Urang-utang© in atterraggio su pianeta alieno
Propongo questo problema che ho partorito qualche tempo fa e che ritengo abbastanza tosto.
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Risposte
Una prima delucidazione, a caldo: la traiettori a forma di arco di circonferenza è assunta fin da subito dal modulo grazie al computer, giusto? cioè il modulo viene sganciato e in teoria dovrebbe fare una parabola, ma appena viene sganciato il computer scarica gas in modo che il modulo faccia un arco di circonferenza, e poi istante per istante sarà regolata sempre dal computer in modo che la circonferenza non si distorga in un'altra parabola, giusto?
"Zkeggia":
Una prima delucidazione, a caldo: la traiettori a forma di arco di circonferenza è assunta fin da subito dal modulo grazie al computer, giusto? cioè il modulo viene sganciato e in teoria dovrebbe fare una parabola, ma appena viene sganciato il computer scarica gas in modo che il modulo faccia un arco di circonferenza, e poi istante per istante sarà regolata sempre dal computer in modo che la circonferenza non si distorga in un'altra parabola, giusto?
Esatto, perfettamente giusto.
Nota che se il modulo scendesse a parabola (e quindi la spinta dei razzi frenanti fosse assente) si sfracellerebbe sicuramente al suolo.
Non ho provato a risolvere ancora, solo alcune considerazioni.
Il raggio della circonferenza è dato dall'altezza dal suolo al momento dello sgancio, come si vede dalla velocità iniziale del satellite.
Inoltre quando il satellite arriva a terra dovrebbe avere, se tutto funziona, velocità nulla dato che la spinta dei razzi agirebbe in direzione tangenziale quindi diretta verso il suolo e la forza peso sempre in direzione verticale quindi non ci sarebbe nessuna forza a fornire l'accelerazione centripeta necessaria... questo è possibile solo a velocità al limite nulla...
Il raggio della circonferenza è dato dall'altezza dal suolo al momento dello sgancio, come si vede dalla velocità iniziale del satellite.
Inoltre quando il satellite arriva a terra dovrebbe avere, se tutto funziona, velocità nulla dato che la spinta dei razzi agirebbe in direzione tangenziale quindi diretta verso il suolo e la forza peso sempre in direzione verticale quindi non ci sarebbe nessuna forza a fornire l'accelerazione centripeta necessaria... questo è possibile solo a velocità al limite nulla...
Ho provato a risolvere con massa del modulo costante e mi risultano due soluzioni, una con razzi che spingono nel verso del moto.
Il raggio della traiettoria circolare è dato dalle condizioni iniziali di posizione e velocità, non è detto che il modulo arrivi a terra perpendicolare alla superficie.
Sul fatto che qando il modulo è in verticale, ammesso che riesca ad esserlo, la velocità è nulla sono daccordo, ammesso che i razzi esercitini una forza solo parallela al modulo.
PS: dimenticavo che la forza dei razzi necessaria a compiere una traiettoria circolare non mi risulta tangente alla traiettoria
Il raggio della traiettoria circolare è dato dalle condizioni iniziali di posizione e velocità, non è detto che il modulo arrivi a terra perpendicolare alla superficie.
Sul fatto che qando il modulo è in verticale, ammesso che riesca ad esserlo, la velocità è nulla sono daccordo, ammesso che i razzi esercitini una forza solo parallela al modulo.
PS: dimenticavo che la forza dei razzi necessaria a compiere una traiettoria circolare non mi risulta tangente alla traiettoria
@nonsoxke
Falco ha detto che la velocità iniziale è $sqrt(gh)$ per cui arriva al suolo con velocità nulla per quello che dicevo.
Ho fatto pochi calcoli (sono un primate pigro) e direi....
$g cos(theta)=v^2/h$
dove con $v$ considero la velocità tangenziale e con $theta$ l'angolo tra la verticale al momento dello sgancio e la congiungente il modulo con il punto a terra in verticale al momento dello sgancio.
Si vede che a terra ($theta=pi/2$) si ha $v=0$.
Considerando il legame tra $theta$ e $v$ si otterrebbe un equazione differenziale per il calcolo di $theta$ come funzione del tempo....
$(d theta)/(dt)=(\frac{g}{h} cos theta)^(1/2)$ equazione che non so risolvere...
Comunque per le questioni poste da Falco credo che nota la velocità di arrivo al suolo si possono fare considerazioni energetiche .
Non credo sia semplice scrivere invece le equazioni del moto del modulo....
Falco ha detto che la velocità iniziale è $sqrt(gh)$ per cui arriva al suolo con velocità nulla per quello che dicevo.
Ho fatto pochi calcoli (sono un primate pigro) e direi....
$g cos(theta)=v^2/h$
dove con $v$ considero la velocità tangenziale e con $theta$ l'angolo tra la verticale al momento dello sgancio e la congiungente il modulo con il punto a terra in verticale al momento dello sgancio.
Si vede che a terra ($theta=pi/2$) si ha $v=0$.
Considerando il legame tra $theta$ e $v$ si otterrebbe un equazione differenziale per il calcolo di $theta$ come funzione del tempo....
$(d theta)/(dt)=(\frac{g}{h} cos theta)^(1/2)$ equazione che non so risolvere...
Comunque per le questioni poste da Falco credo che nota la velocità di arrivo al suolo si possono fare considerazioni energetiche .
Non credo sia semplice scrivere invece le equazioni del moto del modulo....
La considerazione energetica che hai fatto non tiene conto che oltre alla forza peso c'è la forza esercitata dai razzi a compiere lavoro sul modulo.
Il raggio della traiettoria circolare non si conosce, va ricavato imponendo delle condizioni, non è detto che atterri perpendicolarmente alla superficie.
PS: ho trovato quattro soluzioni anche nel caso in cui la forza dei razzi sia tangente alla traiettoria, ero stato un po' ingenuo nell'impostare le equazioni
Il raggio della traiettoria circolare non si conosce, va ricavato imponendo delle condizioni, non è detto che atterri perpendicolarmente alla superficie.
PS: ho trovato quattro soluzioni anche nel caso in cui la forza dei razzi sia tangente alla traiettoria, ero stato un po' ingenuo nell'impostare le equazioni
"nnsoxke":
La considerazione energetica che hai fatto non tiene conto che oltre alla forza peso c'è la forza esercitata dai razzi a compiere lavoro sul modulo.
Il raggio della traiettoria circolare non si conosce, va ricavato imponendo delle condizioni, non è detto che atterri perpendicolarmente alla superficie.
PS: ho trovato quattro soluzioni anche nel caso in cui la forza dei razzi sia tangente alla traiettoria, ero stato un po' ingenuo nell'impostare le equazioni
Non ho fatto nessuna considerazione energetica nelle equazioni che ho scritto.
Ho solo imposto che punto per punto se si vuole che la traiettoria sia circolare occorre che sia presente una forza centripeta opportuna e tale forza può essere fornita solo dal peso, dato che i razzi per ipotesi agiscono in direzione tangenziale alla traiettoria.
La condizione iniziale di velocità ce l'hai e con quella condizione il modulo deve arrivare a terra a velocità nulla e il raggio della traiettoria è l'altezza da terra all'inizio.
Il mio problema è capire come impostare l'energia, in quanto non c'è solo l'energia cinetica, perché anche la massa è funzione del tempo, e c'è da considerarlo nel calcolo. Inoltre se imposto l'equazione $F=d(mv)/(dt)$ ho dei problemi non indifferenti, perché la forza di gravità è funzione della massa, che varia nel tempo, e non mi riesce trovare il modo per risolvere... qualche suggerimento?
@Faussone: quello che hai scritto è corretto e anche l'equazione a cui sei arrivato. Ci sarebbe da chiedersi se a quell'equazione esiste una soluzione.
"Zkeggia":
Il mio problema è capire come impostare l'energia, in quanto non c'è solo l'energia cinetica, perché anche la massa è funzione del tempo, e c'è da considerarlo nel calcolo. Inoltre se imposto l'equazione $F=d(mv)/(dt)$ ho dei problemi non indifferenti, perché la forza di gravità è funzione della massa, che varia nel tempo, e non mi riesce trovare il modo per risolvere... qualche suggerimento?
Per il momento lascerei perdere la variabilità della massa, non è un problema, visto che forza peso e forza centripeta richiesta sono proporzionali alla massa.
Ricavata la soluzione con massa costante (ammesso che esista
), per tenere conto della variabilità della massa, si tratta solo di far variare la forza dei razzi proporzionalmente a questa rispetto al caso precedente, l'accelerazione del corpo sarà la stessa.
"nnsoxke":
[quote="Zkeggia"]Il mio problema è capire come impostare l'energia, in quanto non c'è solo l'energia cinetica, perché anche la massa è funzione del tempo, e c'è da considerarlo nel calcolo. Inoltre se imposto l'equazione $F=d(mv)/(dt)$ ho dei problemi non indifferenti, perché la forza di gravità è funzione della massa, che varia nel tempo, e non mi riesce trovare il modo per risolvere... qualche suggerimento?
Per il momento lascerei perdere la variabilità della massa, non è un problema, visto che forza peso e forza centripeta richiesta sono proporzionali alla massa.
Ricavata la soluzione con massa costante (ammesso che esista
), per tenere conto della variabilità della massa, si tratta solo di far variare la forza dei razzi proporzionalmente a questa rispetto al caso precedente, l'accelerazione del corpo sarà la stessa.[/quote]Allora, la forza peso è funzione di massa e angolo. L'accelerazione radiale se è la derivata di mv rispetto al tempo sarà:
dal momento che $mv = m (dot r u_r + rdot (theta) u_(theta))$ con $dot r= 0$
la sua derivata sarà:
$dot m (rdot (theta) u_(theta)) + m (-rdot theta^2u_r + rddot theta u_(theta))$
e questa dopo essere scomposta radialmente e tangenzialmente è da uguagliare alla forza che è a sua volta funzione di $theta$ e di $m$. Quindi di fatto radialmente non cambia molto al variare della massa, dico bene? il problema è tangenzialmente, che con massa costante ottengo equazioni diverse... e poi il problema dell'energia. Ho come dato una cosa che mi invita a tenerne conto ma non so scrivere l'energia cinetica se non ho la funzione che lega m e v!
Io so che la relazione tra forza risultante che agisce su un punto materiale e accelerazione è $vecF=mveca$, dove m è il valore istantaneo della massa del punto materiale.
Quella che hai usato è la formula della derivata della quantità di moto di un sistema aperto, questo però non è un sistema in cui viene persa massa che viaggia alla stessa velocità del modulo (il termine $dotmvecv$), la velocità dei fumi che escono allo scarico dei razzi è diversa da quella del modulo.
Quella che hai usato è la formula della derivata della quantità di moto di un sistema aperto, questo però non è un sistema in cui viene persa massa che viaggia alla stessa velocità del modulo (il termine $dotmvecv$), la velocità dei fumi che escono allo scarico dei razzi è diversa da quella del modulo.
Non capisco la tua osservazione, io so che la forza è uguale allla derivata della quantità di moto rispetto al tempo, che diventa la ben nota formula $F=ma$ nel caso di massa costante, che non è il nostro caso. Il termine $dot m v$ nasce dal derivare appunto questa quantità, un po' come le coordinate polari se ci pensi:
supponendo che un corpo si muova all'interno di una orbita ellittica scrivo la posizione del corpo rispetto all'origine in coordinate polari:
$r u_r$. Ora voglio sapere la velocità e derivo rispetto al tempo ottenendo:
$dot r u_r + r dot theta u_(theta)$ , infine riderivando ho:
$ddot r u_r + 2dot r dot theta u_theta - r dot theta^2 u_r + r ddot theta u_(theta)$
se ci soffermiamo ad assorvare questa relazione notiamo che appaiono termini come prodotto della velocità con cui varia l'angolo per r invariato oppure il prodotto dell'accelerazione tangenziale per r inveriato, e cose così, come nel nostro caso. con $dot m v$ io intendevo la variazione di massa dell'astronave per la sua velocità: questa è l'equazione dell'astronave non della massa perduta.
supponendo che un corpo si muova all'interno di una orbita ellittica scrivo la posizione del corpo rispetto all'origine in coordinate polari:
$r u_r$. Ora voglio sapere la velocità e derivo rispetto al tempo ottenendo:
$dot r u_r + r dot theta u_(theta)$ , infine riderivando ho:
$ddot r u_r + 2dot r dot theta u_theta - r dot theta^2 u_r + r ddot theta u_(theta)$
se ci soffermiamo ad assorvare questa relazione notiamo che appaiono termini come prodotto della velocità con cui varia l'angolo per r invariato oppure il prodotto dell'accelerazione tangenziale per r inveriato, e cose così, come nel nostro caso. con $dot m v$ io intendevo la variazione di massa dell'astronave per la sua velocità: questa è l'equazione dell'astronave non della massa perduta.
Bene bene, sono contento di vedere che vi date da fare.
Lo scimmione di bordo mi incarica di comunicarvi che facendo i calcoli a modo suo trova che si consumano circa 260 kg di combustibile; cioè il modulo che all'inizio pesa 1000 kg, quando tocca il suolo pesa circa 740 kg. Sarà vero? Mah... io mica mi fido tanto di quei suoi metodi matematici così scimmieschi! mi ha passsato un foglio zeppo di $dm,dt,dE,d\theta$ che passa impunemente a destra e a manca dell'uguale nelle equazioni come fossero numeri reali... roba da far rabbrividire
Lo scimmione di bordo mi incarica di comunicarvi che facendo i calcoli a modo suo trova che si consumano circa 260 kg di combustibile; cioè il modulo che all'inizio pesa 1000 kg, quando tocca il suolo pesa circa 740 kg. Sarà vero? Mah... io mica mi fido tanto di quei suoi metodi matematici così scimmieschi! mi ha passsato un foglio zeppo di $dm,dt,dE,d\theta$ che passa impunemente a destra e a manca dell'uguale nelle equazioni come fossero numeri reali... roba da far rabbrividire
Falco io ci sto impazzendo su questo problema , a parte che nnsoxke mi ha fatto ricontrollare pure i principi della dinamica, non mi ci raccapezzo più 
non mi riesce impostare l'equazione tangenziale della forza! non so come trattare il fatto che il computer non spari costantemente fuori massa, ma lo faccia in maniera variabile. (un'altra domanda, ma anche se butta fuori combustibile in maniera variabile, comunque butta sempre fuori un po' di combustibile, tranne al più al tratto finale. Cioè nell'equazione del moto tangenziale in ogni istante devo contare quanto gas è espulso, sapendo che la quantità di gas espulso non è mai nulla, giusto?)
, a parte che nnsoxke mi ha fatto ricontrollare pure i principi della dinamica, non mi ci raccapezzo più non mi riesce impostare l'equazione tangenziale della forza! non so come trattare il fatto che il computer non spari costantemente fuori massa, ma lo faccia in maniera variabile. (un'altra domanda, ma anche se butta fuori combustibile in maniera variabile, comunque butta sempre fuori un po' di combustibile, tranne al più al tratto finale. Cioè nell'equazione del moto tangenziale in ogni istante devo contare quanto gas è espulso, sapendo che la quantità di gas espulso non è mai nulla, giusto?)
@Zkeggia
La forza tangenziale, o spinta del motore che in questo caso è frenante, non dovrebbe essere un grosso problema calcolarla: basta impostare il vincolo della traiettoria circolare...
Poi serve qualche considerazione sul motore a razzo: è noto che sfrutta il principio di azione-reazione. E pare anche logico pensare che deve dare proprio la spinta che serve a mantenere quella traiettoria circolare.
Conviene riferire tutto all'angolo $\theta$
La forza tangenziale, o spinta del motore che in questo caso è frenante, non dovrebbe essere un grosso problema calcolarla: basta impostare il vincolo della traiettoria circolare...
Poi serve qualche considerazione sul motore a razzo: è noto che sfrutta il principio di azione-reazione. E pare anche logico pensare che deve dare proprio la spinta che serve a mantenere quella traiettoria circolare.
Conviene riferire tutto all'angolo $\theta$
"Zkeggia":
Non capisco la tua osservazione, io so che la forza è uguale allla derivata della quantità di moto rispetto al tempo, che diventa la ben nota formula $F=ma$ nel caso di massa costante, che non è il nostro caso. Il termine $dot m v$ nasce dal derivare appunto questa quantità, un po' come le coordinate polari se ci pensi:
supponendo che un corpo si muova all'interno di una orbita ellittica scrivo la posizione del corpo rispetto all'origine in coordinate polari:
$r u_r$. Ora voglio sapere la velocità e derivo rispetto al tempo ottenendo:
$dot r u_r + r dot theta u_(theta)$ , infine riderivando ho:
$ddot r u_r + 2dot r dot theta u_theta - r dot theta^2 u_r + r ddot theta u_(theta)$
se ci soffermiamo ad assorvare questa relazione notiamo che appaiono termini come prodotto della velocità con cui varia l'angolo per r invariato oppure il prodotto dell'accelerazione tangenziale per r inveriato, e cose così, come nel nostro caso. con $dot m v$ io intendevo la variazione di massa dell'astronave per la sua velocità: questa è l'equazione dell'astronave non della massa perduta.
Si questo l'avevo capito, quello che non capisco o ricordo male è il passaggio dal secondo princio della dinamica $vecF=mveca$, in cui la derivata sta solo sulla velocità e la massa è una costante, all'equazione che hai scritto in cui si deriva il prodotto massa velocità.
Ci deve essere un passaggio intermedio, non è la stessa equazione.
"Falco5x":
@Zkeggia
La forza tangenziale, o spinta del motore che in questo caso è frenante, non dovrebbe essere un grosso problema calcolarla: basta impostare il vincolo della traiettoria circolare...
Poi serve qualche considerazione sul motore a razzo: è noto che sfrutta il principio di azione-reazione. E pare anche logico pensare che deve dare proprio la spinta che serve a mantenere quella traiettoria circolare.
Conviene riferire tutto all'angolo $\theta$
Già, il problema è se la forza peso riesca ad avere costantemente una componente perpendicolare alla traiettoria tale da far mantenere la traiettoria circolare al modulo, che ha una certa velocità, che dipende dalla dalla componente tangenziale della risultante della forze.
"nnsoxke":
[quote="Falco5x"]@Zkeggia
La forza tangenziale, o spinta del motore che in questo caso è frenante, non dovrebbe essere un grosso problema calcolarla: basta impostare il vincolo della traiettoria circolare...
Poi serve qualche considerazione sul motore a razzo: è noto che sfrutta il principio di azione-reazione. E pare anche logico pensare che deve dare proprio la spinta che serve a mantenere quella traiettoria circolare.
Conviene riferire tutto all'angolo $\theta$
Già, il problema è se la forza peso riesca ad avere costantemente una componente perpendicolare alla traiettoria tale da far mantenere la traiettoria circolare al modulo, che ha una certa velocità, che dipende dalla dalla componente tangenziale della risultante della forze.[/quote]
Il peso ha una componente perpendicolare alla traiettoria: vedi la soluzione trovata da Faussone (con la quale mi trovo perfettamente):
basta porre $m v^2/h=m g costheta$, con theta angolo fra verticale e congiungente il piede della verticale al modulo.
Non capisco come imporre ad una forza tangenziale una variazione della direzione della velocità.
Ho abbozzato un ragionamento, ma ho molti dubbi ed una sola certezza: l'approssimazione $e_s>>v^2$ mi dà un pò fastidio.
Ho pensato che, per definizione, dovrebbe essere $e_s=(dE)/(dm)$.
$dE$ è la variazione infinitesima di energia cinetica, quindi $dE=m v dv$.
Posso scrivere $(dm)/m=(v dv)/e_s$
Integrando fra $m_0$ ed $m$, e fra $v_0$ e $v$ si ottiene:
$ln(m/m_0)=(1/(2 e_s))(v^2-v_0^2)$ da cui $m=m_0 e^((1/(2 e_s))(v^2-v_0^2))$
Tenendo conto del fatto che $v^2=h g costheta$ e che $v_0^2=g h$ si ha:
$m=m_0 e^((h g)/(2 e_s)(costheta-1))=m_0 e^(v_0^2/e_s (costheta-1))$
Sostituendo i dati il risultato non si trova, perchè c'è il fattore $v_0^2/e_s$ che è effettivamente molto piccolo, per cui con $theta=pi/2$ la massa è quasi uguale ad $m_0$.
A parte le finezze da buon primate che sono, quali altre bestemmie ho scritto?
Ho pensato che, per definizione, dovrebbe essere $e_s=(dE)/(dm)$.
$dE$ è la variazione infinitesima di energia cinetica, quindi $dE=m v dv$.
Posso scrivere $(dm)/m=(v dv)/e_s$
Integrando fra $m_0$ ed $m$, e fra $v_0$ e $v$ si ottiene:
$ln(m/m_0)=(1/(2 e_s))(v^2-v_0^2)$ da cui $m=m_0 e^((1/(2 e_s))(v^2-v_0^2))$
Tenendo conto del fatto che $v^2=h g costheta$ e che $v_0^2=g h$ si ha:
$m=m_0 e^((h g)/(2 e_s)(costheta-1))=m_0 e^(v_0^2/e_s (costheta-1))$
Sostituendo i dati il risultato non si trova, perchè c'è il fattore $v_0^2/e_s$ che è effettivamente molto piccolo, per cui con $theta=pi/2$ la massa è quasi uguale ad $m_0$.
A parte le finezze da buon primate che sono, quali altre bestemmie ho scritto?
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