Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

[Falco5x]

E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.

(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)

Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito


\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1 & {y}''=k\left( k-1 \right){{x}^{k-2}}\quad \left[ 1 & \text{Supponiamo di avere un corpo di massa unitaria vincolato a scivolare senza attrito lungo la curva}\text{,} \\
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]

[mgrau]

"Falco5x":
Se io scrivo $y=x^k$ con k reale non intero, la funzione è definita nel campo reale solo per x>=0.
Dunque la soluzione in t direbbe che cade a destra, cioè x positivi per t positivi, visto che a sinistra dello zero c'è il muro della non esistenza.
Ma se scriviamo la funzione $y=(-x)^k$, questa è definita solo per x<=0, dunque la soluzione diventa opposta per cui il corpo scende a sinistra.

Ma scusa: vuole essere un problema di fisica, o no? Siamo nella stanza di fisica? Mi pare... Allora stiamo parlando di una guida reale, e di una palla reale che cade lungo la guida; ora, che una guida reale non possa esistere anche dall'altra parte, mi pare francamente troppo.
Ma forse, per me, è ora di ritirarmi dalla discussione...

[DikDIkVanDIk]

Circonferenza di raggio nullo sarebbe?

E io che ne so?

Mi sfugge come arrivi a dire che sia un punto sopra una circonferenza (o una curva o qualsiasi altra curva immaginaria)

Allora ti sfuggono le basilari conoscenze di analisi. Il raggio di curvatura si chiama così non a caso, ma perché è il raggio della circonferenza che approssima localmente la curva. Se ho una guida a forma di parabola $y=-ax^2$, con $a>0$, mettere un punto materiale nell'apice è localmente equivalente a metterlo sopra una circonferenza di raggio $a$, e si sa che un punto materiale su una circonferenza, se inizialmente fermo, rimane fermo.
Nel caso della curva y=x^3/2 risulta un raggio di curvatura nullo....il significato fisico di ciò? non lo so e non penso ce l'abbia, è questo il punto di tutta questa discussione, ma pare che nessuno lo abbia ancora capito.

[Shackle]

"DikDIkVanDIk":

Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero

Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.

Penso che stiate scherzando, signori, e parlo al plurale perchè Falco ha condiviso e ringraziato. Devo ripetere il mio punto di vista, per l'ultima volta? Lo ripeto, e se dite che prima ho fatto confusione faccio ammenda, ma non mi sembra proprio.
LA curva di equazione $y = sqrt(x^3)$ è definita per $x>=0$ , quindi anche nell'origine. Nell'origine è praticamente piatta, ha curvatura praticamente nulla e raggio di curvatura praticamente infinito.
Io l'ho disegnata con Geogebra, e vi prego di andare a guardarla. Ho disegnato anche la curva "derivata prima" e la curva "derivata seconda", sono sullo stesso grafico.
Però , Falco , la derivata seconda NON È tutta la curvatura !!! C'è un denominatore di cui bisogna tener conto. Prendiamo un esempio banale , la parabola di equazione cartesiana :

$y=x^2$

la derivata prima vale : $ y' = 2x $ , per ogni $x$ . La derivata seconda vale : $y'' = 2 $

quindi, se la derivata seconda rappresentasse tutta la curvatura, dovrei dire che la parabola ha curvatura costante, indipendentemente dal punto in cui si considera ! Cassate siciliane, ovviamente! C'è il denominatore, nell'espressione di $k=1/R$ , che mette le cose a posto, e vi prego di verificare da soli l'andamento della curvature della parabola al crescere di $x$. E cosí per tutte le curve.

se f''(x) tende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!

No, Falco, non sono d'accordo. Prova a calcolare la curvatura della curva di equazione : $y = sqrtx^3$, con la formula che abbiamo detto. Una cosa devo aggiungere, ed è questa : non so se le formule per le derivate che stiamo usando valgono anche all'estremo $0$ del dominio. Non vorrei ( anzi, vorrei! ) che un matematico mi smentisse, dicendo che non posso estendere delle formule valide in punti regolari a punti che regolari non sono, o per lo meno non mi sembrano. E allora si dovrebbe fare un passaggio al limite , per $x\rarr0$ , della formula della curvatura.

Ma che la curva cambi drasticamente la sua pendenza in un intorno infinitesimo dello zero (quanto infinitesimo? Dove avviene il cambiamento, e perché? ) , e il raggio di curvatura tenda a zero, e un punto materiale messo lí slitta sulla curva e si muove, come ha affermato il nuovo arrivato...be'... per me è totalmente assurdo. Un punto materiale messo sulla curva in $O$ non si muove da solo.

Io non scriverò più nulla in questo 3D , perche non farei altro che ripetermi. Saluti a tutti, sul serio.

[axpgn]

Solo due incisi: disegnare una curva, che sia con GeoGebra o con qualsiasi altro sw, di per sé non è sempre sufficiente a dimostrare qualcosa; provate a disegnare $x$ e $x^2/x$, graficamente saranno sempre la stessa cosa, è impossibile disegnarle differenti eppure lo sono, una ha il buco, l'altra no.
E lo stesso accade se ci cerca di "costruirle" fisicamente, la curva $x$ si può costruire, la curva $x^2/x$ no.

Cordialmente, Alex

[DikDIkVanDIk]

Nell'origine è praticamente piatta, ha curvatura praticamente nulla e raggio di curvatura praticamente infinito.

Ma che stai dicendo? E' il contrario! Ha curvatura infinita ma raggio nullo! E lo dice la formula stessa che tu hai postato. Se avesse raggio infinito non ci sarebbe nessun problema perché implicherebbe derivata seconda nulla nell'origine.

[DikDIkVanDIk]

E per me una curva che ha raggio di curvatura piccolissimo in un punto ( al limite "nullo") è tutt'altro che localmente piatta.

[Gabrio2]

Si ma che questi non sappiano che una circonferenza degenere sia un punto isolato e che continuino a dire che i cavalli volano.... be mi pare poco serio
Buon divertimento bye
E poi non drammatizziamo si possono costruire entrambe, e dove non definite le prolunghi per continuita'

[DikDIkVanDIk]

Lo so benissimo che una circonferenza degenera in un punto o in una retta, e meglio di te. L'analisi è una cosa e la realtà un'altra. La curva y=x^3/2 non mi pone nessun problema dal punto di vista analitico, è quella lì e basta, e a questo ci arrivi pure tu. Il problema sorge quando si considera un problema di dinamica su una curva come questa...tu che sei cosi bravo riesci a spiegare perché un punto materiale posto sulla sommità della curva si muova anche in assenza di forze? Mi sai spiegare nella realtà come costruire una curva che ha raggio di curvatura nullo in un punto?

Buon divertimento bye

ecco ritirati

[Falco5x]

"Shackle":

se f''(x) tende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!

No, Falco, non sono d'accordo. Prova a calcolare la curvatura della curva di equazione : $y = sqrtx^3$, con la formula che abbiamo detto. Una cosa devo aggiungere, ed è questa : non so se le formule per le derivate che stiamo usando valgono anche all'estremo $0$ del dominio. Non vorrei ( anzi, vorrei! ) che un matematico mi smentisse, dicendo che non posso estendere delle formule valide in punti regolari a punti che regolari non sono, o per lo meno non mi sembrano. E allora si dovrebbe fare un passaggio al limite , per $x\rarr0$ , della formula della curvatura.

Ma che la curva cambi drasticamente la sua pendenza in un intorno infinitesimo dello zero (quanto infinitesimo? Dove avviene il cambiamento, e perché? ) , e il raggio di curvatura tenda a zero, e un punto materiale messo lí slitta sulla curva e si muove, come ha affermato il nuovo arrivato...be'... per me è totalmente assurdo. Un punto materiale messo sulla curva in $O$ non si muove da solo.

Io non scriverò più nulla in questo 3D , perche non farei altro che ripetermi. Saluti a tutti, sul serio.

Shackle non capisco che genere di disaccordo ci sia tra noi, io ho solo applicato la formula della curvatura che tu stesso hai scritto:
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
Da questa si vede che se facendo il limite per x che tende a zero la derivata seconda tende a infinito e contemporaneamente la derivata prima tende a zero, la curvatura tende a infinito e il raggio di curvatura tende a zero, tutti qui. Non ho mai identificato la derivata seconda con la curvatura, sarebbe sbagliato farlo, come hai ben esemplificato tu per il caso della parabola.
Poi ogni tentativo di guardare al microscopio il punto zero di questa parabola fallisce perché dovremmo avere un microscopio infinitamente potente, e ogni elucubrazione cade di fronte al fatto che si tratta di una stranezza matematica che con la fisica non ha niente a che fare. Che poi il corpo si muova da solo è assurdo dirlo riferendosi a una curva non fisica, si muove solo nell'ambito matematico e basta, Newton è ancora e sempre il mio riferimento per la fisica, quindi, ripeto, non capisco in cosa possano discordare i nostri pareri se non per dettagli opinabili.
Se ho poi ringraziato DikDIkVanDIk è per aver dato una interpretazione alla matematica, non alla fisica, e per aver confermato l'opinione mia che questa curva nel punto zero è una curva non fisicamente plausibile.
E se non c'è molto altro da dire su questi argomenti, mi ritiro anch'io, altrimenti mi ripeterei.
Buona serata a tutti.

[Falco5x]

Prima di ritirarmi, termino dicendo che ho interpellato un matematico esperto in altro forum, lui mi ha suggerito di utilizzare nei calcoli iniziali non la regola di De l'Hopital ma la formula di Taylor.
Ho rifatto e corretto il calcolo del primo post in tal senso.
Nelle nuove soluzioni variano solo alcuni fattori numerici rispetto alle precedenti, ma la tipologia delle formule non cambia e tutto quanto detto in questo thread rimane inalterato.
Ecco, adesso posso ritirarmi davvero.

[Shackle]

@Falco5x,

Dunque....siccome non mi piace lasciare storie in sospeso, e siccome ci tengo alla mia faccia in questo forum, ho eseguito il calcolo diretto della curvatura, con la famosa formula, e sembra che abbia ragione tu ... . Però ora mi secca scrivere formule, e allora scannerizzo il foglio scritto a mano.
Ad un certo punto, ho sfruttato l'idea che per $x\rarr0$ si può scrivere in prima approssimazione :

$1/((1+x)^b) \approx (1-bx) +...$

Alla fine , viene fuori che : $1/(R(x)) = 3/(4sqrtx) -(81)/(32)sqrtx$ . Ho disegnato con Geogebra questa curva, il disegno è dopo il calcolo. LA curva tende a $+infty$ , pertanto il raggio di curvatura deve tendere a zero . C'è un punto in cui la curva taglia l'asse x , di ascissa : $0.2963$ .

Ricordate che ho orientato l'asse y verso l'alto ; vorrei capire che cosa significa che la curvatura è negativa, poi nulla, poi positiva, in questa strana curva...

Ecco i fogli, con il dettaglio dell'incrocio con l'asse x :

Al nuovo arrivato DikvanDik dico due paroline: in questo forum, dove bazzico da anni, non ci si rivolge a un altro utente, dopo appena tre messaggi scritti, con le parole : "Ma che stai dicendo? ". Non sono parole educate. Posso dirle ad un troll, o ad un amico che conosco da anni, ma non ad uno che non conosco.
Vale per il futuro.

[Falco5x]

"Shackle":in questo forum, dove bazzico da anni, non ci si rivolge a un altro utente, dopo appena tre messaggi scritti, con le parole : "Ma che stai dicendo? ". Non sono parole educate. Posso dirle ad un troll, o ad un amico che conosco da anni, ma non ad uno che non conosco.
Vale per il futuro.

Caro Shackle, noi ci conosciamo da anni, ce ne siamo dette di tutti i colori ma sempre mantenendo quella base di rispetto che sapevamo di doverci reciprocamente, e anche di fiducia sulle reciproche competenze, perché sappiamo sempre che se uno di noi dice qualche cavolata lo fa non per ignoranza ma perché si è incaponito su un punto a causa di un momentaneo abbaglio, e allora l'altro può anche insistere nella certezza che prima o poi si schioderà da lì e tornerà pienamente lucido. Succede a tutti, è successo a me, a te e ad altri più esperti di noi in questo forum. Però anche se ci conosciamo e ci stimiamo non ci siamo mai permessi di dirci cose come "ma che caxxo dici!" o peggio, anche se avremmo potuto, vista la nostra stima e amicizia.
Diverso è interloquire con chi non si conosce, in quel caso la massima cautela sarebbe d'obbligo. Invece anche in questo breve assaggio di thread non sono mancate le posizioni arroganti e maleducate, inutile far nomi, il libro nero è sempre più nutrito. L'arroganza, la rissa, il tentativo di ridicolizzare l'interlocutore sono purtroppo caratteristiche di questi tempi, ne troviamo esempi ovunque e giornalmente. Pazienza, vorrà dire che almeno noi anziani cercheremo di mantenere un contegno, al massimo passeremo da vecchi brontoloni ma da rincoglioniti o incivili mai. Un caro saluto.

[Shackle]

Grazie, Falco.
Come ben ricordi , c'è stato di peggio, chissà perchè succede in questa sezione più che in altre! Ci vuole sempre tanta pazienza; qui ogni tanto vanno e vengono anche dei cloni, e cloni dei cloni, che clonano se stessi...e persone che parlano a vanvera, per le quali la fisica sembra un optional, una occasione per fare solo confusione...

Noi manteniamo sempre le nostre posizioni. Alla prossima!

[Gabrio2]

Peggio di cosi'....
Abbiamo una massa in in punto preciso dello spazio x=(0,0).
Ora non ci fossero forze, dinamica, starebbe li fermo nel suo sistema inerziale.
Questo nel vuoto.
Poi lui ci mette una curva, e vabbe' chi se ne frega. Sempre fermo rimane
Non solo, ci fa pure limiti e derivate, in un punto isolato, singolo, che nel suo intorno non ha che se stesso
Dimmi dove hai visto peggio