Urang-utang© in atterraggio su pianeta alieno
Propongo questo problema che ho partorito qualche tempo fa e che ritengo abbastanza tosto.
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Risposte
"Zkeggia":
Mmh... scusa l'ignoranza, ma allora perché la prima parte dell'energia cinetica è $mvdv$? questo cosa significa? come ci sei arrivato? grazie per la pazienza
$(dE)/(dv)=d/(dv)[1/2mv^2]=mv$
e perché $mg$ è costante? non dipende anch'essa dalla massa che varia col tempo? scusa l'insistenza è che sto cercando di capire tutti i passaggi.
"Zkeggia":
e perché $mg$ è costante? non dipende anch'essa dalla massa che varia col tempo? scusa l'insistenza è che sto cercando di capire tutti i passaggi.
Sì è vero, ho detto una cavolata, nella mia testa avevo la g, che ovviamente è costante.
Bene, il tuo metodo parrebbe funzionare ehehe, provo con un metodo più rigoroso dal punto di vista matematico, grazie dell'aiuto!
"Zkeggia":
Bene, il tuo metodo parrebbe funzionare ehehe, provo con un metodo più rigoroso dal punto di vista matematico, grazie dell'aiuto!
Un momento eh, mica è tutto finito, occorre arrivare al risultato!
Tornando alla traiettoria riporto qui i valori di accelerazione necessari per mantenere la rotta circolare.
Detto $\theta$ l'angolo descritto dal modulo di atterraggio, che parte da da 0 quando il raggio del cerchio è verticale, ovvero al momento dello sgancio, e arriva a $\pi/2$ quando il modulo tocca il suolo, si ha:
(accelerazione normale alla traiettoria)
$a_N = g\cos \theta$
(accelerazione tangenziale alla traiettoria)
$a_T = - \frac{g}{2}\sin \theta$
La spinta necessaria a mantenere questa traiettoria risulta essere tangente alla stessa e avente valore dipendente da $\theta$:
$F_m= - 3/2mg\sin \theta$
(il segno meno indica che è frenante)
e poi riporto anche l'espressione della velocità in funzione dell'angolo:
$v = \sqrt {g\rho \cos \theta }$
i dettagli del calcolo li metto solo su richiesta
Adesso dunque posso scrivere l'uguaglianza finale che risolta dà il risultato:
$F_m = \frac{dm}{dt}\sqrt {2e_S} = - \frac{3}{2}mg\sin \theta $
Adesso lascio la parola allo scimione di bordo che con metodi tutti suoi risolverà finalmente questa semplice equazione differenziale.
$F_m = \frac{dm}{dt}\sqrt {2e_S} = - \frac{3}{2}mg\sin \theta $
Adesso lascio la parola allo scimione di bordo che con metodi tutti suoi risolverà finalmente questa semplice equazione differenziale.
Riscrivendo un po' matematicamente il problema (per vedere se è possibile in linea di principio aggirare l'uran utang di turno) allora io scrivo tutto quello che non mi torna matematicamente del discorso di Falco.
Conservazione della quantità di moto dell'intero sistema significa che la sua derivata rispetto al tempo dev'essere nulla, ovvero:
$d (mv) / dt = 0$
$dot m v + mdot v = 0$
$dot m v = - m dot v$
La quantità di moto del sistema si conserva? questa domanda mi lascia perplesso, perché non si dovrebbe conservare la quantità di moto in quanto ci sono forze ovunque, quindi direi di no, però fisicamente mi torna l'equazione $dot m v = - m dot v$, attendo chiarimenti.
Ora scrivo la conservazione dell'energia cinetica del sistema gas + modulo, scrivendo quindi:
$d E / dt = d (1/2 m v^2) / dt = 1/2 dotm (v^2) + m v dot v$
posso sotituire $dot m v = - m dot v$ all'interno dell'equazione dell'energia e ottenere:
$dE / dt = - 1/2 m dot v v + m v dot v$ e dividere tutto per la massa, sapendo poi che $ dot E / m = e_s$ (questa non so se me la sono inventata, però è l'unico modo che ho per far tornare il discorso di Falco! comunque torna, la variazione di energia cinetica per unità di massa è questa, no?)
allora si giunge alla scritta di falco:
$e_s = 1/2v^2$
allora, tornando all'equazione della forza motrice:
$F_m = dot m v = sqrt (2 e_s)$
e ci siamo riallacciati alla formula di Falco. Il resto, come si dice, è storia...
Però vorrei sapere perché la quantità di moto del sistema si dovrebbe conservare... che ve ne pare? sono stato un buon matematico
?
Conservazione della quantità di moto dell'intero sistema significa che la sua derivata rispetto al tempo dev'essere nulla, ovvero:
$d (mv) / dt = 0$
$dot m v + mdot v = 0$
$dot m v = - m dot v$
La quantità di moto del sistema si conserva? questa domanda mi lascia perplesso, perché non si dovrebbe conservare la quantità di moto in quanto ci sono forze ovunque, quindi direi di no, però fisicamente mi torna l'equazione $dot m v = - m dot v$, attendo chiarimenti.
Ora scrivo la conservazione dell'energia cinetica del sistema gas + modulo, scrivendo quindi:
$d E / dt = d (1/2 m v^2) / dt = 1/2 dotm (v^2) + m v dot v$
posso sotituire $dot m v = - m dot v$ all'interno dell'equazione dell'energia e ottenere:
$dE / dt = - 1/2 m dot v v + m v dot v$ e dividere tutto per la massa, sapendo poi che $ dot E / m = e_s$ (questa non so se me la sono inventata, però è l'unico modo che ho per far tornare il discorso di Falco! comunque torna, la variazione di energia cinetica per unità di massa è questa, no?)
allora si giunge alla scritta di falco:
$e_s = 1/2v^2$
allora, tornando all'equazione della forza motrice:
$F_m = dot m v = sqrt (2 e_s)$
e ci siamo riallacciati alla formula di Falco. Il resto, come si dice, è storia...
Però vorrei sapere perché la quantità di moto del sistema si dovrebbe conservare... che ve ne pare? sono stato un buon matematico
?
@Zkeggia
mah quanto scrivi mi pare un po' deboluccio da sostenere.
Consideriamo un razzo isolato nello spazio non soggetto a forze.
La quantità di moto globale si conserva certamente, però si conserva anche la massa (razzo + gas) per cui la derivata della massa rispetto al tempo è zero. Se invece si considera solo il razzo allora la sua massa varia, ma la sua quantità di moto non si conserva.
In realtà qui tu non citi mai una cosa fondamentale cioè la velocità (relativa misurata all'ugello) di espulsione dei gas $v_g$. Infatti se una certa massa di gas di valore finito venisse emessa istantaneamente con tale velocità, si avrebbe per la conservazione della quantità di moto globale: $m_rv_r=-m_(g)(v_g+v_r)$
Analogamente nel considerare l'energia. Mi pare che non ci siamo. Io avevo scritto delle cose diverse.
Riguardo al fatto se tu sia o no un buon matematico, direi che per il momento potresti accontentarti di diventare un buon fisico.
mah quanto scrivi mi pare un po' deboluccio da sostenere.
Consideriamo un razzo isolato nello spazio non soggetto a forze.
La quantità di moto globale si conserva certamente, però si conserva anche la massa (razzo + gas) per cui la derivata della massa rispetto al tempo è zero. Se invece si considera solo il razzo allora la sua massa varia, ma la sua quantità di moto non si conserva.
In realtà qui tu non citi mai una cosa fondamentale cioè la velocità (relativa misurata all'ugello) di espulsione dei gas $v_g$. Infatti se una certa massa di gas di valore finito venisse emessa istantaneamente con tale velocità, si avrebbe per la conservazione della quantità di moto globale: $m_rv_r=-m_(g)(v_g+v_r)$
Analogamente nel considerare l'energia. Mi pare che non ci siamo. Io avevo scritto delle cose diverse.
Riguardo al fatto se tu sia o no un buon matematico, direi che per il momento potresti accontentarti di diventare un buon fisico.
Beh, ma se siamo in presenza di forze sul sistema, ovvero la gravità non si dovrebbe conservare neppure la quantità di moto totale. In definitiva non capisco come sia possibile scrivere $dm v + dv m = 0$. Infine non capisco perché il risultato finale torni, cioè alla fin fine è parecchio strano questo...
Comunque quello che ho scritto si ottiene dal tuo dividendo tutto per $dt$ o sbaglio? per quanto riguarda l'energia, diciamo allora che la mia è la variazione di energia cinetica del modulo della navetta. Per conoscere matematicamente la formula dell'energia cinetica del gas dovrei cambiare qualcosa, dunque provo a dire che la quantità di moto modulo più gas si conserva (e ancora non capisco perché). allora ho: (scusa i miei reiterati tentativi, ma siccome, sebbene studi fisica, non mi riesce ragionare come un fisico (lo so, è una cosa veramente triste, purtroppo son fatto male e infatti la maggior parte dei problemi seri non mi torna, come avrai notato) allora cerco di ragionare come un matematico, e provo a impostare da un punto di vista matematicamente corretto le cose.
$mv + m_(g) v_(g) = q$
$dot m v + m dot v + dot m_(g) v_g + m_(g) dot v_(g) = 0$
$dot m v = -dot m_(g) v_(g) - m_(g) dot v_g - m dotv$
energia cinetica allora sarà:
$1/2 mv^2 + 1/2 m_g v_g^2$
derivo
$dot E = 1/2 dot m v^2 + m v dot v + 1/2 dot m (v_(g))^2 + m v_(g) dot v_g$
sostituisco a $dot m v$ l'espressione trovata:
$1/2 (-dot m_(g) v_(g) - m_(g) dot v_g - m dotv)v + mv dot v + 1/2 dot m_(g) (v_g)^2 + mv_(g) dot v_g$
se suppongo che $dot v = dot v_g$ e che $dot m = dot m_g$ (ovvero suppongo che la velocità con cui il gas viene espulso rimanga la stessa, e che la massa espulsa sia uguale alla massa acquistata supposizioni forse non valide?)
allora svolgendo ottengo la formula di falco!
Errori?
Comunque quello che ho scritto si ottiene dal tuo dividendo tutto per $dt$ o sbaglio? per quanto riguarda l'energia, diciamo allora che la mia è la variazione di energia cinetica del modulo della navetta. Per conoscere matematicamente la formula dell'energia cinetica del gas dovrei cambiare qualcosa, dunque provo a dire che la quantità di moto modulo più gas si conserva (e ancora non capisco perché). allora ho: (scusa i miei reiterati tentativi, ma siccome, sebbene studi fisica, non mi riesce ragionare come un fisico (lo so, è una cosa veramente triste, purtroppo son fatto male e infatti la maggior parte dei problemi seri non mi torna, come avrai notato) allora cerco di ragionare come un matematico, e provo a impostare da un punto di vista matematicamente corretto le cose.
$mv + m_(g) v_(g) = q$
$dot m v + m dot v + dot m_(g) v_g + m_(g) dot v_(g) = 0$
$dot m v = -dot m_(g) v_(g) - m_(g) dot v_g - m dotv$
energia cinetica allora sarà:
$1/2 mv^2 + 1/2 m_g v_g^2$
derivo
$dot E = 1/2 dot m v^2 + m v dot v + 1/2 dot m (v_(g))^2 + m v_(g) dot v_g$
sostituisco a $dot m v$ l'espressione trovata:
$1/2 (-dot m_(g) v_(g) - m_(g) dot v_g - m dotv)v + mv dot v + 1/2 dot m_(g) (v_g)^2 + mv_(g) dot v_g$
se suppongo che $dot v = dot v_g$ e che $dot m = dot m_g$ (ovvero suppongo che la velocità con cui il gas viene espulso rimanga la stessa, e che la massa espulsa sia uguale alla massa acquistata supposizioni forse non valide?)
allora svolgendo ottengo la formula di falco!
Errori?
"Zkeggia":
Riscrivendo un po' matematicamente il problema (per vedere se è possibile in linea di principio aggirare l'uran utang di turno) allora io scrivo tutto quello che non mi torna matematicamente del discorso di Falco.
Conservazione della quantità di moto dell'intero sistema significa che la sua derivata rispetto al tempo dev'essere nulla, ovvero:
$d (mv) / dt = 0$
$dot m v + mdot v = 0$
$dot m v = - m dot v$
Applichiamo ad un caso molto semplice quello che hai scritto.
Prendiamo un corpo su cui non agiscono forze che si muove a velocità costante. Considerando il sistema chiuso applicando il secondo principio della dinamica si ha che, non essendo applicata alcuna forza, la velocità non varia.
Consideriamo ora invece un sistema aperto, cioè fissiamo una superficie che il corpo nel suo moto attraversa e stabiliamo di considerare come sistema aperto la parte di corpo che si trova prima della superficie. Che cosa viene fuori dall'equazione che hai scritto?
La massa del sistema aperto varia, visto che il corpo attraversa la superficie, ma allora il prodotto $mdotv$ è diverso da zero, ovvero il corpo accelera, visto che la massa diminuisce.
Questa non è la descrizione del moto di un corpo libero da forze ma la descrizione del moto di un corpo rimanente dall'esplosione di un corpo più grande (libero da forze) i cui detriti lasciati dall'esplosione hanno componente della velocità nulla lungo la direzione del corpo, infatti l'equazione che hai scritto significa che il corpo rimanente riceve la quantità di moto $dmv$, pari a quella persa dalla massa persa nell'esplosione.
C'è anche una cosa che non riesco a capire, che cosa succede all' "ultima" particella rimasta del corpo mentre attraversa la superficie.
Bel paradosso che ottengo, eppure se considero il corpo diviso in due parti (quello che ha attraversato e quello che ha da attraversare) ottengo che $dot m_(1) v + m_(1) dot v + dot m_(2) v_2 + m_(2)dot v_2 = 0$, e posso dire che $dot m_(1) = - dot m_(2)$ e di nuovo tutto torna. In realtà ho sbagliato a scrivere, quel post ora che lo riguardo è pieno di errori, forse l'ultimo che ho scritto è più giusto. Grazie per avermelo fatto notare
Considerando la velocità che hanno i fumi di scarico del razzo rispetto al modulo ($v_G$), risulta che la derivata della quantità di moto del sistema rimanente (modulo + carburante rimanente) è $mdotv=dotm(v-v_g)$
sicuro? a me risulta che la derivata della quantità di moto del sistema modulo + gas dentro al modulo sia proprio
$d(mv)/dt = dot m v = -mdot v$ con v = velocità del modulo. Perché dovrebbe apparire il termine $v - v_g$?
$d(mv)/dt = dot m v = -mdot v$ con v = velocità del modulo. Perché dovrebbe apparire il termine $v - v_g$?
Ehi gente, non facciamola troppo difficile!
Assumiamo che il razzo viaggi di moto uniforme verso destra (verso positivo dell'asse x). Egli possiede quantità di moto $p=mv$.
A un certo istante emette un infinitesimo di massa verso sinistra alla velocità relativa $v_g$, che sarà una quantità negativa perché orientata verso x-.
La quantità di moto globale si conserva per cui possiamo scrivere la seguente relazione:
$(m-|dm|)(v+dv)+|dm|(v_(g)+v)=mv$
Svolgendo i passaggi si ha:
$mv+mdv-|dm|v-|dm|dv+|dm|v_(g)+|dm|v=mv$
semplificando e trascurando l'infinitesimo di ordine superiore resta
$mdv+|dm|v_(g)=0$
Dividendo per dt
si ottiene:
$m(dv)/(dt)=-(|dm|)/(dt)v_g$
$ma=F_m=-(|dm|)/(dt)v_g$
Se questa è dunque la forza che spinge il razzo nel caso di assenza di altre forze, nel caso in cui ci si trovasse in presenza di altre forze esterne basta sommarle a questa per trovare il moto del razzo!!!
Assumiamo che il razzo viaggi di moto uniforme verso destra (verso positivo dell'asse x). Egli possiede quantità di moto $p=mv$.
A un certo istante emette un infinitesimo di massa verso sinistra alla velocità relativa $v_g$, che sarà una quantità negativa perché orientata verso x-.
La quantità di moto globale si conserva per cui possiamo scrivere la seguente relazione:
$(m-|dm|)(v+dv)+|dm|(v_(g)+v)=mv$
Svolgendo i passaggi si ha:
$mv+mdv-|dm|v-|dm|dv+|dm|v_(g)+|dm|v=mv$
semplificando e trascurando l'infinitesimo di ordine superiore resta
$mdv+|dm|v_(g)=0$
Dividendo per dt
si ottiene:$m(dv)/(dt)=-(|dm|)/(dt)v_g$
$ma=F_m=-(|dm|)/(dt)v_g$
Se questa è dunque la forza che spinge il razzo nel caso di assenza di altre forze, nel caso in cui ci si trovasse in presenza di altre forze esterne basta sommarle a questa per trovare il moto del razzo!!!
Continuando dunque imperterrito per la mia strada, riporto l'ultima equazione scritta:
$F_m = \frac{dm}{dt}\sqrt {2e_S} = - \frac{3}{2}mg\sin \theta $
Ricordando le seguenti relazioni:
$ dt = \frac{h}{v}d\theta$
$ v = \sqrt {gh\cos \theta } $
la scimmia di bordo va a sostituire e scrive:
$ - \frac{| dm |}{m} = - \frac{3}{2}\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} \frac{\sin \theta }{\sqrt {\cos \theta }}d\theta$
La parte a destra dell'uguale si integra così:
$ - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin \theta }{2\sqrt {\cos \theta }}d\theta = 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} [ \sqrt {\cos \theta } ]_0^{\frac{\pi }{2}} = - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} $
La parte a sinistra dell'uguale si integra così
$\int_{m_0}^{m_f} - \frac{| dm |}{m} = \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} = \ln (\frac{m_f}{m_0})$
da cui eguagliando i due risultati si giunge a scrivere:
$ \ln (\frac{m_f}{m_0}) = - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}}$
$ m_(f) = m_0 e^{ - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} } $
Mettendo i dati numerici esce il risultato:
$m_(f)=0,74*m_0$
$F_m = \frac{dm}{dt}\sqrt {2e_S} = - \frac{3}{2}mg\sin \theta $
Ricordando le seguenti relazioni:
$ dt = \frac{h}{v}d\theta$
$ v = \sqrt {gh\cos \theta } $
la scimmia di bordo va a sostituire e scrive:
$ - \frac{| dm |}{m} = - \frac{3}{2}\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} \frac{\sin \theta }{\sqrt {\cos \theta }}d\theta$
La parte a destra dell'uguale si integra così:
$ - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin \theta }{2\sqrt {\cos \theta }}d\theta = 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} [ \sqrt {\cos \theta } ]_0^{\frac{\pi }{2}} = - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} $
La parte a sinistra dell'uguale si integra così
$\int_{m_0}^{m_f} - \frac{| dm |}{m} = \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} = \ln (\frac{m_f}{m_0})$
da cui eguagliando i due risultati si giunge a scrivere:
$ \ln (\frac{m_f}{m_0}) = - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}}$
$ m_(f) = m_0 e^{ - 3\sqrt {\frac{gh}{2e_S}} } $
Mettendo i dati numerici esce il risultato:
$m_(f)=0,74*m_0$
"Falco5x":
Ehi gente, non facciamola troppo difficile!
Assumiamo che il razzo viaggi di moto uniforme verso destra (verso positivo dell'asse x). Egli possiede quantità di moto $p=mv$.
A un certo istante emette un infinitesimo di massa verso sinistra alla velocità relativa $v_g$, che sarà una quantità negativa perché orientata verso x-.
La quantità di moto globale si conserva per cui possiamo scrivere la seguente relazione:
$(m-|dm|)(v+dv)+|dm|(v_(g)+v)=mv$
Svolgendo i passaggi si ha:
$mv+mdv-|dm|v-|dm|dv+|dm|v_(g)+|dm|v=mv$
semplificando e trascurando l'infinitesimo di ordine superiore resta
$mdv+|dm|v_(g)=0$
Se questa è dunque la forza che spinge il razzo nel caso di assenza di altre forze, nel caso in cui ci si trovasse in presenza di altre forze esterne basta sommarle a questa per trovare il moto del razzo!!!
C'è una contraddizione, perché se ci sono forze esterne non vale la relazione:
$(m-|dm|)(v+dv)+|dm|(v_(g)+v)=mv$
proprio perché la derivata della quantità di moto è una forza, e se non è nulla allora
$mv = Fdt +(m-|dm|)(v+dv)+|dm|(v_(g)+v)$
ma da questa relazione non si può ottenere:
$mdv+|dm|v_(g)=0$ ma semmai:
$mdv+|dm|v_(g)=Fdt$
ma allora non si può fare la sostituzione $mdv = -|dm|v_(g)$ ma semmai
$mdv= Fdt -|dm|v_(g)=$
giusto?
Quello che mancava a me era scrivere bene tutte le equazioni e sostituire le grandezze nella maniera più furba 
Per l'accelerazione tangenziale si trova la semplice espressione $-g/2 sin theta$ però per arrivarci bisogna fare un minimo di passaggi....
$v=(g r cos \theta)^(1/2)$
Questa qui sopra viene fuori imponendo semplicemente che la forza centripeta sia fornita dalla gravità.
Da qui poi solo passaggi semplici e sostituzioni tenendo conto che $v=r (d theta)/(dt)$
$r (d theta)/(dt)=(g r cos \theta)^(1/2)$
$(d theta)/(dt)= 1/r (g r cos \theta)^(1/2)$
Derivando $v$ e sostituendo l'espressione dell'accelerazione angolare:
$(dv)/(dt)=-\frac{g r sin theta}{2(gr cos \theta)^(1/2)}(d theta)/(dt)=-g/2 sin \theta$
Questo è quello che mi era sfuggito ieri..... l'ho messo per esteso perché anche se semplice non era proprio immediato, almeno per me.
Sul discorso della spinta niente di strano è una formula ben nota: in un endoreattore la spinta è data dalla velocità relativa di uscita dei gas per la portata massica..... ci sono diversi modi di vederlo quello mostrato da Falco è uno di questi, un modo forse un po' più rigoroso è quello di scrivere il bilancio integrale di quantità di moto sul modulo e applicare il teorema del trasporto di Reynolds, scegliendo come volume di controllo il modulo.... e mettendosi solidali con esso, ovviamente va aggiunta anche la forza d'inerzia in tal caso.
Nel caso fossero presenti forze esterne niente di diverso si aggiungono al bilancio anche queste come ha fatto Zkeggia e si vede che accanto alle forze esterne compare il contributo di spinta.
RE-EDIT: Scusate ho fatto confusione e modifiche varie alla fine mi trovo con Falco:
Si scrive l'equazione di Newton sul modulo e si trova:
$m (dv)/(dt) =(dm)/(dt) v_g + m g sin theta$
$(3 m g sin theta)/2 = - (dm)/(dt) v_g$
Per l'accelerazione tangenziale si trova la semplice espressione $-g/2 sin theta$ però per arrivarci bisogna fare un minimo di passaggi....
$v=(g r cos \theta)^(1/2)$
Questa qui sopra viene fuori imponendo semplicemente che la forza centripeta sia fornita dalla gravità.
Da qui poi solo passaggi semplici e sostituzioni tenendo conto che $v=r (d theta)/(dt)$
$r (d theta)/(dt)=(g r cos \theta)^(1/2)$
$(d theta)/(dt)= 1/r (g r cos \theta)^(1/2)$
Derivando $v$ e sostituendo l'espressione dell'accelerazione angolare:
$(dv)/(dt)=-\frac{g r sin theta}{2(gr cos \theta)^(1/2)}(d theta)/(dt)=-g/2 sin \theta$
Questo è quello che mi era sfuggito ieri..... l'ho messo per esteso perché anche se semplice non era proprio immediato, almeno per me.
Sul discorso della spinta niente di strano è una formula ben nota: in un endoreattore la spinta è data dalla velocità relativa di uscita dei gas per la portata massica..... ci sono diversi modi di vederlo quello mostrato da Falco è uno di questi, un modo forse un po' più rigoroso è quello di scrivere il bilancio integrale di quantità di moto sul modulo e applicare il teorema del trasporto di Reynolds, scegliendo come volume di controllo il modulo.... e mettendosi solidali con esso, ovviamente va aggiunta anche la forza d'inerzia in tal caso.
Nel caso fossero presenti forze esterne niente di diverso si aggiungono al bilancio anche queste come ha fatto Zkeggia e si vede che accanto alle forze esterne compare il contributo di spinta.
RE-EDIT: Scusate ho fatto confusione e modifiche varie alla fine mi trovo con Falco:
Si scrive l'equazione di Newton sul modulo e si trova:
$m (dv)/(dt) =(dm)/(dt) v_g + m g sin theta$
$(3 m g sin theta)/2 = - (dm)/(dt) v_g$
"Faussone":
$(3 m g sin theta)/2 = - (dm)/(dt) v_g$
...però si può fare qualche sostituzione forse leggermente meno scimmiesca dato che
$(dv)/(dt)=-1/2 g sin theta$
sostituendo questo nell'equazione differenziale citata si trova
$-3 m (dv)/(dt)=-(dm)/(dt)v_g$
$3 (dv)/(dt)=1/m (dm)/(dt)v_g$
che può essere integrata direttamente:
$(3 v_f-v_i)=ln ((m_f)/(m_i)) * v_g$
$-3 sqrt(gh)=v_g * ln ((m_f)/(m_i))$
coincidente con la soluzione di Falco.
Sta' sereno, Fausso'.
Il bello dell'essere scimmia è poter fare capriole divertentissime senza preoccupazioni di sorta essendo certi di rimanere sempre all'interno del parco giochi che i matematici hanno predisposto per noi, cosicché non possiamo mai farci troppo male.
Io sto con le scimmie.
Il bello dell'essere scimmia è poter fare capriole divertentissime senza preoccupazioni di sorta essendo certi di rimanere sempre all'interno del parco giochi che i matematici hanno predisposto per noi, cosicché non possiamo mai farci troppo male.
Io sto con le scimmie.
"Zkeggia":
sicuro? a me risulta che la derivata della quantità di moto del sistema modulo + gas dentro al modulo sia proprio
$d(mv)/dt = dot m v = -mdot v$ con v = velocità del modulo. Perché dovrebbe apparire il termine $v - v_g$?
Quella che hai scritto è la derivata della quantità di moto del sistema aperto modulo + carburante rimanente nel modulo, nel caso in cui la massa che abbandona il sistema (il carburante bruciato), subisca una decelerazione fino a velocità nulla, per effetto della forza che scambia con il modulo stesso. La forza che agisce sul modulo sarà opposta alla variazione di quantità di moto della massa persa.
Non vorrei farti venire ancora dubbi sul secondo principio della dinamica ma questo è $vecF=m(dvecv)/dt$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo