Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

[Falco5x]

E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.

(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)

Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito


\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1 & {y}''=k\left( k-1 \right){{x}^{k-2}}\quad \left[ 1 & \text{Supponiamo di avere un corpo di massa unitaria vincolato a scivolare senza attrito lungo la curva}\text{,} \\
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]

[Falco5x]

"Shackle":Rivedendo i calcoli, giustamente dici che, quando 1 La derivata seconda di y rispetto a x è proporzionale (uguale?) alla curvatura, quindi per k =1.5 la curvatura della curva è infinita nell’origine, e il raggio di curvatura è zero. Mi sembra un punto abbastanza singolare. Invece nel caso della parabola, K=2, la curvatura vale 2.

Caro Shackle non mi deludi mai (non che io ne dubitassi!), hai centrato il problema e forse anche la spiegazione che è la stessa che anch'io mi sono dato.
Ma andiamo con ordine.
Per prima cosa l'equazione che hai pubblicato qualche post più sopra è esatta, e coincide con quella che ho scritto io subito prima di dire "Si vuole indagare soltanto l 'andamento per x molto prossima allo zero".
Questa funzione si integra facilmente per k=2, ma io non sono riuscito a integrarla per k=3/2. Forse non ci ho pensato abbastanza o forse non è proprio integrabile in termini finiti, non so. Se tu vuoi provarci e ci riesci ottieni una benemerenza aggiuntiva.
Siccome però io mi contentavo di indagare per x vicina allo zero, ho approssimato con un artificio che mi ha permesso di utilizzare la regola di de l'Hopital e di integrare così molto più semplicemente.
E' qui che ho scoperto la soluzione "strana" nel caso di k=3/2, cioè:
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]
da cui si vede che il corpo parte ugualmente anche se nel punto iniziale non c'è né forza né velocità iniziale.
Risolvendo invece il sistema nel caso k=2 si vede che il corpo rimane indefinitamente fermo (dettagli nel mio post originario) come è giusto aspettarsi che faccia.
Ora anch'io credo che l'apparente paradosso dipenda dalla non realizzabilità fisica nell'intorno dello zero della curva matematica $y=x^(3/2)$. Questa sembra una curva innocua, ma invece non lo è. Infatti, come anche tu noti, ha derivata prima nulla e derivata seconda infinita sul punto x=0. Che significa? Significa, in parole grossolane, che sullo zero è orizzontale, ma appena ci si sposta di uno spostamento infinitesimo la pendenza non cresce anch'essa di un infinitesimo, come accadrebbe in una curva "normale", ma cresce di un valore piccolissimo ma finito. Infatti solo una discontinuità finita nella derivata prima può dare luogo a una derivata seconda infinita. Cosa significa tutto ciò? Io non riesco a figurarmelo molto bene, si tratta forse di una sottigliezza da matematici. Mi limito a osservare due cose: per prima cosa una curva fisica così fatta non sarebbe fattibile; in secondo luogo il modello matematico può anche andare oltre la realtà discostandosi da essa quando il modello fisico non riesce a seguirlo pari pari. Tu che ne pensi? Ciao.

[Falco5x]

"mgrau":Scusate se torno ad argomenti terra terra.
Per k = 3/2 pare che il corpo raggiunga una posizione x diversa da zero in un tempo t diverso da infinito.
Però non si capisce da che lato.
Falco mi ha già risposto che il lato è determinato dalla perturbazione iniziale.
Ma scusa Falco, dove sta la perturbazione iniziale nella tua soluzione? E se non c'è? Lì sembra di capire (salvo miei errori) che si ha un x positivo in un t positivo. E allora, quando scivola a sinistra? Non è un po' strana la soluzione di una equazione di moto che non dice se il corpo si muoverà a destra o a sinistra?
E poi: se accettiamo perturbazioni iniziali, non succede lo stesso anche per k = 2? Se metti una pallina sul vertice di una parabola, anche quella scivolerà da qualche parte. Dove sta la differenza rispetto a k = 3/2

Caro mgrau, tu aggiungi un ulteriore punto di riflessione a una questione già problematica. Benvenuto nel club dei dubbiosi. Mi arrampico un po' sugli specchi e cerco di risponderti.
Nel caso k=2 non ci sono dubbi: senza perturbazione iniziale il corpo sta fermo nel punto zero, con una perturbazione il corpo scende dalla parte dove lo spinge la perturbazione.
Il caso k=3/2 sembra far scendere il corpo senza nessuna spinta iniziale e già questo fisicamente è paradossale. Forse la risposta sta in ciò che ho appena scritto a Shackle o forse no. Fatto sta che una curva come questa fisicamente non esiste. Dal punto di vista matematico ti direi che il corpo potrebbe scendere da una qualsiasi delle due parti con uguale probabilità (o anche di scendere contemporaneamente da entrambe!) ma mi rendo conto che siamo nell'astrazione matematica pura perché qui il modello matematico non corrisponde più a nessun modello fisico. Di più non so dire. Se avessi tutte le risposte su questo strano caso non avrei nemmeno pubblicato questo thread.

[Shackle]

Vi sottopongo intanto alcune riflessioni . La funzione reale di variabile reale :

$y = x^(3/2) = sqrt(x^3)$

è definita solo per $x>=0$ , perchè il radicando di una radice di indice pari deve essere positivo o nullo. LA derivata prima di $y$ rispetto a $x$ vale :

$(dy)/(dx) = 3/2sqrtx$

e anche questa, considerandola come funzione reale di variabile reale, è definita per $x>=0$ . La sua derivata vale:

$y'' = 3/4*1/sqrtx $

e questa funzione è definita per $x>0$ . Non c'è neanche l'uguale, perchè il denominatore deve essere diverso da zero.

Io mi sono un po' scordato queste faccende , relative allo studio di funzioni reali, ma mi chiedo, e chiedo soprattutto a un matematico : è lecito derivare una funzione in un punto estremo del dominio ? Mi pare si debba parlare di derivata destra , in questo caso, ma francamente non me lo ricordo.

Quindi, abbiamo una curva, che parte dall'origine e va solo verso il lato positivo delle $x$...Ora non posso, ma non dovrebbe essere difficile tracciarne il grafico con Geogebra, ci proverò stasera. Certo che come guida fisica forse è impossibile, ha ragione Falco5x.

Per l'integrale, si può provare con Wolfram/Alpha , vedrò anche questo.

[Shackle]

Mewttendo $k =3/2$ , l'integrale diventa (pongo il fattore costante = 1 )

$(dx)/(dt) = (x^(3/4))/(sqrt(1 + 9/4x)) \rarr dx =(x^(3/4))/(sqrt(1 + 9/4x))dt $

questo è l'eq diff da risolvere, quindi si tratta di calcolare l'integrale del 2º membro .

[dRic]

Il problema mi sa è tutto di matematica, come di @Shakle. Non sono sicuro di riuscire a trovare l' "errore" nei calcoli, ma sono abbastanza convinto che la funzione $y = -x^{3/2}$ non abbia nulla di non-fisico, anzi è una legittimissima traiettoria come tutte le altre.

Io farei le seguenti considerazioni: intanto noto che la velocità e l'accelerazione lungo y e x sono ( a meno di una costante ) le derivate totali rispetto al tempo e pertanto sussiste la relazione (ovviamente suppongo che nel 3/2 ci sia dentro una qualche costante unitaria che faccia tornare le unità di misura):

$ \dot y = - \frac 3 2 \sqrt{x} \ dot x $

$ \ddot y = -\frac 3 2 \left[ \frac 1 2 \frac 1 {\sqrt{x}} \dot x ^2 + \sqrt{x} \ddot x \right] $

Dalla prima si vede che se imposto come condizione al contorno che $ \dot x (0) = 0$ (velocità nulla all'origine) allora segue che anche $ \dot y(0) = 0 $. A questo punto, se come ulteriore condizione al contorno, specifico che $ \ddot x(0) = 0 $ allora ne segue che $ \ddot y(0) = 0$ quindi non c'è contraddizione: se sono "in cima" alla curva e non ho "displacement" lungo la direzione $x$ il corpo rimane fermo.

PS: poi ora che @Shakle ha postato l'integrale, ammettendo sia corretto (non per dubitare, ma semplicemente perché non ci so arrivare), mi sembra che torni. Per x = 0, la derivata di x è nulla, in accordo con le condizioni al contorno sopra discusse.

[Shackle]

Però, dRic, ora mi viene qualche dubbio sulle variabili...ho scritto bene? Mi sa di no...
Che brutto dimenticare le cose fondamentali...

[dRic]

@Shakle, scusa non ho capito il tuo dubbio.

[Shackle]

Dove è la variabile tempo nella funzione integranda? Mi sto incartando da solo...

[dRic]

Non ti seguo scusa.

$$\int dx \left[ \frac {x ^ {\frac 3 4}}{ \sqrt{ 1 + \frac 9 4 x}} \right]^{-1}= \int dt$$

e si trova qualcosa del tipo $t = f(x(t))$ che dovrà essere esplicitato in funzione di $t$ (se possibile).

[Shackle]

Ecco, così va bene! Viva i giovani!

[Palliit]

Mi viene spontanea una riflessione: se $dotx(0)=0$ il corpo resta immobile, non c'è verso. Quindi il ragionamento di @Falco5x ( ) acquista un senso solo se si suppone una $dotx(0)=v_0$ , piccola quanto si vuole ma positiva.

Nel qual caso il teorema delle forze vive comporta: $gy=1/2(dotx^2+doty^2)-1/2v_0^2" "$e l'equazione del moto diventa (salvo miei errori, ho fatto un po' di corsa):

$t=int sqrt((1+k^2x^(2k-2))/(v_0^2+2gx^k))dx" "$.

[Falco5x]

"Palliit":Mi viene spontanea una riflessione: se $dotx(0)=0$ il corpo resta immobile, non c'è verso. Quindi il ragionamento di @Falco5x ( ) acquista un senso solo se si suppone una $dotx(0)=v_0$ , piccola quanto si vuole ma positiva.

Nel qual caso il teorema delle forze vive comporta: $gy=1/2(dotx^2+doty^2)-1/2v_0^2" "$e l'equazione del moto diventa (salvo miei errori, ho fatto un po' di corsa):

$t=int sqrt((1+k^2x^(2k-2))/(v_0+2gx^k))dx" "$.

Ciao Palliit!
L'integrale finale per k=3/2 è questo:
\[\sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{0}^{x}{\frac{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}dx}\]
Non considero alcuna $v_0$ apposta, proprio perché risolvendo esce una equazione del tipo
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]
Da qui il paradosso: c'è movimento senza velocità iniziale!
La soluzione però l'ho trovata approssimando nell'intorno dello zero, perché non sono riuscito a integrare la funzione. Se qualcuno ci riuscisse sarebbe buona cosa.

[Falco5x]

Probabilmente il paradosso nasce dalla stranezza di questa funzione $y=x^(3/2)$ per x=0 che fisicamente non può essere realizzata. Ho posto il quesito (cioè se questa funzione potrebbe essere tracciata fisicamente) in un altro forum di matematici... mi aspetto pesci in faccia. Ma io sono un duro e resisterò.

[dRic]

@Falco5x sei sicuro che nel tuo procedimento hai messo correttamente il vincolo che anche l'accelerazione in 0 è nulla ? Perché se imponi solo che la velocità è nulla non basta. Potresti avere, come nel caso di una molla, un punto a velocità nulla ma con accelerazione diversa da zero. Se imponi anche il vincolo di accelerazione nulla (come ho scritto nell'altro post) non mi pare ci siano alternative oltre alla soluzione nulla (ovvero il corpo rimane fermo). Secondo me non c'entra nulla la realizzabilità o meno del tipo di guida che, per me rimane del tutto fattibile da realizzare (basta plottare la funzione e fare un calco...)

[Falco5x]

"dRic":@Falco5x sei sicuro che nel tuo procedimento hai messo correttamente il vincolo che anche l'accelerazione in 0 è nulla ? Perché se imponi solo che la velocità è nulla non basta. Potresti avere, come nel caso di una molla, un punto a velocità nulla ma con accelerazione diversa da zero. Se imponi anche il vincolo di accelerazione nulla (come ho scritto nell'altro post) non mi pare ci siano alternative oltre alla soluzione nulla (ovvero il corpo rimane fermo). Secondo me non c'entra nulla la realizzabilità o meno del tipo di guida che, per me rimane del tutto fattibile da realizzare (basta plottare la funzione e fare un calco...)

Non è così semplice, la funzione non si può rappresentare geometricamente senza snaturarla nei pressi dello zero.
Prova un po' a pensare come sia possibile tracciare una curva che abbia pendenza zero nell'origine (e questo risponde alla prima tua osservazione: pendenza zero comporta accelerazione zero perché la curva è ortogonale alla direzione della gravità), ma appena ci si sposta di un infinitesimo assume una pendenza diversa da zero in modo discontinuo (altrimenti se la derivata prima fosse continua la derivata seconda, o meglio il suo limite destro sarebbe finito e non infinito). Una cosa del genere non è tracciabile, è solo una astrazione matematica!

[mgrau]

"Falco5x":Probabilmente il paradosso nasce dalla stranezza di questa funzione $y=x^(3/2)$ per x=0 che fisicamente non può essere realizzata.

Concordo con @dRic. Che vuol dire "non può essere realizzata"? In un certo senso, nessuna forma geometrica può essere realizzata, nemmeno una retta.... Nel migliore dei casi, ci si scontra con la granularità atomica.
Invece, in pratica, non c'è nessun problema a realizzare $x^(3/2)$, almeno nello stesso modo in cui si può realizzare $x^2$, cioè realizzando la guida in modo che approssimi numericamente la funzione con la massima precisione ottenibile.
Devo dire che, fisicamente, non vedo proprio nessuna particolarità in questa curva. Va bene che, come dice @Shackle, la derivata seconda diverge nell'origine, ma come si può notare questo succede anche per tutte le funzioni del tipo $x^((2n-1)/n)$, che ovviamente approssimano bene quanto si vuole la funzione $x^2$. Ora, che, in questa famiglia di curve, ci sia una discontinuità di comportamento proprio per la parabola, mi sembrerebbe veramente troppo strano.
E poi, @Falco, lascerei proprio perdere le derive quantistiche, come quando dici che la pallina scende contemporaneamente da entrambe le parti...

[Falco5x]

Mi spiace ragazzi, ma non sono d'accordo con chi dice che la curva sia tracciabile.
Da un punto di vista macroscopico la curva è sicuramente tracciabile, ma le singolarità nei pressi dello zero non sono rappresentabili, e sono proprio quelle che producono lo strano fenomeno matematico, che fisicamente non può accadere, del movimento senza causa.
Come può fisicamente muoversi un corpo senza velocità iniziale e senza forza iniziale? Non può. Eppure integrando il moto su questa curva ciò appare matematicamente possibile. Dunque c'è qualcosa che non va, e secondo me sta nella geometria non realizzabile di questa curva sul punto singolare di zero.

Oppure trovatemi voi un'altra spiegazione alla funzione tempo-spazio t(x) che esce integrando l'equazione del moto. Se mi date un'altra spiegazione plausibile sono dispostissimo a cambiare la mia idea.

[Shackle]

Ho provato a calcolare l'integrale indefinito, per k= 3/2, di cui al secondo membro qui di seguito :

L'integrale finale per k=3/2 è questo:

\[ \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{0}^{x}{\frac{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}dx} \]

con Wolfram Alpha, ecco che cosa si ottiene :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 83%2F4%29+

buona notte ! io non ci capisco, leggo di funzioni ipergeometriche ....

Falco5x , perchè ci hai fatto questo?

[Falco5x]

"Shackle":
Falco5x , perchè ci hai fatto questo?

Perché vi voglio bene e vi voglio mettere al corrente delle cose interessanti che scopro

Se ti fidi della mia soluzione "minimal" che è questa
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]

spiega tu come mai esce questo moto senza causa.
A me non vogliono credere quando invoco la singolarità della curva sull'origine come causa di ciò.

[Shackle]

"Falco5x":....
Se ti fidi della mia soluzione "minimal" che è questa
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]

spiega tu come mai esce questo moto senza causa
A me non vogliono credere quando invoco la singolarità della curva sull'origine come causa di ciò.

Stavo appunto cercando di capire come fai a trovare la soluzione "minimal" sopra riportata ( hai detto all'inizio con il teorema dell' Hopital) , visto che la "big one" per dt è quella cosa simpatica che dà Wolfram...La più carina di tutte , in verità , e anche la piu semplice, è quella con lo sviluppo in serie ...

Eppure la tua minimal deve potersi ricavare dalla big one con opportune semplificazioni..

Nel frattempo, Ho disegnato con Geogebra la funzione : $y=sqrt(x^3)$

questo è il grafico :

poi ho allargato il grafico, come consente geogebra, dettagliando l'origine :

nella seconda figura, il lato del primo quadrato misura $0.0001$ , il quadratino è $1/5$ di questo valore.

Però, la figura mi porta a dire che quello che ho detto qui è sbagliato , perchè mi sembra proprio l'opposto : la curvatura è nulla, il raggio di curvatura è infinito , nell'origine. Ma non vedo proprio niente di particolare nell’origine. Si potrebbe anche sviluppare la $y=sqrt(x^3)$ in serie (è lecito?), e derivare termine a termine, per trovare y’ e y”, oppure si possono rappresentare graficamente le funzioni derivate già trovate.
Falco, sei sicuro della tua soluzione minimale? Quale sarebbe la corrispondente funzione $y=f(x)$, che vorrei riportare sul grafico per paragonarla a quella già detta?