Esercizi sui Vettori
Esercizio 1
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Risposte
Esercizio 2
L’origine di un sistema di coordinate è in un angolo di una stanza rettangolare, e gli assi coordinati giacciono sui tre spigoli che escono da quell’angolo. Una zanzara parte dall’origine e si muove soltanto lungo gli spigoli raggiungendo l’angolo di coordinate $ (4.2m, 3.8m, 2.6m) $.
a) Qual è il percorso di lunghezza minima?
b) Qual è il modulo dello spostamento corrispondente a questo percorso?
c) Qual è la risposta alla domanda (b) se la zanzara vola direttamente dall’origine all’angolo opposto?
d) Qual è la risposta alla domanda (a) se la zanzara cammina lungo le pareti?
Suggerimento: si immagini che le pareti della stanza formino una scatola che può essere sviluppata in modo che le facce giacciono nello stesso piano.
Ho il seguente punto di arrivo:
Risoluzione punto a
In questo caso stiamo esaminando un vettore posizione r e quindi si ha r=xi+yj+zk, che localizza il punto di arrivo della zanzara, i versori in grassetto hanno segno positivo. Se si muove lungo gli spigoli, si sposta in tutte e tre le coordinate, potrebbe seguire in primis i lati alla base della stanza, aventi coordinate x e y e poi arrivare al punto posto in z, percorrendo lo spigolo in altezza.Il percorso possibile più corto è quello che non segue gli spigoli, ma che segue una diagonale, dal punto di origini al punto di arrivo.
Cosa posso fare per determinare il percorso minimo
Secondo me, la risposta corretta è in questa:
r$=sqrt(r^2 x + r^2y + r^2z)$
r$=sqrt((4.2 m)^2 + (3.2m)^2 + (2.6m)^2)$
r$=5.8 m$
Quindi il punto a) e b) e c) sono soddisfatti dalla stessa risposta
Cosa ne dite
Per il punto d)
P.S. Sto cercando di correggere i miei errori nelle simbologie, quindi non stentate a dirmi se sto facendo errori
L’origine di un sistema di coordinate è in un angolo di una stanza rettangolare, e gli assi coordinati giacciono sui tre spigoli che escono da quell’angolo. Una zanzara parte dall’origine e si muove soltanto lungo gli spigoli raggiungendo l’angolo di coordinate $ (4.2m, 3.8m, 2.6m) $.
a) Qual è il percorso di lunghezza minima?
b) Qual è il modulo dello spostamento corrispondente a questo percorso?
c) Qual è la risposta alla domanda (b) se la zanzara vola direttamente dall’origine all’angolo opposto?
d) Qual è la risposta alla domanda (a) se la zanzara cammina lungo le pareti?
Suggerimento: si immagini che le pareti della stanza formino una scatola che può essere sviluppata in modo che le facce giacciono nello stesso piano.
Ho il seguente punto di arrivo:
Risoluzione punto a
In questo caso stiamo esaminando un vettore posizione r e quindi si ha r=xi+yj+zk, che localizza il punto di arrivo della zanzara, i versori in grassetto hanno segno positivo. Se si muove lungo gli spigoli, si sposta in tutte e tre le coordinate, potrebbe seguire in primis i lati alla base della stanza, aventi coordinate x e y e poi arrivare al punto posto in z, percorrendo lo spigolo in altezza.Il percorso possibile più corto è quello che non segue gli spigoli, ma che segue una diagonale, dal punto di origini al punto di arrivo.
Cosa posso fare per determinare il percorso minimo
Secondo me, la risposta corretta è in questa:
r$=sqrt(r^2 x + r^2y + r^2z)$
r$=sqrt((4.2 m)^2 + (3.2m)^2 + (2.6m)^2)$
r$=5.8 m$
Quindi il punto a) e b) e c) sono soddisfatti dalla stessa risposta
Cosa ne dite
Per il punto d)
P.S. Sto cercando di correggere i miei errori nelle simbologie, quindi non stentate a dirmi se sto facendo errori
"Bad90":
......
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Tutto bene, salvo qualche improprietà di linguaggio su cui si può sorvolare.
Ma nell'ultima formuletta che hai scritto, l'unità di misura $m$ che hai messo sotto radice deve essere $m^2$.
Per chiarezza ,va scritto:F$=sqrt(5.0m^2) => 2.2 m$.
Altrimenti, metti $m$ fuori radice e scrivi : F$=sqrt(5.0) m => 2.2 m$
E così nei casi seguenti. I calcoli non li ho verificati.
Perfetto, grazie mille 
Nel testo è scritto che la zanzara si muove soltanto lungo gli spigoli.
Questo mi suggerisce che la risposta al quesito a) sia semplicemente la somma delle lunghezze dei tre spigoli! La zanzara, nel quesito a) , non vola direttamente da un angolo a quello opposto, nè percorre diagonali sui rettangoli che rappresentano le pareti, compreso pavimento e soffitto. Perciò, se non c'è dubbio al riguardo, devi solo sommare le lunghezze dei tre spigoli.
LE risposte ai quesiti b) e c) coincidono, ok.
Per il quesito d), la faccenda è un po' più complicata. Devi immaginare di tagliare il parallelepipedo lungo certi spigoli, sviluppandolo su un piano, ed esaminare i possibili percorsi da un angolo a quello opposto, tracciando sulla superficie sviluppata dei segmenti rettilinei.
Ma non è proprio immediato, se si ammette che la zanzara possa camminare su tutte e 6 le pareti della stanza, incluso pavimento e soffitto, perché bisogna esaminare tre percorsi diversi, tutti rettilinei, e trovare quello di lunghezza minore. Gli sviluppi possibili del parallelepipedo sul piano sono diversi, non uno solo.
Per chiarire, dette $a,b,c,$ le lunghezze dei tre spigoli, i tre percorsi diversi hanno lunghezze :
I ) $L_1 = sqrt[(a+b)^2 + c^2] $
II ) $L_2 = sqrt[a^2+(b + c)^2] $
III ) $L_3 = sqrt[(a+c)^2 + b^2] $
Ci vorrebbe un disegno, per capire meglio il perché di queste formule.
Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.
Ma secondo me non è un problema adatto a chi inizia a studiare il calcolo vettoriale, e non preoccuparti troppo se non ti è chiaro. Ti consiglio di lasciarlo perdere, il quesito d).
Questo mi suggerisce che la risposta al quesito a) sia semplicemente la somma delle lunghezze dei tre spigoli! La zanzara, nel quesito a) , non vola direttamente da un angolo a quello opposto, nè percorre diagonali sui rettangoli che rappresentano le pareti, compreso pavimento e soffitto. Perciò, se non c'è dubbio al riguardo, devi solo sommare le lunghezze dei tre spigoli.
LE risposte ai quesiti b) e c) coincidono, ok.
Per il quesito d), la faccenda è un po' più complicata. Devi immaginare di tagliare il parallelepipedo lungo certi spigoli, sviluppandolo su un piano, ed esaminare i possibili percorsi da un angolo a quello opposto, tracciando sulla superficie sviluppata dei segmenti rettilinei.
Ma non è proprio immediato, se si ammette che la zanzara possa camminare su tutte e 6 le pareti della stanza, incluso pavimento e soffitto, perché bisogna esaminare tre percorsi diversi, tutti rettilinei, e trovare quello di lunghezza minore. Gli sviluppi possibili del parallelepipedo sul piano sono diversi, non uno solo.
Per chiarire, dette $a,b,c,$ le lunghezze dei tre spigoli, i tre percorsi diversi hanno lunghezze :
I ) $L_1 = sqrt[(a+b)^2 + c^2] $
II ) $L_2 = sqrt[a^2+(b + c)^2] $
III ) $L_3 = sqrt[(a+c)^2 + b^2] $
Ci vorrebbe un disegno, per capire meglio il perché di queste formule.
Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.
Ma secondo me non è un problema adatto a chi inizia a studiare il calcolo vettoriale, e non preoccuparti troppo se non ti è chiaro. Ti consiglio di lasciarlo perdere, il quesito d).
Per quanto riguarda il punto a) avevo pensato anche io ciò che hai detto tu, ma solo che ogni tanto ci sono dei trabocchetti e non sono stato convinto, 
.
Sono contento che almeno ho fatto bene i calcoli
Ok, lascio stare il punto d), con una nota : Sarà da risolvere".
Ti ringrazio, adesso medito su quanto detto e fatto
Anche se per il punto d) ho pensato di disegnare il volume di una stanza, ecco quì:
I piani in basso a sinistra, hanno le origini, mentre il punto in alto a destra è il punto di arrivo della zanzara.
Ho rivisto la teoria, e penso che si potrebbe arrivare alla conclusione, con Pitagora, sempre però, con il procedimento che hai detto tu, cioè pensare di rovesciare le pareti su un piano.....
Adesso provvedo a creare lo sketch 2D, in base a:
Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.
Ecco il disegno, dammi conferma se è corretto, la diagonale di colore arancione è il percorso della zanzara, escludendo soffitto e pavimento:
Ho riportato anche le quote, detto questo, applico pitagora ed avrò:
r $ = sqrt((6.8m)^2+(3.8m)^2) $
r $ = sqrt(46.2m^2+14.4m^2)= 7.7m $
P.S. Se il disegno non è corretto, ditemelo, lo correggo subito
. Sono contento che almeno ho fatto bene i calcoli
Ok, lascio stare il punto d), con una nota : Sarà da risolvere".
Ti ringrazio, adesso medito su quanto detto e fatto
Anche se per il punto d) ho pensato di disegnare il volume di una stanza, ecco quì:
I piani in basso a sinistra, hanno le origini, mentre il punto in alto a destra è il punto di arrivo della zanzara.
Ho rivisto la teoria, e penso che si potrebbe arrivare alla conclusione, con Pitagora, sempre però, con il procedimento che hai detto tu, cioè pensare di rovesciare le pareti su un piano.....
Adesso provvedo a creare lo sketch 2D, in base a:
Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.
Ecco il disegno, dammi conferma se è corretto, la diagonale di colore arancione è il percorso della zanzara, escludendo soffitto e pavimento:
Ho riportato anche le quote, detto questo, applico pitagora ed avrò:
r $ = sqrt((6.8m)^2+(3.8m)^2) $
r $ = sqrt(46.2m^2+14.4m^2)= 7.7m $
P.S. Se il disegno non è corretto, ditemelo, lo correggo subito
Esatto, è proprio quello che dicevo io. Vedo che sei bravo a disegnare...quindi potresti anche cimentarti a sviluppare in piano il parallelepipedo, trovando più di uno sviluppo, e trovando i percorsi che ti dicevo, dall'angolo inferiore destro all'angolo superiore sinistro, o viceversa...insomma hai capito, due angoli opposti.
Se disegni bene gli sviluppi, trovi anche facilmente gli altri due percorsi (uno lo hai già trovato, gli altri due passano per il pavimento e una, o l'altra, delle pareti laterali....prova)
Le tre misure però non sono tutte uguali, e non sai quali sono le misure in pianta (pavimento) e l'altezza della stanza...tu hai considerato che l'altezza sia $3.80 m$, il che è ragionevole, ma la zanzara non ragiona come gli uomini.... mi sa che devi proprio determinare tutte e tre i percorsi! Ti ho dato le formule, si tratta di fare i disegni corrispondenti.
Se disegni bene gli sviluppi, trovi anche facilmente gli altri due percorsi (uno lo hai già trovato, gli altri due passano per il pavimento e una, o l'altra, delle pareti laterali....prova)
Le tre misure però non sono tutte uguali, e non sai quali sono le misure in pianta (pavimento) e l'altezza della stanza...tu hai considerato che l'altezza sia $3.80 m$, il che è ragionevole, ma la zanzara non ragiona come gli uomini.... mi sa che devi proprio determinare tutte e tre i percorsi! Ti ho dato le formule, si tratta di fare i disegni corrispondenti.
"navigatore":
Le tre misure però non sono tutte uguali, e non sai quali sono le misure in pianta (pavimento) e l'altezza della stanza...tu hai considerato che l'altezza sia $3.80 m$, il che è ragionevole, ma la zanzara non ragiona come gli uomini.... mi sa che devi proprio determinare tutte e tre i percorsi! Ti ho dato le formule, si tratta di fare i disegni corrispondenti.
Dici questo
Questo è un primo caso, ma poi ve ne possono essere altri due Poi vediamo di farlo in piano, dimmi se è OK 
Appena mi dai conferma, vedo di perfezionare il modello che ho creato! Se non ho capito male, la zanzara, percorrerà dal seguente punto indicato con le frecce gialle:
Esercizio 3
Nello stesso piano di un foglio di carta si introduca un sistema di coordinate $xy$. Servendosi di una riga e di un goniometro, si traccino i seguenti vettori:
a) il vettore posizione che individua il punto $ (55mm, 65mm) $ A ;
b) lo spostamento dal punto $(32mm, 18mm)$ al punto $(87mm, 83mm)$ B;
c) lo spostamento che parte dal punto $(0.0mm, 8mm)$, al modulo di $85mm$ e forma un angolo di $50^o$ con il semiasse positivo delle $x$. C Che cos’hanno in comune questi vettori?
Questa è l’immagine dei tre vettori spostamento:
Risposta
Lo spostamento, è un vettore che localizza un punto di inizio $ xy $ e un punto di fine $xy$, ha una direzione, ha un verso.
a) I tre vettori sono diversi, perché hanno differenti direzioni.
b) Il terzo vettore C, cioè quello quotato $85mm$, ha uno spostamento (Intensità) diverso dagli altri due vettori, di una differenza di 0,147mm. Si può determinare questa differenza, utilizzando la formula della distanza tra due punti, sempre grazie al GRANDE PITAGORA:
$ d=sqrt((x_2 –x_1)^2+(y_2 – y_1)^2) $
$d=sqrt((55mm –0)^2+(65mm – 0)^2)$
$d=sqrt(3025mm^2+4225mm^2)=> 85.147mm$
Dunque, abbiamo due vettori che sono uguali A e B perché hanno stessa direzione, stesso verso e stessa intensità, sono solo traslati di una certa distanza,hanno stesso angolo dato dalla $ tan^(-1)=(y/x) $, infatti $tan^(-1)=((65mm)/(55mm))=49.764^o$ mentre un vettore C, ha intensità $85mm$, diversa direzione e verso, infatti hanno un agolo diverso, l’intensità differisce di $ 0,147mm $ rispetto agli altri due che sono uguali ma traslati.
Nello stesso piano di un foglio di carta si introduca un sistema di coordinate $xy$. Servendosi di una riga e di un goniometro, si traccino i seguenti vettori:
a) il vettore posizione che individua il punto $ (55mm, 65mm) $ A ;
b) lo spostamento dal punto $(32mm, 18mm)$ al punto $(87mm, 83mm)$ B;
c) lo spostamento che parte dal punto $(0.0mm, 8mm)$, al modulo di $85mm$ e forma un angolo di $50^o$ con il semiasse positivo delle $x$. C Che cos’hanno in comune questi vettori?
Questa è l’immagine dei tre vettori spostamento:
Risposta
Lo spostamento, è un vettore che localizza un punto di inizio $ xy $ e un punto di fine $xy$, ha una direzione, ha un verso.
a) I tre vettori sono diversi, perché hanno differenti direzioni.
b) Il terzo vettore C, cioè quello quotato $85mm$, ha uno spostamento (Intensità) diverso dagli altri due vettori, di una differenza di 0,147mm. Si può determinare questa differenza, utilizzando la formula della distanza tra due punti, sempre grazie al GRANDE PITAGORA:
$ d=sqrt((x_2 –x_1)^2+(y_2 – y_1)^2) $
$d=sqrt((55mm –0)^2+(65mm – 0)^2)$
$d=sqrt(3025mm^2+4225mm^2)=> 85.147mm$
Dunque, abbiamo due vettori che sono uguali A e B perché hanno stessa direzione, stesso verso e stessa intensità, sono solo traslati di una certa distanza,hanno stesso angolo dato dalla $ tan^(-1)=(y/x) $, infatti $tan^(-1)=((65mm)/(55mm))=49.764^o$ mentre un vettore C, ha intensità $85mm$, diversa direzione e verso, infatti hanno un agolo diverso, l’intensità differisce di $ 0,147mm $ rispetto agli altri due che sono uguali ma traslati.
"Bad90":
.....
Dici questo
Appena mi dai conferma, vedo di perfezionare il modello che ho creato! Se non ho capito male, la zanzara, percorrerà dal seguente punto indicato con le frecce gialle:
No Bad, i due punti indicati dalle frecce gialle sul secondo disegno sono in realtà gli estremi del lato corto del pavimento. Pensaci bene, richiudi mentalmente la scatola e te ne rendi conto! Il vertice opposto a quello di partenza, che ti interessa, è all'estremo superiore della faccia inclinata laterale, insomma uno dei due estremi di quella specie di $V$ larga che si vede: sono lo stesso punto, nel solido.
Dovrei farlo io un disegno, ma non sono bravo...
Un consiglio : dai delle lettere agli otto vertici : A,B,....G,H. Poi quando apri la scatola e la stendi sul piano,tieni bloccato il pavimento a terra, e rovescia al suolo tutte le altre, nominando i vertici che vedi sul piano col nome giusto, lo stesso nome che hanno nel solido : sulla figura sviluppata, avrai più vertici con lo stesso nome, che derivano dallo stesso vertice del solido.
È difficile per me farmi capire....
No, sono io che inizialmente ho sbagliato a non capire
Adesso provvedo a rifare il disegno!
Adesso provvedo a rifare il disegno!
Ok, ho messo nuovamente le freccie, non ho messo le lettere perchè mi comportava perdita di tempo in quanto avrei dovuto creare un nuovo file 
, siccome tra poco devo andare a lavoro, non ho molto tempo , ti prometto che la prossima volta utilizzo le lettere come mi hai consigliato 
. Comunque penso di aver reso bene l'idea con l'immagine che ho creato
In piano è questo Ovviamente intendo un possibile caso, poi vedo di creare gli altri due casi
Oppure intendi i percorsi rettilinei che sono la somma delle lunghezze dei lati Quindi dovrebbe essere un percorso rettilineo, mentre io ho tracciato una diagonale 
, siccome tra poco devo andare a lavoro, non ho molto tempo , ti prometto che la prossima volta utilizzo le lettere come mi hai consigliato . Comunque penso di aver reso bene l'idea con l'immagine che ho creato 
In piano è questo
Ovviamente intendo un possibile caso, poi vedo di creare gli altri due casi 
Oppure intendi i percorsi rettilinei che sono la somma delle lunghezze dei lati
Quindi dovrebbe essere un percorso rettilineo, mentre io ho tracciato una diagonale
No, non va bene. Nel piano, devi attraversare solo due rettangoli, non tre.
Tu hai attraversato pavimento, parete, soffitto, e sei tornato alla parete di partenza.
Tu hai attraversato pavimento, parete, soffitto, e sei tornato alla parete di partenza.
Va bene questo percorso
Possibile percorso N.1
Oppure questo
Possibile percorso N.2 Io penso proprio che il più giusto sia questo Parte dal vertice in basso a destra, attraversa i due rettangoli, poi attraversa il soffitto e arriva a destinazione nel punto in alto a sinistra, così come indicano i segmenti arancioni
P.S. La prossima volta utilizzo le lettere
Non penso questa:
Possibile percorso N.3
Possibile percorso N.1
Oppure questo
Possibile percorso N.2 Io penso proprio che il più giusto sia questo
Parte dal vertice in basso a destra, attraversa i due rettangoli, poi attraversa il soffitto e arriva a destinazione nel punto in alto a sinistra, così come indicano i segmenti arancioni 
P.S. La prossima volta utilizzo le lettere
Non penso questa:
Possibile percorso N.3
No Bad. Guarda questo schizzo, dove ho individuato la stanza con lettere poste negli otto vertici. I due vertici opposti sono B ed E. Il volo diretto è la diagonale, ma questo ora non interessa.
Se la zanzara percorre le facce, e deve seguire il percorso di minima lunghezza, devi sviluppare in piano il parallelepipedo, individuare i due vertici opposti sullo sviluppo, connetterli con segmenti rettilinei sul piano stesso, calcolarne i rispettivi valori e scegliere il minore dei tre.
I tre cammini rettilinei possibili tra B ed E sono I , II , III .
Il cammino III lo hai già calcolato, è quello su due superfici laterali. Gli altri due cammini, li devi calcolare col teorema di Pitagora. LE formule te le ho già date.
Uno dei tre sarà il minore.
Se la zanzara percorre le facce, e deve seguire il percorso di minima lunghezza, devi sviluppare in piano il parallelepipedo, individuare i due vertici opposti sullo sviluppo, connetterli con segmenti rettilinei sul piano stesso, calcolarne i rispettivi valori e scegliere il minore dei tre.
I tre cammini rettilinei possibili tra B ed E sono I , II , III .
Il cammino III lo hai già calcolato, è quello su due superfici laterali. Gli altri due cammini, li devi calcolare col teorema di Pitagora. LE formule te le ho già date.
Uno dei tre sarà il minore.
Noto che anche tu sai disegnare bene!
Adesso e' tutto chiaro, bisogna creare nella mente i percorsi e poi si riesce a capire come e' la soluzione! Mi sei di grande aiuto e te ne ringrazio!
Ecco il 3D:
Adesso faccio i calcoli!
Nell'immagine ci sono le dimensioni che interessano da utilizzare con Pitagora, bene ecco i calcoli.
Prima distanza:
$ d_1=sqrt((4.2 m+ 2.6m)^2 +(3.8m)^2) $
$ d_1=sqrt(46.25m^2+14.44m^2) $
$ d_1=7.7m $
Seconda distanza:
$ d_2=sqrt((4.2 m)^2 +(3.8m+2.6m)^2) $
$ d_2=sqrt(17.64m^2+40.96m^2) $
$ d_2=7.6m $ => Il più corto cammino!
Adesso e' tutto chiaro, bisogna creare nella mente i percorsi e poi si riesce a capire come e' la soluzione! Mi sei di grande aiuto e te ne ringrazio!
Ecco il 3D:
Adesso faccio i calcoli!
Nell'immagine ci sono le dimensioni che interessano da utilizzare con Pitagora, bene ecco i calcoli.
Prima distanza:
$ d_1=sqrt((4.2 m+ 2.6m)^2 +(3.8m)^2) $
$ d_1=sqrt(46.25m^2+14.44m^2) $
$ d_1=7.7m $
Seconda distanza:
$ d_2=sqrt((4.2 m)^2 +(3.8m+2.6m)^2) $
$ d_2=sqrt(17.64m^2+40.96m^2) $
$ d_2=7.6m $ => Il più corto cammino!
Esercizio 4
Si usino una riga e un goniometro per trasferire le coppie di vettori della Figura che segue, (io utilizzerò un software), su un foglio di carta, e si determini graficamente la somma di ciascuna coppia.
Caso a)
Caso b)
Caso c)
Caso d)
Adesso mi chiedo, se nel caso d) ho fatto bene , questo perchè sono insicuro su un concetto...
Utilizzando il metodo punto coda, ho sommato in sequenza G e poi H, perfetto, ma qual'è la regola che mi impone di dare il verso della freccia al vettore risultante I E' perchè si ha il vettore G che è maggiore e quindi si da quel verso Non potrebbe essere così come nell'immagine che segue:
Si usino una riga e un goniometro per trasferire le coppie di vettori della Figura che segue, (io utilizzerò un software), su un foglio di carta, e si determini graficamente la somma di ciascuna coppia.
Caso a)
Caso b)
Caso c)
Caso d)
Adesso mi chiedo, se nel caso d) ho fatto bene
, questo perchè sono insicuro su un concetto... Utilizzando il metodo punto coda, ho sommato in sequenza G e poi H, perfetto, ma qual'è la regola che mi impone di dare il verso della freccia al vettore risultante I
E' perchè si ha il vettore G che è maggiore e quindi si da quel verso Non potrebbe essere così come nell'immagine che segue: 
Esercizio 5
Cinque vettori che hanno tutti la medesima intensità e giacciono nello stesso piano formano con il semiasse positivo delle $x$ angoli di $0^o$, $+- 72^o$, $ +-144^o $ . Si determini graficamente la loro somma.
I vettori aventi $+- 72 deg$, si annullano come si annullano anche quelli aventi $+- 144 deg$, resta solo il vettore che ha angolo $0 deg$. Solo che sono insicuro sul verso da dare, non avendo specificato nella traccia il verso ho pensato a dare il verso Est
Cosa ne dite
Cinque vettori che hanno tutti la medesima intensità e giacciono nello stesso piano formano con il semiasse positivo delle $x$ angoli di $0^o$, $+- 72^o$, $ +-144^o $ . Si determini graficamente la loro somma.
I vettori aventi $+- 72 deg$, si annullano come si annullano anche quelli aventi $+- 144 deg$, resta solo il vettore che ha angolo $0 deg$. Solo che sono insicuro sul verso da dare, non avendo specificato nella traccia il verso ho pensato a dare il verso Est
Cosa ne dite
Esercizio 6
I vettori A, B e C giacciono nello stesso piano e sono disposti come risulta dalla Figura. Usando riga e goniometro, determinare:
a) A+B+C
b) A-B-C
c) C+B+A
Caso a)
Utilizzo il metodo punta coda, anche se non sono sicuro, può essere che sia sbagliato in quanto la somma di tre vettori, dovrebbe dare D:
Caso b)
Utilizzo il metodo punta coda Non sto riuscendo Penso si possa utilizzare la Proprietà commutativa
Il problema è che con due vettori, sarebbe più facile, mentre con tre vettori, le cose mi si complicano nella testa
Idem per il Caso c)
Help!
Ho letto su un pdf, che:
Si possono sommare tra loro piu' di die vettori; per farlo si considerano i primi due, si sommano e il vettore risultante viene a sua volta sommato al terzo. Procedendo analogamente per ogni vettore, si ha la somma totale.
I vettori A, B e C giacciono nello stesso piano e sono disposti come risulta dalla Figura. Usando riga e goniometro, determinare:
a) A+B+C
b) A-B-C
c) C+B+A
Caso a)
Utilizzo il metodo punta coda, anche se non sono sicuro, può essere che sia sbagliato in quanto la somma di tre vettori, dovrebbe dare D
: 
Caso b)
Utilizzo il metodo punta coda
Non sto riuscendo Penso si possa utilizzare la Proprietà commutativa Il problema è che con due vettori, sarebbe più facile, mentre con tre vettori, le cose mi si complicano nella testa
Idem per il Caso c)
Help!
Ho letto su un pdf, che:
Si possono sommare tra loro piu' di die vettori; per farlo si considerano i primi due, si sommano e il vettore risultante viene a sua volta sommato al terzo. Procedendo analogamente per ogni vettore, si ha la somma totale.
Quando componi i vettori per trovarne il risultante, vale ovviamente la proprieta commutativa .
La regola è : il risultante va dalla origine del primo vettore alla estremità dell'ultimo vettore.
Nell' es. 4 c) , perché hai scritto la somma come $ vecE - vecF$ ? È sempre $vecE + vecF$, anche se i due vettori hanno verso opposto.
Nell es. 4 d), hai fatto bene la prima volta, non la seconda : riguarda la regoletta che ti ho scritto sopra.
Nel secondo disegno del 4d) la somma di tutti e tre è zero. Quindi quello che hai disegnato è l'opposto del giusto risultante.
La regola è : il risultante va dalla origine del primo vettore alla estremità dell'ultimo vettore.
Nell' es. 4 c) , perché hai scritto la somma come $ vecE - vecF$ ? È sempre $vecE + vecF$, anche se i due vettori hanno verso opposto.
Nell es. 4 d), hai fatto bene la prima volta, non la seconda : riguarda la regoletta che ti ho scritto sopra.
Nel secondo disegno del 4d) la somma di tutti e tre è zero. Quindi quello che hai disegnato è l'opposto del giusto risultante.
"navigatore":
Quando componi i vettori per trovarne il risultante, vale ovviamente la proprieta commutativa .
La regola è : il risultante va dalla origine del primo vettore alla estremità dell'ultimo vettore.
Nell' es. 4 c) , perché hai scritto la somma come $ vecE - vecF$ ? È sempre $vecE + vecF$, anche se i due vettori hanno verso opposto.
Ok, adesso e' tutto chiaro!
Vale anche la regola che il vettore risultante, prende il verso del vettore che ha maggiore intensita'! Giusto?
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