).
Allora la situazione adesso è questa:
Rimane adesso da equilibrare il primo tratto.
Reazioni tratto $AB$
Notiamo che su di esso agisce solo il momento del bipendolo. Quindi:
- Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale si ha che l'incastro non reagisce orizzontalmente e nemmeno verticalmente; quindi $R_A^(x) = R_A^(y) = 0$.
- Per l'equilibrio alla rotazione si ha che l'incastro reagisce con un momento uguale e opposto al bipendolo; quindi $M_A = (ql^2)/2$.
Come vedi quindi il bipendolo deve reagire a sinistra con un momento orario e di conseguenza a destra deve reagire con un momento antiorario. Non era necessario fare tutto questo ragionamento per arrivare a dire che il verso che avevi messo era sbagliato perchè i versi delle reazioni dei vincoli interni devono essere sempre opposti, mentre tu avevi messo i momenti che si "inseguivano" essendo tutti e due orari; ho preferito però fare tutto il ragionamento perchè ritengo ti possa essere utile.
In definitiva le reazioni sono le seguenti:
Facendo adesso una verifica con l'equazione di equilibrio alla rotazione attorno ad $A$ per esempio, possiamo verificare se quanto fatto è corretto. Operando quindi in questo modo si ottiene:
Verifica alla rotazione attorno ad $A$
$M_A - M_B^((AB)) + M_B^((BCD)) + R_C * 2l - Q*5/2 l = 0$
$(ql^2)/2 - (ql^2)/2 + (ql^2)/2 + ql * 2l - ql * 5/2 l = 0$
$ (ql^2)/2 + 2ql^2 - 5/2ql^2 = 0$
$ (1/2 + 2 - 5/2)ql^2 = 0 => (-2+2)ql^2 = 0 => 0=0$. Equilibrio soddisfatto!
Questa è una ulteriore conferma che i versi e i moduli di tutte le reazioni sono corretti.
Nota: la verifica che ho fatto è una verifica globale; infatti se si vuole, si può verificare solo un tratto alla volta.
Ben. Se su questo ci siamo vado avanti. Altrimenti se hai bisogno di ulteriori chiarimenti sono qui.
P.S. Come avrai notato non ho scritto nessuna equazione cardinale, perchè per le strutture isostatiche preferisco fare questo tipo di ragionamenti che hanno il duplice scopo di evitare di risolvere un sistema e di "capire" la struttura. Ciò non toglie che si può benissimo procedere con le equazioni cardinali, le quali confermeranno che la reazione del bipendolo ha il verso come quello ottenuto.
"JoJo_90":
Ben. Se su questo ci siamo vado avanti. Altrimenti se hai bisogno di ulteriori chiarimenti sono qui.
P.S. Come avrai notato non ho scritto nessuna equazione cardinale, perchè per le strutture isostatiche preferisco fare questo tipo di ragionamenti che hanno il duplice scopo di evitare di risolvere un sistema e di "capire" la struttura. Ciò non toglie che si può benissimo procedere con le equazioni cardinali, le quali confermeranno che la reazione del bipendolo ha il verso come quello ottenuto.
Si su questo ci siamo,cmq per l'esame che devo svolgere devo far vedere anche il sistema e de li che spesso mi blocco con calcoli e ricalcoli (seppur semplici).
PS: con cosa hai realizzato la parte grafica?
Ah ok. Pensa che a me è successo il contrario e cioè il prof privilegiava l'aspetto intuitivo e meno quello analitico.
Allora ritiro tutto quello che ho scritto prima e vediamo di concentrarci sull'impostazione analitica. Per prima cosa ti dico, ma forse lo sai già, che ci sono due metodi per impostare i sistemi:
1. Metodo generale;
2. Metodo dell'equazione ausiliaria.
Il primo metodo consiste nello scrivere le tre equazioni per ogni tratto, quindi nel tuo caso avrai
3 equazione x 2 tratti = 6 equazioni in totale (con altrettante incognite).
Il secondo metodo consente di scrivere un sistema di equazioni ridotto rispetto alle 6 di cui avresti bisogno nel tuo caso. In questo momento però non ricordo in cosa consiste il metodo, quindi se vuoi cerco info fra i miei appunti e poi ti faccio sapere con più esattezza.
Supponiamo di voler applicare il metodo generale. Allora esplico tutte le reazioni dei vincoli e ne ipotizzo un verso arbitrariamente (l'unica cosa a cui bisogna fare attenzione è che nei vincoli interni le due reazioni le devo segnare sempre una opposta all'altra). Per comodità posso anche spezzare i due tratti
TRATTO $AB$
- Equilibrio alla traslazione orizzontale: $ sum |vec F_x| = 0 rArr R_A^x + R_B^x = 0 $
- Equilibrio alla traslazione verticale: $ sum |vec F_y| = 0 rArr R_A^y = 0 $
- Equilibrio alla rotazione attorno al punto $A$: $ sum |vec M| = 0 rArr M_A + M_B = 0 $
TRATTO $BCD$
- Equilibrio alla traslazione orizzontale: $ sum |vec F_x| = 0 rArr - R_B^x = 0 $
- Equilibrio alla traslazione verticale: $ sum |vec F_y| = 0 rArr R_C + Q = 0 $
- Equilibrio alla rotazione attorno al punto $B$: $ sum |vec M| = 0 rArr - M_B - R_C *l - Q * 3/2 l = 0 $
Metto assieme tutte le equazioni ottenute:
$ { ( R_A^x + R_B^x = 0 ),( R_A^y = 0),( M_A + M_B = 0), ( - R_B^x = 0),(R_C + Q = 0),( - M_B - R_C *l - Q * 3/2 l = 0 ):} $
A questo punto risolvo. Se ci sei fin qui andiamo avanti, magari puoi provare a risolverlo tu così vediamo dove hai problemi.
P.S. Per i disegni ho usato Power Point.
P.S.S. Se puoi evita di scrivere tutto in sottolineato perchè diventa un pò pesante a vedere.
Ciao.
Allora ritiro tutto quello che ho scritto prima e vediamo di concentrarci sull'impostazione analitica. Per prima cosa ti dico, ma forse lo sai già, che ci sono due metodi per impostare i sistemi:
1. Metodo generale;
2. Metodo dell'equazione ausiliaria.
Il primo metodo consiste nello scrivere le tre equazioni per ogni tratto, quindi nel tuo caso avrai
3 equazione x 2 tratti = 6 equazioni in totale (con altrettante incognite).
Il secondo metodo consente di scrivere un sistema di equazioni ridotto rispetto alle 6 di cui avresti bisogno nel tuo caso. In questo momento però non ricordo in cosa consiste il metodo, quindi se vuoi cerco info fra i miei appunti e poi ti faccio sapere con più esattezza.
Supponiamo di voler applicare il metodo generale. Allora esplico tutte le reazioni dei vincoli e ne ipotizzo un verso arbitrariamente (l'unica cosa a cui bisogna fare attenzione è che nei vincoli interni le due reazioni le devo segnare sempre una opposta all'altra). Per comodità posso anche spezzare i due tratti
TRATTO $AB$
- Equilibrio alla traslazione orizzontale: $ sum |vec F_x| = 0 rArr R_A^x + R_B^x = 0 $
- Equilibrio alla traslazione verticale: $ sum |vec F_y| = 0 rArr R_A^y = 0 $
- Equilibrio alla rotazione attorno al punto $A$: $ sum |vec M| = 0 rArr M_A + M_B = 0 $
TRATTO $BCD$
- Equilibrio alla traslazione orizzontale: $ sum |vec F_x| = 0 rArr - R_B^x = 0 $
- Equilibrio alla traslazione verticale: $ sum |vec F_y| = 0 rArr R_C + Q = 0 $
- Equilibrio alla rotazione attorno al punto $B$: $ sum |vec M| = 0 rArr - M_B - R_C *l - Q * 3/2 l = 0 $
Metto assieme tutte le equazioni ottenute:
$ { ( R_A^x + R_B^x = 0 ),( R_A^y = 0),( M_A + M_B = 0), ( - R_B^x = 0),(R_C + Q = 0),( - M_B - R_C *l - Q * 3/2 l = 0 ):} $
A questo punto risolvo. Se ci sei fin qui andiamo avanti, magari puoi provare a risolverlo tu così vediamo dove hai problemi.
P.S. Per i disegni ho usato Power Point.
P.S.S. Se puoi evita di scrivere tutto in sottolineato perchè diventa un pò pesante a vedere.
Ciao.
"JoJo_90":
Metto assieme tutte le equazioni ottenute:
$ { ( R_A^x + R_B^x = 0 ),( R_A^y = 0),( M_A + M_B = 0), ( - R_B^x = 0),(R_C + Q = 0),( - M_B - R_C *l - Q * 3/2 l = 0 ):} $
A questo punto risolvo. Se ci sei fin qui andiamo avanti, magari puoi provare a risolverlo tu così vediamo dove hai problemi.
P.S. Per i disegni ho usato Power Point.
P.S.S. Se puoi evita di scrivere tutto in sottolineato perchè diventa un pò pesante a vedere.
Ciao.
$ { ( R_A^x=-R_B^x),(R_A^y=0),(M_A=-Q/2), (-R_B^x=0),(R_C^y=-Q),(M_B =-Q+(3/2)q= Q/2) :}$
cosi ?
Uhm.. si più o meno. Mi sembra solo che ci sia qualcosa che non và sul momento $M_B$.
$M_B = -R_C^y * l - Q* 3/2 l$
Siccome dalla penultima equazione sò che $R_C^y = -Q$, l'equazione del momento mi diventa:
$M_B = Q * l - Q* 3/2 l = (1 - 3/2)Ql = -Q/2l$
P.S. Ho dimenticato di rispondere alla tua domanda sul punto $D$. Era questa
Si, hai fatto benissimo. E' bene mettere un punto in corrispondenza: degli estremi della trave, dei vincoli interni e in generale dei punti di varazione e/o discontinuità della geometria della struttura.
$M_B = -R_C^y * l - Q* 3/2 l$
Siccome dalla penultima equazione sò che $R_C^y = -Q$, l'equazione del momento mi diventa:
$M_B = Q * l - Q* 3/2 l = (1 - 3/2)Ql = -Q/2l$
P.S. Ho dimenticato di rispondere alla tua domanda sul punto $D$. Era questa
"Thomasdy ":
ritornando ad un dubbio scritto nel post precedente faccio bene a denominare l'estremo a destra libero $D$ ?
Si, hai fatto benissimo. E' bene mettere un punto in corrispondenza: degli estremi della trave, dei vincoli interni e in generale dei punti di varazione e/o discontinuità della geometria della struttura.
"JoJo_90":
Uhm.. si più o meno. Mi sembra solo che ci sia qualcosa che non và sul momento $M_B$.
$M_B = -R_C^y * l - Q* 3/2 l$
Siccome dalla penultima equazione sò che $R_C^y = -Q$, l'equazione del momento mi diventa:
$M_B = Q * l - Q* 3/2 l = (1 - 3/2)Ql = -Q/2l$
P.S. Ho dimenticato di rispondere alla tua domanda sul punto $D$. Era questa
[quote="Thomasdy "]ritornando ad un dubbio scritto nel post precedente faccio bene a denominare l'estremo a destra libero $D$ ?
Si, hai fatto benissimo. E' bene mettere un punto in corrispondenza: degli estremi della trave, dei vincoli interni e in generale dei punti di varazione e/o discontinuità della geometria della struttura.[/quote]
Bene, ho rifatto con calma l'operazione e mi trovo anche io
$-M_B-R_C*l-q*3/2 l=0$
$ -M_B+Ql-q*3/2 l=0$
$ - M_B=-Ql+q *3/2 l$
$-M_B= Q/2 l$
$M_B= - Q/2 l$
scusa se ho fatto tutti i passaggi molto scolastici,mi aiutano a capire meglio,purtroppo faccio molti errori di distrazione (per la serie la matematica non è proprio arte mia)
E perchè mai ti dovresti scusare? Ognuno si trova bene a fare le operazioni come vuole; anche io quando devo fare qualcosa di importante faccio sempre tutti i passaggi; meglio perdere un pò più tempo a scrivere tutto, che saltare passaggi col rischio di sbagliare e andare poi a pescare l'errore. E' questo è ancora più vero nei sistemi secondo me.
Detto questo, se hai bisogno di altri chiarimenti chiedi pure
.
Ciao.
Detto questo, se hai bisogno di altri chiarimenti chiedi pure
.Ciao.
"JoJo_90":
E perchè mai ti dovresti scusare? Ognuno si trova bene a fare le operazioni come vuole; anche io quando devo fare qualcosa di importante faccio sempre tutti i passaggi; meglio perdere un pò più tempo a scrivere tutto, che saltare passaggi col rischio di sbagliare e andare poi a pescare l'errore. E' questo è ancora più vero nei sistemi secondo me.
Detto questo, se hai bisogno di altri chiarimenti chiedi pure
Ciao.
Eheh non vorrei abusare della tua pazienza,in precedenza avevo postato questo http://i50.tinypic.com/20uxxtl.jpg
Si hai ragione, l'avevo dimenticato.
Allora ci sono alcune cose da correggere. Prima di tutto metto un'immagine più completa così ci intendiamo meglio:
Adesso ti scrivo le equazioni scritte da te:
Primo tronco
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ), ( R_A^y + R_B^y - ql = 0 ), ( M(A): M_A + R_B^y*l - Ql*(l/2) = 0 ):} $
La prima e la seconda sono ok. Anche la terza, a parte alcuni errori di notazione (la $a$ minuscola, la mancanza alla fine di $=0$, e l'uso della $Q$ invece di $q$), è ok.
Secondo tronco
$ { ( R_B^x= 0 ), ( -R_B^y + R_C^y + 9/4 Ql = 0 ), ( M(B): R_C^y* 5/4*l = 0 ):} $
Anche per questo tratto la prima è ok. Nella seconda è sbagliato il segno della risultante del carico, quindi è $-9/4 ql$ e non $+9/4 Ql$ (anche in questo caso era da usare la $q$ e non la $Q$).
L'equazione del momento invece è incompleta: oltre la reazione del carrello, anche la risultante del carico distribuito dà momento. Tra l'altro il momento di $R_C^y$ è orario, quindi secondo la tua convenzione è negativo.
$M(B): - ql*9/8l - R_C^y* 5/4l = 0 $
A questo punto, accorpi tutte e sei le equazioni e risolvi. Se hai difficoltà a risolvere il sistema postalo pure. A questo proposito ti volevo dire che se la difficoltà principale che incontri in questi esercizi è la risoluzione dei sistemi, forse è meglio che ti eserciti solo sui sistemi, magari prendendo gli esercizi da un libro di matematica. Ti dico questo perchè mi sembra che tu non abbia particolari difficoltà ad ottenere le equazioni cardinali; infatti il tuo mi sembra più un problema di matematica che di scienza delle costruzioni (o almeno questo è quello che credo).
Ciao.
Allora ci sono alcune cose da correggere. Prima di tutto metto un'immagine più completa così ci intendiamo meglio:
Adesso ti scrivo le equazioni scritte da te:
Primo tronco
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ), ( R_A^y + R_B^y - ql = 0 ), ( M(A): M_A + R_B^y*l - Ql*(l/2) = 0 ):} $
La prima e la seconda sono ok. Anche la terza, a parte alcuni errori di notazione (la $a$ minuscola, la mancanza alla fine di $=0$, e l'uso della $Q$ invece di $q$), è ok.
Secondo tronco
$ { ( R_B^x= 0 ), ( -R_B^y + R_C^y + 9/4 Ql = 0 ), ( M(B): R_C^y* 5/4*l = 0 ):} $
Anche per questo tratto la prima è ok. Nella seconda è sbagliato il segno della risultante del carico, quindi è $-9/4 ql$ e non $+9/4 Ql$ (anche in questo caso era da usare la $q$ e non la $Q$).
L'equazione del momento invece è incompleta: oltre la reazione del carrello, anche la risultante del carico distribuito dà momento. Tra l'altro il momento di $R_C^y$ è orario, quindi secondo la tua convenzione è negativo.
$M(B): - ql*9/8l - R_C^y* 5/4l = 0 $
A questo punto, accorpi tutte e sei le equazioni e risolvi. Se hai difficoltà a risolvere il sistema postalo pure. A questo proposito ti volevo dire che se la difficoltà principale che incontri in questi esercizi è la risoluzione dei sistemi, forse è meglio che ti eserciti solo sui sistemi, magari prendendo gli esercizi da un libro di matematica. Ti dico questo perchè mi sembra che tu non abbia particolari difficoltà ad ottenere le equazioni cardinali; infatti il tuo mi sembra più un problema di matematica che di scienza delle costruzioni (o almeno questo è quello che credo).
Ciao.
"JoJo_90":
A questo punto, accorpi tutte e sei le equazioni e risolvi. Se hai difficoltà a risolvere il sistema postalo pure. A questo proposito ti volevo dire che se la difficoltà principale che incontri in questi esercizi è la risoluzione dei sistemi, forse è meglio che ti eserciti solo sui sistemi, magari prendendo gli esercizi da un libro di matematica. Ti dico questo perchè mi sembra che tu non abbia particolari difficoltà ad ottenere le equazioni cardinali; infatti il tuo mi sembra più un problema di matematica che di scienza delle costruzioni (o almeno questo è quello che credo).
Ciao.
Bhe non hai visto male,diciamo che non ho una vasta esperienza nello svolgimento dei sistemi e questo mi crea qualche grattacapo.
Ricapitoliamo:
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ), ( R_A^y + R_B^y - ql = 0 ), ( M(A): M_A + R_B^y*l - ql*(l/2) = 0 ):} $
svolgimento 1 tronco
${ (R_A^x=R_B^x), (R_A^y=R_B^y + ql), (M(A) +R_B^y*l - (ql^2)/2 =0) :}$
Ricapitoliamo 2 tronco
${ ( R_B^x=0), (R_B^y+R_C^y - (9/4)ql=0), (M(B): R_C^y(5/4)l- (9/8)ql=0 ) :} $
svolgimento 2 tronco
$ { (R_B^x=0), (R_B^y=-R_C^y + (9/4)ql=0), (M(B): R_C^yl (5/4)l-(9/8)ql=0 ) :} $
$ { R_C^y= (9/8)ql * (4/5)l = (9/10)q :} $ ---> moltiplico 9/8 per 4/5=9/10
$ { R_B^y=- (9/10)q + (9/4)ql= (27/20)ql :} $
$ {R_A^y= (27/20)ql+ ql = (47/20)ql :} $
$ { M(A)=- (27/20)ql^2+(ql^2)/2= -(17/20) ql ^2:}$
Scusami nell'immagine che ho postato avevo commesso degli errori. Adesso l'ho corretta e la riposto qui:
Per quanto riguarda i sistemi, lo svolgimento è un pò confusionario e forse scorretto perchè ti eri basato sull'immagine sbagliata. Adesso comunque riscrivo i sistemi.
Primo tratto: $AB$
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M(A) => M_A - ql*l/2 + R_B^y *l = 0 ):} $
Secondo tratto: $BCD$
$ { ( R_B^x = 0 ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( M(B) => - 9/4ql*9/8l + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
Metto tutto assieme:
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M(A) => M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( R_B^x = 0 ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( M(B) => - 81/32ql^2 + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
Comincio a sostituire. Vedo subito dalla quarta equazione che conosco già il valore di $R_B^x$ che è $0$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prima sostituzione: $R_B^x = 0$ $=>$ $(1)$. Sostituisco nella prima equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( (1) ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( - 81/32ql^2 + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
A questo punto vedo che dall'ultima equazione posso ricavare $R_C^y$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seconda sostituzione: $R_C^y = 81/32ql^2*4/(5l) = 81/40ql$ $=>$ $(2)$. Sostituisco nella quinta equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( (1) ),( - R_B^y - 9/4ql + 81/40ql = 0 ),( (2) ):} $
Dalla quinta mi posso ricavare $R_B^y$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Terza sostituzione: $R_B^y = - 9/4ql + 81/40ql = - 9/40 ql $ $=>$ $(3)$. Sostituisco nella seconda e terza equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql - 9/40ql = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 - 9/40ql^2 = 0 ), ( (1) ),( (3) ),( (2) ):} $
A questo punto posso ricavare i valori delle reazioni rimanenti e cioè di $R_A^y$ e $M_A$
$R_A^y = ql + 9/40 ql = 49/40 ql$
$M_A = (ql^2)/2 + 9/40ql^2 = (20+9)/40ql^2 =29/40 ql^2$.
Riepilogando le reazioni sono:
$R_A^x = 0$
$R_A^y = 49/40ql$
$M_A = 29/40ql^2$
$R_B^x = 0$
$R_B^y = - 9/40ql$
$R_C^y = 81/40 ql$
Verifichiamo quanto ottenuto:
- Equilibrio globale orizzontale:
$R_A^x = 0$ $=>$ $0 = 0$. Soddisfatta.
- Equilibrio globale verticale:
$R_A^y - Q_1 - Q_2 + R_c^y = 0$
$49/40ql - ql - 9/4ql +81/40 = 0$
$(49 - 40 - 90 + 81)/40 = 0$
$0 = 0$. Soddisfatta.
- Equilibrio globale alla rotazione attorno ad $A$:
$M_A - Q_1 * l/2 - Q_2 * (9/8l + l) +R_C^y * 9/4l = 0$
$ 29/40 ql^2 - ql*l/2 - 9/4ql * 17/8l + 81/40ql * 9/4 l = 0$
$ 29/40 ql^2 - (ql^2)/2 - 153/32ql^2 + 729/160 ql^2 = 0$
$(116 - 80 - 765 + 729)/160 ql ^2 = 0$
$0 = 0$. Soddisfatta.
Le reazioni vincolari sono quindi corrette.
Nota: nell'equilibrio globale non considero le reazioni interne perchè si annullerebbero a vicenda essendo uguali ma di segno opposto. Se invece si fa un equilibrio parziale per tratti, allora le reazioni dei vincoli interni vanno considerate.
Se non ho sbagliato nulla questo è quanto. Per qualsiasi chiarimento o se ci sono passaggi poco chiari fammi sapere.
Ciao.
Per quanto riguarda i sistemi, lo svolgimento è un pò confusionario e forse scorretto perchè ti eri basato sull'immagine sbagliata. Adesso comunque riscrivo i sistemi.
Primo tratto: $AB$
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M(A) => M_A - ql*l/2 + R_B^y *l = 0 ):} $
Secondo tratto: $BCD$
$ { ( R_B^x = 0 ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( M(B) => - 9/4ql*9/8l + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
Metto tutto assieme:
$ { ( R_A^x - R_B^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M(A) => M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( R_B^x = 0 ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( M(B) => - 81/32ql^2 + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
Comincio a sostituire. Vedo subito dalla quarta equazione che conosco già il valore di $R_B^x$ che è $0$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prima sostituzione: $R_B^x = 0$ $=>$ $(1)$. Sostituisco nella prima equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( (1) ),( - R_B^y - 9/4ql + R_C^y = 0 ),( - 81/32ql^2 + R_C^y *5/4l = 0 ):} $
A questo punto vedo che dall'ultima equazione posso ricavare $R_C^y$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seconda sostituzione: $R_C^y = 81/32ql^2*4/(5l) = 81/40ql$ $=>$ $(2)$. Sostituisco nella quinta equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql + R_B^y = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 + R_B^y *l = 0 ), ( (1) ),( - R_B^y - 9/4ql + 81/40ql = 0 ),( (2) ):} $
Dalla quinta mi posso ricavare $R_B^y$. Quindi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Terza sostituzione: $R_B^y = - 9/4ql + 81/40ql = - 9/40 ql $ $=>$ $(3)$. Sostituisco nella seconda e terza equazione.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ { ( R_A^x = 0 ),( R_A^y - ql - 9/40ql = 0 ),( M_A - (ql^2)/2 - 9/40ql^2 = 0 ), ( (1) ),( (3) ),( (2) ):} $
A questo punto posso ricavare i valori delle reazioni rimanenti e cioè di $R_A^y$ e $M_A$
$R_A^y = ql + 9/40 ql = 49/40 ql$
$M_A = (ql^2)/2 + 9/40ql^2 = (20+9)/40ql^2 =29/40 ql^2$.
Riepilogando le reazioni sono:
$R_A^x = 0$
$R_A^y = 49/40ql$
$M_A = 29/40ql^2$
$R_B^x = 0$
$R_B^y = - 9/40ql$
$R_C^y = 81/40 ql$
Verifichiamo quanto ottenuto:
- Equilibrio globale orizzontale:
$R_A^x = 0$ $=>$ $0 = 0$. Soddisfatta.
- Equilibrio globale verticale:
$R_A^y - Q_1 - Q_2 + R_c^y = 0$
$49/40ql - ql - 9/4ql +81/40 = 0$
$(49 - 40 - 90 + 81)/40 = 0$
$0 = 0$. Soddisfatta.
- Equilibrio globale alla rotazione attorno ad $A$:
$M_A - Q_1 * l/2 - Q_2 * (9/8l + l) +R_C^y * 9/4l = 0$
$ 29/40 ql^2 - ql*l/2 - 9/4ql * 17/8l + 81/40ql * 9/4 l = 0$
$ 29/40 ql^2 - (ql^2)/2 - 153/32ql^2 + 729/160 ql^2 = 0$
$(116 - 80 - 765 + 729)/160 ql ^2 = 0$
$0 = 0$. Soddisfatta.
Le reazioni vincolari sono quindi corrette.
Nota: nell'equilibrio globale non considero le reazioni interne perchè si annullerebbero a vicenda essendo uguali ma di segno opposto. Se invece si fa un equilibrio parziale per tratti, allora le reazioni dei vincoli interni vanno considerate.
Se non ho sbagliato nulla questo è quanto. Per qualsiasi chiarimento o se ci sono passaggi poco chiari fammi sapere.
Ciao.
"JoJo_90":
Riepilogando le reazioni sono:
$R_A^x = 0$
$R_A^y = 49/40ql$
$M_A = 29/40ql$
$R_B^x = 0$
$R_B^y = - 9/40ql$
$R_C^y = 81/40 ql$
Nota: nell'equilibrio globale non considero le reazioni interne perchè si annullerebbero a vicenda essendo uguali ma di segno opposto. Se invece si fa un equilibrio parziale per tratti, allora le reazioni dei vincoli interni vanno considerate.
Se non ho sbagliato nulla questo è quanto. Per qualsiasi chiarimento o se ci sono passaggi poco chiari fammi sapere.
Ciao.
Si con la nuova configurazione ho rifatto i calcoli e mi trovo anche io,solo su un punto ho un dubbio,precisamente su $ M(A)= (29/40)ql $
$M(A)= (29/40) ql^2$
non dovrebbe venire ql^2 ?
Si hai ragione; mi è sfuggito. Adesso lo sistemo.
"JoJo_90":
Si hai ragione; mi è sfuggito. Adesso lo sistemo.
bene grazie delle dritte ora vedo di andare avanti faccendo i diagrammi tratto per tratto
http://www.imagehost.it/di/SROQ/Ttrave.png
In questa trave iso, mi ritrovo a svolgere un sistema con 3 incognite in 2 equazioni,mi aiuteresti JoJo?
In questa trave iso, mi ritrovo a svolgere un sistema con 3 incognite in 2 equazioni,mi aiuteresti JoJo?
Ciao. Innanzitutto volevo capire se i vincoli sono tutti carrelli e se il carello intermedio è esterno o interno e quindi se la trave è unica o se è interrotta. Poi ti volevo dire che se sono tutti carrelli la trave è labile, anche se per la particolare condizione di carico (la coppia) la si può considerare isostatica ma labile per carichi orizzontali.
"JoJo_90":
Ciao. Innanzitutto volevo capire se i vincoli sono tutti carrelli e se il carello intermedio è esterno o interno e quindi se la trave è unica o se è interrotta. Poi ti volevo dire che se sono tutti carrelli la trave è labile, anche se per la particolare condizione di carico (la coppia) la si può considerare isostatica ma labile per carichi orizzontali.
Ciao
... Si sono tutti carrelli e la trave non è interrotta
Ok. Quindi come ho detto prima la trave risulta labile per una qualunque condizione di carico (ad esempio per carichi orizzontali), ma iperstatica (e non isostatica come ti avevo erroneamente scritto prima) per la particolare condizione di carico assegnata.
Detto questo, si conclude che essendo iperstatica, non è possibile trovare le reazioni vincolari con le sole equazioni cardinali della statica perchè sono in numero insufficiente. In particolare puoi utilizzare due equazioni (quella traslazione verticale e quella alla rotazione) che però contengono tre incognire che sono le tre reazioni dei carrelli.
Dato che è iperstatica significa che un vincolo è sovrabbondante e pertanto la soluzione non è unica. Ora, se hai studiato le strutture iperstatiche si possono applicare i metodi risolutivi appropriati, altrimenti non si può risolvere, credo.
Detto questo, si conclude che essendo iperstatica, non è possibile trovare le reazioni vincolari con le sole equazioni cardinali della statica perchè sono in numero insufficiente. In particolare puoi utilizzare due equazioni (quella traslazione verticale e quella alla rotazione) che però contengono tre incognire che sono le tre reazioni dei carrelli.
Dato che è iperstatica significa che un vincolo è sovrabbondante e pertanto la soluzione non è unica. Ora, se hai studiato le strutture iperstatiche si possono applicare i metodi risolutivi appropriati, altrimenti non si può risolvere, credo.
"JoJo_90":
[size=85]Ok. Quindi come ho detto prima la trave risulta labile per una qualunque condizione di carico (ad esempio per carichi orizzontali), ma iperstatica (e non isostatica come ti avevo erroneamente scritto prima) per la particolare condizione di carico assegnata.
Detto questo, si conclude che essendo iperstatica, non è possibile trovare le reazioni vincolari con le sole equazioni cardinali della statica perchè sono in numero insufficiente. In particolare puoi utilizzare due equazioni (quella traslazione verticale e quella alla rotazione) che però contengono tre incognire che sono le tre reazioni dei carrelli.
Dato che è iperstatica significa che un vincolo è sovrabbondante e pertanto la soluzione non è unica. Ora, se hai studiato le strutture iperstatiche si possono applicare i metodi risolutivi appropriati, altrimenti non si può risolvere, credo[/size].
Hai ragione, per quanto riguarda le iperstatiche si,non le ho ancora affrontare,quindi passo ad altro esercizio...come questo
http://www.imagehost.it/di/6STC/IMG.jpg
Considerando i versi positivi e tutte le reazioni con forze agenti (scusa se non posto una configurazione grafica ma non sono pratico con PPoint
)1 TRONCO --->
$ { (R_A^x+R_B^x=0),(R_A^y-(5/4)ql=0),(M(A)-(5/8)ql^2-M(B)) :} $
SVOLGIMENTO 1 TRONCO--->
$ { ( R_A^x=-R_B^x),(R_A^y=(5/4)ql),(M(A)=(5/8)ql^2+M(B) ) :}$
2 TRONCO --->
$ { (-R_B^X=0),(R_C^y - 2ql=0),(M(B)-2ql^2=0) :}$
SVOLGIMENTO 2 TRONCO --->
$ { (R_B^x=0),(R_C^y=2ql),(M(B)=2ql^2) :} $
RICAPITOLANDO --->
$ { (R_A^x=0),(R_B^x=0),(R_A^y=(5/4)ql),(R_C^y=2ql),(M(A) =(21/8) ql^2),(M(B)=2ql^2) :}$
i Calcoli sono giusti ?
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