Esercizi sui Vettori
Esercizio 1
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Risposte
"Bad90":
....
Mi sembra di aver compreso che si tratta della somma e non della differenza,
...
Per definizione, la differenza tra due vettori è la somma del primo con l'opposto del secondo.
Quindi, per fare la differenza tra $vec d$ e $vec e$, devo prima trovare l'opposto di $vec e$ (cioè $-vec e$) e poi fare la somma di $vec d$ con $-vec e$.
"Bad90":
.... e non capisco il perche' se ho un vettore con intensita' negativa, devo comunque sommarlo! ....
Il modulo (o intensità) di un vettore non può essere negativo.
"chiaraotta":
Esercizio 7
Caso c
Deve essere che
$vec d - vec e = vec f$, $|vec f|=|vec d|+|vec e|$.
Allora cio' che ti fa capire se si deve fare la somma o la differenza, e' proprio cio' che e' scritto come intensita', cioe' se mi trovo scritto questo:
$ d-e=f $ (che si riferisce all'intensita').
So che si tratta di intensita' e devo quindi fare la differenza, anche se ho scritto affianco questo:
$ vec(d)+vec(e)=vec(f) $ (che si tratta di vettori)
Giusto quello che compreso?
Non sono sicura di capire quello che hai scritto. Ho comunque l'impressione che tu non abbia chiaro quello che sta scritto nel libro che segui e che ti ho riportato:
"Nel caso generale di due vettori $vec A$ e $vec B$, definiamo la differenza $vec A - vec B$ come somma dei vettori $vec A$ e $-vec B$,
$vec A - vec B = vec A + (-vec B)$".
Sempre, per fare la differenza fra due vettori, si deve costruire l'opposto del secondo e sommarlo al primo. In ogni caso. Non c'entrano per niente le intensità dei vettori.
"Nel caso generale di due vettori $vec A$ e $vec B$, definiamo la differenza $vec A - vec B$ come somma dei vettori $vec A$ e $-vec B$,
$vec A - vec B = vec A + (-vec B)$".
Sempre, per fare la differenza fra due vettori, si deve costruire l'opposto del secondo e sommarlo al primo. In ogni caso. Non c'entrano per niente le intensità dei vettori.
Ciao Bad90, intervengo, anche se forse in modo inopportuno (dato che ti sta seguendo chiaraotta), per dirti per prima cosa che secondo me questi esercizi ti stanno facendo solo confondere (soprattutto a causa della loro formulazione).
Il discorso, per quel che mi riguarda, è molto semplice.
Dati due vettori $vec a$ e $vec b$, la scrittura:
$vec a + vec b = c$ indica la loro somma (vettoriale) che restituisce un vettore $vec c$.
Allo stesso modo, la scrittura:
$vec a + (-vec b)$ ovvero $vec a - vec b = vec d$ indica la loro differenza (vettoriale).
Tutto qui.
Quindi, se dati due vettori, li devi sommare, li lasci con i versi con i quali vengono assegnati e li sommi con una delle regole che hai studiato o stai studiando (regola del punta coda, metodo del parallelogramma). Se invece i due vettori devono essere sottratti, prendi il vettore "sottraendo" (nel mio esempio $vec b$) e ne inverti il verso, lasciando ovviamente invariati modulo e direzione, ed applichi analogamente i metodi studiati per la somma/differenza di vettori.
Ciao.
Il discorso, per quel che mi riguarda, è molto semplice.
Dati due vettori $vec a$ e $vec b$, la scrittura:
$vec a + vec b = c$ indica la loro somma (vettoriale) che restituisce un vettore $vec c$.
Allo stesso modo, la scrittura:
$vec a + (-vec b)$ ovvero $vec a - vec b = vec d$ indica la loro differenza (vettoriale).
Tutto qui.
Quindi, se dati due vettori, li devi sommare, li lasci con i versi con i quali vengono assegnati e li sommi con una delle regole che hai studiato o stai studiando (regola del punta coda, metodo del parallelogramma). Se invece i due vettori devono essere sottratti, prendi il vettore "sottraendo" (nel mio esempio $vec b$) e ne inverti il verso, lasciando ovviamente invariati modulo e direzione, ed applichi analogamente i metodi studiati per la somma/differenza di vettori.
Ciao.
Ok chiarotta, sto andando in palla con questo ultimo esercizio 7, sostanzialmente non mi e' chiaro quando addizzionare o sottrarre i vettori, ma mi riferisco a come sono posti i quesiti dell'esercizio 7! 
Provo a fare un'altro esempio, se ho:
d-e=f, f=d-e, d>e
Come si deve fare?
d-e=f, f=d-e, d>e
Come si deve fare?
$vec d - vec e= vec f$, $|vec f|=|vec d|- |vec e|$, $|vec d| > |vec e|$
Ribadisco nuovamente che anche secondo me la formulazione di questi esercizi è confusionaria, ma cerco comunque di darti una risposta.
Riprendiamo l'esercizio:
_____________________
Esercizio 7: In un diagramma tracciare coppie di vettori $vec d$ ed $vec e$ tali che:
[list=a]
[*:3bsepx6o]$vec d + vec e = vec f$, con $|vec f| = |vec d| - |vec e|$[/*:m:3bsepx6o][/list:o:3bsepx6o]
Svolg. La prima cosa che mi viene in mente è che i vettori dovranno essere paralleli, in quanto il modulo del vettore $vec f$, ovvero $|vec f|$, l'esercizio ti dice che si ricava per somma dei moduli dei vettori dati. Ora, questo accade solo quando i vettori sono paralleli; in generale infatti, la somma vettoriale non si esegue sommado i moduli (cioè non è come una somma di numeri) ma applicando il metodo punta cosa o simili.
Quindi sai già che $vec d$ ed $vec e$ dovranno essere paralleli.
Un'altra cosa importante che devi tenere in considerazione in questi esercizi che stai facendo, è che, quando il testo ti scrive la "somma", cioè $vec d + vec e = vec f$, lui sta intendendo una "somma" nel senso più generale, cioè può essere una somma vera e propria o una differenza. Se è il primo caso (somma) o il secondo (differenza), lo capisci dalla specifica che fa il testo. Nel caso del punto a. ad esempio, il testo aggiunge questa informazione: $|vec f| = |vec d| - |vec e|$, cioè quello che devi eseguire è in realtà una differenza di vettori paralleli.
Allora ho la seguente situazione:
La specifica del testo, ovvero $|vec f| = |vec d| - |vec e|$, ti fa inoltre intuire quali sono i versi con cui ti vengono assegnati i vettori. Nel caso che stiamo considerando, i due vettori dovranno inizialmente essere equiversi, così nel momento in cui ne fai la differenza, è soddisfatta la specifica, cioè esegui una vera e propria sottrazione.
Se invece i vettori fossero assegnati discordi, nel fare la differenza ti ritroveresti in realtà a fare una somma (sarebbe come fare $5 - (-2) = 5 + 2$, invece di fare quanto richiede l'esercizio, cioè $5 + (-2) = 5 - 2$).
Spero di non averti fatto confondere e di non aver detto inesattezze, nel qual caso confido in chiaraotta che non tarderà a correggermi.
Ciao e buona serata.
Riprendiamo l'esercizio:
_____________________
Esercizio 7: In un diagramma tracciare coppie di vettori $vec d$ ed $vec e$ tali che:
[list=a]
[*:3bsepx6o]$vec d + vec e = vec f$, con $|vec f| = |vec d| - |vec e|$[/*:m:3bsepx6o][/list:o:3bsepx6o]
Svolg. La prima cosa che mi viene in mente è che i vettori dovranno essere paralleli, in quanto il modulo del vettore $vec f$, ovvero $|vec f|$, l'esercizio ti dice che si ricava per somma dei moduli dei vettori dati. Ora, questo accade solo quando i vettori sono paralleli; in generale infatti, la somma vettoriale non si esegue sommado i moduli (cioè non è come una somma di numeri) ma applicando il metodo punta cosa o simili.
Quindi sai già che $vec d$ ed $vec e$ dovranno essere paralleli.
Un'altra cosa importante che devi tenere in considerazione in questi esercizi che stai facendo, è che, quando il testo ti scrive la "somma", cioè $vec d + vec e = vec f$, lui sta intendendo una "somma" nel senso più generale, cioè può essere una somma vera e propria o una differenza. Se è il primo caso (somma) o il secondo (differenza), lo capisci dalla specifica che fa il testo. Nel caso del punto a. ad esempio, il testo aggiunge questa informazione: $|vec f| = |vec d| - |vec e|$, cioè quello che devi eseguire è in realtà una differenza di vettori paralleli.
Allora ho la seguente situazione:
La specifica del testo, ovvero $|vec f| = |vec d| - |vec e|$, ti fa inoltre intuire quali sono i versi con cui ti vengono assegnati i vettori. Nel caso che stiamo considerando, i due vettori dovranno inizialmente essere equiversi, così nel momento in cui ne fai la differenza, è soddisfatta la specifica, cioè esegui una vera e propria sottrazione.
Se invece i vettori fossero assegnati discordi, nel fare la differenza ti ritroveresti in realtà a fare una somma (sarebbe come fare $5 - (-2) = 5 + 2$, invece di fare quanto richiede l'esercizio, cioè $5 + (-2) = 5 - 2$).
Spero di non averti fatto confondere e di non aver detto inesattezze, nel qual caso confido in chiaraotta che non tarderà a correggermi.
Ciao e buona serata.
Mi hai letto nel pensiero, stavo per inviare un messaggio in cui chiedevo il significato delle specifiche e sul come bisogna comportarsi! 
Adesso vedo di fare un po di prove e poi ti faccio sapere!
Ti ringrazio!
Adesso vedo di fare un po di prove e poi ti faccio sapere!
Ti ringrazio!
Vorrei proporre anche io un esercizio:
Una particella effettua tre spostamenti consecutivi
∆r1 = (1,50i + 3,00j –1,20k) cm,
∆r2 = ( 2,30i – 1,40j – 3,60k) cm,
e ∆r3 = (-1,30i + 1,50j) cm.
Determinare le componenti dello spostamento risultante e il suo modulo.
Ora il mio dubbio è il seguente:
1,50i e 3,00j rappresetntano le coordinate sull asse cartesiano ? ed il 1,20k cosa altro ?
è possibile disegnare questi 3 vottori su di un asse, cosi' di comprenderli meglio ?
Una particella effettua tre spostamenti consecutivi
∆r1 = (1,50i + 3,00j –1,20k) cm,
∆r2 = ( 2,30i – 1,40j – 3,60k) cm,
e ∆r3 = (-1,30i + 1,50j) cm.
Determinare le componenti dello spostamento risultante e il suo modulo.
Ora il mio dubbio è il seguente:
1,50i e 3,00j rappresetntano le coordinate sull asse cartesiano ? ed il 1,20k cosa altro ?
è possibile disegnare questi 3 vottori su di un asse, cosi' di comprenderli meglio ?
"Bad90":
Mi hai letto nel pensiero, stavo per inviare un messaggio in cui chiedevo il significato delle specifiche e sul come bisogna comportarsi!
Adesso vedo di fare un po di prove e poi ti faccio sapere!
Ti ringrazio!
Prego figurati. Nel post precedente mi sono però dimenticato di dirti una cosa e cioè se puoi usare l'editor delle formule anche per scrivere vettori etc etc etc...Questo per evitare ambiguità di notazione soprattutto in chi legge.
Ciao.
@Martina Delfi: nel tuo precedente post, chiaraotta ti ha scritto cosa rappresentano $vec i$ e $vec j$. Tuttavia la domanda che poni è sintomo del fatto che non hai studiato le prime nozioni teoriche sui vettori.
Spero tu non ti offenda, ma di solito le domande che vengono poste non sono di questo tipo, perchè le risposte a quesiti come questi si trovano facilmente sui libri.
Ciao.
Spero tu non ti offenda, ma di solito le domande che vengono poste non sono di questo tipo, perchè le risposte a quesiti come questi si trovano facilmente sui libri.
Ciao.
non mi offendo, quando non conosco una cosa, cerco di capirla,
a differenza dell'altro quesito questo ultimo ha una variante in piu' (la k)
se ti va di perdere 30 secondi per me, ti sarei grato.
a differenza dell'altro quesito questo ultimo ha una variante in piu' (la k)
se ti va di perdere 30 secondi per me, ti sarei grato.
"JoJo_90":
Spero di non averti fatto confondere e di non aver detto inesattezze!
Non penso
Provo a commentare i passaggi del punto che segue, anche se già chiarotta ha dato la soluzione, ma provo a dire come riesco a risolverlo dopo tutte le spiegazioni date.....
c) $ vec(d)-vec(e)=vec(f)$, $|f|=|d|+|e|$
Il testo dell'esercizio, mi fa capire che si tratta di una differenza tra due vettori, si capisce per questo:
$ vec(d)-vec(e)=vec(f)$
Come risultante avrò il vettore $ vec(f)$, ma dalla simbologia dei vettori, capisco che i vettori vanno disegnati in questo modo:
Adesso vedendo a la specifica dei moduli, $|f|=|d|+|e|$ è come se fosse $|f|=|d|+|-e|$, giusto
Essendo i valori del modulo, considerati come valore assoluto, allora quel modulo di $ vec(|-e|) $ diventerà $ vec(|-e|)=vec(|e|) $ , giusto fin quì Allora posso pensare di disegnare il vettore $ vec(e) $ ribaltato e con segno positivo, in questo modo:
Adesso, grazie a questo ribaltamento di $ vec(e) $ posso ottenere $ vec(f) $ in questo modo:
Dimmi se ho compreso correttamente, altrimenti questa sera do una capocciata allo spigolo più appuntito del mio studio!
Ti ringrazio anticipatamente
@Martina Delfi: cerco allora di riassumere un pò la questione.
Assegnato un sistema di riferimento cartesiano, ogni asse che compone tale sistema, possiede una direzione e un verso che sono dati da vettori di modulo unitario; tali vettori prendono il nome di versori.
Nel caso del piano, gli assi sono $x$ ed $y$ e i rispettivi versori sono $vec i$ e $vec j$.
Nel caso dello spazio, gli assi sono $x$, $y$ e $z$ e i rispettivi versori sono $vec i$, $vec j$ e $vec k$.
L'importanza di tali versori consiste nel fatto che un vettore può essere espresso in componenti tramite il loro utilizzo.
Ad esempio, nel tuo caso, hai i vettori spostamento:
$\Delta \vec r_1 = (1,50 \vec i + 3,00 \vec j –1,20\vec k)" ""cm" $
$\Delta \vec r_2 = (2,30 \vec i - 1,40 \vec j – 3,60 \vec k)" ""cm" $
$\Delta \vec r_3 = (-1,30 \vec i + 1,50 \vec j –1,20 \vec k)" ""cm" $
Prendiamo ad esempio il primo vettore spostamento. Tale vettore ha componenti:
$\Delta \vec r_1 = (1,50"cm ";" " 3,00"cm ";" " 1,20 "cm")$
Le componenti di un vettore sono le proiezioni del vettore sugli assi; così la prima componente $1,50 "cm"$ rappresenta la proiezione del vettore $\Delta \vec r_1$ sull'asse cartesiano di versore $vec i$ (cioè sull'asse $x$) e così via.
Possiamo anche dire che, se il vettore è spiccato dall'origine, le componenti sono le coordinate della punta del vettore.
Credo che questo disegno possa aiutare:
Credo con queste poche indicazioni di aver risposto ai tuoi dubbi. In caso contrario chiedi pure.
Ciao.
Assegnato un sistema di riferimento cartesiano, ogni asse che compone tale sistema, possiede una direzione e un verso che sono dati da vettori di modulo unitario; tali vettori prendono il nome di versori.
Nel caso del piano, gli assi sono $x$ ed $y$ e i rispettivi versori sono $vec i$ e $vec j$.
Nel caso dello spazio, gli assi sono $x$, $y$ e $z$ e i rispettivi versori sono $vec i$, $vec j$ e $vec k$.
L'importanza di tali versori consiste nel fatto che un vettore può essere espresso in componenti tramite il loro utilizzo.
Ad esempio, nel tuo caso, hai i vettori spostamento:
$\Delta \vec r_1 = (1,50 \vec i + 3,00 \vec j –1,20\vec k)" ""cm" $
$\Delta \vec r_2 = (2,30 \vec i - 1,40 \vec j – 3,60 \vec k)" ""cm" $
$\Delta \vec r_3 = (-1,30 \vec i + 1,50 \vec j –1,20 \vec k)" ""cm" $
Prendiamo ad esempio il primo vettore spostamento. Tale vettore ha componenti:
$\Delta \vec r_1 = (1,50"cm ";" " 3,00"cm ";" " 1,20 "cm")$
Le componenti di un vettore sono le proiezioni del vettore sugli assi; così la prima componente $1,50 "cm"$ rappresenta la proiezione del vettore $\Delta \vec r_1$ sull'asse cartesiano di versore $vec i$ (cioè sull'asse $x$) e così via.
Possiamo anche dire che, se il vettore è spiccato dall'origine, le componenti sono le coordinate della punta del vettore.
Credo che questo disegno possa aiutare:
Credo con queste poche indicazioni di aver risposto ai tuoi dubbi. In caso contrario chiedi pure.
Ciao.
@Bad90, il ragionamento mi sembra in linee generali corretto. Attenzione però a questa cosa che hai scritto:
L'ugualglianza $|−\vec e| = \vec e $ è un errore (qui sul forum non è gravissimo, ma all'esame è fatale), perchè stai affermando che uno scalare ($|−\vec e|$) è uguale ad un vettore ($\vec e$). Forse però volevi scrivere: $|−\vec e| = |\vec e| $?
Un'altra cosa che ho notato è che hai disegnato i due vettori $\vec d$ ed $\vec e$ uguali in modulo. In realtà credo sia leggittimo perchè il testo non mi pare affermi nulla a riguardo, cioè se i vettori hanno modulo uguale o diverso.
Per il resto credo che hai compreso bene l'esercizio.
Ciao.
"Bad90":
Essendo i valori del modulo, considerati come valore assoluto, allora quel modulo di $|−\vec e|$ diventerà $|−\vec e| = \vec e $, giusto fin quì
L'ugualglianza $|−\vec e| = \vec e $ è un errore (qui sul forum non è gravissimo, ma all'esame è fatale), perchè stai affermando che uno scalare ($|−\vec e|$) è uguale ad un vettore ($\vec e$). Forse però volevi scrivere: $|−\vec e| = |\vec e| $?
Un'altra cosa che ho notato è che hai disegnato i due vettori $\vec d$ ed $\vec e$ uguali in modulo. In realtà credo sia leggittimo perchè il testo non mi pare affermi nulla a riguardo, cioè se i vettori hanno modulo uguale o diverso.
Per il resto credo che hai compreso bene l'esercizio.
Ciao.
Perfetto, era cio' che mi interessava sapere, cioe' capire il metodo!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Prego.
Vorrei riproporre un esercizio già trattato nelle pagine prima ma da me non capito .
Cinque vettori che hanno tutti la medesima intensità e giacciono nello
stesso piano, formano con il semiasse positivo delle x angoli di 0 ,
±72 , ±144 . Si determini graficamente la loro somma
Usando il metodo punta-coda
Cinque vettori che hanno tutti la medesima intensità e giacciono nello
stesso piano, formano con il semiasse positivo delle x angoli di 0 ,
±72 , ±144 . Si determini graficamente la loro somma
Usando il metodo punta-coda
Pentagono
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