Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)
E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
Risposte
Ma scusa dici non soggetto a forze esterne, e poi dici che e' in un campo gravitazionale.... il resto non l'ho letto.
Diceva Galileo: alcune persone girano le parole per fare confusione
Diceva Galileo: alcune persone girano le parole per fare confusione
Ribadisco, dove sarebbe la forza nulla ? Sul corpo c'è una forza netta abbastanza ovvia...
"Gabrio":
Ma scusa dici non soggetto a forze esterne, e poi dici che e' in un campo gravitazionale.... il resto non l'ho letto.
Diceva Galileo: alcune persone girano le parole per fare confusione
Bisognerebbe che tu interpretassi i calcoli per giudicare. Ma non serve che tu legga molto, basta che ti fermi alla seconda riga del calcolo, dove si dice che all'inizio della curva la derivata di y rispetto a x è zero. Ciò significa che all'inizio della curva questa ha tangente orizzontale, mentre il campo gravitazionale è ortogonale alla guida, dunque nessuna forza agisce sul corpo perché la forza peso, che è diretta nel verso y, è equilibrata dalla reazione d'appoggio ortogonale alla guida. Mentre nel verso longitudinale x non c'è alcuna forza che muova il corpo.
Oppure se questo discorso è troppo lungo e ti annoia, puoi limitarti a guardare la figura e intuire così che all'inizio della curva la forza peso è perpendicolare alla curva stessa, dunque non dovrebbe muovere il corpo.
Ovviamente la risposta vale anche per dRic
Ah, e poi non serve scomodare Galileo per accorgersi che molti giocano con le parole, basta ascoltare qualche politico in TV.
No guarda, non e' il caso di scomodare guide vincolanti.
In un sistema inerziale un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete.. visto che era fermo.
Il resto e' confusione
Qui se si muove e' soggetto a forze.
Se non sei d'accordo con questo, inutile continuare
In un sistema inerziale un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete.. visto che era fermo.
Il resto e' confusione
Qui se si muove e' soggetto a forze.
Se non sei d'accordo con questo, inutile continuare
Non mi pronuncio sui calcoli che sono troppo complicati per me.
Quando il corpo si trova in x = 0 si tratta evidentemente di una posizione di equilibrio instabile, questo sia per k = 2, o 3/2 o per altri valori.
Mi viene però una domanda: se la guida fosse simmetrica rispetto all'asse y, come si fa a determinare se scende a destra o a sinistra?
Quando il corpo si trova in x = 0 si tratta evidentemente di una posizione di equilibrio instabile, questo sia per k = 2, o 3/2 o per altri valori.
Mi viene però una domanda: se la guida fosse simmetrica rispetto all'asse y, come si fa a determinare se scende a destra o a sinistra?
"Gabrio":
No guarda, non e' il caso di scomodare guide vincolanti.
In un sistema inerziale un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete.. visto che era fermo.
Il resto e' confusione
Qui se si muove e' soggetto a forze.
Se non sei d'accordo con questo, inutile continuare
Ascolta Gabrio, se non capisci il problema e quello che scrivo, lascia perdere.
E' vero che da molto tempo non partecipo a questo forum, ma se guardi bene noterai che sono advanced member; e se ci sono arrivato, secondo te, è perché ho scritto 2300 messaggi di cavolate? No di sicuro. Ho contribuito alla crescita di molti con le mie spiegazioni in questo forum, ho chiarito dubbi di studenti per anni. Poi mi sono stufato anche a causa dell'arroganza che ho notato crescere sempre più negli anni da parte di nuovi membri. E adesso scrivo solo per segnalare cose che trovo particolarmente strane e interessanti, sperando che mi risponda chi ha davvero intenzione di capire e di aprire un dibattito costruttivo.
Ho inserito questo post proprio per la stranezza di ciò che capita in un caso particolare, mica mi scomodo per postare un caso banale sai? Ma se non riesci a cogliere la singolarità di questo caso lascia libero il campo a chi la coglie. Grazie e buona serata.
"mgrau":
Non mi pronuncio sui calcoli che sono troppo complicati per me.
Quando il corpo si trova in x = 0 si tratta evidentemente di una posizione di equilibrio instabile, questo sia per k = 2, o 3/2 o per altri valori.
Mi viene però una domanda: se la guida fosse simmetrica rispetto all'asse y, come si fa a determinare se scende a destra o a sinistra?
Certo x=0 è un punto di equilibrio instabile, dunque basterebbe che il corpo venisse spostato anche di pochissimo dalla posizione di equilibrio per iniziare a muoversi. Ma qui io parlo di teoria, e in teoria un corpo situato con precisione matematica in un punto di equilibrio, anche se instabile, vi rimane fermo indefinitamente. Se la guida fosse simmetrica da che parte il corpo inizierebbe a scendere? tu chiedi. Dalla parte verso la quale venisse spostato di un infinitesimo, ti rispondo. Nessuno dei due versi è privilegiato a priori, dipende dalla condizione iniziale di velocità o di posizione.
TI giuro non capisco le equazioni del moto che hai scritto, però mi sembra ovvio che se hai un corpo in un punto di equilibrio instabile e lo sposti di un infinitesimo allora il corpo si mette in moto... Non colgo proprio il tuo dubbio e il senso di tutti calcoli.
PS: in particolare quel modo di scrivere l'accelerazione come derivata dell'energia... l'accelerazione è una quantità vettoriale, mentre l'energia una scalare... La cosa non mi convince. Detto questo sono propenso ad affermare che tu abbia fatto qualche operazione "illecita", anche se non ti saprei dire cosa perché non capisco cosa hai fatto (infatti già alla seconda riga mi sono perso)
PS: in particolare quel modo di scrivere l'accelerazione come derivata dell'energia... l'accelerazione è una quantità vettoriale, mentre l'energia una scalare... La cosa non mi convince. Detto questo sono propenso ad affermare che tu abbia fatto qualche operazione "illecita", anche se non ti saprei dire cosa perché non capisco cosa hai fatto (infatti già alla seconda riga mi sono perso)
A essere del tutto sincero, preciso che io non credo affatto che un corpo fisico possa muoversi in assenza di forze. Il caso che ho postato, secondo me, sembra farlo perché a volte certe curve matematiche non hanno una corrispondenza fisica reale, dunque in certi casi matematica e fisica divergono. Ma questo è un argomento spinoso nel quale non ho certezze, lo propongo proprio perché spero di dialogarne con chi fosse disponibile al confronto.
"dRic":
TI giuro non capisco le equazioni del moto che hai scritto, però mi sembra ovvio che se hai un corpo in un punto di equilibrio instabile e lo sposti di un infinitesimo allora il corpo si mette in moto... Non colgo proprio il tuo dubbio e il senso di tutti calcoli.
PS: in particolare quel modo di scrivere l'accelerazione come derivata dell'energia... l'accelerazione è una quantità vettoriale, mentre l'energia una scalare... La cosa non mi convince. Detto questo sono propenso ad affermare che tu abbia fatto qualche operazione "illecita", anche se non ti saprei dire cosa perché non capisco cosa hai fatto (infatti già alla seconda riga mi sono perso)
Ho saltato formalismi rigorosi per brevità. Quando dico accelerazione intendo il modulo della accelerazione tangenziale, perché per calcolare la legge oraria del moto di un corpo che si muove lungo una guida, ciò che conta è l'accelerazione nel verso tangente alla guida, che è la derivata del modulo della velocità.
$E_k=1/2mv^2$
$(dE)/(dt)=mv(dv)/(dt)=mva$
Bentornato Falco5x !
Per quanto riguarda l'aspetto matematico, mi sembra che da questa equazione :
$2gx^k = (1+k^2*x^(2(k-1))) dotx^2$
si dovrebbe ricavare, estraendo la radice quadrata :
$sqrt(2g)x^(k/2) = sqrt(1+k^2(x^(2(k-1)))) *dotx$
da cui si dovrebbe ricavare, per la velocità :
$(dx)/(dt) = sqrt(2g) (x^(k/2))/sqrt(1+k^2(x^(2(k-1))))$
o mi sbaglio ? Il tuo procedimento non mi è molto chiaro.
Per l'aspetto fisico, beh, se all’istante t=0 si ha $x=0$ e $dotx=0$, la situazione rimane questa , qualunque sia $t$, se non agisce una forza esterna. In generale, le forze sono funzioni delle variabili dette: $F=F(x,dotx, t)$ . La pallina non si muove da sola.
Per quanto riguarda l'aspetto matematico, mi sembra che da questa equazione :
$2gx^k = (1+k^2*x^(2(k-1))) dotx^2$
si dovrebbe ricavare, estraendo la radice quadrata :
$sqrt(2g)x^(k/2) = sqrt(1+k^2(x^(2(k-1)))) *dotx$
da cui si dovrebbe ricavare, per la velocità :
$(dx)/(dt) = sqrt(2g) (x^(k/2))/sqrt(1+k^2(x^(2(k-1))))$
o mi sbaglio ? Il tuo procedimento non mi è molto chiaro.
Per l'aspetto fisico, beh, se all’istante t=0 si ha $x=0$ e $dotx=0$, la situazione rimane questa , qualunque sia $t$, se non agisce una forza esterna. In generale, le forze sono funzioni delle variabili dette: $F=F(x,dotx, t)$ . La pallina non si muove da sola.
@Falco5x scusa ma qui mi trovi in disaccordo. Quello che affermi è vero solo per un moto circolare, altrimenti devi tener conto sì della accelerazione radiale e non solo di quella tangenziale... pensa semplicemente a una "guida" ellittica. Ergo non condivido la tua impostazione del problema.
No guarda, il moto e' un caso fisico, si usa la matematica per descriverlo in modo preciso.
Le contraddizioni le hai nella testa tu.
a=0, vuol dire che in tutte le direzioni le componenti di a sono nulle.
Quindi, matematicamente, e' un moto rettilineo.
Sulla curva non ci va proprio, perche' ha velocita' nulla.
Tu dici che si trova nell'origine, e li ci resta.
Cosa fai dopo onestamente non mi interessa.
Ma poi E=0, dipende da y e questa vale zero.
La velocita' pure, dipende da x e y e sono zero entrambe.
dx manco esiste, x non varia proprio
E pure la forza F vale zero.
Il disegno poi e' pura fantasia, non e' fisica.
Le contraddizioni le hai nella testa tu.
a=0, vuol dire che in tutte le direzioni le componenti di a sono nulle.
Quindi, matematicamente, e' un moto rettilineo.
Sulla curva non ci va proprio, perche' ha velocita' nulla.
Tu dici che si trova nell'origine, e li ci resta.
Cosa fai dopo onestamente non mi interessa.
Ma poi E=0, dipende da y e questa vale zero.
La velocita' pure, dipende da x e y e sono zero entrambe.
dx manco esiste, x non varia proprio
E pure la forza F vale zero.
Il disegno poi e' pura fantasia, non e' fisica.
"Gabrio":
Le contraddizioni le hai nella testa tu.
Non ti permettere, sai?
Io non ho nessuna confusione in testa, e in questo forum ho abbastanza autorevolezza, per cui sono certo che ben pochi tra quelli che mi conoscono davvero prendano alla leggera quello che scrivo. Se vuoi continuare a discutere seriamente ok, altrimenti ci salutiamo.
Io ho comunque una pazienza infinita, per cui ti risponderò ugualmente (forse per l'ultima volta se non cambi tono).
La curva è una guida liscia, il corpo è vincolato a scorrere su di essa.
Dunque il moto è come se fosse a 1 dimensione.
Nel punto zero c'è forza zero. E infatti se la curva ha esponente k=2 il corpo da lì non si muove e non c'è alcuna contraddizione.
La contraddizione sorge nel caso di esponente k=3/2, dove le equazioni portano a vedere che il corpo inizia a muoversi comunque.
Ma è forse una contraddizione finta, ed è questo il punto che mi ha portato a pubblicare il caso.
"dRic":
@Falco5x scusa ma qui mi trovi in disaccordo. Quello che affermi è vero solo per un moto circolare, altrimenti devi tener conto sì della accelerazione radiale e non solo di quella tangenziale... pensa semplicemente a una "guida" ellittica. Ergo non condivido la tua impostazione del problema.
Quando un corpo è vincolato a una guida liscia, il moto può essere considerato unidimensionale sulla ascissa curvilinea s, e la grandezza che varia la velocità (ovvero il suo modulo) è soltanto l'accelerazione tangenziale, qualunque sia la forma della guida. In questo caso sia la velocità che la accelerazione possono essere considerate grandezze scalari. Per determinare la accelerazione occorre valutare la componente della forza (in questo caso la gravità) lungo la tangente alla curva in ogni punto. Oppure ragionare in termini di energia, come ho fatto io il calcolo, che semplifica le cose. I due metodi sono equivalenti.
[xdom="Palliit"]@Gabrio: vedi di smorzare immediatamente i toni, se ti sei (re)iscritto solo per provocare puoi prendere subito la porta. E nel frattempo accerteremo l'eventualità di corrispondenza con utenze già bannate.[/xdom]
"Shackle":
Bentornato Falco5x !
Grazie, carissimo.
Sono tornato ma solo temporaneamente perché, come capirai, mi è venuta subito una gran voglia di andarmene...
Adesso non ho tempo, ma appena possibile considero quello che hai scritto e sarà per me un vero piacere discuterne con te.
A presto!
Un caro saluto anche a Palliit, che spero voglia contribuire a discutere sull'argomento, se ne avrà tempo e voglia.
Se un punto materiale si muove su una guida liscia, nel campo $vecg $ costante, senza altre forze applicate, la reazione della guida è normale alla stessa in ogni punto, e dev’essere:
$vecR +mvecg= mveca $
che si può proiettare sulla tangente e sulla normale alla guida in ogni punto. Se la guida è un piano inclinato liscio, è facile trovare la soluzione con le leggi della dinamica Newtoniana. Ma se la guida ha forma qualsiasi, in genere si può ricorrere solo al principio di conservazione dell’energia. Nei libri si trova spesso l’esempio dello sciatore.
Ma d’altronde, la forma della guida può anche influire sul moto: sappiamo bene che se si tratta di un quarto di circonferenza il corpo lo abbandona quando l’angolo diventa circa 48 gradi, e continua a cadere come un proiettile.
Ma qui il punto è il comportamento nei dintorni dell’origine...
$vecR +mvecg= mveca $
che si può proiettare sulla tangente e sulla normale alla guida in ogni punto. Se la guida è un piano inclinato liscio, è facile trovare la soluzione con le leggi della dinamica Newtoniana. Ma se la guida ha forma qualsiasi, in genere si può ricorrere solo al principio di conservazione dell’energia. Nei libri si trova spesso l’esempio dello sciatore.
Ma d’altronde, la forma della guida può anche influire sul moto: sappiamo bene che se si tratta di un quarto di circonferenza il corpo lo abbandona quando l’angolo diventa circa 48 gradi, e continua a cadere come un proiettile.
Ma qui il punto è il comportamento nei dintorni dell’origine...
Rivedendo i calcoli, giustamente dici che, quando 1
Scusate se torno ad argomenti terra terra.
Per k = 3/2 pare che il corpo raggiunga una posizione x diversa da zero in un tempo t diverso da infinito.
Però non si capisce da che lato.
Falco mi ha già risposto che il lato è determinato dalla perturbazione iniziale.
Ma scusa Falco, dove sta la perturbazione iniziale nella tua soluzione? E se non c'è? Lì sembra di capire (salvo miei errori) che si ha un x positivo in un t positivo. E allora, quando scivola a sinistra? Non è un po' strana la soluzione di una equazione di moto che non dice se il corpo si muoverà a destra o a sinistra?
E poi: se accettiamo perturbazioni iniziali, non succede lo stesso anche per k = 2? Se metti una pallina sul vertice di una parabola, anche quella scivolerà da qualche parte. Dove sta la differenza rispetto a k = 3/2
Per k = 3/2 pare che il corpo raggiunga una posizione x diversa da zero in un tempo t diverso da infinito.
Però non si capisce da che lato.
Falco mi ha già risposto che il lato è determinato dalla perturbazione iniziale.
Ma scusa Falco, dove sta la perturbazione iniziale nella tua soluzione? E se non c'è? Lì sembra di capire (salvo miei errori) che si ha un x positivo in un t positivo. E allora, quando scivola a sinistra? Non è un po' strana la soluzione di una equazione di moto che non dice se il corpo si muoverà a destra o a sinistra?
E poi: se accettiamo perturbazioni iniziali, non succede lo stesso anche per k = 2? Se metti una pallina sul vertice di una parabola, anche quella scivolerà da qualche parte. Dove sta la differenza rispetto a k = 3/2
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