Qual è il significato fisico del differenziale
Dopo aver letto l'ultima dispensa preparata dal nostro Fioravante Patrone ovvero questa
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
non so se ridere o piangere quando apro il libro di fisica. Inoltre, praticamente TUTTI i libri di fisica fanno uso del famigerato metodo dell'urang utang per impostare i problemi.
C'è un libro che non faccia uso di metodi sbagliati?
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
non so se ridere o piangere quando apro il libro di fisica. Inoltre, praticamente TUTTI i libri di fisica fanno uso del famigerato metodo dell'urang utang per impostare i problemi.
C'è un libro che non faccia uso di metodi sbagliati?
Risposte
Studio ingegneria, ma dopo aver letto le dispense di Fioravante NON riesco nemmeno ad aprire il libro di fisica
"magliocurioso":
Studio ingegneria...
Pensavo studiassi Matematica. Complimenti per l'interesse che mostri: onestamente e non per offendere la categoria, da un ingegnere non mi sarei aspettato tanto interesse per la questione.
L'altra sera riflettevo sul concetto di integrale, e precisamente su come si possano vedere "fisicamente" gli integrali. Cioè, esistono sia gli integrali definiti che gli indefiniti, esistono correlazioni tra i due concetti, però, pur conoscendo teoricamente i concetti (la matematica è un sapere formale, davvero conta la logica pura lì), non riesco a visualizzare proprio niente. E' lì che allora la matematica, con il suo rigore, mi diventa "inutile", dove con l'aggettivo "inutile" intendo una pura sensazione soggettiva: per me la matematica è bella, cioè a me piace, in quanto capace di costituire un potentissimo fluido autonomamente concepito e autonomamente sviluppato, che giace dietro la realtà, ma che al contempo, abbia, in ogni suo concetto o costrutto, un legame "visibile" con la fisica. Sono parole grosse e inutili, perchè poco chiare, ma quando mi trovo a dibattermi su questioni tipo quella del differenziale (anche io me la sono posto diverse volte) o quella degli integrali, io non riesco a non fermarmi ad un certo livello, livello al quale non vedo più i legami, che mi costringe a procedere tenendo fisica e matematica separati, e a servirmi della matematica come uno strumento meccanico.
A volte questo legame in me è presente. Succede proprio in questi momenti che il binomio fisica-matematica è capace di rendermi felice, capace di darmi l'impressione di sapere veramente qualcosa. Capita, ad esempio, quando si pensa al concetto di derivata applicato ad una funzione a variabili fisiche, al concetto di campo, per esempio, legato alle relazioni tra i concetti fisici. In più, noto una costante che si verifica in tutti i casi in cui si ha la sensazione (sarà solo una sensazione, ma pare giustificata da tutto, sembra veramente vera) di scoprire questo intimo legame: che tutto si semplifica nella maniera più forte possibile, che si scopre veramente che l'interpretazione del mondo tramite leggi matematiche segue comportamenti talmente semplici nella loro forma, che è possibile per chiunque arrivare non solo a comprendere, ma anche quasi a scoprire, perfezionare, limare qualcosa, per rendere la conoscenza oggettiva più precisa possibile.
Sarà il quoziente intellettivo di cui parla a buon diritto Falco, ma allo stesso tempo io penso che anche chi non possieda un quoziente intellettivo elevatissimo tale da andare veramente a bussare alle porte del cielo, abbia almeno il diritto di porsi certe domande.
E' vero anche che spesso non si sa davvero in che modo porre le domande. Perchè, se la mente riesce ad arrivare solo fino ad un certo punto, nel "tenere a mente" tale legame con la profondità, allora dovrebbe essere compito del docente, che si suppone abbia o 1) avuto dubbi egli stesso quando era studente o 2) non ne abbia avuti, in virtù della sua intelligenza superiore, magari. Sia nel primo che nel secondo caso, il docente dovrebbe utilizzare la propria esperienza di studente normodotato o superdotato per chiarire meglio il dubbio dello studente con domande chiarificatorie, quasi socratiche. Mi rifiuto di pensare che io sia uno studente tanto "eccezionale" da avere domande che, nel bene e nel male, nella loro stupidità o nella loro intelligenza, nessuno tra gli insegnanti che ho avuto si sia mai posto.
E' proprio questa assenza che secondo me voleva "denunciare" Falco nel suo post che mi convince sempre di più che quanto penso in tal senso, che è ciò che poi ho espresso in questa risposta, non sia poi tanto il solo frutto di una mente malata come la mia, e che il processo di insegnamento-acculturamento, ma anche "verifica della preparazione altrui" segua un andazzo ben diverso da quello che, per intenderci, ho già definito "socratico".
A volte questo legame in me è presente. Succede proprio in questi momenti che il binomio fisica-matematica è capace di rendermi felice, capace di darmi l'impressione di sapere veramente qualcosa. Capita, ad esempio, quando si pensa al concetto di derivata applicato ad una funzione a variabili fisiche, al concetto di campo, per esempio, legato alle relazioni tra i concetti fisici. In più, noto una costante che si verifica in tutti i casi in cui si ha la sensazione (sarà solo una sensazione, ma pare giustificata da tutto, sembra veramente vera) di scoprire questo intimo legame: che tutto si semplifica nella maniera più forte possibile, che si scopre veramente che l'interpretazione del mondo tramite leggi matematiche segue comportamenti talmente semplici nella loro forma, che è possibile per chiunque arrivare non solo a comprendere, ma anche quasi a scoprire, perfezionare, limare qualcosa, per rendere la conoscenza oggettiva più precisa possibile.
Sarà il quoziente intellettivo di cui parla a buon diritto Falco, ma allo stesso tempo io penso che anche chi non possieda un quoziente intellettivo elevatissimo tale da andare veramente a bussare alle porte del cielo, abbia almeno il diritto di porsi certe domande.
E' vero anche che spesso non si sa davvero in che modo porre le domande. Perchè, se la mente riesce ad arrivare solo fino ad un certo punto, nel "tenere a mente" tale legame con la profondità, allora dovrebbe essere compito del docente, che si suppone abbia o 1) avuto dubbi egli stesso quando era studente o 2) non ne abbia avuti, in virtù della sua intelligenza superiore, magari. Sia nel primo che nel secondo caso, il docente dovrebbe utilizzare la propria esperienza di studente normodotato o superdotato per chiarire meglio il dubbio dello studente con domande chiarificatorie, quasi socratiche. Mi rifiuto di pensare che io sia uno studente tanto "eccezionale" da avere domande che, nel bene e nel male, nella loro stupidità o nella loro intelligenza, nessuno tra gli insegnanti che ho avuto si sia mai posto.
E' proprio questa assenza che secondo me voleva "denunciare" Falco nel suo post che mi convince sempre di più che quanto penso in tal senso, che è ciò che poi ho espresso in questa risposta, non sia poi tanto il solo frutto di una mente malata come la mia, e che il processo di insegnamento-acculturamento, ma anche "verifica della preparazione altrui" segua un andazzo ben diverso da quello che, per intenderci, ho già definito "socratico".
Pensavo studiassi Matematica. Complimenti per l'interesse che mostri: onestamente e non per offendere la categoria, da un ingegnere non mi sarei aspettato tanto interesse per la questione.
Personalmente, ritengo che non vi debba essere differenza alcuna tra uno che studia matematica e uno che studia ingegneria, almeno in determinati ambiti. Così come tra un fisico e un ingegnere, penso che l'unica differenza stia nei contenuti trattati, e non nella forma. Invece pare sempre più che qui e lì si debbano studiare due "matematiche diverse" o si debba approfondire in due stili diversi.
Ovviamente la risposta non è per Wizard (ci mancherebbe
). Che poi il sistema induca a creare delle differenze sostanziali che, credo, vi siano nel profondo, questo è vero. Anche se, in linea di principio, non è una cosa che deve essere assunta per "necessaria", perchè puoi sempre trovare 1) quello che ha un'intelligenza superiore capace di vedere al di là dei limiti oggettivi che alcune perversioni legate al sistema universitario creano; 2) la semplice libertà di dire: "io devo fare l'esame di analisi e voglio studiare realmente l'analisi, che è una, non ci sono più analisi diverse".
Ognuno può vivere e studiare come meglio crede, qualsiasi cosa. Così come esistono i calciatori che interpretano uno stesso ruolo in modi diversi, puntando sulle proprie caratteristiche, allo stesso modo può accadere anche qui.
Anche in serie A, però, i giocatori delle squadre provinciali sembrano essere fatti con lo stampino, in alcune partite.
La cosa che più mi dà fastidio nell'ambiente universitario è quando vengo chiamato "ingegnere", mentre io sono solo uno studente, che non sa per giunta se riuscirà a finire gli studi per motivi legati ad altri fattori. Nel tono della voce, e nei comportamenti di quelli che me lo dicono, io noto un qualcosa di assolutamente deleterio, un identificarsi con uno schema che va a totale discapito della libertà creativa di cui necessita anche lo studio.
"dark121it":
Guarda, nel mio caso, (studio Matematica) fisica la insegnano...i fisici!!
Il problema credo che derivi dal fatto che, almeno a matematica, la fisica dovrebbero insegnarla dei matematici.
Oppure si dovrebbe pretendere dai fisici un altro tipo di approccio.
Cmq libri di quel rigore che tu vorresti, non ne ho ancora visti.
Ma
anche qui la domanda è analoga: chi li scrive i libri di fisica? I matematici o i fisici?
PS:non sarebbe meglio rendere "fisica" una specializzazione di matematica (visti i risultati...)?
Per quanto la Matematica sia fondamentale nella Fisica, questa è e rimane una scienza sperimentale fatta di intuito, osservazione e approssimazione...tutte cose che non possono renderla una specializzazione di Matematica, dove non è sufficiente provare empiricamente una cosa per dire che sia vera...
"dark121it":
PS:non sarebbe meglio rendere "fisica" una specializzazione di matematica (visti i risultati...)?
Già, e perché no? magari anche meccanica razionale, fisica tecnica ed elettrotecnica ... fantastico!
Se fosse stato così, invece che in ingegneria mi sarei laureato in filologia romanza oppure in turcologia ottomana.
I matematici sono persone fuori dell'ordinario, che nello sviluppare le loro teorie potrebbero benissimo prescindere dalla realtà fisica, e dunque per questo sarebbe bene che non entrassero troppo in contatto con la gente comune e con le altre facoltà scientifiche.
Faccio invece una proposta al contrario: che fossero i fisici a insegnare matematica nelle scuole medie e superiori. La didattica è un problema che io sento molto, e credo che ciò risulterebbe utile sia agli studenti che agli insegnanti: gli studenti potrebbero fruire di un approccio alla matematica più concreto e fisicamente esemplificato con esempi vicini alla realtà e quindi riuscirebbero finalmente a comprendere concetti che oggi invece vengono loro propinati in modo astratto, mentre gli insegnanti (fisici) nell'insegnare matematica sarebbero costretti a rispettare un minimo di rigore formale in più.
Sono d'accordo anch'io con Falco, anche se non voglio certo contribuire ad aprire una diatriba ingegneri-fisici vs matematici, che da quanto detto non ha senso....
La cosa certa e' che alcuni concetti sarebbero difficili da spiegare in maniera chiara mantenendo un formalismo e un approccio matematico rigoroso, per esempio, scusate la mia ignoranza, ma io senza ricorrere al concetto di ''differenziale ad accetta'' non sarei in grado di scrivere al volo l'equazione differenziale per questo banale problemino https://www.matematicamente.it/forum/lo- ... 33425.html , come invece mi viene subito con un uso disinvolto dei differenziali e degli infinitesimi appunto...
La cosa certa e' che alcuni concetti sarebbero difficili da spiegare in maniera chiara mantenendo un formalismo e un approccio matematico rigoroso, per esempio, scusate la mia ignoranza, ma io senza ricorrere al concetto di ''differenziale ad accetta'' non sarei in grado di scrivere al volo l'equazione differenziale per questo banale problemino https://www.matematicamente.it/forum/lo- ... 33425.html , come invece mi viene subito con un uso disinvolto dei differenziali e degli infinitesimi appunto...
Il problema per i "matematici" credo che sia semplicemente questo:
ti rendi conto, studiando bene la materia, che devi essere molto preciso e puntiglioso, sia nell'impostare le ipotesi che nel condurre il ragionamento. Altrimenti rischi di fare errori nelle deduzioni(in realtà di questo fatto dovrebbero rendersene conto tutti quelli che studiano scienza...solo che a matematica ti COSTRINGONO a farlo) .
Ci si rende conto, quindi, che il fatto di essere rigorosi, non è una questione di gusti, ma è proprio necessario!
Non pretendiamo forse da un insegnante di letteratura italiana...che sappia l'italiano?
Secondo me, se uno studioso decide di usare la matematica per trarre certe conclusioni, allora si deve adeguare a quelle che sono le regole della matematica stessa, e non puo' dire "vabbè...."
Altrimenti si cerchi un'altro strumento più malleabile...
Mi è capitato di leggere molti libri di fisica esteticamente molto attraenti, con tanti disegni etc... ma che per amor di chiarezza, si sono in effetti rivelati più confusionari di libri APPARENTEMENTE incomprensibili, quali sono spesso i libri di matematica pura.
Per esempio quando si definisce la velocità in fisica, sostanzialmente si ricorre alla derivata. Tuttavia si cerca sempre di dare una specie di rappresentazione "reale" di questi strumenti matematici, che però può creare + confusione che altro(ad esempio nel caso dell' "incremento infinitesimo" dt)
E allora uno studente si chiede:" ma a chi devo credere?"
ti rendi conto, studiando bene la materia, che devi essere molto preciso e puntiglioso, sia nell'impostare le ipotesi che nel condurre il ragionamento. Altrimenti rischi di fare errori nelle deduzioni(in realtà di questo fatto dovrebbero rendersene conto tutti quelli che studiano scienza...solo che a matematica ti COSTRINGONO a farlo) .
Ci si rende conto, quindi, che il fatto di essere rigorosi, non è una questione di gusti, ma è proprio necessario!
Non pretendiamo forse da un insegnante di letteratura italiana...che sappia l'italiano?
Secondo me, se uno studioso decide di usare la matematica per trarre certe conclusioni, allora si deve adeguare a quelle che sono le regole della matematica stessa, e non puo' dire "vabbè...."
Altrimenti si cerchi un'altro strumento più malleabile...
Mi è capitato di leggere molti libri di fisica esteticamente molto attraenti, con tanti disegni etc... ma che per amor di chiarezza, si sono in effetti rivelati più confusionari di libri APPARENTEMENTE incomprensibili, quali sono spesso i libri di matematica pura.
Per esempio quando si definisce la velocità in fisica, sostanzialmente si ricorre alla derivata. Tuttavia si cerca sempre di dare una specie di rappresentazione "reale" di questi strumenti matematici, che però può creare + confusione che altro(ad esempio nel caso dell' "incremento infinitesimo" dt)
E allora uno studente si chiede:" ma a chi devo credere?"
Lo dico assolutamente NON per polemica ma per imparare: qualcuno potrebbe scrivermi tutti i passaggi logico matematici corretti e rigorosi per arrivare all'equazione differenziale del problema a cui mi riferisco sopra?
"dark121it":
Per esempio quando si definisce la velocità in fisica, sostanzialmente si ricorre alla derivata. Tuttavia si cerca sempre di dare una specie di rappresentazione "reale" di questi strumenti matematici, che però può creare + confusione che altro(ad esempio nel caso dell' "incremento infinitesimo" dt)
E allora uno studente si chiede:" ma a chi devo credere?"
Io per spiegare la velocità non parlerei nemmeno di derivata, o almeno lo farei solo alla fine del ragionamento tanto per dare un nome a un processo di limite che può essere generalizzato anche per altre grandezze fisiche (ad esempio l'accelerazione).
Per spiegare la velocità è opportuno secondo me partire dal concetto di velocità media in un intervallo finito, e poi diminuire l'ampiezza dell'intervallo e quindi osservare che portando l'intervallo di tempo a un valore piccolo tendente a zero (il dt, appunto) il rapporto (delta spazio)/(delta tempo) non tende a zero, bensì a un valore finito che chiamo velocità istantanea, o semplicemente velocità. Poi direi che in pratica per misurare la velocità non è necessario sempre avere un calcolatore che calcola questo rapporto in intervalli di tempo piccolissimi, ma può essere sufficiente disporre di uno strumento che trasformi direttamente la velocità in un'altra grandezza fisica, come ad esempio lo spostamento di un indicatore a lancetta, perché esistono fenomeni fisici che producono effetti proporzionali alla velocità istantanea o a una sua funzione, come ad esempio i tachimetri meccanici che si basano su un effetto centrifugo.
Invece secondo me un ragazzo resta perplesso quando gli si dice che la velocità è una derivata e non si aggiunge altro, forse perché il professore di matematica gli ha spiegato la derivata in temini astratti e non fisici.
Facciamo l'esempio "banale" della velocità. io sono arrivato a vederla così
Farò riferimento al caso del moto unidimensionale, ovvero al moto di un punto materiale lungo che si svolge su una retta. Fisicamente parlando credo che si possa pensare al moto di un punto vincolato a muoversi su una guida rettilinea come ad esempio il moto di un treno lungo un binario
Credo che il punto di partenza debba essere la FUNNZIONE POSIZIONE x(t) che descrive la coordinata del punto P lungo una retta. La funzione x(t) costituisce la legge oraria del punto materiale perché in ogni istante descrive la POSIZIONE in funzione del tempo e ovviamente il grafico della funzione posizione x(t) è il diagramma orario.
Credo che in genere la funzione posizione x(t) è nota perché è stata ricavata sperimentalmente a seguito di misure sperimentali oppure perché è stata determinata analiticamente in qualche modo.
Se è nota la funzione posizione x(t). fissato un intervallo di tempo I = [t₁, t₂] è possibile calcolare esplicitamente la velocità media nell'intervallo I = [t₁, t₂] costruendo il seguente rapporto incrementale
$v_m := [x(t₂) - x(t₁)] / (t₂ - t₁)$
e se pensiamo
$ t₂ = t₁ + h$
avremo
$v_m := [x(t₁ + h) - x(t₁)] / (t₁ + h - t₁)$
ovvero
$v_m := [x(t₁ + h) - x(t₁)] / h$
che è il ben noto rapporto incrementale
Il problema è che la velocità media definita come rapporto incrementale non fornisce molte informazione sul tipo di moto come ad esempio come varia la posizione istante per istante. Bisognerebbe disporre di una FUNZIONE velocità
Credo che sia possibile costruire la funzione velocità istantanea definendola in questo modo
$ v(t) : = x'(t) = lim h -> 0 [x(t₁ + h) - x(t₁)] / h $
ovvero definando la velocità come limite del rapporto incrementale ovvero come la derivata prima della funzione posizione x(t).
In questo modo facendo lo studio della funzione x'(t) si ricavano tutte le informazioni sul modo
È giusta o è sbagliata questa formulazione?
Farò riferimento al caso del moto unidimensionale, ovvero al moto di un punto materiale lungo che si svolge su una retta. Fisicamente parlando credo che si possa pensare al moto di un punto vincolato a muoversi su una guida rettilinea come ad esempio il moto di un treno lungo un binario
Credo che il punto di partenza debba essere la FUNNZIONE POSIZIONE x(t) che descrive la coordinata del punto P lungo una retta. La funzione x(t) costituisce la legge oraria del punto materiale perché in ogni istante descrive la POSIZIONE in funzione del tempo e ovviamente il grafico della funzione posizione x(t) è il diagramma orario.
Credo che in genere la funzione posizione x(t) è nota perché è stata ricavata sperimentalmente a seguito di misure sperimentali oppure perché è stata determinata analiticamente in qualche modo.
Se è nota la funzione posizione x(t). fissato un intervallo di tempo I = [t₁, t₂] è possibile calcolare esplicitamente la velocità media nell'intervallo I = [t₁, t₂] costruendo il seguente rapporto incrementale
$v_m := [x(t₂) - x(t₁)] / (t₂ - t₁)$
e se pensiamo
$ t₂ = t₁ + h$
avremo
$v_m := [x(t₁ + h) - x(t₁)] / (t₁ + h - t₁)$
ovvero
$v_m := [x(t₁ + h) - x(t₁)] / h$
che è il ben noto rapporto incrementale
Il problema è che la velocità media definita come rapporto incrementale non fornisce molte informazione sul tipo di moto come ad esempio come varia la posizione istante per istante. Bisognerebbe disporre di una FUNZIONE velocità
Credo che sia possibile costruire la funzione velocità istantanea definendola in questo modo
$ v(t) : = x'(t) = lim h -> 0 [x(t₁ + h) - x(t₁)] / h $
ovvero definando la velocità come limite del rapporto incrementale ovvero come la derivata prima della funzione posizione x(t).
In questo modo facendo lo studio della funzione x'(t) si ricavano tutte le informazioni sul modo
È giusta o è sbagliata questa formulazione?
Per Falco 5x:
Mah...dal mio punto di vista se uno mi dice:" supponiamo che sia data l'espressione analitica di $x(t)$. Supponiamo anche che questa funzione sia derivabile 2 volte nell'insieme T dei tempi. Allora definisco per ogni $t\inT$ le funzioni $v(t)=x'(t)$ e anche $a(t)=v'(t)=x''(t)$"
sono contentissimo perchè tutto mi torna.
Non mi tornano le cose quando uno comincia a fare degli pseudo esempi pratici per giustificare le possibilità di utilizzare queste funzioni o altre cose del genere...non so se mi spiego!(naturalmente è una MIA visione personale dei fatti)
Secondo me la parola chiave è "supponiamo..."
NB: credo quindi di essere sostanzialmente d'accordo con maglio curioso nell'impostazione generale del problema.
Mah...dal mio punto di vista se uno mi dice:" supponiamo che sia data l'espressione analitica di $x(t)$. Supponiamo anche che questa funzione sia derivabile 2 volte nell'insieme T dei tempi. Allora definisco per ogni $t\inT$ le funzioni $v(t)=x'(t)$ e anche $a(t)=v'(t)=x''(t)$"
sono contentissimo perchè tutto mi torna.
Non mi tornano le cose quando uno comincia a fare degli pseudo esempi pratici per giustificare le possibilità di utilizzare queste funzioni o altre cose del genere...non so se mi spiego!(naturalmente è una MIA visione personale dei fatti)
Secondo me la parola chiave è "supponiamo..."
NB: credo quindi di essere sostanzialmente d'accordo con maglio curioso nell'impostazione generale del problema.
Per dark121it:
forse non mi sono spiegato bene, per cui cerco di farlo qui: la tua impostazione e quella di magliocurioso sono senz'altro cristalline, però quelli che tu chiami "pseudoesempi" sono le chiavi per far capire la velocità anche al postino o al ragazzo che mi porta le pizze, mentre voi partite da una "base" culturale che è già elitaria e che per molti profani è troppo ostica e scostante.
Volgarizzare dunque? è questa la soluzione che propongo? sì, almeno nelle scuole medie e superiori sì. Poi all'università si potranno curare meglio gli aspetti formali, ma se lo scopo della scuola deve essere quello di far "innamorare" gli studenti di certe materie che oggi invece li spaventano (tutti gli studenti, non solo quelli naturalmente portati a ragionare in un certo modo), credo che la strada degli "pseudoesempi" sia obbligatoria.
Altrimenti all'università sceglieranno facoltà inutili che lasceranno il nostro Paese agli ultimi posti nel mondo, scientificamente e tecnicamente parlando.
Le materie scientifiche non devono essere appannaggio esclusivo dei matematici e di quelli che sono portati per disposizione naturale a ragionare come loro, altrimenti costruiremo una società scientificamente ignorante che ci lascerà dove già siamo, cioè agli ultimi posti nel mondo.
forse non mi sono spiegato bene, per cui cerco di farlo qui: la tua impostazione e quella di magliocurioso sono senz'altro cristalline, però quelli che tu chiami "pseudoesempi" sono le chiavi per far capire la velocità anche al postino o al ragazzo che mi porta le pizze, mentre voi partite da una "base" culturale che è già elitaria e che per molti profani è troppo ostica e scostante.
Volgarizzare dunque? è questa la soluzione che propongo? sì, almeno nelle scuole medie e superiori sì. Poi all'università si potranno curare meglio gli aspetti formali, ma se lo scopo della scuola deve essere quello di far "innamorare" gli studenti di certe materie che oggi invece li spaventano (tutti gli studenti, non solo quelli naturalmente portati a ragionare in un certo modo), credo che la strada degli "pseudoesempi" sia obbligatoria.
Altrimenti all'università sceglieranno facoltà inutili che lasceranno il nostro Paese agli ultimi posti nel mondo, scientificamente e tecnicamente parlando.
Le materie scientifiche non devono essere appannaggio esclusivo dei matematici e di quelli che sono portati per disposizione naturale a ragionare come loro, altrimenti costruiremo una società scientificamente ignorante che ci lascerà dove già siamo, cioè agli ultimi posti nel mondo.
Sono d'accordo se il discorso riguarda le medie e le superiori dove un impostazione intuitiva penso sia la scelta migliore.
Il problema è che spesso anche all'università si vorrebbe ricorrere ad una sorta di "via di mezzo" tra le 2 quando ciò non è possibile.
Secondo me molti studenti universitari hanno facoltà a comprendere tali materie(come fisica), perchè gli si vuol far credere di poter arrivare alla conoscenza attraverso l'intuito...mentre non è così!!
Voglio dire, se non sai cos'è una derivata, non dovresti studiare fisica 1 perchè non ci capiresti un acca! E a poco valgono le giustificazioni di carattere intuitivo....
Se invece già le sai, allora conviene essere concisi e dare le definizioni in modo chiaro e breve, senza rischiare di creare confusione.
Per esempio, a me dà molto fastidio il fatto di dover studiare fisica 1, senza aver trattato le eq. differenziali in analisi,( perchè sono previste per l'anno prossimo ne mio corso). Sicchè quando mi trovo a studiare il moto, per esempio, del pendolo devo dare per buone tutte le formule che mi vengono proposte, ed impararle a memoria.
Il problema è che spesso anche all'università si vorrebbe ricorrere ad una sorta di "via di mezzo" tra le 2 quando ciò non è possibile.
Secondo me molti studenti universitari hanno facoltà a comprendere tali materie(come fisica), perchè gli si vuol far credere di poter arrivare alla conoscenza attraverso l'intuito...mentre non è così!!
Voglio dire, se non sai cos'è una derivata, non dovresti studiare fisica 1 perchè non ci capiresti un acca! E a poco valgono le giustificazioni di carattere intuitivo....
Se invece già le sai, allora conviene essere concisi e dare le definizioni in modo chiaro e breve, senza rischiare di creare confusione.
Per esempio, a me dà molto fastidio il fatto di dover studiare fisica 1, senza aver trattato le eq. differenziali in analisi,( perchè sono previste per l'anno prossimo ne mio corso). Sicchè quando mi trovo a studiare il moto, per esempio, del pendolo devo dare per buone tutte le formule che mi vengono proposte, ed impararle a memoria.
Ok. Sono d'accordo con queste riflessioni, ma secondo me il punto è un altro: affrontare alcuni problemi e concetti di fisica in modo formalmente ineccepibile rende tutto molto più macchinoso e fa perdere di vista la fisica che c'è dietro, almeno credo sia così perché come ho detto alcuni problemi di fisica anche banali non saprei proprio come svolgerli senza utilizzare in quella maniera rozza i differenziali per esempio.
Non sto parlando solo di un ragazzo che non sa nulla di analisi matematica e che vede alcuni concetti di fisica per la prima volta, ma anche di uno studente universitario già un po' familiare con alcuni concetti fisici e che conosce un minimo di matematica...
Tra l'altro sarei grato se qualcuno mi scrivesse come arrivare all'equazione differenziale del problema semplice di cui parlavo in questo thread, utilizzando passaggi matematici formalmente ineccepibili.
In tutti i corsi universitari che ho fatto si arriva a scrivere le equazioni differenziali di un modello fisico sempre in questo "modo rozzo".... Parlo di ingegneria non so per altre facoltà è lo stesso.
Non sto parlando solo di un ragazzo che non sa nulla di analisi matematica e che vede alcuni concetti di fisica per la prima volta, ma anche di uno studente universitario già un po' familiare con alcuni concetti fisici e che conosce un minimo di matematica...
Tra l'altro sarei grato se qualcuno mi scrivesse come arrivare all'equazione differenziale del problema semplice di cui parlavo in questo thread, utilizzando passaggi matematici formalmente ineccepibili.
In tutti i corsi universitari che ho fatto si arriva a scrivere le equazioni differenziali di un modello fisico sempre in questo "modo rozzo".... Parlo di ingegneria non so per altre facoltà è lo stesso.
Sì caro dark121it, è molto chiaro e sono d'accordo con te che Fisica1 dovrebbe venire dopo aver studiato in Analisi le equazioni differenziali. Ma qui siamo già nell'elite universitaria e dunque sarebbe giusto che così avvenisse.
Però se tu leggi come approccia in modo esclusivamente numerico il problema delle equazioni differenziali il Feynman... ti scandalizzi? Nel capitolo 9 del suo volume 1 riempie pagine e pagine di tabelle numeriche... e dice che la stragrande maggioranza dei problemi reali vanno affrontati numericamente. Lo diceva negli anni '60!
Ora tutti sanno chi era Feynman, e sono anche certo che lui conosceva a perfezione tutti i formalismi matematici necessari, però nelle sue lezioni preferiva riempire lavagne di calcoli che anche il droghiere sarebbe stato in grado di capire. In generale ho notato che l'approccio anglosassone alla scienza è assai più pragmatico del nostro (non parlo dei libri di matematica pura che non conosco, ma parlo della scienza applicata). Gli americani fanno secondo me i libri migliori del mondo, molto più chiari dei nostri anche in virtù dei moltissimi esempi ed esercizi che inseriscono all'interno dei testi di teoria.
Io sono sicuramente uno che dà giudizi di parte, però sono sicuro che moltissime teorizzazioni della matematica non sono sbocciate nella mente dei matematici per generazione spontanea, ma sono state prima abbozzate da persone spinte dalla necessità di risolvere problemi pratici, e poi sistematicizzate in modo formale (credo che questo sia anche il caso dell'analisi matematica). Allora mi chiedo: per quale motivo nell'insegnare le cose dobbiamo percorrere il cammino inverso, cioè come se la teoria fosse nata per prima? direi invece che sarebbe più naturale sviluppare un cammino didattico che simulasse proprio la genesi storica degli strumenti matematici: prima dunque la necessità fisica o comunque pratica e dopo il rigore formale, non l'inverso. Vedresti così che molte persone che oggi scappano inorridite troverebbero la matematica perfino divertente.
Però se tu leggi come approccia in modo esclusivamente numerico il problema delle equazioni differenziali il Feynman... ti scandalizzi? Nel capitolo 9 del suo volume 1 riempie pagine e pagine di tabelle numeriche... e dice che la stragrande maggioranza dei problemi reali vanno affrontati numericamente. Lo diceva negli anni '60!
Ora tutti sanno chi era Feynman, e sono anche certo che lui conosceva a perfezione tutti i formalismi matematici necessari, però nelle sue lezioni preferiva riempire lavagne di calcoli che anche il droghiere sarebbe stato in grado di capire. In generale ho notato che l'approccio anglosassone alla scienza è assai più pragmatico del nostro (non parlo dei libri di matematica pura che non conosco, ma parlo della scienza applicata). Gli americani fanno secondo me i libri migliori del mondo, molto più chiari dei nostri anche in virtù dei moltissimi esempi ed esercizi che inseriscono all'interno dei testi di teoria.
Io sono sicuramente uno che dà giudizi di parte, però sono sicuro che moltissime teorizzazioni della matematica non sono sbocciate nella mente dei matematici per generazione spontanea, ma sono state prima abbozzate da persone spinte dalla necessità di risolvere problemi pratici, e poi sistematicizzate in modo formale (credo che questo sia anche il caso dell'analisi matematica). Allora mi chiedo: per quale motivo nell'insegnare le cose dobbiamo percorrere il cammino inverso, cioè come se la teoria fosse nata per prima? direi invece che sarebbe più naturale sviluppare un cammino didattico che simulasse proprio la genesi storica degli strumenti matematici: prima dunque la necessità fisica o comunque pratica e dopo il rigore formale, non l'inverso. Vedresti così che molte persone che oggi scappano inorridite troverebbero la matematica perfino divertente.
Che cos'è il differenziale?
Beh, è una 'cosa infinitesima'. Come si calcola? facendo prodotto di una 'cosa finita' per una 'cosa infinitesima'.
Poiché le cose finite sono tante prendiamo quelle più semplici, quelle lineari.
Ad esempio se abbiamo una funzione $f(x)$ il differenziale in un punto $x_0$ è dato dalla relazione:
PIPPO$(x)$= PERTICA$(x_0)$ $\cdot$ PALLA$(x-x_0)$.
PERTICA va bene, è una cosa diritta, una cosa lineare. Questo non ti aggrada? e allora scrivi:
$df(x)=f'(x_0) \cdot dx$.
Boh ... ora pure il $dx$. Niente paura se hai dubbi chiedilo a Patrone. E se non mi risponde? allora vai a Pavia, fai un pezzo di Corso, entra nel cortiletto del Volta, avanti a sinistra piglia lo scalone e al primo piano trovi Corotti, non è un matematico, fa il bidello, ma con tutte le matrici per ciclostilo che ha tirato vuoi che non sappia cos'è $dx$.
In pratica un incremento di funzione $\Delta f(x)= f(x)-f(x_0)$ lo raddrizzi un po' e lo fai diventare $f'(x_0) \cdot (x-x_0)$.
E se le cose si fanno un po' più complicare, che ne so, una $f:\RR^n \to \RR^m$? non cambia nulla, devi sempre trovare una cosa lineare e moltiplicarla per un cosa infinitesima. Ad es.
$df(x_i)=a_{ij}(x_0) \cdot (x_j-x_{0j})$,
$a_{ij}$ lineare. Non ti piace $a_{ij}$, chiamalo $J$, matrice Jacobiana.
Il succo, come mi ha detto l'altra sera Leibniz, è che il differenziale è un infinitesimo. Non è stato più preciso, ma lui è un Genio non un matematico, ha ben altro cui pensare: il lavoro di bassa manovalanza lo lascia ai matematici.
Beh, è una 'cosa infinitesima'. Come si calcola? facendo prodotto di una 'cosa finita' per una 'cosa infinitesima'.
Poiché le cose finite sono tante prendiamo quelle più semplici, quelle lineari.
Ad esempio se abbiamo una funzione $f(x)$ il differenziale in un punto $x_0$ è dato dalla relazione:
PIPPO$(x)$= PERTICA$(x_0)$ $\cdot$ PALLA$(x-x_0)$.
PERTICA va bene, è una cosa diritta, una cosa lineare. Questo non ti aggrada? e allora scrivi:
$df(x)=f'(x_0) \cdot dx$.
Boh ... ora pure il $dx$. Niente paura se hai dubbi chiedilo a Patrone. E se non mi risponde? allora vai a Pavia, fai un pezzo di Corso, entra nel cortiletto del Volta, avanti a sinistra piglia lo scalone e al primo piano trovi Corotti, non è un matematico, fa il bidello, ma con tutte le matrici per ciclostilo che ha tirato vuoi che non sappia cos'è $dx$.
In pratica un incremento di funzione $\Delta f(x)= f(x)-f(x_0)$ lo raddrizzi un po' e lo fai diventare $f'(x_0) \cdot (x-x_0)$.
E se le cose si fanno un po' più complicare, che ne so, una $f:\RR^n \to \RR^m$? non cambia nulla, devi sempre trovare una cosa lineare e moltiplicarla per un cosa infinitesima. Ad es.
$df(x_i)=a_{ij}(x_0) \cdot (x_j-x_{0j})$,
$a_{ij}$ lineare. Non ti piace $a_{ij}$, chiamalo $J$, matrice Jacobiana.
Il succo, come mi ha detto l'altra sera Leibniz, è che il differenziale è un infinitesimo. Non è stato più preciso, ma lui è un Genio non un matematico, ha ben altro cui pensare: il lavoro di bassa manovalanza lo lascia ai matematici.
"GIBI":
Che cos'è il differenziale?
[...]
[mode sarcasm on]
Ma come sei divertente!
[mode sarcasm off]
"GIBI":
...
Bravo, mi sei piaciuto
"Faussone":
scusate la mia ignoranza, ma io senza ricorrere al concetto di ''differenziale ad accetta'' non sarei in grado di scrivere al volo l'equazione differenziale per questo banale problemino https://www.matematicamente.it/forum/lo- ... 33425.html , come invece mi viene subito con un uso disinvolto dei differenziali e degli infinitesimi appunto...
Scusa perché dici che usi un metodo poco ortodosso per impostare questa equazione $(dT)/(dt) = -\dot m / M (T-20)$ ?
Se chiamo $m(t)$ la massa entrante in funzione del tempo e $T(t)$ la funzione temperatura nel tempo posso scrivere il bilancio energetico a partire da un certo tempo $t_0$:
$[m(t)-m(t_0)]c_p[T(t)-20]=Mc_p[T(t_0)-T(t)]
Naturalmente questa equazione è tanto più vera quanto più i tempi t e t0 sono vicini; spremendomi le meningi per capire come posso fare per avvicinarli, mi viene in mente il concetto di limite, per cui scrivo:
$[m(t)-m(t_0)]/(t-t_0)c_p[T(t)-20]=Mc_p[T(t_0)-T(t)]/(t-t_0)$
e poi faccio il limite su entrambi i membri per t tendente a t0 ottenendo
$lim_(h->0)[m(t_0+h)-m(t_0)]/hc_p[T(t)-20]=lim_(h->0)Mc_p[T(t_0)-T(t_0+h)]/h$
da cui
$m'(t)[T(t)-20]=-T'(t)M$
ovvero
$(m'(t))/M=-(T'(t))/(T(t)-20)$
A questo punto occorre integrare nel tempo entrambi i membri ricordando che $m'(t)=\dot m$ cioè una costante.
A secondo membro occorre integrare facendo una sostituzione di variabile $x=T(t)$, ovvero
$-\int_(t_0)^t(T'(t))/(T(t)-20)dt=-\int_(x_0)^x 1/(x-20)dx
La soluzione diventa
$\dot m/M(t-t_0)=-\ln((x-20)/(x_0-20))$
ovvero
$x=20+(x_0-20)e^(-\dot m/M(t-t_0))$
Sostituisco infine la x con la funzione $T(t)$ ottenendo
$T(t)=20+(70-20)e^(-\dot m/M(t-t_0))$
In fondo cosa ho fatto di diverso da te? tu hai solo scritto in modo più conciso...
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