Dinamica del moto rotatorio, momento angolare.
Nello studio del primo paragrafo, cioè Momento angolare di un punto materiale, vi è la formula del momento angolare:
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
Risposte
Il vettore $vecL$ , nella risposta d, varia solo il suo modulo, non la direzione. Puoi immaginarlo sempre sull'asse $z$
Perfetto, cosa ne dici del quesito 1, 2, e 3?????
Spero di aver risposto bene!
1 e 2 vanno bene, anche se nel 2 dovevi dire che il momento angolare è nullo se prendi il polo sulla retta del moto. Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è.....?
Per il 3, il modulo di $vecL$ certamente cambia. Ma la direzione?
Per il 3, il modulo di $vecL$ certamente cambia. Ma la direzione?
"navigatore":
Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è.....?
Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero!
"navigatore":
Per il 3, il modulo di $vecL$ certamente cambia. Ma la direzione?
Provo a dire qualcosa, solo che non sono sicuro....
No, la direzione non cambia!
"Bad90":
[quote="Cuspide83"]Sinceramente non capisco a cosa ti serve per ora sapere come il gommista possa operare per salvare la simmetria...
Ho fatto qualche ricerca e penso di aver trovato la risposta che volevo.
Ciò che fa il gommista è proprio eliminare quel momento torcente che si crea dovuto a quantità di massa non bilanciata, insoomma, cerca di ridurre al minimo le oscillazioni!
Spero che Nav. ci dica qualcosa in merito a quanto ho detto, sarebbe interessante sapere tecnicamente quello che accade
[/quote]L'equilibratura dei corpi rotanti assume grande importanza nel mondo delle Macchine. Non solo le gomme delle auto, ma ad es anche l'albero motore a gomiti della tua scassata automobile è stato a suo tempo "equilibrato" in officina prima del montaggio. Pensiamo alle eliche, alle giranti di pompe, a turbine a gas che fanno 20000 giri al minuto (non esagero): devono essere "quasi perfettamente" equilibrate.
Che vuol dire equilibrare un rotore? È una faccenda un po' complessa, e non bastano certo le conoscenze di un primo corso di Fisica per trattare a fondo analiticamente la questione. Però si può provare a capire.
Innanzitutto, diciamo questo: dato un corpo solido "rigido" qualsiasi, e dato un suo qualunque punto $P$, per tale punto possiamo far passare infiniti assi di rotazione. Esistono, tra questi, solo tre assi particolari, perpendicolari tra loro, rispetto ai quali i momenti d'inerzia del solido sono : uno massimo, uno minimo, e il terzo è in generale intermedio tra i due, dipende dalla geometria del corpo. Questi tre assi si chiamano "assi principali di inerzia" del corpo rispetto al punto $P$.
Riferiamoci ora, per semplicità, al CENTRO DI MASSA $C$ come punto $P$ detto prima. Gli assi principali di inerzia riferiti al cdm si chiamano : ASSI CENTRALI DI INERZIA.
Un corpo come una sfera ha infiniti assi centrali di inerzia, rispetto ai quali il momento di inerzia è sempre lo stesso: sono tutti gli assi passanti per $C$. Corpi che hanno simmetrie particolari hanno assi centrali di inerzia facilmente determinabili. Per es un disco ha un asse centrale perpendicolare al disco nel cdm; e ha infiniti assi centrali giacenti nel piano parallelo alle facce, passante per il cdm del disco.
Hai mai preso una moneta, messa di taglio sul tavolo, e posta rapidamente in rotazione con uno scatto delle dita delle due mani? Quello attorno a cui ruota è un asse centrale di inerzia, uno degli infiniti assi paralleli al piano del disco.
Premesso quanto sopra, consideriamo la ruota dell'automobile, e assimiliamola ad un disco, avente un certo raggio $R$ e una certa altezza $H$.
Noi vogliamo che quando il disco ruota attorno all'asse perpendicolare alla faccia questo asse sia "baricentrico" e anche "centrale di inerzia" . Perché ?
Se l'asse non fosse baricentrico, e quindi il cdm avesse una certa "eccentricità" $d$ rispetto all'asse di rotazione (a causa di imperfezioni di costruzione del disco) nascerebbe nella rotazione, per effetto di tale eccentricità, una forza centrifuga $md*\omega^2$, rotante col disco, che causerebbe una nociva inflessione rotante dell'asse e quindi delle sollecitazioni non volute nei cuscinetti di supporto. Questa inflessione, causerebbe delle "oscillazioni flessionali" dell'asse, che oltre ad essere fastidiose danneggerebbero la meccanica a lungo andare. Non è assolutamente il caso di entrare in dettagli matematici, che imparerai in opportuni corsi di Meccanica delle Macchine.
Per portare il baricentro del sistema sull'asse, occorre aggiungere una o più masse in posizione opportuna.
Ma non è finita qui.
Noi vogliamo anche che l'asse, oltre ad essere baricentrico, sia "asse centrale di inerzia". Ma perché? Non basta che sia baricentrico? No, non basta. Consideriamo questo esempio.
Se guardi il disco di lato, lo vedi in proiezione come un rettangolo $ABCD$ , di base $2R$ e altezza $H$. Metti una piccola massa $m$ nel vertice $A$, e una seconda massa uguale alla prima nel vertice diametralmente opposto $C$.
Se guardi bene, il centro di massa del sistema "disco più due masse" si trova nella stessa posizione che ha il cdm del solo disco. Perciò l'asse del disco è ancora baricentrico per questo sistema. Ma mettendolo in rotazione si verifica ora che sulle due masse aggiunte la rotazione genera due forze centrifughe di uguale intensità $mR\omega^2$, di verso opposto, giacenti in un piano che ruota con la stessa velocità angolare, che formano quindi una "coppia rotante" di valore $ mR\omega^2H$ , la quale sollecita l'asse del disco nel piano rotante stesso: a questo momento si oppongono ancora i cuscinetti dell'asse, che quindi vengono sollecitati in modo deleterio, non voluto. Immagina che succederebbe ai cucinetti, se si trattasse di una turbina che fa 20000 giri al minuto!
Ti faccio osservare che, se l'asse di rotazione del disco fosse un perfetto asse centrale di inerzia, il vettore velocità angolare $vec\omega$ e il vettore momento angolare $vecL$ del disco sarebbero perfettamente allineati sull'asse di rotazione. Se invece l'asse di rotazione non è centrale di inerzia, il vettore $vec\omega$ giace sempre sull'asse, ma il vettore $vecL$ no, non sono più paralleli. E questo si vede in Meccanica Razionale. Il vettore $vecL$ ruota come il disco. Allora, per neutralizzare questo effetto, bisogna aggiungere una o più masse per rendere l'asse di rotazione "centrale di inerzia".
Ecco allora che fa il gommista, mettendo la ruota sull'equilibratrice: naturalmente la macchina fa quasi tutto da sola, indicando al gommista dove deve mettere le piccole masse, affinché la ruota sia equilibrata non solo "staticamente" (il baricentro del sistema deve giacere sull'asse) ma anche "dinamicamente" (l'asse di rotazione deve essere un asse centrale di inerzia).
Ecco, ti ho descritto quello che avviene, senza alcuna formula perché non è il caso, ritengo.
Io non so se il gommista sa tutto quello che succede.
Io so solo che quando gli porto la macchina per fare l'equilibratura, si prende un sacco di soldi.
Meglio andare a piedi.
"Bad90":
Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero!
E' un vettore (pseudovettore), cioè nullo non zero!!!
"Bad90":
Per il 3, il modulo di \( vecL \) certamente cambia. Ma la direzione?
Provo a dire qualcosa, solo che non sono sicuro....
No, la direzione non cambia!
Ma non devi tirarlo a caso....
Ti confermo che nemmeno io sapevo cosa succedesse a livello fisico, ma se ricordi tempo fa ti ho detto che ho lavorato per sei anni in una grossa azienda vicino al tuo paese natale, bene, li si fabbricano motori di aerei e motori di navi, ho visto equilibrare le turbine di migliaia di velivoli, dal motore del tornado al JT8, CFM56, T700, PT6, e anche turbine che penso tu conosci bene, LM2600, LM5000, sono dei generatori che vengono montati anche sulle navi!
Bene, il metodo richiede parecchia esperienza e praticità, intendo che quando una turbina aveva delle vibrazioni, i vari dischi dei vari stadi del compressore, venivano fatti ruotare trovando una combinazione vincente, ma li non si aggiungevano delle masse e mediante strumenti di verifica ecc. si riusciva senza conoscere la fisica!
Ma adesso che sto studiando, è bellissimo capire cosa succede
Bene, il metodo richiede parecchia esperienza e praticità, intendo che quando una turbina aveva delle vibrazioni, i vari dischi dei vari stadi del compressore, venivano fatti ruotare trovando una combinazione vincente, ma li non si aggiungevano delle masse e mediante strumenti di verifica ecc. si riusciva senza conoscere la fisica!
Ma adesso che sto studiando, è bellissimo capire cosa succede
Cuspide, il buon Bad sta facendo sforzi enormi da solo per imparare queste cose!
Tu sei nel giusto, quando dici "pseudovettore nullo", nulla da dire, per carità! Ma concediamogli pure di dire che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero....altrimenti gli fai venire una crisi di coscienza, perché magari non conosce lo "pseudovettore", stanotte non dorme, gli vengono gli incubi e i sudori freddi, domani va in macchina al lavoro, gli capita un incidente....
E tu te la senti di portarlo sulla "pseudocoscienza" ?
Io no.
---------
Leggo ora il tuo messaggio, Bad, relativo all'equilibratura dei rotori....Si, come vedi la Meccanica non è altro che Fisica applicata!
Tu sei nel giusto, quando dici "pseudovettore nullo", nulla da dire, per carità! Ma concediamogli pure di dire che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero....altrimenti gli fai venire una crisi di coscienza, perché magari non conosce lo "pseudovettore", stanotte non dorme, gli vengono gli incubi e i sudori freddi, domani va in macchina al lavoro, gli capita un incidente....
E tu te la senti di portarlo sulla "pseudocoscienza" ?
Io no.
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Leggo ora il tuo messaggio, Bad, relativo all'equilibratura dei rotori....Si, come vedi la Meccanica non è altro che Fisica applicata!
"navigatore":
altrimenti gli fai venire una crisi di coscienza, perché magari non conosce lo "pseudovettore", stanotte non dorme, gli vengono gli incubi e i sudori freddi, domani va in macchina al lavoro, gli capita un incidente....
E tu te la senti di portarlo sulla "pseudocoscienza" ?
Io no.
Per domani ho già preso una giornata di ferie! 
ahahahah no no anche se credo data la raffica di post che invia che gli incubi già ci siano!!!
"Cuspide83":
ahahahah no no anche se credo data la raffica di post che invia che gli incubi già ci siano!!!
E SI!
__
Quesito 6
Mi sto incasinando..................................
Un aiuto a ragionare su questo ultimo quesito
HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
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Un aiuto a ragionare su questo ultimo quesito
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Una cosa che non so se hai studiato:
la derivata di un vettore di modulo costante è perpendicolare al vettore stesso (se vuoi te lo dimostro, altrimenti fidati
). Ora tu sai che
\[M=\frac{dL}{dt}\]
quindi \(L\) e \(\frac{dL}{dt}\) sono ortogonali quando il momento angolare è costante in modulo.
la derivata di un vettore di modulo costante è perpendicolare al vettore stesso (se vuoi te lo dimostro, altrimenti fidati
). Ora tu sai che\[M=\frac{dL}{dt}\]
quindi \(L\) e \(\frac{dL}{dt}\) sono ortogonali quando il momento angolare è costante in modulo.
"Cuspide83":
Una cosa che non so se hai studiato:
la derivata di un vettore di modulo costante è perpendicolare al vettore stesso (se vuoi te lo dimostro, altrimenti fidati
\[M=\frac{dL}{dt}\]
quindi \(L\) e \(\frac{dL}{dt}\) sono ortogonali quando il momento angolare è costante in modulo.
Potresti farmi vedere un disegno che rappresenti questo?
Voglio capirlo graficamente!
Puoi fare una foto e poi con power point crei un'immagine di dimensione appropriata e la pubblichi, te ne ringrazio!
__
Bad, Bad, Bad. Quante parole, e quanta poca giustificazione per esse.
"giuliofis":
Bad, Bad, Bad. Quante parole, e quanta poca giustificazione per esse.
E aiutami, sto inguaiato!
Tu cosa risponderesti
Non ti chiedo una partita di ping pong
Cosa diresti
Per ora te lo dimostro in un attimo poi facciamo qualche esempio; supponiamo di avere un vettore \(\vec{b}\) di modulo costante. Ora sai anche che un vettore può essere scritto come una quantità scalare che ne rappresenta il modulo per un versore che ne rappresenta la direzione, nel nostro caso possiamo quindi scrivere \(\vec{b}=b\vec{u}\).
Calcoliamo adesso la derivata fatta rispetto al tempo del modulo quadro del vettore \(\vec{b}\)
\[\frac{d}{dt}b^{2}=\frac{d}{dt}(\vec{b}\cdot\vec{b})=\frac{d\vec{b}}{dt}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=2(\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt})=0\]
Ora questa derivata è uguale a zero perchè il modulo del vettore è costante e quindi anche il suo quadrato, e se osserviamo l'ultima uguaglianza
\[\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=0\]
questa ci dice che questi due vettori sono ortogonali, perchè il loro prodotto scalare è nullo.
Calcoliamo adesso la derivata fatta rispetto al tempo del modulo quadro del vettore \(\vec{b}\)
\[\frac{d}{dt}b^{2}=\frac{d}{dt}(\vec{b}\cdot\vec{b})=\frac{d\vec{b}}{dt}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=2(\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt})=0\]
Ora questa derivata è uguale a zero perchè il modulo del vettore è costante e quindi anche il suo quadrato, e se osserviamo l'ultima uguaglianza
\[\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=0\]
questa ci dice che questi due vettori sono ortogonali, perchè il loro prodotto scalare è nullo.
"Cuspide83":
Per ora te lo dimostro in un attimo poi facciamo qualche esempio; supponiamo di avere un vettore \(\vec{b}\) di modulo costante. Ora sai anche che un vettore può essere scritto come una quantità scalare che ne rappresenta il modulo per un versore che ne rappresenta la direzione, nel nostro caso possiamo quindi scrivere \(\vec{b}=b\vec{u}\).
Calcoliamo adesso la derivata fatta rispetto al tempo del modulo quadro del vettore \(\vec{b}\)
\[\frac{d}{dt}b^{2}=\frac{d}{dt}(\vec{b}\cdot\vec{b})=\frac{d\vec{b}}{dt}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=2(\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt})=0\]
Ora questa derivata è uguale a zero perchè il modulo del vettore è costante e quindi anche il suo quadrato, e se osserviamo l'ultima uguaglianza
\[\vec{b}\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}=0\]
questa ci dice che questi due vettori sono ortogonali, perchè il loro prodotto scalare è nullo.
Infatti il prodotto scalare è dato dal $ *cosalpha $ e quindi se due vettori sono ortogonali, il loro prodotto sarà zero
Quindi per il caso dell'esercizio cosa si deve concludere
Si può rispondere dicendo che se i momenti sono ortogonali, si avrà un prodotto che darà zero, giusto
E cosa devo dire della direzione
Del modulo penso si possa dire che sarà nullo
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