[Scienze delle costruzioni] Esercizio trave isostatica

[Thomasdy]

http://i45.tinypic.com/35070qe.jpg

Dall'esercizio che ho postato sto trovando difficolta nel calcolarmi l'equazioni del 2 tronco, in modo particolare il momento,chi mi puoi aiutare ?

[peppe.carbone.90]

Ciao. Allora volevo capire se i passaggi scritti nel foglio postato li hai fatti tu.

[Thomasdy]

"JoJo_90":Ciao. Allora volevo capire se i passaggi scritti nel foglio postato li hai fatti tu.

si

[peppe.carbone.90]

L'equazione del momento è parzialmente corretta. L'unica cosa da correggere riguarda i momenti applicati $qa^2$, infatti mi sembra di vedere che hai moltiplicato questi due momenti per le distante dal polo $C$; ebbene ciò non è necessario in quanto, essendo già di per sè dei momenti, non è corretto moltiplicarli ancora per una distanza. Tant'è che se fai un'analisi dimensionale ti ritrovi che:

$qa^2 * a = [N/m][m^2]*[m] = [N*m^2]$

che non è un'unità di misura di un momento (esso infatti si misura sempre come una forza per una distanza).
Invece se non moltiplichi i momenti applicati per la distanza $a$ ottieni:

$qa^2 = [N/m][m^2] = [N*m]$

Questa volta è giusto perchè hai una forza ($N$) per una distanza ($m$). Quindi in conclusione quando devi tenere conto di momenti applicati non devi moltiplicarli per la distanza dal polo, ma lasciarli come sono, perchè sono già momenti.

Spero di essermi spiegato bene.

Ciao.

[Thomasdy]

"JoJo_90":L'equazione del momento è parzialmente corretta. L'unica cosa da correggere riguarda i momenti applicati $qa^2$, infatti mi sembra di vedere che hai moltiplicato questi due momenti per le distante dal polo $C$; ebbene ciò non è necessario in quanto, essendo già di per sè dei momenti, non è corretto moltiplicarli ancora per una distanza. Tant'è che se fai un'analisi dimensionale ti ritrovi che:

$qa^2 * a = [N/m][m^2]*[m] = [N*m^2]$

che non è un'unità di misura di un momento (esso infatti si misura sempre come una forza per una distanza).
Invece se non moltiplichi i momenti applicati per la distanza $a$ ottieni:

$qa^2 = [N/m][m^2] = [N*m]$

Questa volta è giusto perchè hai una forza ($N$) per una distanza ($m$). Quindi in conclusione quando devi tenere conto di momenti applicati non devi moltiplicarli per la distanza dal polo, ma lasciarli come sono, perchè sono già momenti.

Spero di essermi spiegato bene.

Ciao.

Grazie della correzione,hai perfettamente ragione

[peppe.carbone.90]

Prego

[Thomasdy]

http://i48.tinypic.com/2ibkpdx.jpg

Ciao jojo sapresti aiutarmi con questa trave ? .... [size=85](il segno del momento è scomparso in A, misteri di photoshop)[/size]

[peppe.carbone.90]

Di che aiuto hai bisogno di preciso? Le equazioni sono corrette.

P.S. Dal segno del momento in $A$ suppongo che l'hai ipotizzato orario.

[Thomasdy]

"JoJo_90":Di che aiuto hai bisogno di preciso? Le equazioni sono corrette.

P.S. Dal segno del momento in $A$ suppongo che l'hai ipotizzato orario.

No è che da buon asinello quale sono,faccio fatica a risolvere il sistema per trovarmi il valore di Ma (ammesso che sia quello il valore da sapere)

http://i45.tinypic.com/1zcpg03.jpg

[peppe.carbone.90]

Guarda è un sistema molto semplice. Lo riscrivo:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( -M_A + R_B^y *l - M = 0 ):} $

Dalla seconda sai che $R_B^y = 0$ quindi lo sostituisci nell'equazione del momento:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( -M_A + 0 *l - M = 0 ):} $

Quindi in definitiva le reazioni vincolari valgono:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( M_A = - M ):} $

L'ultima equazione ti dice che il momento esplicato dal bipendolo è in valore assoluto uguale al momento applicato alla trave, ma di segno opposto. Quindi, se il momento applicato è orario, il momento del bipendolo dovrà essere antiorario per l'equilibrio statico.

"Thomasdy":(ammesso che sia quello il valore da sapere)

Beh i valori da ricavare sono quelli di tutte le reazioni vincolari, che nel tuo caso sono proprio $R_A^x$ ed $M_A$ per il bipendolo e $R_B^y$ per il carrello.

[Thomasdy]

"JoJo_90":Guarda è un sistema molto semplice. Lo riscrivo:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( -M_A + R_B^y *l - M = 0 ):} $

Dalla seconda sai che $R_B^y = 0$ quindi lo sostituisci nell'equazione del momento:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( -M_A + 0 *l - M = 0 ):} $

Quindi in definitiva le reazioni vincolari valgono:

$ { ( R_A^x = 0 ),( R_B^y = 0),( M_A = - M ):} $

L'ultima equazione ti dice che il momento esplicato dal bipendolo è in valore assoluto uguale al momento applicato alla trave, ma di segno opposto. Quindi, se il momento applicato è orario, il momento del bipendolo dovrà essere antiorario per l'equilibrio statico.

[quote="Thomasdy"](ammesso che sia quello il valore da sapere)

Beh i valori da ricavare sono quelli di tutte le reazioni vincolari, che nel tuo caso sono proprio $R_A^x$ ed $M_A$ per il bipendolo e $R_B^y$ per il carrello.[/quote]

In merito all'equazione, per la seria come perdersi in un bicchiere d'acqua

[Thomasdy]

Nel voler tracciare i diagrammi di sollecitazione in questo caso avendo come forse solo due momenti,traccio solo quello del momento giusto ?

[peppe.carbone.90]

"Thomasdy":
In merito all'equazione, per la seria come perdersi in un bicchiere d'acqua

Capita. Comunque a proposito ancora dell'esercizio ti vorrei dare una piccola dritta che riguarda un modo alternativo di trovare le reazioni vincolari senza applicare le equazioni cardinali della statica.

Il ragionamento è questo: la trave risulta vincolata ad una estremità con un bipendolo orizzontale e in prossimità della mezzeria con un carrello. Essa inoltre risulta caricata con un momento applicato all'altra estremità.

Bene. Sappiamo che un momento può essere equilibrato:

1) o da un altro momento,
2) o da una coppia momento, cioè da due forze parallele poste ad una certa distanza (detta braccio) fra loro.

Vediamo quale è il caso nostro.

La uniche forze che potrebbero costituire una coppia sono: la reazione orizzontale del bipentolo e la reazione verticale del carrello. Esse però non possono formare una coppia, perchè una è orizzontale e l'altra verticale, invece dovrebbero essere parallele. Quindi si conclude che il carrello non reagisce e il bipendolo non reagisce con la forza orizzontale perchè non possono equilibrare il momento applicato.
Allora l'unica possibilità per l'equilibrio è quella che tutto il momento applicato se lo prenda il bipendolo.

Questi ragionamenti quindi ti portano a dire che $R_A^x$ ed $R_B^y$ sono nulle. Mentre $M_A$ è uguale e opposto al momento applicato.

"Thomasdy":Nel voler tracciare i diagrammi di sollecitazione in questo caso avendo come forse solo due momenti,traccio solo quello del momento giusto ?

Una precisazione: i momenti non sono delle forze. Comunque la risposta è sì.

[Thomasdy]

"JoJo_90":[quote="Thomasdy"]
In merito all'equazione, per la seria come perdersi in un bicchiere d'acqua

Capita. Comunque a proposito ancora dell'esercizio ti vorrei dare una piccola dritta che riguarda un modo alternativo di trovare le reazioni vincolari senza applicare le equazioni cardinali della statica.

Il ragionamento è questo: la trave risulta vincolata ad una estremità con un bipendolo orizzontale e in prossimità della mezzeria con un carrello. Essa inoltre risulta caricata con un momento applicato all'altra estremità.

Bene. Sappiamo che un momento può essere equilibrato:

1) o da un altro momento,
2) o da una coppia momento, cioè da due forze parallele poste ad una certa distanza (detta braccio) fra loro.

Vediamo quale è il caso nostro.

La uniche forze che potrebbero costituire una coppia sono: la reazione orizzontale del bipentolo e la reazione verticale del carrello. Esse però non possono formare una coppia, perchè una è orizzontale e l'altra verticale, invece dovrebbero essere parallele. Quindi si conclude che il carrello non reagisce e il bipendolo non reagisce con la forza orizzontale perchè non possono equilibrare il momento applicato.
Allora l'unica possibilità per l'equilibrio è quella che tutto il momento applicato se lo prenda il bipendolo.

Questi ragionamenti quindi ti portano a dire che $R_A^x$ ed $R_B^y$ sono nulle. Mentre $M_A$ è uguale e opposto al momento applicato.

"Thomasdy":Nel voler tracciare i diagrammi di sollecitazione in questo caso avendo come forse solo due momenti,traccio solo quello del momento giusto ?

Una precisazione: i momenti non sono delle forze. Comunque la risposta è sì.[/quote]


Nel tracciami i diagrammi devo svolgere le leggi di variazione,calcolandomi tratto per tratto N,T,M
Nel caso in cui ho solo momenti,come nel caso postato http://i47.tinypic.com/288bh8y.jpg come devo ragionare ?

[peppe.carbone.90]

Ciao.

Nell'esercizio che hai postato, se non ho interpretato male il disegno, hai non solo momento, ma anche taglio (a meno che tu non ti stessi riferendo solo al tratto $AB$). Intendi quindi solo il tratto $AB$ o ti interessa tutta la trave?

P.S. Ti volevo dire che quando rispondi non è necessario quotare tutto il messaggio per intero; limita il "quota" solo alle parti importanti che vuoi richiamare e usalo solo quando è necessario ai fini della comprensione della discussione .

[Thomasdy]

"JoJo_90":Ciao.

Nell'esercizio che hai postato, se non ho interpretato male il disegno, hai non solo momento, ma anche taglio (a meno che tu non ti stessi riferendo solo al tratto AB). Intendi quindi solo il tratto AB o ti interessa tutta la trave?

Si ho momento e taglio,cmq mi riferivo nel caso particolare del tratto AB,non avendo forze verticali,mi domandavo come muovermi,su quei pochi esercizi su cui mi sto allenando (per le isostatiche) mi sono sempre trovato davanti a forze verticali e momenti, in questo caso specifico con il solo momento QL²/2 come faccio a calcolarmi i valori in Ma e Mb ? (spero di essere stato chiaro )

"JoJo_90":P.S. Ti volevo dire che quando rispondi non è necessario quotare tutto il messaggio per intero; limita il "quota" solo alle parti importanti che vuoi richiamare e usalo solo quando è necessario ai fini della comprensione della discussione .

Provvederò in futuro

[peppe.carbone.90]

"Thomasdy":Si ho momento e taglio,cmq mi riferivo nel caso particolare del tratto AB,non avendo forze verticali,mi domandavo come muovermi,su quei pochi esercizi su cui mi sto allenando (per le isostatiche) mi sono sempre trovato davanti a forze verticali e momenti, in questo caso specifico con il solo momento $Ql^2/2$ come faccio a calcolarmi i valori in $M_A$ e $M_B$ ? (spero di essere stato chiaro )

Chiarissimo. Allora il fatto che non ci siano forze verticali non deve spaventarti; però è importante capire gli esercizi e non imparare a svolgerli meccanicamente (attenzione non è rivolto a te, ma parlo in generale).

Quindi consideriamo il tratto $AB$. Il sistema di riferimento è posto con origine in $A$ credo, quindi la tua ascissa $z$ in questo tratto varia da $A$ a $B$. Scritto in modo più sinstetico quanto detto diventa:

Tratto $AB$ con $0<=z<=l$

Fin qui ci siamo?

EDIT. Scusa non mi ero accorto che questo che ti ho detto lo avevi già scritto nel foglio contenente l'esercizio postato.

Allora vado avanti. Scriviamo la legge analitica del momento per una sezione generica. A questo scopo mi metto in una sezione posta ad una distanza generica $z$ dall'origine del sistema di riferimento e calcolo il momento: guardo ad esempio a sinistra e, vedendo il solo momento applicato in $A$, scrivo:

$M(z) = (ql^2)/2$ e osservo subito che tale momento è costante (infatti sia $q$ che $l$ sono dei numeri) ovvero non dipende da $z$.

Tu richiedi il momento in $A$ e in $B$. Bene, siccome il momento è costante per tutto il tratto, dove mi metto mi metto con la sezione il momento è sempre quello, quindi il momento in $A$ è uguale al momento in $B$ che a sua volta è uguale a $(ql^2)/2$. In formule

$M(z) = (ql^2)/2 = M(A) = M(B) $

Una pignoleria: non sarebbe proprio corretto scrivere $M(A)$, ma bisognerebbe scrivere $M(0)$, perchè quando siamo in $A$ la $z = 0$.

Spero di essere stato chiaro, altrimenti fai un fischio

Ciao.

[Thomasdy]

"JoJo_90":

Allora vado avanti. Scriviamo la legge analitica del momento per una sezione generica. A questo scopo mi metto in una sezione posta ad una distanza generica $z$ dall'origine del sistema di riferimento e calcolo il momento: guardo ad esempio a sinistra e, vedendo il solo momento applicato in $A$, scrivo:

$M(z) = (ql^2)/2$ e osservo subito che tale momento è costante (infatti sia $q$ che $l$ sono dei numeri) ovvero non dipende da $z$.

Tu richiedi il momento in $A$ e in $B$. Bene, siccome il momento è costante per tutto il tratto, dove mi metto mi metto con la sezione il momento è sempre quello, quindi il momento in $A$ è uguale al momento in $B$ che a sua volta è uguale a $(ql^2)/2$. In formule

$M(z) = (ql^2)/2 = M(A) = M(B) $

Una pignoleria: non sarebbe proprio corretto scrivere $M(A)$, ma bisognerebbe scrivere $M(0)$, perchè quando siamo in $A$ la $z = 0$.

Spero di essere stato chiaro, altrimenti fai un fischio

Ciao.

Uhm quindi proseguendo col tratto $BC$ [size=85]($0 avrei:
$M(z)= (ql^2)/2- (ql^2)/2- (ql^2)/2= - (ql^2)/2 $
$M(z)= -(ql^2)/2=M(B)=M(C)$

tratto $CD$ [size=85]$(0 T=$QL-Qz$
T(C)=$QL$
T(D)=$0$

$M(Z)=(ql^2)/2-(ql^2)/2-(ql^2)/2+QL(z)-Qz ((z)/2)$

M(C)= $ -(ql^2)/2$
M(D)= $0$

Nell'ultimo tratto,(l'ultima L) c'è un carico distribuito q che non ho disegnato nel file postato,ma che ho considerato come valore nel calcolo di T e M in $CD $,mi domandavo visto che l'estremo è libero, ho considerato il tratto denominando con D questo estremo ho sbagliato ?

http://i47.tinypic.com/288bh8y.jpg

[peppe.carbone.90]

Ciao. Allora per evitare equivoci, vorrei sapere alcuni informazioni sulla struttura postata e in particolare:

1. Che vincolo c'è in $A$;
2. Che vincolo in $C$;
3. Quali sono i carichi applicati alla struttura.

Ti chiedo queste cose perchè più informazioni ho e meglio possiamo fare le varie valutazioni e soprattutto le dovute verifiche per vedere se abbiamo fatto tutto giusto.

[Thomasdy]

"JoJo_90":Ciao. Allora per evitare equivoci, vorrei sapere alcuni informazioni sulla struttura postata e in particolare:

1. Che vincolo c'è in $A$;
2. Che vincolo in $C$;
3. Quali sono i carichi applicati alla struttura.

Ti chiedo queste cose perchè più informazioni ho e meglio possiamo fare le varie valutazioni e soprattutto le dovute verifiche per vedere se abbiamo fatto tutto giusto.

A= incastro
B= doppio Pendolo
C= carello

da C in poi c'è un carico distribuito q

http://i46.tinypic.com/eaqpet.jpg

[peppe.carbone.90]

Come prima cosa ti dico che c'è un errore nelle reazioni del bipendolo. Se fai una verifica di equilibrio alla rotazione te ne accorgi. Se non te ne accorgi la facciamo passo passo.

Per quanto riguarda le caratteristiche della sollecitazione $N$, $T$ ed $M$ ti devo dire alcune cose. Innanzitutto facciamo un po' di chiarezza sul sistema di riferimento dei singoli tratti. Quando si ha a che fare con travi rettilinee come nel tuo caso si può considerare un solo sistema di riferimento con origine nel primo punto. Così per il nostro caso, supponendo di voler fare come ho scritto avrai:

- Tratto $AB$ con $0 $ fisso l'origine in $A$

- Tratto $BC$ con $l
- Tratto $CD$ con $2l
oppure puoi considerare tre sistemi con origini in $A$, in $B$ e in $C$ (che poi credo è quello che hai fatto tu), quindi avrai:

- Tratto $AB$ con $0 $ fisso l'origine in $A$

- Tratto $BC$ con $0 $ fisso l'origine in $B$

- Tratto $CD$ con $0 $ fisso l'origine in $C$

L'una o l'altra scelta sono arbitrarie ed entrambe leggitime.

A questo punto andiamo al calcolo delle sollecitazioni. Hai scritto:

"Thomasdy ":
Uhm quindi proseguendo col tratto $BC (0 avrei:

$M(z)=(ql^2)/2−(ql^2)/2−(ql^2)/2=−(ql^2)/2$
$M(z)=−(ql^2)/2 = M(B)=M(C)$

Mi sembra di capire che hai considerato anche il momento in $A$ e i due momenti in $B$. Se così è non è corretto, infatti quando sei nel tratto $BC$ e guardi ad esempio a sinistra, l'unico momento che devi considerare è la reazione del bipendolo che agisce sul tratto stesso (quindi sarebbe il momento a destra del bipendolo), quindi:

$M(z) = M_B^((BC)) = -(ql^2)/2$

In poche parole nel traguardare la trave devi arrivare fino a quando non incontri un vincolo interno.

Poi:

"Thomasdy ":Tratto $CD (0 $T=QL−Qz$
$T(C)=QL$
$T(D)=0$

OK, l'unica cosa che volevo dirti è che quando scrivi le sollecitazioni, siccome sono funzioni, devi scrivere tra parentesi la variabile, cioè devi scrivere $T(z)$ e non semplicemente $T$. La prima scirttura infatti ti fa capire che al variare di $z$ varia il valore del taglio. Per questo stesso motivo, quando calcoli il taglio in una sezione specifica, ad esempio in $C$, devi scrivere $T(0)$ e non $T(C)$, perchè in parentesi ci và sempre il valore della $z$ che in $C$ vale $0$ (stesso discorso per $D$ e per il momento scritto precedentemente).

Poi:

"Thomasdy ":$M(Z)=(ql^2)/2−(ql^2)/2−(ql^2)/2+QL(z)−Qz(z/2)$

$M(C)= −(ql^2)/2$
$M(D)= 0$

Anche quì credo che hai considerato i momento in $A$ e il momento del bipendolo agente in $AB$; se è così vale anche in questo caso la correzione di prima.

In questo caso comunque per comodità potevi guardare a destra della sezione, così vedi solo il carico distribuito:

$M(z) = q(l-z)*(l-z)/2 = (q(l-z)^2)/2$

Una ultima cosa che volevo dirti è quella di fare attenzione a non confondre la $Q$ maiuscola con la $q$ minuscola in quanto in generale non sono la stessa cosa. Infatti se con $Q$ indichi la risultante del carico distribuito e con $q$ indichi il carico unitario, allora vale la relazione $Q= ql$. Quindi quando nel calcolo delle sollecitazioni scrivi $Ql$ non è corretto, ma dovresti scrivere $ql$ oppure se vuoi usare la maiuscola scrivi solo $Q$ (spero di non averti fatto confondere).

Io ho finito. Se ci sono altri dubbi o cose non chiare non esitare a chiedere (nota: ricorda di controllare la reazione del bipendolo).

Ciao.