Urang-utang© in atterraggio su pianeta alieno
Propongo questo problema che ho partorito qualche tempo fa e che ritengo abbastanza tosto.
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Risposte
"VINX89":
Ho abbozzato un ragionamento, ma ho molti dubbi ed una sola certezza: l'approssimazione $e_s>>v^2$ mi dà un pò fastidio.
Ho pensato che, per definizione, dovrebbe essere $e_s=(dE)/(dm)$.
$dE$ è la variazione infinitesima di energia cinetica, quindi $dE=m v dv$.
Posso scrivere $(dm)/m=(v dv)/e_s$
Integrando fra $m_0$ ed $m$, e fra $v_0$ e $v$ si ottiene:
$ln(m/m_0)=(1/(2 e_s))(v^2-v_0^2)$ da cui $m=m_0 e^((1/(2 e_s))(v^2-v_0^2))$
Tenendo conto del fatto che $v^2=h g costheta$ e che $v_0^2=g h$ si ha:
$m=m_0 e^((h g)/(2 e_s)(costheta-1))=m_0 e^(v_0^2/e_s (costheta-1))$
Sostituendo i dati il risultato non si trova, perchè c'è il fattore $v_0^2/e_s$ che è effettivamente molto piccolo, per cui con $theta=pi/2$ la massa è quasi uguale ad $m_0$.
A parte le finezze da buon primate che sono, quali altre bestemmie ho scritto?
Mi vengono alcuni dubbi da quello che hai scritto.
La definizione di variazione dell'energia cinetica, pari alla variazione di massa del modulo più carburante rimasto può andare bene se per energia cinetica intendi anche quella dei fumi di scarico, molto caldi immagino (posso solo immaginarla la temperatura).
"VINX89":[/quote][/quote]
[quote="nnsoxke"][quote="Falco5x"]@Zkeggia
Non capisco come imporre ad una forza tangenziale una variazione della direzione della velocità.
Vuoi dire che ci deve essere una coppia esterna che mantiene sempre la forza dei razzi tangente alla traiettoria? o che c'è un sistema interno?
"VINX89":
Ho abbozzato un ragionamento, ma ho molti dubbi ed una sola certezza: l'approssimazione $e_s>>v^2$ mi dà un pò fastidio.
Ho pensato che, per definizione, dovrebbe essere $e_s=(dE)/(dm)$.
$dE$ è la variazione infinitesima di energia cinetica, quindi $dE=m v dv$.
Posso scrivere $(dm)/m=(v dv)/e_s$
Integrando fra $m_0$ ed $m$, e fra $v_0$ e $v$ si ottiene:
$ln(m/m_0)=(1/(2 e_s))(v^2-v_0^2)$ da cui $m=m_0 e^((1/(2 e_s))(v^2-v_0^2))$
Tenendo conto del fatto che $v^2=h g costheta$ e che $v_0^2=g h$ si ha:
$m=m_0 e^((h g)/(2 e_s)(costheta-1))=m_0 e^(v_0^2/e_s (costheta-1))$
Sostituendo i dati il risultato non si trova, perchè c'è il fattore $v_0^2/e_s$ che è effettivamente molto piccolo, per cui con $theta=pi/2$ la massa è quasi uguale ad $m_0$.
A parte le finezze da buon primate che sono, quali altre bestemmie ho scritto?
In questo ragionamento manca come minimo una cosa: il lavoro della gravità cioè l'energia potenziale....
"nnsoxke":
Vuoi dire che ci deve essere una coppia esterna che mantiene sempre la forza dei razzi tangente alla traiettoria? o che c'è un sistema interno?
Oddio non complichiamoci le cose più del dovuto! Falco ha detto che la spinta è orientata sempre nella direzione della traiettoria del modulo questo basta.....
Comunque senza integrare l'equazione differenziale che ho scritto sopra (cosa che non so fare analiticamente) non vedo altre vie per risolvere il problema, ma probabilmente non ci ho pensato a sufficenza o non ho capito tutto e mi sfugge qualcosa....
"Faussone":
[quote="VINX89"]Ho abbozzato un ragionamento, ma ho molti dubbi ed una sola certezza: l'approssimazione $e_s>>v^2$ mi dà un pò fastidio.
Ho pensato che, per definizione, dovrebbe essere $e_s=(dE)/(dm)$.
$dE$ è la variazione infinitesima di energia cinetica, quindi $dE=m v dv$.
Posso scrivere $(dm)/m=(v dv)/e_s$
Integrando fra $m_0$ ed $m$, e fra $v_0$ e $v$ si ottiene:
$ln(m/m_0)=(1/(2 e_s))(v^2-v_0^2)$ da cui $m=m_0 e^((1/(2 e_s))(v^2-v_0^2))$
Tenendo conto del fatto che $v^2=h g costheta$ e che $v_0^2=g h$ si ha:
$m=m_0 e^((h g)/(2 e_s)(costheta-1))=m_0 e^(v_0^2/e_s (costheta-1))$
Sostituendo i dati il risultato non si trova, perchè c'è il fattore $v_0^2/e_s$ che è effettivamente molto piccolo, per cui con $theta=pi/2$ la massa è quasi uguale ad $m_0$.
A parte le finezze da buon primate che sono, quali altre bestemmie ho scritto?
In questo ragionamento manca come minimo una cosa: il lavoro della gravità cioè l'energia potenziale....[/quote]
Bè, non saprei come includerla l'energia potenziale: $e_s$ è definita come variazione dell'energia cinetica per unità di massa (se ho capito bene), quindi...non so!
Si $e_s$ è definita come variazione dell'energia cinetica del modulo più gas per unità di massa di combustibile bruciata, è già inclusa l'efficienza del razzo, non avevo fatto caso a questo.
Comunque il bilancio energetico penso che sia la strada giusta da seguire.
Comunque il bilancio energetico penso che sia la strada giusta da seguire.
Provo ad abbozzare un qualcosa sicuramente colmo di errori e/o bestemmie fisiche. Comunque:
La condizione che l'orbita sia circolare l'ho scritta così:
$rdot theta^2 = mg (h/r)$ da cui ho ricavato:
$h = r^2 dot theta^2/ (mg)$
Fin qui spero vada bene...
poi ho provato con la tangenziale:
$r ddot theta + dotm r dot theta = -mg sqrt (1-h^2/r^2)$
da cui ho ricavato $dot m$
$dot m = (-mg sqrt (1-h^2) - r ddot theta)/(rdot theta)$
Per l'energia ho scritto
Energia iniziale = $1/2 m v^2 + mgh$
Energia dopo un istante dt: $E = 1/2 (m - dm) (r dot theta - r d (dottheta))^2 + mg ( h-dh) + dm e_s$
Ovviamente non riesco a risolvere l'equazione perché é un casino, quindi ci saranno errori dovunque... potete farmeli notare?
La condizione che l'orbita sia circolare l'ho scritta così:
$rdot theta^2 = mg (h/r)$ da cui ho ricavato:
$h = r^2 dot theta^2/ (mg)$
Fin qui spero vada bene...
poi ho provato con la tangenziale:
$r ddot theta + dotm r dot theta = -mg sqrt (1-h^2/r^2)$
da cui ho ricavato $dot m$
$dot m = (-mg sqrt (1-h^2) - r ddot theta)/(rdot theta)$
Per l'energia ho scritto
Energia iniziale = $1/2 m v^2 + mgh$
Energia dopo un istante dt: $E = 1/2 (m - dm) (r dot theta - r d (dottheta))^2 + mg ( h-dh) + dm e_s$
Ovviamente non riesco a risolvere l'equazione perché é un casino, quindi ci saranno errori dovunque... potete farmeli notare?
Scusate se mi intrometto, però visto che state facendo considerazioni sulla spinta di un motore a razzo vorrei farvi notare che il bilancio energetico non basta per definire la spinta: vi state dimenticando la conservazione della quantità di moto!
Comunque per non morire di complicazione suggerisco di scindere il problema in due parti: nella prima parte determinate la spinta di un motore a razzo qualsiasi; nella seconda parte trovate la spinta che serve a mantenere la rotta circolare; alla fine eguagliate le due cose.
Parliamo un po' della spinta. Lasciate per un momento perdere il problema specifico, pensate a un razzo posto nello spazio, senza forze esterne (come la gravità). Pensate a un razzo che deve partire da fermo e accelerare grazie alla spinta dei motori. Scrivete dunque l'equazione di questa spinta, tenendo conto che $e_S$ è tutta l'energia cinetica prodotta da 1 kg di massa di combustibile, e quindi l'energia cinetica del razzo più quella dei gas. Fare poi anche il bilancio della quantità di moto e alla fine applicate l'approssimazione suggerita. Alla fine verrà fuori una cosa molto semplice.
Comunque per non morire di complicazione suggerisco di scindere il problema in due parti: nella prima parte determinate la spinta di un motore a razzo qualsiasi; nella seconda parte trovate la spinta che serve a mantenere la rotta circolare; alla fine eguagliate le due cose.
Parliamo un po' della spinta. Lasciate per un momento perdere il problema specifico, pensate a un razzo posto nello spazio, senza forze esterne (come la gravità). Pensate a un razzo che deve partire da fermo e accelerare grazie alla spinta dei motori. Scrivete dunque l'equazione di questa spinta, tenendo conto che $e_S$ è tutta l'energia cinetica prodotta da 1 kg di massa di combustibile, e quindi l'energia cinetica del razzo più quella dei gas. Fare poi anche il bilancio della quantità di moto e alla fine applicate l'approssimazione suggerita. Alla fine verrà fuori una cosa molto semplice.
"Falco5x":
Scusate se mi intrometto, però visto che state facendo considerazioni sulla spinta di un motore a razzo vorrei farvi notare che il bilancio energetico non basta per definire la spinta: vi state dimenticando la conservazione della quantità di moto!
Comunque per non morire di complicazione suggerisco di scindere il problema in due parti: nella prima parte determinate la spinta di un motore a razzo qualsiasi; nella seconda parte trovate la spinta che serve a mantenere la rotta circolare; alla fine eguagliate le due cose.
Parliamo un po' della spinta. Lasciate per un momento perdere il problema specifico, pensate a un razzo posto nello spazio, senza forze esterne (come la gravità). Pensate a un razzo che deve partire da fermo e accelerare grazie alla spinta dei motori. Scrivete dunque l'equazione di questa spinta, tenendo conto che $e_S$ è tutta l'energia cinetica prodotta da 1 kg di massa di combustibile, e quindi l'energia cinetica del razzo più quella dei gas. Fare poi anche il bilancio della quantità di moto e alla fine applicate l'approssimazione suggerita. Alla fine verrà fuori una cosa molto semplice.
Nel testo dell'esercizio c'è scritto:
"Falco5x":
Propongo questo problema che ho partorito qualche tempo fa e che ritengo abbastanza tosto.
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Per modulo + gas ho inteso il sistema aperto costituito dal modulo più il combustibile all'interno del modulo, quindi in questo modo l'efficienza del razzo è già inclusa giusto?
Nel bilancio che hai proposto, secondo la teoria cinetica dei gas, non va considerata anche l'energia cinetica aquistata dai fumi di scarico dalla combustione come incremento di temperatura? E come si fa a valutarla senza conoscere l'equazione di stato dei fumi e la trasformazione seguita da questi nell'uscire dal razzo? Inoltre a parità di combustibile bruciato questo dà una velocità dei fumi in uscita variabile in funzione della densità di questi e di come è fatto il getto del razzo.
Direi che il problema si fa piuttosto complicato
"nnsoxke":
Direi che il problema si fa piuttosto complicato
Il problema non vuole essere più complicato di tanto.
E' ovvio che se avessi dato con $e_S$ l'intero potere calorico specifico del combustibile tutte queste considerazioni di termodinamica si sarebbero dovute fare. Ma io ho dato solo il potere energetico efficace, cioè solo quello che rimane dopo aver detratto tutta l'energia che non risulta utilizzabile (tra cui quella termica dovuta al riscaldamento del gas), e che viene interamente convertito in energia cinetica. Infatti se guardi il valore di 0,5 MJ/kg, è veramente piccolo in termini assoluti, quando ad esempio mi risulta che l'idrogeno abbia un potere calorico intrinseco di quasi 300 volte più grande! Perché qui ho volutamente semplificato il problema.
Insomma, per farla breve, se chiamo $m$ la massa del modulo e $|dm|$ la massa del gas espulso, la variazione di energia cinetica è $dE=e_S|dm|=dE_m+dE_g$, dove $dE_m=mvdv$ e $dE_g= 1/2|dm|[ ( v_g + v )^2 - v^2 ]$. (la velocità $v_g$ si intende quella del gas relativa al razzo)
Ho pensato di scrivere l'equazione dell'energia in questo modo: detta $v_x$ la velocità di fuoriuscita dei gas di scarico e $m_x$ la quantità di combustibile consumato (l'incognita del problema...) allora
$1/2 m_0 v_0^2 + m_0 g h = e_s m_x + 1/2 m_x v_x^2$
Infatti, inizialmente l'energia è cinetica e potenziale, mentre alla fine rimane l'energia prodotta dalla combustione e l'energia cinetica dei gas di scarico.
Quello che ho scritto è un principio di conservazione, ma ovviamente non si sà se la forza esercitata dal motore è conservativa...in ogni caso, credo che il lavoro di tale forza sia già "contemplato" in $e_s$.
Ci sono due incognite, quindi serve un'altra equazione, che in base a quanto ci suggerisce Falco5x dovrebbe essere relativa alla quantità di moto; il problema è che se agisce il peso, la quantità di moto non si conserva...che equazione si può scrivere?
Al di là di questo, ho gravi dubbi anche su quello che ho già scritto...in che modo è incluso il fatto che la traiettoria è circolare? Forse in $v_0$, visto che si può ricavare da $v$, che a sua volta si determina imponendo che la componente radiale della forza sia centripeta.
Inoltre, se alla fine il razzo è fermo, che significato ha $e_s m_x$, se, per definizione, questa è un'energia cinetica?
Mah...
$1/2 m_0 v_0^2 + m_0 g h = e_s m_x + 1/2 m_x v_x^2$
Infatti, inizialmente l'energia è cinetica e potenziale, mentre alla fine rimane l'energia prodotta dalla combustione e l'energia cinetica dei gas di scarico.
Quello che ho scritto è un principio di conservazione, ma ovviamente non si sà se la forza esercitata dal motore è conservativa...in ogni caso, credo che il lavoro di tale forza sia già "contemplato" in $e_s$.
Ci sono due incognite, quindi serve un'altra equazione, che in base a quanto ci suggerisce Falco5x dovrebbe essere relativa alla quantità di moto; il problema è che se agisce il peso, la quantità di moto non si conserva...che equazione si può scrivere?
Al di là di questo, ho gravi dubbi anche su quello che ho già scritto...in che modo è incluso il fatto che la traiettoria è circolare? Forse in $v_0$, visto che si può ricavare da $v$, che a sua volta si determina imponendo che la componente radiale della forza sia centripeta.
Inoltre, se alla fine il razzo è fermo, che significato ha $e_s m_x$, se, per definizione, questa è un'energia cinetica?
Mah...
"Falco5x":
[quote="nnsoxke"]Direi che il problema si fa piuttosto complicato
Il problema non vuole essere più complicato di tanto.
E' ovvio che se avessi dato con $e_S$ l'intero potere calorico specifico del combustibile tutte queste considerazioni di termodinamica si sarebbero dovute fare. Ma io ho dato solo il potere energetico efficace, cioè solo quello che rimane dopo aver detratto tutta l'energia che non risulta utilizzabile (tra cui quella termica dovuta al riscaldamento del gas), e che viene interamente convertito in energia cinetica. Infatti se guardi il valore di 0,5 MJ/kg, è veramente piccolo in termini assoluti, quando ad esempio mi risulta che l'idrogeno abbia un potere calorico intrinseco di quasi 300 volte più grande! Perché qui ho volutamente semplificato il problema.
Insomma, per farla breve, se chiamo $m$ la massa del modulo e $|dm|$ la massa del gas espulso, la variazione di energia cinetica è $dE=e_S|dm|=dE_m+dE_g$, dove $dE_m=mvdv$ e $dE_g= 1/2|dm|[ ( v_g + v )^2 - v^2 ]$. (la velocità $v_g$ si intende quella del gas relativa al razzo)[/quote]
Ops, mentre scrivevo non ho visto che avevi risposto...
Un'altra cosa che voglio adesso mostrare è la relazione che lega la forza motrice di spinta del razzo con la perdita di massa del combustibile, che si suppone avviene a velocità $v_g$, che è la velocità relativa di espulsione dei gas. Considerazioni sulla quantità di moto portano alle relazioni seguenti:
$mdv=-|dm|v_g$
$F_m=-(|dm|)/(dt)v_g$
Il segno meno sta a indicare che la velocità dei gas e la forza motrice hanno versi opposti.
$mdv=-|dm|v_g$
$F_m=-(|dm|)/(dt)v_g$
Il segno meno sta a indicare che la velocità dei gas e la forza motrice hanno versi opposti.
Visto che ci sono completo il quadro riguardo alla spinta del razzo. Dalle relazioni che ho già scritto procedo in questo modo:
$dE=mvdv+ 1/2|dm|[ ( v_g+ v )^2 - v^2 ]$
$dE=-|dm|v_(g) v+ 1/2|dm|[ ( v_g + v )^2 - v^2 ]$
$(dE)/(|dm|)=e_S=1/2v_g^2$
$v_g=\sqrt(2e_S)
Questa è stata ricavata pensando a un razzo che accelera senza altre forze in gioco, però in casi diversi si può verificare che con l'approssimazione detta ($e_S>>v^2$) la cosa non cambia.
Questa relazione non deve stupire più di tanto, nella sua semplicità. Faccio l'esempio di un fucile che spara.
Allo sparo la quantità di moto del proiettile è uguale e contraria a quella del fucile che rincula (così come deve essere per la conservazione della quantità di moto). Riguardo all'energia invece, poiché la massa del proiettile è molto minore di quella dell'arma e dunque la sua velocità è molto più alta di quella di rinculo del fucile, succede che praticamente tutta l'energia della polvere (o quasi) viene riversata sul proiettile. E per fortuna che è così, altrimenti il fucile farebbe tanto male a chi spara quanto ne fa a chi viene colpito!
Nel caso del razzo si può immaginare l'emissione del gas come una serie di spari molto ravvicinati di masse minuscole e velocissime, come fosse una mitragliatrice. Dunque l'energia va quasi tutta nei gas, mentre la conservazione della quantità di moto fa sì che il missile riceva una serie di variazioni infinitesime di quantità di moto (e qui entra pesantemente il metodo dello scimmione) che costituiscono proprio la forza di spinta.
Da quanto detto questa forza di spinta risulta dunque
$F_m=(|dm|)/dt\sqrt(2e_S)
Ecco dunque come la spinta del razzo viene messa in relazione con l'energia efficace del combustibile e con il suo consumo.
$dE=mvdv+ 1/2|dm|[ ( v_g+ v )^2 - v^2 ]$
$dE=-|dm|v_(g) v+ 1/2|dm|[ ( v_g + v )^2 - v^2 ]$
$(dE)/(|dm|)=e_S=1/2v_g^2$
$v_g=\sqrt(2e_S)
Questa è stata ricavata pensando a un razzo che accelera senza altre forze in gioco, però in casi diversi si può verificare che con l'approssimazione detta ($e_S>>v^2$) la cosa non cambia.
Questa relazione non deve stupire più di tanto, nella sua semplicità. Faccio l'esempio di un fucile che spara.
Allo sparo la quantità di moto del proiettile è uguale e contraria a quella del fucile che rincula (così come deve essere per la conservazione della quantità di moto). Riguardo all'energia invece, poiché la massa del proiettile è molto minore di quella dell'arma e dunque la sua velocità è molto più alta di quella di rinculo del fucile, succede che praticamente tutta l'energia della polvere (o quasi) viene riversata sul proiettile. E per fortuna che è così, altrimenti il fucile farebbe tanto male a chi spara quanto ne fa a chi viene colpito!
Nel caso del razzo si può immaginare l'emissione del gas come una serie di spari molto ravvicinati di masse minuscole e velocissime, come fosse una mitragliatrice. Dunque l'energia va quasi tutta nei gas, mentre la conservazione della quantità di moto fa sì che il missile riceva una serie di variazioni infinitesime di quantità di moto (e qui entra pesantemente il metodo dello scimmione) che costituiscono proprio la forza di spinta.
Da quanto detto questa forza di spinta risulta dunque
$F_m=(|dm|)/dt\sqrt(2e_S)
Ecco dunque come la spinta del razzo viene messa in relazione con l'energia efficace del combustibile e con il suo consumo.
Sono sempre del parere che la strada da seguire sia quella di fare un bilancio energetico, molto semplice, a massa costante. Ci sono solo due forze che compiono lavoro
"Falco5x":
Visto che ci sono completo il quadro riguardo alla spinta del razzo. Dalle relazioni che ho già scritto procedo in questo modo:
$dE=mvdv+ 1/2|dm|[ ( v_g+ v )^2 - v^2 ]$
$dE=-|dm|v_(g) v+ 1/2|dm|[ ( v_g + v )^2 - v^2 ]$
$(dE)/(|dm|)=e_S=1/2v_g^2$
$v_g=\sqrt(2e_S)
Questa è stata ricavata pensando a un razzo che accelera senza altre forze in gioco, però in casi diversi si può verificare che con l'approssimazione detta ($e_S>>v^2$) la cosa non cambia.
Questa relazione non deve stupire più di tanto, nella sua semplicità. Faccio l'esempio di un fucile che spara.
Allo sparo la quantità di moto del proiettile è uguale e contraria a quella del fucile che rincula (così come deve essere per la conservazione della quantità di moto). Riguardo all'energia invece, poiché la massa del proiettile è molto minore di quella dell'arma e dunque la sua velocità è molto più alta di quella di rinculo del fucile, succede che praticamente tutta l'energia della polvere (o quasi) viene riversata sul proiettile. E per fortuna che è così, altrimenti il fucile farebbe tanto male a chi spara quanto ne fa a chi viene colpito!
Nel caso del razzo si può immaginare l'emissione del gas come una serie di spari molto ravvicinati di masse minuscole e velocissime, come fosse una mitragliatrice. Dunque l'energia va quasi tutta nei gas, mentre la conservazione della quantità di moto fa sì che il missile riceva una serie di variazioni infinitesime di quantità di moto (e qui entra pesantemente il metodo dello scimmione) che costituiscono proprio la forza di spinta.
Da quanto detto questa forza di spinta risulta dunque
$F_m=(|dm|)/dt\sqrt(2e_S)
Ecco dunque come la spinta del razzo viene messa in relazione con l'energia efficace del combustibile e con il suo consumo.
perché l'energia cinetica associata al gas è $1/2 m[(v_g+v)^2 - v^2]$?
non dovrebbe essere solo $1/2 m (v_g + v)^2$?
e perché quando si deriva quest'ultima si tiene conto solo della massa e non della velocità
ho letto proprio ora il testo dell'esercizio e mi sono reso conto che non viene richiesto di determinare la posizione del modulo in funzione del tempo ma di calcolare la massa di combustibile che viene consumata
"Zkeggia":
perché l'energia cinetica associata al gas è $1/2 m[(v_g+v)^2 - v^2]$?
non dovrebbe essere solo $1/2 m (v_g + v)^2$?
e perché quando si deriva quest'ultima si tiene conto solo della massa e non della velocità
La variazione di energia cinetica di una massa minuscola di gas $dm$ è uguale all'energia che ha subito dopo essere stata espulsa meno l'energia che possedeva prima di essere espulsa. Prima di essere espulso il combustibile ha la stessa velocità $v$ del razzo, dopodiché assume istantaneamente la velocità $v+v_g$.
Questa energia è già infinitesima, non viene derivata ma viene solo divisa per la massa $dm$ che le compete (oh l'insostenibile leggerezza dei differenziali, declamerebbe un poeta matematico apocrifo!)
Mmh... scusa l'ignoranza, ma allora perché la prima parte dell'energia cinetica è $mvdv$? questo cosa significa? come ci sei arrivato? grazie per la pazienza 
Edit: no scusa credo di aver capito da solo, quella è in effetti la variazione infinitesima di energia meccanica del modulo, che in questo caso è la derivata dell'energia meccanica del modulo, ovvero $m v a$giusto? e poi a è stata scritta come $dv$? Questa cosa dei dm e dei dE ecc ecc lascia un po' "sconvolti"
Edit: no scusa credo di aver capito da solo, quella è in effetti la variazione infinitesima di energia meccanica del modulo, che in questo caso è la derivata dell'energia meccanica del modulo, ovvero $m v a$giusto? e poi a è stata scritta come $dv$? Questa cosa dei dm e dei dE ecc ecc lascia un po' "sconvolti"
Proseguo del giustificare come ho proceduto, perché il mio metodo potrebbe non essere l'unico e non è detto possa essere anche esente da critiche.
Riporto qui la conclusione principale riguardo al moto del razzo.
$F_m=(|dm|)/dt\sqrt(2e_S)
Questa equazione ha il pregio di essere semplicissima, dice in sostanza che la spinta può essere controllata dal computer di bordo aprendo o chiudendo i rubinetti del combustibile, poiché la forza di spinta dipende da $(|dm|)/(dt).
Adesso conosco dunque tutte le forze in gioco che sono sostanzialmente due: la $\vecF_m$ e la $m\vecg$. Di queste due forze la prima è variabile sia in modulo che in direzione (in quanto tangente a un cerchio), la seconda solo in modulo. Non mi resta che integrare la spinta per tutto il tempo nel quale agisce, cioè dall'istante in cui il modulo viene sganciato all'istante in cui tocca il suolo, per ottenere la quantità di massa consumata.
Riporto qui la conclusione principale riguardo al moto del razzo.
$F_m=(|dm|)/dt\sqrt(2e_S)
Questa equazione ha il pregio di essere semplicissima, dice in sostanza che la spinta può essere controllata dal computer di bordo aprendo o chiudendo i rubinetti del combustibile, poiché la forza di spinta dipende da $(|dm|)/(dt).
Adesso conosco dunque tutte le forze in gioco che sono sostanzialmente due: la $\vecF_m$ e la $m\vecg$. Di queste due forze la prima è variabile sia in modulo che in direzione (in quanto tangente a un cerchio), la seconda solo in modulo. Non mi resta che integrare la spinta per tutto il tempo nel quale agisce, cioè dall'istante in cui il modulo viene sganciato all'istante in cui tocca il suolo, per ottenere la quantità di massa consumata.
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