Urang-utang© in atterraggio su pianeta alieno
Propongo questo problema che ho partorito qualche tempo fa e che ritengo abbastanza tosto.
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Nell'impostare la soluzione confesso che ho gioiosamente e ripetutamente applicato il metodo suggeritomi dal simpatico primate (v. titolo del topic) che spesso mi ispira, anche perché credo che se avessi voluto fare il rigoroso non ne sarei uscito vivo.
Auspico pertanto che tra i vari solutori scimmieschi, che non dovrebbero mancare, giunga anche qualche matematico a condurci tutti sulla retta via.
Problema.
Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità $v_0=\sqrt(gh)$, sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è abitato da un urang-utang© che risolve le equazioni differenziali alla sua maniera, ma per sicurezza (non fidandoci troppo di lui) il modulo è in realtà pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.
Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- $e_S$ energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre $e_S>>v^2$, dove v è la velocità del modulo
Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge al suolo indenne.
- Nota la massa iniziale $m_0$ del modulo (carburante compreso) determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso $m_0=1000kg$, $v_0=100m/s$, $e_S=0,5(MJ)/(kg)$
Risposte
"Sidereus":
[quote="Falco5x"]Moltiplicando queste grandezze per la massa si ottiene la forza e l'energia potenziale rispettivamente:
$\vecF=-mg\vece_h$ e $E_p=mU=mgh$.Questo a prescindere dal fatto che m sia costante o variabile.
No. Una forza è definita da $\vecF=m\veca$ soltanto se $m$ è costante. Se $m$ è variabile, allora la definizione di forza è $\vecF=(d\vecp)/dt$, dove $vecp=m\vecv$ è la quantità di moto.
Quindi $\vecF=(d\vecp)/dt=(dm)/(dt)\vecv+m\veca$[/quote]
La tua obiezione non coglie il senso delle mie considerazioni. Io non parlavo degli effetti inerziali della forza, ovvero la sua capacità di variare la quantità di moto di un corpo, ma mi riferivo alla sua definizione intesa come interazione gravitazionale tra due corpi.
La terra produce un campo gravitazionale che è indipendente dagli oggetti che vi sono immersi. E pure il potenziale gravitazionale prescinde da ciò, perché esso dipende solo dalla terra.
Quando una massa è inserita in questo campo allora essa risente di una forza che è pari al campo moltiplicato per la massa.
L'esempio del sasso che cadendo perde massa (per separazione di particelle che però separandosi cadono assieme a lui e quindi non ne modificano il moto) serve solo a mettere in luce a quale paradosso si giunge se si pretende di calcolare la forza (intesa come interazione gravitazionale tra il sasso e la terra) facendo la derivata dell'energia potenziale, perché così facendo si deriva anche la massa, che invece non deve entrare nel calcolo del gradiente. Perché non è vero che la forza di gravità è il gradiente dell'energia potenziale, mentre è invece vero che il campo gravitazionale è il gradiente del potenziale.
Insomma e in sintesi:
siccome tu nei tuoi calcoli hai determinato la forza gravitazionale proprio come gradiente dell'energia potenziale, io invece affermo: questa è un'operazione non lecita; è invece necessario calcolare il campo come gradiente del potenziale, e alla fine moltiplicare per la massa. Poi questa forza (gravitazionale) avrà come effetto (inerziale) la caratteristica di essere la derivata della quantità di moto, con tutto ciò che ne consegue in termini di derivazione della massa oltre che della velocità.
I risultati di questo errore di principio si vedono, del resto, anche dal fatto che la soluzione che tu proponi appare assai debole. La tua soluzione, infatti, che riporto di seguito
"Sidereus":
$m_(f)=m_0\sqrt((1-(2v_0)/(v_g))^3)$
mi lascia davvero perplesso.
Riporto qui anche la mia soluzione:
$m_(f) = m_0e^{ - 3\frac{v_0}{v_g}} $
Spesso la bontà delle soluzioni può essere indagata stressando i risultati con condizioni limite o particolari.
Noto che nel caso in cui il motore del razzo fosse veramente poco efficiente, ovvero la velocità dei gas fosse inferiore a un certo valore critico $v_g<2v_0$ la mia soluzione regge ugualmente nel senso che si ha un consumo altissimo di carburante però il risultato è comunque un risultato valido, mentre la tua formula cade in difetto e non dà un risultato reale. E per me questo è un sintomo abbastanza illuminante.
E ci tengo infine a precisare che queste mie osservazioni non vogliono affatto costituire una critica demolitrice, bensì soltanto costruttiva.
"Falco5x":
La terra produce un campo gravitazionale che è indipendente dagli oggetti che vi sono immersi. E pure il potenziale gravitazionale prescinde da ciò, perché esso dipende solo dalla terra.
Totalmente d'accordo.
"Falco5x":
Quando una massa è inserita in questo campo allora essa risente di una forza che è pari al campo moltiplicato per la massa.
Sì, ma soltanto se la massa è costante. In linea di principio, un campo gravitazionale è definito attraverso una massa unitaria di prova (e quindi costante). La forza che agisce su questa massa unitaria al variare della posizione è il campo gravitazionale, diciamo $\vecG$. Dunque $\vecG$ è una forza per unità di massa costante, e $m\vecG$ è la forza che subisce una massa costante immersa nel campo gravitazionale. Da questo fatto non deriva per nulla che una massa variabile $\mu$ subisce una forza pari a $\mu\vecG$ quando è immersa in un campo gravitazionale, o almeno io non conosco alcun principio di fisica teorica che permetta di giustificarlo.
"Falco5x":
...non è vero che la forza di gravità è il gradiente dell'energia potenziale, mentre è invece vero che il campo gravitazionale è il gradiente del potenziale.
Se esiste un'energia potenziale, vuol dire che il lavoro delle forze del campo è indipendente dal cammino. Supponiamo che $\mu$ sia la massa variabile di una cometa in transito vicino al perielio e che $V$ sia il potenziale del campo gravitazionale del sole.
Secondo il tuo modo di vedere, la cometa subisce una forza pari a $\mu(-gradV)$. Ebbene, questa forza non compie un lavoro indipendente dal cammino: dobbiamo concludere che la cometa non possiede energia potenziale gravitazionale?
"Falco5x":
Noto che nel caso in cui il motore del razzo fosse veramente poco efficiente, ovvero la velocità dei gas fosse inferiore a un certo valore critico $v_g<2v_0$ la mia soluzione regge ugualmente nel senso che si ha un consumo altissimo di carburante però il risultato è comunque un risultato valido, mentre la tua formula cade in difetto e non dà un risultato reale.
Ho scritto chiaramente che l’equazione da me impostata sussite solo se $v_(g)>v$. Questa ipotesi serve anche giustificare la traiettoria circolare del modulo. La tua soluzione non regge affatto se non risulta pure che $v
"Falco5x":
E ci tengo infine a precisare che queste mie osservazioni non vogliono affatto costituire una critica demolitrice, bensì soltanto costruttiva.
Le critiche sono sempre ben accette, Falco. Considero questa conversazione estremamente piacevole.
Non voglio intromettermi nell'interessante discorso sui potenziali.. comunque uno dei due ragionamenti è certamente errato visto che i risultati a cui arrivate sono differenti....
A me la soluzione di Falco sembra quella corretta l'equazione di Newton applicata al modulo infatti mi sembra inattaccabile: la massa variabile determina proprio il termine di spinta. D'altronde quell'equazione è quella che viene ripresa in ogni trattazione sugli endoreattori, quindi mi sembra a prova di errore....
Non capisco perché se la velocità di efflusso dei gas fosse troppo bassa e al di sotto di quel valore non posso riuscire a percorrere l'orbita circolare, vorrei vederne una dimostrazione rigorosa... La spinta comunque è data dal prodotto tra velocità di efflusso e portata massica: se la velocità di efflusso si abbassa "basta" aumentare la portata massica (quindi ad esempio la sezione di uscita dei gas) per compensare la minore spinta. D'altra parte la spinta richiesta sarebbe un po' minore rispetto a prima visto che aumentando il consumo diminuisce più velocemente la massa del modulo, quindi tutto dovrebbe funzionare. Intuitivamente mi sembra quindi che la soluzione con l'esponenziale sia quella su cui propendere...
Scusate l'intromissione.
A me la soluzione di Falco sembra quella corretta l'equazione di Newton applicata al modulo infatti mi sembra inattaccabile: la massa variabile determina proprio il termine di spinta. D'altronde quell'equazione è quella che viene ripresa in ogni trattazione sugli endoreattori, quindi mi sembra a prova di errore....
"Sidereus":
Ho scritto chiaramente che l’equazione da me impostata sussite solo se $v_(g)>2v$. Questa ipotesi serve anche giustificare la traiettoria circolare del modulo. La tua soluzione non regge affatto se $v_g<2v_0$, perché usa un’ipotesi di traiettoria circolare impossibile da realizzare con una velocità dei gas di scarico troppo bassa.
Non capisco perché se la velocità di efflusso dei gas fosse troppo bassa e al di sotto di quel valore non posso riuscire a percorrere l'orbita circolare, vorrei vederne una dimostrazione rigorosa... La spinta comunque è data dal prodotto tra velocità di efflusso e portata massica: se la velocità di efflusso si abbassa "basta" aumentare la portata massica (quindi ad esempio la sezione di uscita dei gas) per compensare la minore spinta. D'altra parte la spinta richiesta sarebbe un po' minore rispetto a prima visto che aumentando il consumo diminuisce più velocemente la massa del modulo, quindi tutto dovrebbe funzionare. Intuitivamente mi sembra quindi che la soluzione con l'esponenziale sia quella su cui propendere...
Scusate l'intromissione.
Ottimo Sidereus, sono contento di vedere che stiamo discutendo con lo spirito giusto e senza rischiare sciocche polemiche . Perché io in realtà non conoscendo chi scrive dall'altra parte, nella foga forse esagerata con la quale a volte difendo i miei punti di vista ho sempre paura di risultare troppo brusco e di urtare delle suscettibilità....
Ovviamente sono prontissimo a riconoscere che sbaglio se le argomentazioni altrui mi portano a pensarlo, però in questo caso credo veramente che anche se la massa è variabile la forza gravitazionale sia semplicemente $m\vecG$ (dove G è il vettore campo gravitazionale).
E per convencermene ancora di più voglio fare un altro esempio.
Prendo sempre il campo terrestre costante, così l'esempio mi viene più facile.
Sia l'energia potenziale $U=mgh$. Se calcolo la forza a cui è soggetta una massa variabile immersa in questo campo come -gradiente dell'energia potenziale mi viene $\vecF_G=-mg\vece_h-gh(dm)/(dh)\vece_h$.
Se invece mi riferisco al potenziale $V=gh$, calcolo il campo come -gradiente del potenziale $\vecG=-g\vece_h$ e poi calcolo la forza come $\vecF_G=m\vecG=-mg\vece_h$ ottengo un risultato diverso, che secondo me è quello vero.
E mi sembra anche che il motivo salti agli occhi osservando proprio la formula $\vecF_G=-mg\vece_h-gh(dm)/(dh)\vece_h$, che non può essere giusta perché il suo valore dipende da h, che come ben sappiamo è una variabile arbitraria, poiché l'energia potenziale ha senso fisico solo come differenza di valori, non come valore assoluto. Allora se io scrivo h+1000 al posto di h tutto dovrebbe tornare ugualmente, mentre invece vedo che la forza in questo caso cambia notevolmente. Mi sembrerebbe davvero paradossale che una forza dipendesse dal riferimento secondo il quale ho arbitrariamente deciso di calcolare l'energia potenziale...
. Perché io in realtà non conoscendo chi scrive dall'altra parte, nella foga forse esagerata con la quale a volte difendo i miei punti di vista ho sempre paura di risultare troppo brusco e di urtare delle suscettibilità....Ovviamente sono prontissimo a riconoscere che sbaglio se le argomentazioni altrui mi portano a pensarlo, però in questo caso credo veramente che anche se la massa è variabile la forza gravitazionale sia semplicemente $m\vecG$ (dove G è il vettore campo gravitazionale).
E per convencermene ancora di più voglio fare un altro esempio.
Prendo sempre il campo terrestre costante, così l'esempio mi viene più facile.
Sia l'energia potenziale $U=mgh$. Se calcolo la forza a cui è soggetta una massa variabile immersa in questo campo come -gradiente dell'energia potenziale mi viene $\vecF_G=-mg\vece_h-gh(dm)/(dh)\vece_h$.
Se invece mi riferisco al potenziale $V=gh$, calcolo il campo come -gradiente del potenziale $\vecG=-g\vece_h$ e poi calcolo la forza come $\vecF_G=m\vecG=-mg\vece_h$ ottengo un risultato diverso, che secondo me è quello vero.
E mi sembra anche che il motivo salti agli occhi osservando proprio la formula $\vecF_G=-mg\vece_h-gh(dm)/(dh)\vece_h$, che non può essere giusta perché il suo valore dipende da h, che come ben sappiamo è una variabile arbitraria, poiché l'energia potenziale ha senso fisico solo come differenza di valori, non come valore assoluto. Allora se io scrivo h+1000 al posto di h tutto dovrebbe tornare ugualmente, mentre invece vedo che la forza in questo caso cambia notevolmente. Mi sembrerebbe davvero paradossale che una forza dipendesse dal riferimento secondo il quale ho arbitrariamente deciso di calcolare l'energia potenziale...
"Faussone":
... uno dei due ragionamenti è certamente errato visto che i risultati a cui arrivate sono differenti...
A me non sembrano tanto differenti, e ho anche postato una figura per farlo vedere.
L’equazione cui sono pervenuto è
$1/m (dm)/(d\theta)=(3v_0sin\theta)/(2(v_0cos\theta-v_(g)\sqrt(cos\theta)))$
valida per $\theta\in [0,\pi/2]$, con le condizioni $m(0)=m_0$ e $v_(g) > v$.
Poiché siamo interessati a valutare $m_(f)=m(\pi/2)$, possiamo limitarci a studiare l’equazione in un intorno di $\pi/2$. Essendo $cos\theta$ un infinitesimo di ordine superiore a $\sqrt(cos\theta)$ per $\theta$ tendente a $\pi/2$, possiamo eliminarlo dal denominatore a destra dell'equazione, ottenendo:
$1/m (dm)/(d\theta)=(-3v_0sin\theta)/(2v_(g)\sqrt(cos\theta))$, che è esattamente l’equazione scritta da Falco.
Dunque l’equazione approssimata di Falco non è affatto sbagliata, se è vera la mia.
Se invece la mia è falsa, come mai contiene quella di Falco come caso particolare?
"Faussone":
A me la soluzione di Falco sembra quella corretta l'equazione di Newton applicata al modulo infatti mi sembra inattaccabile: la massa variabile determina proprio il termine di spinta. D'altronde quell'equazione è quella che viene ripresa in ogni trattazione sugli endoreattori, quindi mi sembra a prova di errore....
Questo punto non è mai stato in discussione. Peraltro, l’equazione $m\dotv=v_(g)\dotm$ mi era già nota col nome di “equazione del razzo”.
Intromettiti pure nella discussione
"Sidereus":
Una forza è definita da $\vecF=m\veca$ soltanto se $m$ è costante. Se $m$ è variabile, allora la definizione di forza è $\vecF=(d\vecp)/dt$, dove $vecp=m\vecv$ è la quantità di moto.
Quindi $\vecF=(d\vecp)/dt=(dm)/(dt)\vecv+m\veca$
Non capisco come la forza possa dipendere dalla velocità del sistema, e quindi anche dal sistema di riferimento preso in considerazione. Se due sistemi di riferimento sono ad una velocità relativa costante tra loro, la forza agente su un sistema dovrebbe essere uguale per entrambi, no?
EDIT: Ok forse intendevi velocità relativa, però da come l'avevi scritto non sembrava; non avevi specificato.
Comunque in questo modo non si definisce una qualsiasi forza applicata, ma la risultante delle forze applicate.
Se vogliamo trovare la forza gravitazionale agente su un corpo basta moltiplicare la massa istantanea per il campo gravitazionale.
Vorrei riprendere la questione forza-energia potenziale per giungere a concludere, alla fine di questo sofferto post, che una funzione energia potenziale in generale non sempre può esistere.
Per dimostrare ciò partirò da una affermazione che trovo ragionevole: ovvero affermo che prendendo a riferimento un campo gravitazionale, che negli esempi per semplicità suppongo costante $\vecG$, la forza agente su una massa qualsiasi vale $vecF=m\vecG$, anche se la massa è variabile. Supponiamo infatti che la massa sia, ad esempio, funzione di h (altezza dal suolo) $m(h)$ e supponiamo di trovarci in un punto di altezza $h_1$; in questo punto la massa vale $m(h_1)$. Se prendiamo una massa costante di valore $m_1=m(h_1)$, essendo questa massa costante sicuramente la forza agente su di essa sarà $\vecF=m_1\vecG$; ma poiché nel punto $h_1 $ la massa variabile ha lo stesso valore di $m_1$, non vedrei motivo per affermare che su essa la forza debba essere diversa.
Detto ciò calcolo il lavoro effettuato dalla forza gravitazionale per spostare la massa variabile da un punto di altezza $h_1$ a un punto di altezza $h_2$: $L_(12)=\int_(h_1)^(h_2)-gm(h)dh=\int_(h_2)^(h_1)gm(h)dh=gm_(12)(h_1-h_2)$ dove con $m_(12)$ ho indicato la massa media integrale tra i punti di partenza e di arrivo.
A questo punto mi verrebbe la tentazione di definire una funzione $U(h)$ che chiamerei funzione energia potenziale, tale per cui $L_(12)=U(h_1)-U(h_2)$.
Mi accorgo però che se scrivo $U(h_1)=gh_1m_(12)$ e $U(h_2)=gh_2m_(12)$, è ben vero che raggiungo lo scopo però vedo che questa funzione dipende da $m_(12)$, che non è un valore dipendente soltanto dal punto di partenza o dal punto di arrivo, ma da entrambi. Quindi a parità di punto di arrivo questa funzione sarebbe funzione non solo del punto stesso ma anche di un altro punto, quello di partenza. E' perciò evidente che questa funzione non può esistere, perché a parità di h non sarebbe univoca.
Da qui concludo che: mentre per il campo gravitazionale è possibile definire una funzione potenziale, non è invece possibile definire per la forza gravitazionale (applicata a una massa generica, anche variabile) un analogo concetto di energia potenziale, tale che la forza ne risulti il gradiente.
Per dimostrare ciò partirò da una affermazione che trovo ragionevole: ovvero affermo che prendendo a riferimento un campo gravitazionale, che negli esempi per semplicità suppongo costante $\vecG$, la forza agente su una massa qualsiasi vale $vecF=m\vecG$, anche se la massa è variabile. Supponiamo infatti che la massa sia, ad esempio, funzione di h (altezza dal suolo) $m(h)$ e supponiamo di trovarci in un punto di altezza $h_1$; in questo punto la massa vale $m(h_1)$. Se prendiamo una massa costante di valore $m_1=m(h_1)$, essendo questa massa costante sicuramente la forza agente su di essa sarà $\vecF=m_1\vecG$; ma poiché nel punto $h_1 $ la massa variabile ha lo stesso valore di $m_1$, non vedrei motivo per affermare che su essa la forza debba essere diversa.
Detto ciò calcolo il lavoro effettuato dalla forza gravitazionale per spostare la massa variabile da un punto di altezza $h_1$ a un punto di altezza $h_2$: $L_(12)=\int_(h_1)^(h_2)-gm(h)dh=\int_(h_2)^(h_1)gm(h)dh=gm_(12)(h_1-h_2)$ dove con $m_(12)$ ho indicato la massa media integrale tra i punti di partenza e di arrivo.
A questo punto mi verrebbe la tentazione di definire una funzione $U(h)$ che chiamerei funzione energia potenziale, tale per cui $L_(12)=U(h_1)-U(h_2)$.
Mi accorgo però che se scrivo $U(h_1)=gh_1m_(12)$ e $U(h_2)=gh_2m_(12)$, è ben vero che raggiungo lo scopo però vedo che questa funzione dipende da $m_(12)$, che non è un valore dipendente soltanto dal punto di partenza o dal punto di arrivo, ma da entrambi. Quindi a parità di punto di arrivo questa funzione sarebbe funzione non solo del punto stesso ma anche di un altro punto, quello di partenza. E' perciò evidente che questa funzione non può esistere, perché a parità di h non sarebbe univoca.
Da qui concludo che: mentre per il campo gravitazionale è possibile definire una funzione potenziale, non è invece possibile definire per la forza gravitazionale (applicata a una massa generica, anche variabile) un analogo concetto di energia potenziale, tale che la forza ne risulti il gradiente.
"naffin":
Non capisco come la forza possa dipendere dalla velocità del sistema, e quindi anche dal sistema di riferimento preso in considerazione. Se due sistemi di riferimento sono ad una velocità relativa costante tra loro, la forza agente su un sistema dovrebbe essere uguale per entrambi, no?
Domanda molto intelligente.
Il secondo principio di Newton per le masse variabili deve essere scritto così:
$\vecF_(ext)=m\veca-(dm)/(dt)\vecv_(g)$,
dove $\vecF_(ext)$ è la risultante delle forze esterne che agiscono su un corpo di massa $m$ che espelle (o assorbe)
materia in moto con velocità $\vecv_(g)$ relativamente al corpo stesso.
L'espressione
$(d\vecp)/(dt)=m\veca+(dm)/(dt)\vecv$
è la derivata matematica di $vecp$, ma ad essa non corrisponde una variazione della quantità di moto fisicamente realizzabile (nell'ambito della meccanica classica). Per così dire, è una sorta di forza fantasma. Infatti, in meccanica classica non esistono corpi che varino la massa senza assorbire o emettere materia.
"Falco5x":
...mentre per il campo gravitazionale è possibile definire una funzione potenziale, non è invece possibile definire per la forza gravitazionale (applicata a una massa generica, anche variabile) un analogo concetto di energia potenziale, tale che la forza ne risulti il gradiente.
Sì, avevo capito che questa è l'impostazione da te perseguita.
In sostanza, il mio errore concettuale (oltre al cumulo di errori di calcolo
) è stato quello di impostare l'uguaglianza$-gradU=m\veca-(dm)/(dt)\vecv_(g)$ (1)
al posto di
$-mgradV=m\veca-(dm)/(dt)\vecv_(g)$ (2)
Infatti la (2) conduce alla tua soluzione, mentre la (1) conduce alla soluzione $m(\theta)=m_0 ((v_(g)-v_0)^3)/((v_(g)-v_0sqrt(cos\theta))^3).
Peraltro, la soluzione che ho postato
$m(\theta)=m_0 \sqrt(((v_g-2v_0)^3)/(v_g-2v_0\sqrt(cos\theta))^3)$ è completamente errata, mentre era giusta la prima che avevo scritto lo scorso 2 agosto e che ho poi cancellato.
Nella figura c'è il grafico di $(m(\theta))/(m_0)$ secondo la tua soluzione (in rosso) confrontato con quello della mia (in blu).
[asvg]xmin=-0.1;xmax=1.5708;
ymin=0.6;ymax=1;
axes(3.14/4,0.1,"labels",3.14/8,0.05,"grid");
stroke="blue";
plot("(9^3)/(10-sqrt(cos(x)))^3");
stroke="red";
plot("exp(0.3*sqrt(cos(x))-0.3)");[/asvg]
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