Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)
E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
Risposte
"Palliit":
@Falco5x: delle due forze agenti sulla particella, peso e reazione normale, soltanto quest'ultima ha componente significativa rispetto all'asse $x$, e l'equazione che ho scritto è rispetto alla sola componente $ddotx$ dell'accelerazione.
Scusa se insisto. Ho fatto un diagramma delle forze e delle accelerazioni. A mio modo di vedere l'accelerazione secondo x deve tenere conto sia della componente x della accelerazione normale che della componente x di quella tangenziale. Il che equivale a utilizzare la componente x della reazione normale, siamo d'accordo, la quale però rispetto alla proiezione sulla normale di g è decurtata a causa della accelerazione normale. Non lo sarebbe solo se la traiettoria fosse rettilinea.
Credo tu abbia ragione, non ho tenuto conto della curvatura della traiettoria. Ho toppato.
"Palliit":
Credo tu abbia ragione, non ho tenuto conto della curvatura della traiettoria. Ho toppato.
Poco male, tranquillo, può succedere.
Lavorare con le forze è un casino, per questo è meglio risolvere con l'energia e poi eventualmente ricavare le accelerazioni e le forze derivando i risultati.
Ciao Falco5x. Purtroppo, quando ho scritto il mio messaggio precedente, a secondo membro ho confuso la variabile dipendente $s$ con la variabile indipendente $t$. Insomma, come hai giustamente osservato, non è sufficiente la continuità per assicurare l'unicità della soluzione. Bisognerebbe andare a rivedere la teoria almeno per quanto riguarda le equazioni differenziali del tipo:
Nel caso in cui valesse il teorema di unicità, almeno il caso in esame sarebbe risolto. Ad ogni modo, il fatto che, per $y=0$, il radicando si annulli:
non è di buon auspicio. Grazie per avermelo fatto notare.
$ddoty=f(y)$
Nel caso in cui valesse il teorema di unicità, almeno il caso in esame sarebbe risolto. Ad ogni modo, il fatto che, per $y=0$, il radicando si annulli:
$ddoty=g*sqrt(1-4/(root(3)((27y+8)^2))$
non è di buon auspicio. Grazie per avermelo fatto notare.
Ma, Falco, fammi capire. Tu sostieni che non puoi costruire in legno la curvo $y = x^(3/2)$, perchè la sua derivata seconda va all'infinito all'origine? E' così?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?
Se e' per questo sostiene di poter fare un limite in un punto isolato, e anche che una velocita' su una curva abbia solo modulo, o che un oggetto fermo in un sistema inerziale si muova da solo.
@Falco5x
alla luce delle giuste osservazioni che hai fatto a Palliit, sul fatto che c'è sia una accelerazione tangenziale che centripeta perchè la traiettoria è curva, dovresti modificare anche la figura messa all'inizio del thread, dove hai messo $veca$ tangente alla traiettoria. La seconda figura è quella giusta, non la prima ovviamente.
Inoltre, scrivi nel primo messaggio :
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$ (1)
anche questo non va. L'accelerazione vettoriale è data da :
$veca = d/(dt) (vhatT) = (dv)/(dt) hatT + v( dhatT)/(dt) = (dv)/(dt) hatT + v^2/r hatN$
con ovvio significato dei simboli. Io non so quanto questo possa essere rilevante per la (1) scritta sopra , e per il prosieguo dei tuoi calcoli, perchè quella $a$ al primo membro della (1) è solo il modulo della accelerazione tangenziale , non è certo il modulo dell'accelerazione totale.
Inoltre, ponendo : $y = sqrt(x^3)$ ( quindi $k=3/2$ ) , e scomponendo la velocità vettoriale secondo i due assi, si ha :
$ vecv = (v_x,v_y) = ((dx)/(dt), (dy)/(dt))$
da cui si trova : $ v_y = (dy)/(dx)*(dx)/(dt) = 3/2sqrtx*v_x \rarr v_y/v_x = 3/2sqrtx = (dy)/(dx) $
e questo è ovvio. Volendo, si può poi trovare la relazione che intercorre tra le componenti cartesiane dell'accelerazione; se non ho sbagliato i conti, io trovo :
$veca = (a_x,a_y) $
$a_y = d/(dt) (3/2sqrtx * v_x ) =.......= (3v_x)/(4sqrtx) + sqrtx *a_x $
Prendendo per buona la tua soluzione minimale, mi vengono invece delle componenti cartesiane della velocità e dell'accelerazione diverse da queste....
Nel frattempo, continuo a disegnare grafici con Geogebra :
la curva verde è la funzione data, quella azzurra è la derivata prima ( velocità) , quella in arancione è la derivata seconda. SE si orienta l'asse $y$ verso il basso , io credo che siano somiglianti alle curve ottenute da Palliit , limitate al primo quadrante. Lui ha usato un’altra funzione, ma più o meno siamo lì.
Non c'è alcun problema a tracciare la funzione, la f in verde.
alla luce delle giuste osservazioni che hai fatto a Palliit, sul fatto che c'è sia una accelerazione tangenziale che centripeta perchè la traiettoria è curva, dovresti modificare anche la figura messa all'inizio del thread, dove hai messo $veca$ tangente alla traiettoria. La seconda figura è quella giusta, non la prima ovviamente.
Inoltre, scrivi nel primo messaggio :
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$ (1)
anche questo non va. L'accelerazione vettoriale è data da :
$veca = d/(dt) (vhatT) = (dv)/(dt) hatT + v( dhatT)/(dt) = (dv)/(dt) hatT + v^2/r hatN$
con ovvio significato dei simboli. Io non so quanto questo possa essere rilevante per la (1) scritta sopra , e per il prosieguo dei tuoi calcoli, perchè quella $a$ al primo membro della (1) è solo il modulo della accelerazione tangenziale , non è certo il modulo dell'accelerazione totale.
Inoltre, ponendo : $y = sqrt(x^3)$ ( quindi $k=3/2$ ) , e scomponendo la velocità vettoriale secondo i due assi, si ha :
$ vecv = (v_x,v_y) = ((dx)/(dt), (dy)/(dt))$
da cui si trova : $ v_y = (dy)/(dx)*(dx)/(dt) = 3/2sqrtx*v_x \rarr v_y/v_x = 3/2sqrtx = (dy)/(dx) $
e questo è ovvio. Volendo, si può poi trovare la relazione che intercorre tra le componenti cartesiane dell'accelerazione; se non ho sbagliato i conti, io trovo :
$veca = (a_x,a_y) $
$a_y = d/(dt) (3/2sqrtx * v_x ) =.......= (3v_x)/(4sqrtx) + sqrtx *a_x $
Prendendo per buona la tua soluzione minimale, mi vengono invece delle componenti cartesiane della velocità e dell'accelerazione diverse da queste....
Nel frattempo, continuo a disegnare grafici con Geogebra :
la curva verde è la funzione data, quella azzurra è la derivata prima ( velocità) , quella in arancione è la derivata seconda. SE si orienta l'asse $y$ verso il basso , io credo che siano somiglianti alle curve ottenute da Palliit , limitate al primo quadrante. Lui ha usato un’altra funzione, ma più o meno siamo lì.
Non c'è alcun problema a tracciare la funzione, la f in verde.
"Falco5x":
Non mi metto di sicuro a controllare la tua equazione differenziale, ti credo sulla parola.
Ho controllato più volte:
$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$
è sicuramente corretta. Ad ogni modo, alla luce della tua osservazione precedente:
"Falco5x":
L'intuizione direbbe che sta fermo, come il corpo che ho messo io in cima alla guida liscia. Ma chi mi autorizza a scartare la seconda soluzione solo perché non mi piace? Io non parteggio per l'una o l'altra soluzione, trovo solo inquietante il fatto che in certi casi la matematica proponga soluzioni che sembrano fisicamente paradossali ma che non so se sono autorizzato a scartare.
sono pienamente d'accordo nell'argomentare considerando l'equazione differenziale più semplice che tu stesso hai proposto:
$ddot s=sqrts$
Io la metterei così. L'unica soluzione:
1. definita in un intorno di un istante in cui le derivate di ogni ordine sono nulle;
2. fisicamente accettabile.
è la soluzione costante. Per questo motivo:
$s=1/144t^4$
non essendo costante e avendo, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle, non è accettabile. Insomma, mi sembra il modo più semplice e indolore per limitare, nel caso in cui non valga il teorema di unicità, le soluzioni del modello matematico alle sole soluzioni fisicamente accettabili. Del resto, si tratta solo di accettare, nel caso in cui le condizioni iniziali impongano un'accelerazione nulla, la soluzione avente, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle.
P.S.
Peccato che:
$s=1/144t^4$
non abbia, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle. Pazienza, lascio il messaggio lo stesso.
"Shackle":
@Falco5x
alla luce delle giuste osservazioni che hai fatto a Palliit, sul fatto che c'è sia una accelerazione tangenziale che centripeta perchè la traiettoria è curva, dovresti modificare anche la figura messa all'inizio del thread, dove hai messo $veca$ tangente alla traiettoria. La seconda figura è quella giusta, non la prima ovviamente.
Inoltre, scrivi nel primo messaggio :
Caro Shackle, fermo restando che hai ragione sulle grandezze vettoriali, ti spiego la mia figura iniziale che è forse non rigorosa nelle notazioni ma ha un suo senso diciamo così... pragmatico.
Il tutto era finalizzato al calcolo mediante l'energia che è il più semplice. Mi spiego.
Come tu ricorderai penso bene, il buon Lagrange propose il suo modello pensando in prima battuta ai sistemi vincolati con vincoli lisci, e non parlò nemmeno di coordinate o vettori ma di gradi di libertà e di derivate parziali.
Ebbene io nel mio piccolo ho fatto qualcosa del genere, e a parte il simbolo di freccia che ho messo accanto alla lettera F (forza) e g (gravità), tutti i simboli hanno solo un significato scalare. Infatti si tratta di un sistema a un solo grado di libertà che può essere benissimo trattato come fosse un moto rettilineo, se si ha l'accortezza di considerare per lo spazio la coordinata s (ascissa curvilinea), come velocità la $\dot{s}$, e come accelerazione la $\ddot{s}$. Visto così semplicemente il sistema, l'unica forza che modifica la velocità, cioè uguale alla accelerazione, è la componente della forza esterna lungo la curva, cioè la forza tangenziale, quella che ho indicato con F.
In tal modo mi sono liberato di ogni considerazione vettoriale, ho calcolato l'energia cinetica uguagliandola alla energia potenziale, che dipende solo da y, e da questa ho derivato la velocità (in modulo). Poi il passaggio da s a x e da y a x è solo esercizio di analisi.
Diverso e più complicato sarebbe stato lavorare coi vettori, perché allora si sarebbe dovuto lavorare in due dimensioni, considerare la reazione normale della guida, l'accelerazione centripeta dovuta alla curvatura ecc. ecc.. Ma agli effetti del risultato sarebbero stati calcoli inutili, perché, come sai, le forze normali non modificano l'energia cinetica del corpo, ma producono solo curvatura della traiettoria, dunque non servono al calcolo di s(t). Poi il fatto che io abbia preferito arrivare a una relazione t(x) anziché t(s) l'ho fatto solo perché mi pareva che questo semplificasse la forma dell'integrale finale, ma questo è un dettaglio.
Dunque in questa ottica non mi sembra il caso di modificare il primo grafico, che ha il solo torto di mostrare in forma vettoriale anziché scalare l'unica forza F che varia il modulo della velocità, oltre che naturalmente la accelerazione g che rappresenta quel -gradiente di potenziale utile al calcolo energetico, e trascurare tutte le altre forze e accelerazioni normali non utili allo scopo del calcolo.
"anonymous_0b37e9":
Io la metterei così. L'unica soluzione:
1. definita in un intorno di un istante in cui le derivate di ogni ordine sono nulle;
2. fisicamente accettabile.
è la soluzione costante. Per questo motivo:
$s=1/144t^4$
non essendo costante e avendo, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle, non è accettabile. Insomma, mi sembra il modo più semplice e indolore per limitare, nel caso in cui non valga il teorema di unicità, le soluzioni del modello matematico alle sole soluzioni fisicamente accettabili. Del resto, si tratta solo di accettare, nel caso in cui le condizioni iniziali impongano un'accelerazione nulla, la soluzione avente, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle.
P.S.
Peccato che:
$s=1/144t^4$
non abbia, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle. Pazienza, lascio il messaggio lo stesso.
Voglio svelati la genesi arcana di questo problema, che ha spinto me ad aprire questo contestato thread proponendo un caso foriero di dubbi analoghi.
Estraggo da un forum di matematici nel quale si discuteva appunto di questo problema, quanto in spoiler:
Insomma non stiamo discutendo di cavolate, come qualcuno ha tentato qui di insinuare riferendosi al caso che ho proposto io, ma di questioni al limite della modellizzazione che la matematica propone ai problemi fisici, e se se ne discute dai tempi di Landau penso che siano cose abbastanza interessanti, ma sulle quali noi qui difficilmente potremmo raggiungere un punto di vista unico e convincente.
"mgrau":
Ma, Falco, fammi capire. Tu sostieni che non puoi costruire in legno la curvo $y = x^(3/2)$, perchè la sua derivata seconda va all'infinito all'origine? E' così?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?
Il fatto che un sistema matematico dia un risultato in aperto contrasto con la fisica, che dovrebbe invece modellizzare in modo coerente, credo che ponga qualche domanda lecita, alla quale ciascuno ha il diritto di cercare risposte.
In questo caso, salvo errori di calcolo che potrebbero far chiudere qui la cosa, sembra che un corpo si muova senza alcuna spinta. E questo fa inorridire tutti, me compreso. Allora si può reagire in tre modi: o si dice che sono tutte cavolate e ci si occupa d'altro, oppure si cerca l'errore, o ancora si tenta una risposta d'altro genere.
Ecco, io sono a questo terzo stadio, ma non sono affatto sicuro di avere ragione nelle ipotesi che sto facendo.
Tutto ciò premesso, cerco di rispondere alla tua osservazione.
Una derivata prima infinita non è affatto un problema perché la derivata prima è una pendenza, dunque dipende dal sistema di coordinate scelto. Cambi le coordinate e la derivata prima in quel punto torna finita, e magari diventa infinita in un altro punto. Dunque è una proprietà che non è intrinseca alla curva ma dipende dal riferimento. La derivata seconda, invece ha attinenza con la curvatura, dunque è una proprietà intrinseca della curva.
Prendiamo adesso la curva nostra in esame.
Essa inizia dal punto zero dove è piatta (derivata prima nulla arrivandoci da destra), però presenta proprio in quel punto una derivata seconda infinita (cioè una curvatura infinita? mah...), ma si distende subito diventando una curva normale appena ci si sposta immediatamente a destra dello zero.
Detta così mi pare difficile da visualizzare e tanto meno da realizzare. Se provo a realizzarla traccio solo una parte di curva che è già "normale", in nessun modo riesco a rappresentarla su quel famigerato punto di zero dove inizia, a qualunque livello di scala io tenti di lavorarci.
Ma la matematica invece riesce a descrivere quello che capita proprio iniziando da quello zero maledetto. Se io metto il corpo mobile in una condizione iniziale per quanto vicina allo zero ma ma diversa da zero, ecco che compare un piccolissima forza e il paradosso cessa di esistere. Ma se io metto una condizione iniziale vicina ma non coincidente con lo zero, sto descrivendo matematicamente proprio la curva che sono capace di disegnare, quindi nessun paradosso, la matematica mi descrive di nuovo bene la realtà sperimentale.
Per tutto questo io sono propenso a dire che il problema posto da me è solo una astrazione matematica, e la soluzione trovata concorda con la fisica solo a partire da ogni punto vicinissimo allo zero, ma non proprio sullo zero. Su quel punto singolare la matematica propone un paradosso, che però è solo matematico, non fisico.
Grazie per le spiegazioni , della serie "sarò breve"...
Tiriamo le somme ?
1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$
ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :
$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $
ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.
2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ...
"
3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.
5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri.
Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.
Tiriamo le somme ?
1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$
ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :
$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $
ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.
2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ...
" 3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.
5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri.
Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.
Non vorrei passare per pedante... (ma lo sono, lo riconosco e ne faccio ammenda), però quando leggo qualcosa che mi stimola, e mi vien da ribattere con cognizione di causa, io ribatto, non ci resisto proprio 
E allora ecco la mia replica qui di seguito.
Ti ricordo che la relazione dell'energia cinetica, in quanto equivalente a lavoro di una forza, deriva da un prodotto scalare:
\[dE=m\mathbf{g}\cdot \mathbf{ds}=mg\cos \alpha ds={{F}_{T}}ds=m{{a}_{T}}ds=mvdv\]
Quindi se prendi la accelerazione totale e fai il prodotto scalare è come se tu prendessi soltanto il modulo della accelerazione tangenziale, no?
Le mie ragioni le ho scritte nella risposta a mgrau, ma non ci voglio tornare sopra, sono solo supposizioni perfettamente contestabili.
A margine ti faccio notare che una derivata seconda infinita denota una curvatura infinita cioè un raggio di curvatura zero, non l'inverso. "perfettamente tracciabile"? Mah...
Su questo sono perfettamente d'accordo, e la mia teoria di non tracciabilità fisica della curva sull'origine spiegherebbe la discrepanza tra matematica e fisica in quel punto. La mia idea conforta, non confuta le leggi di Newton!
Ma qui il paradosso resta, perché dai miei calcoli non emergono molte soluzioni alcune delle quali scartabili, ma ne esce una precisa relazione di x in funzione del tempo (salvo errori di calcolo, ribadisco, che chiuderebbero subito ogni discussione).
Vuoi davvero che io non sparisca? Vista la mia propensione a scassare gli zebedei
con i miei post provocatori, non sarebbe forse meglio che io sparissi per sempre da questo forum?
Ciao!
E allora ecco la mia replica qui di seguito.
"Shackle":
1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$
ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :
$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $
ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.
Ti ricordo che la relazione dell'energia cinetica, in quanto equivalente a lavoro di una forza, deriva da un prodotto scalare:
\[dE=m\mathbf{g}\cdot \mathbf{ds}=mg\cos \alpha ds={{F}_{T}}ds=m{{a}_{T}}ds=mvdv\]
Quindi se prendi la accelerazione totale e fai il prodotto scalare è come se tu prendessi soltanto il modulo della accelerazione tangenziale, no?
"Shackle":
2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ...
Le mie ragioni le ho scritte nella risposta a mgrau, ma non ci voglio tornare sopra, sono solo supposizioni perfettamente contestabili.
A margine ti faccio notare che una derivata seconda infinita denota una curvatura infinita cioè un raggio di curvatura zero, non l'inverso. "perfettamente tracciabile"? Mah...
"Shackle":
3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.
Su questo sono perfettamente d'accordo, e la mia teoria di non tracciabilità fisica della curva sull'origine spiegherebbe la discrepanza tra matematica e fisica in quel punto. La mia idea conforta, non confuta le leggi di Newton!
"Shackle":.
5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri
Ma qui il paradosso resta, perché dai miei calcoli non emergono molte soluzioni alcune delle quali scartabili, ma ne esce una precisa relazione di x in funzione del tempo (salvo errori di calcolo, ribadisco, che chiuderebbero subito ogni discussione).
"Shackle":
Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.
Vuoi davvero che io non sparisca? Vista la mia propensione a scassare gli zebedei
con i miei post provocatori, non sarebbe forse meglio che io sparissi per sempre da questo forum? Ciao!
Hai ragione per quanto riguarda l'accelerazione, basta solo quella tangenziale. Ma per quanto riguarda la curvatura, non mi sembra che tu la dica giusta. Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
come dice il Pagani-Salsa nelle due paginette qui allegate :
Ma io non so se questo vale anche nell' estremo $0$ dell'intervallo di definizione della nostra funzione : $y=sqrt(x^3)$ . Io penso di sí. Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.
Metto altri due link interessanti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
http://www.vialattea.net/curvatura/
Saluti .
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
come dice il Pagani-Salsa nelle due paginette qui allegate :
Ma io non so se questo vale anche nell' estremo $0$ dell'intervallo di definizione della nostra funzione : $y=sqrt(x^3)$ . Io penso di sí. Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.
Metto altri due link interessanti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
http://www.vialattea.net/curvatura/
Saluti .
"Shackle":
Hai ragione per quanto riguarda l'accelerazione, basta solo quella tangenziale. Ma per quanto riguarda la curvatura, non mi sembra che tu la dica giusta. Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
qui hai ragione, ma guarda che ti stai confondendo, sei stato tu a dire una cosa sbagliata che io ho corretto. Cito quello che avevi scritto due post fa:"Shackle":
La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta.
Vedi? avevi detto che la curvatura tende a zero per x che tende a zero. Invece la curvatura tende a infinito così come la derivata seconda!
"Shackle":
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
Ma insomma, se la f" va a infinito, R va a zero no? perché dici il contrario? Davvero non ti capisco.
"Shackle":
Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.
Ma la pendenza della curva, che dà la direzione del vettore velocità, è la derivata prima, se la derivata seconda rappresenta la variazione di pendenza, vuol dire che il vettore velocità cambia di direzione con rapidità infinita, no???
Confesso che davero non mi rendo ragione di queste contraddizioni in ciò che scrivi.
Insomma per finire:
$ (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2)=k=1/(R(x))$
se f''(x) rende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!
Ri-ciao.
Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero
Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.
"Falco5x":
.... ma si distende subito diventando una curva normale appena ci si sposta immediatamente a destra dello zero.
Detta così mi pare difficile da visualizzare e tanto meno da realizzare. Se provo a realizzarla traccio solo una parte di curva che è già "normale", in nessun modo riesco a rappresentarla su quel famigerato punto di zero dove inizia, a qualunque livello di scala io tenti di lavorarci.
Ma, detta così, non significa proprio che è perfettamente realizzabile? "A qualunque livello di scala" ciò che realizzi è indistinguibile dalla curva teorica... quindi anche a scala atomica, immagino... il che vuol dire, secondo me, non che la curva non si può realizzare, ma piuttosto che, fisicamente , non esiste.
E quanto alla soluzione matematica e paradossale: ma proprio non mi vuoi dire da che parte cade? Mi pare che hai glissato un po' troppo su questo punto. Questa cosa, che la soluzione non determina il lato di caduta, a me pare un baco fondamentale; a te no?
"mgrau":
E quanto alla soluzione matematica e paradossale: ma proprio non mi vuoi dire da che parte cade? Mi pare che hai glissato un po' troppo su questo punto. Questa cosa, che la soluzione non determina il lato di caduta, a me pare un baco fondamentale; a te no?
Ma mica sono un guru della geometria analitica io, mica possiedo il verbo per ogni dubbio altrui, quando manco di risposte io stesso perfino per i dubbi miei!
Francamente mi pare un problema minore quello che poni, che però può benissimo venire discusso.
Proviamoci.
Se io scrivo $y=x^k$ con k reale non intero, la funzione è definita nel campo reale solo per x>=0.
Dunque la soluzione in t direbbe che cade a destra, cioè x positivi per t positivi, visto che a sinistra dello zero c'è il muro della non esistenza.
Ma se scriviamo la funzione $y=(-x)^k$, questa è definita solo per x<=0, dunque la soluzione diventa opposta per cui il corpo scende a sinistra.
Una funzione somma di queste due, che si scriverebbe col valore assoluto di x, è ambigua, perché non è possibile risolverla in modo unitario, occorre dire se il corpo messo sulla sommità sta sulla curva 1 o sulla curva 2, e allora case di conseguenza.
Ma, ripeto, è solo una astrazione matematica, in realtà una curva così non è fisica e non esiste.
Più di così non so dirti.
"DikDIkVanDIk":Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero
Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.
Grazie!
Finalmente una considerazione che condivido.
Circonferenza di raggio nullo sarebbe?
Mi sfugge come arrivi a dire che sia un punto sopra una circonferenza (o una curva o qualsiasi altra curva immaginaria)
Mi sfugge come arrivi a dire che sia un punto sopra una circonferenza (o una curva o qualsiasi altra curva immaginaria)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo