Esercizi sui Vettori
Esercizio 1
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
Spiegazioni
Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.
Risoluzione
a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:
F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
Idem per gli altri due punti.
b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$
F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$
c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $
F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$
F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
Risposte
"Bad90":
Esercizio 5...
Mi sembra che la situazione sia questa:
"Bad90":
[quote="navigatore"]Quando componi i vettori per trovarne il risultante, vale ovviamente la proprieta commutativa .
La regola è : il risultante va dalla origine del primo vettore alla estremità dell'ultimo vettore.
Nell' es. 4 c) , perché hai scritto la somma come $ vecE - vecF$ ? È sempre $vecE + vecF$, anche se i due vettori hanno verso opposto.
Ok, adesso e' tutto chiaro!
Vale anche la regola che il vettore risultante, prende il verso del vettore che ha maggiore intensita'! Giusto?[/quote]
Non farti strane regole. Quello che dici vale se hai due vettori paralleli, ma non in generale. Se per esempio hai più di due vettori paralleli, non è detto che si verifichi ciò che pensi.
No, non è una regola.
Ok, adesso rivedo gli errori che ho fatto e metto apposto tutto! 
Quindi per l'Esercizio 6, valgono gli stessi consigli che mi hai dato per l'esercizio 4
Grazie mille.
Quindi per l'Esercizio 6, valgono gli stessi consigli che mi hai dato per l'esercizio 4
Grazie mille.
"chiaraotta":
Esercizio 5...
Mi sembra che la situazione sia questa:
Ti ringrazio
Io ho fatto questo che segue, a me non sembra lo stesso, tu che ne dici
Io ho fatto le misure degli angoli, a partire dal segmento di zero gradi, gli angoli sono tutti riferiti da quello, cioè se ho $72 deg$, a questi aggiungo $180 deg+ 72 deg= 252 deg$, e così ho dato il lato di $ -72 deg $ . Dici che è lo stesso di quello che hai fatto tu
Non capisco perché non disegni direttamente gli angoli richiesti di $-72°$ e $-144°$. Angoli $<0$ significa che la rotazione del secondo lato avviene in verso orario, mentre angoli $>0$ in verso antiorario.
In ogni caso non è vero che un angolo di $252°$ abbia i lati coicidenti con uno di $-72°$, invece è congruente a un angolo di $-108°$.
In ogni caso non è vero che un angolo di $252°$ abbia i lati coicidenti con uno di $-72°$, invece è congruente a un angolo di $-108°$.
"chiaraotta":
Non capisco perché non disegni direttamente gli angoli richiesti di $-72°$ e $-144°$. Angoli $<0$ significa che la rotazione del secondo lato avviene in verso orario, mentre angoli $>0$ in verso antiorario.
In ogni caso non è vero che un angolo di $252°$ abbia i lati coicidenti con uno di $-72°$, invece è congruente a un angolo di $-108°$.
Giusto, non stavo considerando che bisognava andare in senso orario ......
Ti ringrazio!
"navigatore":
Quando componi i vettori per trovarne il risultante, vale ovviamente la proprieta commutativa .
La regola è : il risultante va dalla origine del primo vettore alla estremità dell'ultimo vettore.
E nel caso dell'Esercizio 6, come devo fare
Per il caso A+B+C:
Ho fatto come nell'immagine che segue, dove i vettori verdi sono quelli di partenza, quelli bianchi sono quelli sommati e quello arancione è la somma.
Per il caso A-B-C: .
I vettori verdi sono quelli di partenza, quelli bianchi sono quelli sommati e quello arancione è la somma.
Per il caso C+B+A: .
I vettori verdi sono quelli di partenza, quelli bianchi sono quelli sommati e quello arancione è la somma.
Cosa ne dite
Non ho messo le freccie per un motivo di grafica del software, quello di cui sono insicuro e se il vettore risultante sia corretto?!?!?!
Esercizio 7
In un diagramma tracciare coppie di vettori d ed e tali che:
a) d+e=f, f=d-e, d>e
b) d+e=f, f=d+e
c) d-e=f, f=d+e
d) d+e=f, f= $ sqrt(2d) $ , d=e
Caso a)
Mi sembra di aver capito che bisogna fare la somma dei vettori d con e che danno il risultato il vettore f
Di questi due vettori, la traccia mi da le intensita', questo lo capisco per la scrittura in corsivo che delle lettere. In questo primo caso a) posso disegnare i vettori orizzontalmente? Insomma posso fare la somma prendendo d con intensita' d che ha verso est, poi disegno orizzontalmente e con intensita' -e che va verso ovest, e il risultante, sempre orizzontalmente che ha verso est, che dipende dal vettore d che ha maggiore intensita', ovviamente avente intensita' minore di d ed -e.
Ho compreso bene?
Adesso non posso sviluppare il disegno dei vettori perche' non sono a casa, ma spero di aver reso bene l'idea!
In un diagramma tracciare coppie di vettori d ed e tali che:
a) d+e=f, f=d-e, d>e
b) d+e=f, f=d+e
c) d-e=f, f=d+e
d) d+e=f, f= $ sqrt(2d) $ , d=e
Caso a)
Mi sembra di aver capito che bisogna fare la somma dei vettori d con e che danno il risultato il vettore f
Di questi due vettori, la traccia mi da le intensita', questo lo capisco per la scrittura in corsivo che delle lettere. In questo primo caso a) posso disegnare i vettori orizzontalmente? Insomma posso fare la somma prendendo d con intensita' d che ha verso est, poi disegno orizzontalmente e con intensita' -e che va verso ovest, e il risultante, sempre orizzontalmente che ha verso est, che dipende dal vettore d che ha maggiore intensita', ovviamente avente intensita' minore di d ed -e.
Ho compreso bene?
Adesso non posso sviluppare il disegno dei vettori perche' non sono a casa, ma spero di aver reso bene l'idea!
Bad, io non so più dove sono gli esercizi tuoi!
Comunque, per tutti gli esercizi, la somma dei vettori si fa come ti ho detto : dalla punta di A fai partire B, dalla punta di B fai partire C .....ecc , anche se hai 500 vettori. Quello che disegni si chiama " poligono dei vettori". II lato di chiusura del poligono dei vettori, preso come gia ti ho detto, eè il risultante.
E se il problema ti chiede di sommare un vettore col segno "meno" , ad es A-B , non devi far altro che disegnare, nel poligono, l'opposto di B .
Comunque, per tutti gli esercizi, la somma dei vettori si fa come ti ho detto : dalla punta di A fai partire B, dalla punta di B fai partire C .....ecc , anche se hai 500 vettori. Quello che disegni si chiama " poligono dei vettori". II lato di chiusura del poligono dei vettori, preso come gia ti ho detto, eè il risultante.
E se il problema ti chiede di sommare un vettore col segno "meno" , ad es A-B , non devi far altro che disegnare, nel poligono, l'opposto di B .
E infatti ho seguito quanto hai detto, solo che piu' tardi cerco di mettere lettere e freccie!
Ho compreso perfettamente il significato della somma vettoriale e te ne ringrazio!
Ho compreso perfettamente il significato della somma vettoriale e te ne ringrazio!
Nell'esercizio 6, se osservi i tuoi disegni noti che $A+B+C$ è differente da $C+B+A$.
E non va bene. Vale la proprietà commutativa, i due risultanti devono essere uguali.
Chiarisco che quando si parla di vettori, si distingue tra "vettori liberi" e vettori applicati" . I vettori liberi, sono un insieme infinito di vettori paralleli ed equiversi di ugual modulo: in altre parole, non interessa il loro punto di applicazione.
Invece, per un vettore "applicato" ha importanza anche il punto di applicazione. Quando per esempio devi calcolare il moento di una forza rispetto a un polo, il punto di applicazione della forza eè importante.
E non va bene. Vale la proprietà commutativa, i due risultanti devono essere uguali.
Chiarisco che quando si parla di vettori, si distingue tra "vettori liberi" e vettori applicati" . I vettori liberi, sono un insieme infinito di vettori paralleli ed equiversi di ugual modulo: in altre parole, non interessa il loro punto di applicazione.
Invece, per un vettore "applicato" ha importanza anche il punto di applicazione. Quando per esempio devi calcolare il moento di una forza rispetto a un polo, il punto di applicazione della forza eè importante.
"navigatore":
Nell'esercizio 6, se osservi i tuoi disegni noti che $A+B+C$ è differente da $C+B+A$.
E non va bene. Vale la proprietà commutativa, i due risultanti devono essere uguali.
Hai perfettamente ragione, adesso ho sistemato le cose, ecco quì:
Ritorno all'Esercizio 7
In un diagramma tracciare coppie di vettori d ed e tali che:
a) d+e=f, f=d-e, d>e
b) d+e=f, f=d+e
c) d-e=f, f=d+e
d) d+e=f, f= $ sqrt(2d) $ , d=e
Caso a)
E' questo il metodo per risolvere questo esercizio
Caso b)
Se ho fatto bene questi due casi, adesso mi sto impallando con i casi c) e d)
Caso c)
Caso d)
In questo ultimo caso, ho dato per scontato che d=1
Dite che ho fatto bene
In un diagramma tracciare coppie di vettori d ed e tali che:
a) d+e=f, f=d-e, d>e
b) d+e=f, f=d+e
c) d-e=f, f=d+e
d) d+e=f, f= $ sqrt(2d) $ , d=e
Caso a)
E' questo il metodo per risolvere questo esercizio
Caso b)
Se ho fatto bene questi due casi, adesso mi sto impallando con i casi c) e d)
Caso c)
Caso d)
In questo ultimo caso, ho dato per scontato che d=1
Dite che ho fatto bene
Caso a
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f = vec d + vec e$.
Caso b
Il testo non dice che debba essere $vec d=vec e$.
Caso c
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f=vec d - vec e$ e neanche che $|vec f| = |vec d| + |vec e|$.
Caso d
Come li hai costruiti tu si ha che $|vec f|=sqrt(2)|vec d|$, non $|vec f|=sqrt(2|vec d|)$. Forse c'è un errore di stampa nel testo del problema.
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f = vec d + vec e$.
Caso b
Il testo non dice che debba essere $vec d=vec e$.
Caso c
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f=vec d - vec e$ e neanche che $|vec f| = |vec d| + |vec e|$.
Caso d
Come li hai costruiti tu si ha che $|vec f|=sqrt(2)|vec d|$, non $|vec f|=sqrt(2|vec d|)$. Forse c'è un errore di stampa nel testo del problema.
"chiaraotta":
Caso a, b, c:
Come li hai costruiti tu non è vero che.......
Adesso devo rivedere tutto!
Sto rivedendo la teoria, ma non sto riuscendo a capire l'errore ........
"chiaraotta":
Caso a
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f = vec d + vec e$.
Forse dici così
"chiaraotta":
Caso b
Il testo non dice che debba essere $vec d=vec e$.
Ok, ma non mi dice nemmeno che devono essere diversi
Va bene così
"chiaraotta":
Caso c
Come li hai costruiti tu non è vero che $vec f=vec d - vec e$ e neanche che $|vec f| = |vec d| + |vec e|$.
Va bene quanto segue
P.S. Nei punti b), c), d), la traccia non mi dice quanto valgono i vettori, quindi alternativamente a quanto ho fatto io, non so come quantificare
Esercizio 7
Caso a
Deve essere che
$vec d+vec e=vec f$, $|vec f|=|vec d|-|vec e|$, $|vec d|>|vec e|$
Caso a
Deve essere che
$vec d+vec e=vec f$, $|vec f|=|vec d|-|vec e|$, $|vec d|>|vec e|$
"chiaraotta":
Esercizio 7
Caso a
Deve essere che
$vec d+vec e=vec f$, $|vec f|=|vec d|-|vec e|$, $|vec d|>|vec e|$
Scusa, ma cosa ti ha fatto pensare di mettere l'inizio del vettore $ vec(e) $ in corrispondenza del punto che si vede nell'immagine
Intendo vicino alla fine del vettore $ vec(d) $ Penso si possano mettere in qualsiasi punto del piano, solo che come hai fatto tu è meglio per verificare la somma, vero Mentre il cabo b) e caso c), penso siano corretti, vero
Ti ringrazio vivamente!
Esercizio 7
Caso c
Deve essere che
$vec d - vec e = vec f$, $|vec f|=|vec d|+|vec e|$.
Caso c
Deve essere che
$vec d - vec e = vec f$, $|vec f|=|vec d|+|vec e|$.
"chiaraotta":
Esercizio 7
Caso c
Deve essere che
$vec d - vec e = vec f$, $|vec f|=|vec d|+|vec e|$.
Sai che non sto capendo il perche'
Mi sembra di aver compreso che si tratta della somma e non della differenza, e non capisco il perche' se ho un vettore con intensita' negativa, devo comunque sommarlo! La risposta che riesco a darmi e'che comunque sia una intensita', anche se preceduta dal segno meno, non deve essere considerata come sottrazione in quanto si tratta di un valore assoluto! Ma allora cosa e' che mi fa capire quando devo sottrarre o sommare? In questo caso tu hai sommato, perche'?
Ti ringrazio!
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