Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)
E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.
(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)
Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
Risposte
"Falco5x":
Mi spiace ragazzi, ma non sono d'accordo con chi dice che la curva sia tracciabile.
Non voglio sembrare arrogante, ma secondo questa mi sa un po' di presa di posizione... Allora anche costruire un cerchio è impossibile perché lungo l'asse x avrei due punti a derivata infinita (tangente perpendicolare) oppure non sarei nemmeno in grado di costruire un triangolo perché la derivata di $y = |x|$ non esiste proprio in 0. Non ha senso secondo me.
Comunque, lasciamo da parte questo discorso. Credo di aver "scovato" l'errore nel tuo procedimento.
L'errore è che tu cerchi di risolvere le equazioni del moto con condizioni iniziali nulle andando a cercare le soluzioni e ipotizzando che esse abbiano la forma $y = x^k$, ma in realtà $y = x^k$ sono soluzioni delle equazioni del moto per diverse condizioni al contorno, ovvero condizioni non nulle. Mi spiego meglio.
$y = x^k$ è già una soluzioni delle equazioni di Newton. E' una soluzione implicita perché assume che, una volta calcolate $y = y(t)$ e $x = x(t)$ tu le abbia combinate eliminando la dipendenza dal tempo (un po' come quando risolvi il moto di un proiettile). Ma per risolvere un set di equazioni differenziali in $x(t)$ e $y(t)$ hai bisogno di condizioni al contorno! Quindi nel momento che tu sfrutti la relazione $y = x^k$ e la vai a sostituire dentro le eq di Newton (come hai fatto) stai implicitamente dicendo che le condizioni al contorno non sono più quelle che vuoi tu, ma sono quelle necessarie ad avere come soluzione $y = x^k$. Questo "false" condizioni al contorno prevedono appunto che l'accelerazione in zero diverga... cosa fisicamente non accettabile.
Infatti se ci pensi, l'esempio che hai proposto, nella sua stravaganza è coerentissimo: l'accelerazione in zero diverge ed infatti per mettere in moto un corpo fermo senza applicare forze avresti bisogno di una accelerazione infinita.
In conclusione, il sistema
$$ m \frac {d^2 x}{dt^2} = F_x$$
$$ m \frac {d^2 y}{dt^2} = F_x$$
$$ \text { Condizioni iniziali: } x(0) = 0, y(0) = 0, \mathbf v(0) = 0, \mathbf a(0) = 0$$
$$ \text{ vincolo: } y = x^3/2 $$
ha come soluzione unica quella nulla ovvero x = y = 0. Se invece metti delle altre condizioni al contorno avrai come soluzione alle equazioni del moto una $x(t)$ e una $y(t)$ tale che $y = x^{3/2}$, tuttavia le condizione al contorno dovranno essere diverse! (Lo dice il teorema di unicità della soluzione... i matematici lo sapranno sicuramente meglio di me)
Allego un esempio che penso ti possa chiarire le idee circa la mia spiegazione
Non ho mai scritto così tanto in questo forum, ma sono cosciente che il ragionamento è un po' arzigogolato. Spero di chiarire una volta per tutti i tuoi dubbi, altrimenti me ne tiro fuori perché non so più dove andare a parare. Nel caso non ti abbia convinto spero qualcun altro possa aiutarti a fare luce sul problema. Ciao
"dRic":
Non voglio sembrare arrogante, ma secondo questa mi sa un po' di presa di posizione...
Ma no dai! mi spiace che tu la pensi così, non è nel mio stile prendere posizioni preconcette! Se mi dimostrano che le ragioni sono altre sono ben contento di convincermene. Dicevo che la curva non è tracciabile perché qualunque livello di scala si assuma, la forma apparente è sempre la stessa, quella che ha disegnato anche Shackle, e non rende assolutamente conto di questa singolarità sulla derivata seconda all'origine, perché a vederla assomiglia sempre alla curva $y=x^2$, molto più innocua che non ha quella singolarità.
Ma andiamo oltre.
Io adesso non ho il tempo di ragionare bene su tutto il tuo discorso, ci penserò quando ne avrò la possibilità.
Così a prima vista i tuoi discorsi mi lasciano un po' perplesso, perché se la mia soluzione è sbagliata allora invito te a risolvere il seguente problema in modo giusto:
Problema.
Determinare la legge oraria, t(x) oppure x(t), di un corpo situato alla sommità di una guida liscia, e vincolato a non distaccarsene, avente la forma $y=x^(3/2)$, inizialmente fermo e soggetto a un campo gravitazionale verticale g.
Ecco, io credo di averlo risolto.
Tu dici che legando x(t) con y(t) faccio una forzatura delle condizioni iniziali velocità e accelerazione... ma è la forma della guida che impone queste condizioni, fa parte dei dati del problema! le condizioni iniziali in funzione del tempo sono libere, sono quelle che impongo io, a prescindere dalla forma della traiettoria!
Comunque facciamo un piano di lavoro, se sei disponibile.
Io ragiono meglio sulle tue osservazioni e tu risolvi il problema che ho scritto nel modo in cui pensi sia giusto risolverlo. Il mio procedimento sta nel primo post, e io penso che sia giusto, tanto che anche Palliit e Shackle giungono allo stesso mio integrale finale, ma tu segui pure una strada tua e vediamo cosa ti viene fuori.
Falco5x, per chiarezza: io mi sono servito della tua soluzione, non ho affrontato il problema ex novo alla tua maniera. Per quanto concerne il moto del grave sulla guida liscia che proponi, ritorno sempre a quello che ho detto tempo fa :
$mveca =vecR +mvecg$
e si può andare avanti solo col principio di conservazione dell’energia essendo il vincolo liscio.
$mveca =vecR +mvecg$
e si può andare avanti solo col principio di conservazione dell’energia essendo il vincolo liscio.
"Falco5x":
ma è la forma della guida che impone queste condizioni
Si ma il vincolo $y = x^k$ è rispettato se prendo $x=0$ e $y=0$. In particolare il caso $x=0$ e $y=0$ è l'unica soluzione che rispetta io vincolo E che contemporaneamente rispetta le condizioni iniziali di velocità, posizione e accelerazione nulla.
Il problema che tu provini di risolvere io lo risolvo così
Dico a priori che la soluzione è quella nulla e vado a controllare che le eq di Newton siano soddisfatte. Dunque per x(t) = y(t) = 0
- Le eq differenziali del moto hanno soluzione ? Sì! 0 è la soluzione banale.
- le condizioni al contorno su v(0), a(0), x(0) e y(0) Sono soddisfatte ? Certo!
- il vincolo della guida "y=x^k" e' soddisfatto? Si!
Allora l'unicità della soluzione mi dice che quella è l'unica soluzione al problema.
PS: tu ti stai complicando la vita chiedendomi di risolvere le equazioni differenziali per condizioni al contorno generiche, ottenendo x(t) e y(t) in funzione di parametri. Poi applicando le condizioni al contorno calcolare questi parametri. Il tutto soggetto al vincolo "y=x^k". Ma e' na roba impossibile! Non ci provo neanche a risolverlo!
PSS: Il tuo metodo (se è corretto, su questo non mi esprimo ancora) va benissimo per un punto qualsiasi in cui hai io corpo in un punto qualsiasi con $a(t=0) != 0$. Purtroppo è inconsistente con il caso a cui lo vuoi applicare
Ragazzi, il mio suggerimento è di spostare la discussione in un stanza di analisi, perchè, , perdonate l'arroganza, questo non è un problema di fisica.
Anche il titolo potrebbe essere cambiato, e diventare qualcosa come "Dove sta l'errore?".
In fisica, la soluzione è ovvia, ossia il corpo sta fermo. La considerazione di base, che a quanto vedo nessuno ha ritenuto di prendere in considerazione, è che non c'è motivo che cada da una parte piuttosto che dall'altra (il vecchio, ma sempre buono, principio di ragion sufficiente).
Ne segue che qualunque soluzione per cui il corpo cade è sbagliata.
La situazione me ne richiama altre, di cui presento tre esempi.
1) la trattazione classica del corpo nero: la previsione della catastrofe ultravioletta mostra che la soluzione è sbagliata.
2) gli specialisti del gioco del lotto, che a volte ti riempiono la testa di calcoli complicatissimi per dimostrare il loro sistema infallibile
3) gli scopritori del moto perpetuo
Nei tre casi il problema, per chi avesse voglia di occuparsene, sta solo nel trovare l'errore: interessante certo nel primo caso, ma molto meno negli altri due.
Vogliamo pensare che questo paradosso apra uno spiraglio su un nuovo capitolo nella fisica? Personalmente, per quel che vale, non lo credo.
Anche il titolo potrebbe essere cambiato, e diventare qualcosa come "Dove sta l'errore?".
In fisica, la soluzione è ovvia, ossia il corpo sta fermo. La considerazione di base, che a quanto vedo nessuno ha ritenuto di prendere in considerazione, è che non c'è motivo che cada da una parte piuttosto che dall'altra (il vecchio, ma sempre buono, principio di ragion sufficiente).
Ne segue che qualunque soluzione per cui il corpo cade è sbagliata.
La situazione me ne richiama altre, di cui presento tre esempi.
1) la trattazione classica del corpo nero: la previsione della catastrofe ultravioletta mostra che la soluzione è sbagliata.
2) gli specialisti del gioco del lotto, che a volte ti riempiono la testa di calcoli complicatissimi per dimostrare il loro sistema infallibile
3) gli scopritori del moto perpetuo
Nei tre casi il problema, per chi avesse voglia di occuparsene, sta solo nel trovare l'errore: interessante certo nel primo caso, ma molto meno negli altri due.
Vogliamo pensare che questo paradosso apra uno spiraglio su un nuovo capitolo nella fisica? Personalmente, per quel che vale, non lo credo.
Rimango dell'opinione che in modo subliminale ho fatto passare nel mio precedente post: l'errore, a mio avviso, sta nel trattare un problema che ha certe condizioni iniziali ben precise (vale a dire: $x(0)=0$ ) approssimando qualcosa in modo lecito per piccoli valori di $x$. Questo a mio avviso rende credibile il seguito soltanto se si è disposti ad accettare con una certa elasticità le condizioni iniziali: la particella inizia la sua avventura non esattamente in $0$ ma in un punto estremamente vicino a $0$. Questo, tuttavia, data l'instabilità della particella esattamente nell'origine, cambia radicalmente le cose.
Per curiosità ho provato ad analizzare il problema in altro modo, considerando che la componente orizzontale $ddotx$ dell'accelerazione è fornita dalla reazione normale della superficie. Salvo miei errori, si perviene all'equazione non lineare del second'ordine:
per la quale non vedo molte alternative al fatto di cercare soluzioni numeriche/grafiche. In particolare, nel caso $k=3/2$ dovrebbe ottenersi:
se qualcuno/a ha familiarità con programmi in grado di risolverla lo/la prego di provarci e farmi/ci sapere, io ho provato con quell'odioso Wolfram che non mi permette di scegliere le c.i., ma magari è un dispetto che fa soltanto a me perché sa che lo odio.
Quanto alle supposte (nel senso di participio passato) patologie della curva nell'origine, basta considerare l'estensione $f(x)=|x|^(3/2)$, che riproduce la curva (verde) in modo simmetrico nel semipiano di ascisse negative. In effetti nell'origine è piuttosto appuntita, diciamo che è meglio non sedercisi sopra, tuttavia l'andamento della derivata prima (blu/viola) è ben definito, con un simpatico flesso verticale nell'origine che giustifica una derivata seconda (rossa) tendente a $-oo$ per $x to 0$ :
ma in ogni caso non mi sembra così strampalata.
Se credete che sia il caso di spostare la discussione in Analisi, come suggerisce @mgrau, non ho alcun problema a farlo, ditemi voi.
EDIT: come viene chiarito alcuni interventi più avanti, l'equazione differenziale che propongo in questo post come risolutiva del problema è errata perchè nasce da considerazioni inesatte.
Inoltre, il grafico pubblicato va inteso con l'asse delle ordinate orientato verso il basso, a dispetto dei valori numerici indicati.
Per curiosità ho provato ad analizzare il problema in altro modo, considerando che la componente orizzontale $ddotx$ dell'accelerazione è fornita dalla reazione normale della superficie. Salvo miei errori, si perviene all'equazione non lineare del second'ordine:
$ddotx=g*(kx^(k-1))/(1+k^2*x^(2k-2))" "$,
per la quale non vedo molte alternative al fatto di cercare soluzioni numeriche/grafiche. In particolare, nel caso $k=3/2$ dovrebbe ottenersi:
$ddotx=6g*sqrt(x)/(4+9x)" "$;
se qualcuno/a ha familiarità con programmi in grado di risolverla lo/la prego di provarci e farmi/ci sapere, io ho provato con quell'odioso Wolfram che non mi permette di scegliere le c.i., ma magari è un dispetto che fa soltanto a me perché sa che lo odio.
Quanto alle supposte (nel senso di participio passato) patologie della curva nell'origine, basta considerare l'estensione $f(x)=|x|^(3/2)$, che riproduce la curva (verde) in modo simmetrico nel semipiano di ascisse negative. In effetti nell'origine è piuttosto appuntita, diciamo che è meglio non sedercisi sopra, tuttavia l'andamento della derivata prima (blu/viola) è ben definito, con un simpatico flesso verticale nell'origine che giustifica una derivata seconda (rossa) tendente a $-oo$ per $x to 0$ :
ma in ogni caso non mi sembra così strampalata.
Se credete che sia il caso di spostare la discussione in Analisi, come suggerisce @mgrau, non ho alcun problema a farlo, ditemi voi.
EDIT: come viene chiarito alcuni interventi più avanti, l'equazione differenziale che propongo in questo post come risolutiva del problema è errata perchè nasce da considerazioni inesatte.
Inoltre, il grafico pubblicato va inteso con l'asse delle ordinate orientato verso il basso, a dispetto dei valori numerici indicati.
"dRic":
Dico a priori che la soluzione è quella nulla e vado a controllare che le eq di Newton siano soddisfatte. Dunque per x(t) = y(t) = 0
- Le eq differenziali del moto hanno soluzione ? Sì! 0 è la soluzione banale.
- le condizioni al contorno su v(0), a(0), x(0) e y(0) Sono soddisfatte ? Certo!
- il vincolo della guida "y=x^k" e' soddisfatto? Si!
Allora l'unicità della soluzione mi dice che quella è l'unica soluzione al problema.
PS: tu ti stai complicando la vita chiedendomi di risolvere le equazioni differenziali per condizioni al contorno generiche, ottenendo x(t) e y(t) in funzione di parametri. Poi applicando le condizioni al contorno calcolare questi parametri. Il tutto soggetto al vincolo "y=x^k". Ma e' na roba impossibile! Non ci provo neanche a risolverlo!
Approfitterò di queste tue osservazioni per cercare di spiegarti meglio che posso quale sia il punto.
In un caso "normale", cioè con una guida y(x) avente un andamento continuo fino alla derivata seconda, quello che dici tu sarebbe confortato anche dal metodo che ho proposto io, perché i due metodi porterebbero alle stesse conclusioni. Non ci piove.
E per essere precisi, tu dici che non essendoci né velocità né accelerazione nel punto iniziale il corpo DEVE restare fermo. E lo direi anch'io in quel caso. Allora, come verifica, io potrei però risolvere l'equazione differenziale del moto generale lungo quella traiettoria, mettendoci anche un punto di partenza generico e una velocità iniziale generica, se preferisci, e poi portando a zero queste condizioni iniziali scoprirei che il corpo resta fermo sulla sommità. Ebbene, capisco che ho infarcito di calcoli repulsivi il mio post iniziale, ma chi avesse la pazienza di guardarci dentro scoprirebbe che accade proprio così nel caso della curva $y=x^2$, che è continua in tutte le sue derivate.
Se fosse successo questo anche per la curva $y=x^(3/2)$ io non mi sarei nemmeno scomodato a pubblicare quel post, non ho certo bisogno di conforti per fare calcoli del genere.
Ho visto invece che nonostante la logica dica che in teoria la soluzione banale dovrebbe essere quella coerente con le condizioni iniziali, la soluzione calcolata nel tempo invece non contempla quella soluzione banale. Come mai?
Ti faccio notare che la soluzione trovata da Palliit qualche pagina addietro è interessante perché ipotizza questo caso con una differenza rispetto a me: prevede una $v_0$ generica. In quel caso converrai anche tu che il corpo non resta fermo ma comincia a scendere lungo la curva. Eppure facendo il limite per questa velocità iniziale tendente a zero, la funzione integranda di Pallit coincide con quella di Sheckle e con la mia: e salvo miei errori di integrazione, la soluzione banale non rientra tra quelle previste.
Ora io chiedo: come mai la soluzione calcolata in quest'ultimo modo collide con la logica che vorrebbe fermo il corpo sul punto (0,0) per ogni t?
Il punto è proprio questo: non c'è coerenza tra il metodo analitico che calcola x(t) per t qualsiasi e le considerazioni newtoniane inerenti le condizioni iniziali che vorrebbero il corpo fermo indefinitamente.
E' questo il motivo per cui ho pubblicato il post.
Poi io posso avere idee mie e non condivise da tutti sulle cause di ciò, ma questo è secondario.
Fatto sta che c'è qualcosa che non va, e dire che un risultato è giusto e l'altro è sbagliato quando i due metodi dovrebbero portare alle stesse conclusioni, ma invece ciò non accade, è quanto meno azzardato.
"Palliit":
Rimango dell'opinione che in modo subliminale ho fatto passare nel mio precedente post: l'errore, a mio avviso, sta nel trattare un problema che ha certe condizioni iniziali ben precise (vale a dire: $x(0)=0$ ) approssimando qualcosa in modo lecito per piccoli valori di $x$. Questo a mio avviso rende credibile il seguito soltanto se si è disposti ad accettare con una certa elasticità le condizioni iniziali: la particella inizia la sua avventura non esattamente in $0$ ma in un punto estremamente vicino a $0$. Questo, tuttavia, data l'instabilità della particella esattamente nell'origine, cambia radicalmente le cose.
Ottimo Palliit
, interessante considerazione che condivido in pieno.Questo tutto sommato mi sembra conforti l'ipotesi che accada tutto ciò perché la curva ha una singolarità nei pressi dell'origine che la rende "non fisica", ma solo matematica. Hai espresso forse con parole più convincenti delle mie questo concetto. La stranezza sparisce se si prendono curve con esponente k>=2, perché in quel caso si ha continuità fino almeno alla derivata seconda.
Riguardo all'idea di portare il problema ai matematici... non avrei molta fiducia perché loro non sono sensibili alla intuizione fisica e guardano solo l'aspetto matematico.
Per risolvere l'equazione che proponi ci sono tool automatici, come ad esempio quello che aveva usato Sheckle per integrare, e che dava un risultato intrattabile in modo elementare. Siccome il tuo secondo metodo dovrebbe essere equivalente al calcolo energetico, dubito che ci sia una soluzione elementare.
Come ho detto, io ho risolto semplificando l'analisi limitandomi all'immediato intorno dell'origine col metodo "ospedaliero". Tu che ne pensi della mia soluzione?
"Falco5x":
Prova un po' a pensare come sia possibile tracciare una curva che abbia pendenza zero nell'origine (e questo risponde alla prima tua osservazione: pendenza zero comporta accelerazione zero perché la curva è ortogonale alla direzione della gravità), ma appena ci si sposta di un infinitesimo assume una pendenza diversa da zero in modo discontinuo (altrimenti se la derivata prima fosse continua la derivata seconda, o meglio il suo limite destro sarebbe finito e non infinito). Una cosa del genere non è tracciabile, è solo una astrazione matematica!
Non è vero che, se la derivata prima di una funzione è "infinita" in un punto, allora la funzione debba necessariamente essere discontinua in quel punto. Insomma, affinché la derivata prima di una funzione sia "infinita" in un punto, è sufficiente che, in quel punto, il denominatore del rapporto incrementale sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto al numeratore. Solo per fare un esempio, $y=sqrt(x)$.
"Falco5x":
Allora, come verifica, io potrei però risolvere l'equazione differenziale del moto generale lungo quella traiettoria, mettendoci anche un punto di partenza generico e una velocità iniziale generica, se preferisci, e poi portando a zero queste condizioni iniziali scoprirei che il corpo resta fermo sulla sommità
Wrong. Se risolvi l'equazione del moto per un generico punto e poi fai il limite ti porti dietro le condizioni al contorno del generico punto. È ovvio che se risolvi le equazioni del moto per un punto diverso dalla sommità l'accelerazione iniziale è diversa da zero e quindi quando vai a fare il limite ti porti dietro questa inconsistenza. Quindi come approccio è scorretto. Matematicamente mi ricorda il caso di una successione di funzioni non assolutamente convergente e quindi non è possibile passare al limite, ma questo è solo un collegamento random, il mio punto l'ho già espresso più volte. Poi continuo a ribadire che affermare che la curva è intracciabile mi sembra una po' una assurdità e concordo con quello che hanno detto mgrau e Sergent.
Sono altre le funzioni "non tracciabili". Solo per fare un esempio, in un intorno dell'origine, $y=sin(1/x)$.
"dRic":
[quote="Falco5x"]
Allora, come verifica, io potrei però risolvere l'equazione differenziale del moto generale lungo quella traiettoria, mettendoci anche un punto di partenza generico e una velocità iniziale generica, se preferisci, e poi portando a zero queste condizioni iniziali scoprirei che il corpo resta fermo sulla sommità
Wrong. Se risolvi l'equazione del moto per un generico punto e poi fai il limite ti porti dietro le condizioni al contorno del generico punto. [/quote]
Continuiamo a non capirci.
Se la soluzione generale che è una funzione t(x) contiene condizioni iniziali generiche, cioè x0 e v0, questi sono parametri per la soluzione generale, non variabili. La variabile resta sempre x. Dunque io porto a zero questi parametri, quindi la soluzione t(x) assume queste nuove condizioni iniziali.
Guarda la soluzione di Palliit che conteneva il parametro v0. Era una funzione in x. Ora se io porto a 0 quella v0 assumo questa v0=0 come nuova condizione iniziale. E la funzione di Palliit diventa uguale alla mia.
Ribadisco che la soluzione allora deve contenere x0, v0 e anche a0. a0 non lo vedo da nessuna parte quindi non mi convince.
"Falco5x":
Tu che ne pensi della mia soluzione?
Ferme restando le critiche che ti ho esposto, trovo certi passaggi iniziali ingegnosi. Diciamo che arrivati a questo punto:
$sqrt(2g)dt=sqrt(1+k^2*x^(2k-2))/x^(k/2)dx$
io proverei (almeno per vedere se va meglio per trattare il caso che trovi critico, $k=3/2$) a taylorizzare invece di ospedalizzare: approssimazione per approssimazione, almeno non resta quella antiestetica radice che impedisce un'integrazione esatta come invece permette di fare uno sviluppo più consueto:
$sqrt(2g)dt approx x^(-k/2)*(1+1/2k^2*x^(2k-2))dx=(x^(-k/2)+1/2k^2x^(3/2k-2))dx$ ,
se ti fermi al prim'ordine; il secondo membro potrebbe in effetti dare problemi (potenze non positive, nella fattispecie) nel momento in cui si decidesse di integrarlo tra gli estremi $0$ ed $x$, a meno che ci si limiti a valori di $k$ compresi tra $2/3$ e $2$ :
$sqrt(2g)*t=2/(2-k)x^(1-k/2)+k^2/(3k-2)x^(3/2k-1)" "$,
che nel caso $k=3/2$ ti dà un'equazione piuttosto gestibile: $sqrt(2g)*t=4x^(1/4)+9/5x^(5/4)$. Se provi a graficarla arriverai di nuovo alla conclusione (illusoria, perché nasce dalle approssimazioni usate per arrivare a quel risultato) che il corpo è partito dall'origine con velocità nulla.
Sulla difficoltà di accettare come realizzabile la curva $y=x^(3/2)$ sono totalmente d'accordo con chi non è d'accordo con te
.
L'equazione differenziale che governa l'ascissa curvilinea, $s=0$ nell'origine, è:
Poiché il secondo membro è una funzione continua in un intorno dell'origine, nessun problema ad integrare due volte. Ovviamente:
Insomma, se, per $t=0$, il corpo è in quiete nell'origine, rimane in quiete.
$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$
Poiché il secondo membro è una funzione continua in un intorno dell'origine, nessun problema ad integrare due volte. Ovviamente:
$s=0 rarr ddot s=0$
Insomma, se, per $t=0$, il corpo è in quiete nell'origine, rimane in quiete.
"Palliit":
Sulla difficoltà di accettare come realizzabile la curva $y=x^(3/2)$ sono totalmente d'accordo con chi non è d'accordo con te
A me piace lavorare il legno, sono un discreto artigiano.
Prima di tagliare un profilo lo disegno al PC, lo incollo sulla tavola e poi lo taglio.
Se io volessi tagliare uno scivolo con quella forma $y=x(3/2)$ per fare sul serio l'esperimento, non ci riuscirei, perché a qualsiasi valore di scala per quanto piccolo io disegnassi la curva, mi verrebbe sempre una simil-parabola bella liscia anche sull'origine, tale che un corpo reale messo là in cima resterebbe bello fermo in equilibrio (anche se instabile) senza muoversi non essendo soggetto a forze. In nessun modo potrei tagliare uno scivolo che rispettasse quella bastarda condizione iniziale sulla derivata seconda. Questo voglio dire. Voglio dire che quella curva nel punto iniziale è una astrazione solo matematica, per questo la soluzione matematica porta a risultati paradossali.
Ma la pianto qua, non insisto e mi tengo i miei dubbi.
Il problema vero adesso è capire se quella soluzione che prevede il movimento matematico del corpo che parte da fermo sia o meno un paradosso o sia frutto di un errore di calcolo.
Ah a proposito, disaccordo per disaccordo...
Non mi pare che sia giusta quella relazione che tu hai scritto:
\[\ddot{x}=6g\frac{\sqrt{x}}{4+9x}\]
Facendo qualche passaggio scopro che è come se tu dicessi che la accelerazione lungo l'asse x è uguale alla accelerazione tangenziale alla curva (causata dalla gravità) proiettata sull'asse x.
Ma a me pare invece che tu abbia trascurato la accelerazione normale alla curva che pure esiste perché rende conto appunto della traiettoria curva. Non ci sarebbe solo se lo scivolo fosse rettilineo. Anche questa accelerazione normale ha una componente x che va sommata algebricamente alla precedente... o sbaglio?
Questo sistema delle forze è un ginepraio assurdo, io preferisco cento volte il metodo energetico (e con me credo fosse d'accordo anche Lagrange...
). Ciao 
@Falco5x: in realtà l'ho ottenuta prendendo la forza normale alla superficie, considerata opposta alla componente normale del peso, e proiettandola lungo l'asse $x$. Può ovviamente darsi che abbia fatto qualche casino con gli angoli...
"anonymous_0b37e9":
L'equazione differenziale che governa l'ascissa curvilinea, $s=0$ nell'origine, è:
$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$
Poiché il secondo membro è una funzione continua in un intorno dell'origine, nessun problema ad integrare due volte. Ovviamente:
$s=0 rarr ddot s=0$
Insomma, se, per $t=0$, il corpo è in quiete nell'origine, rimane in quiete.
Benvenuto sergente.
Non mi metto di sicuro a controllare la tua equazione differenziale, ti credo sulla parola.
La conclusione però mi lascia qualche perplessità perché mi fa venire in mente un caso simile che per fortuna è facilmente integrabile.
Prendi la equazione seguente:
\[\ddot{s}=\sqrt{s}\]
A vederla si direbbe che la funzione identicamente nulla soddisfi tale equazione differenziale.
Ma non è l'unica soluzione.
Un'altra soluzione di quella equazione è la seguente:
\[s=\frac{1}{144}{{t}^{4}}\]
Provare per credere.
Allora: se questa equazione differenziale rappresenta ad esempio un campo di forza che cresce con la radice quadrata dell'ascissa, un corpo messo all'origine sta fermo o si muove secondo la relazione che ho scritto?
L'intuizione direbbe che sta fermo, come il corpo che ho messo io in cima alla guida liscia. Ma chi mi autorizza a scartare la seconda soluzione solo perché non mi piace? Io non parteggio per l'una o l'altra soluzione, trovo solo inquietante il fatto che in certi casi la matematica proponga soluzioni che sembrano fisicamente paradossali ma che non so se sono autorizzato a scartare.
"Palliit":
@Falco5x: in realtà l'ho ottenuta prendendo la forza normale alla superficie, considerata opposta alla componente normale del peso, e proiettandola lungo l'asse $x$. Può ovviamente darsi che abbia fatto qualche casino con gli angoli...
Se guardo la traiettoria del corpo esiste sia la accelerazione normale che quella tangenziale, e entrambe vanno proiettate sull'asse x mi sembra, ma è un po' complicato. Meglio ragionare sulla velocità $\dot{s}$ al quadrato e sulla energia potenziale, ne sono convinto.
@Falco5x: delle due forze agenti sulla particella, peso e reazione normale, soltanto quest'ultima ha componente significativa rispetto all'asse $x$, e l'equazione che ho scritto è rispetto alla sola componente $ddotx$ dell'accelerazione.
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