Conservazione dell'energia.
MA su io ho un corpo attaccato ad una molla, posto su un piano, mi viene detto che qualsiasi sia il movimento in x, cioè comprimendo la molla o rilasciandola, l'energia potenziale è sempre positiva $U(x) = 1/2kx^2$, viene rappresentata da una parabola con concavità verso l'alto! Ma perchè è sempre positiva? 
L'unica risposta che riesco a darmi è perchè ho $x^2$, ma apparte questo, come si può giustificare?
Un concetto che non sto capendo in modo chiaro è l'Equilibrio stabile e l'Equilibrio instabile!
Ecco quì:
L'unica risposta che riesco a darmi è perchè ho $x^2$, ma apparte questo, come si può giustificare?
Un concetto che non sto capendo in modo chiaro è l'Equilibrio stabile e l'Equilibrio instabile!
Ecco quì:
Risposte
"Bad90":
Ricavo l'energia potenziale:
$ U = 1/2 ky^2 $
$ U = 1/2 (1600N*m)*(0.015m)^^2 = 0.18N*m $
In questo modo posso ricavare la velocita' che ha la palla quando si stacca dalla molla:
$ K = 0.18N*m $
$ K = 1/2mv^2 $
$ v= sqrt((2K)/m) = 2.19 m/s $
Da un'occhiata veloce (molto) mi sembra che manchi un pezzo. Tieni presente che non tutta l'energia potenziale della molla viene convertita in energia cinetica: una parte diventa potenziale a causa di quella "risalita" di $15 mm$ mentre la palla è ancora attaccata alla molla.
Esercizio 14
Risoluzione
Punto a)
Ricavo l'energia potenziale:
$ U = 1/2 ky^2 $
$ U = 1/2 (1600N*m)*(0.015m)^2 = 0.18N*m $
In questo modo posso ricavare la velocita' che ha la palla quando si stacca dalla molla:
$ K = 0.18N*m $
$ K = 1/2mv^2 $
$ v= sqrt((2K)/m) = 2.19 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.19m/s)^2 = 0.18 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.18 N*m = mgy $
$ (0.18 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.24 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.19m/s $
Cosa ne dici????
Risoluzione
Punto a)
Ricavo l'energia potenziale:
$ U = 1/2 ky^2 $
$ U = 1/2 (1600N*m)*(0.015m)^2 = 0.18N*m $
In questo modo posso ricavare la velocita' che ha la palla quando si stacca dalla molla:
$ K = 0.18N*m $
$ K = 1/2mv^2 $
$ v= sqrt((2K)/m) = 2.19 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.19m/s)^2 = 0.18 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.18 N*m = mgy $
$ (0.18 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.24 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.19m/s $
Cosa ne dici????
Ma scusa non hai cambiato niente... E il consiglio che ti ho dato sulla "risalita" e quindi l'aumento di energia potenziale? 
Scusami Bad90, ma non ero connesso prima. Sei riuscito a risolvere l'esercizio di prima? Quanto ti e' venuto?
Mi pare che sia stato risolto.
Mi pare che sia stato risolto.
"minomic":
Ma scusa non hai cambiato niente... E il consiglio che ti ho dato sulla "risalita" e quindi l'aumento di energia potenziale?
Ma scusami, non si ouo' considerare solo il momento in cui si stacca come punto di origine?
"_GaS_":
Scusami Bad90, ma non ero connesso prima. Sei riuscito a risolvere l'esercizio di prima? Quanto ti e' venuto?
Mi pare che sia stato risolto.
Si l'ho risolto, e' venuto il seguente risuktato:
$ v=sqrt(3gr) $
"_GaS_":
Premetto che del problema ho letto soltanto l'ultimo quesito.
In ogni istante la tensione della fune ( in funzione dell'angolo, dove questo possiede tale valore rispetto alla parallela al suolo ) vale '' $T(theta)=mgsentheta+m(v(theta))^2/r$ ''. Ovvero la tensione e' data dalla somma della componente della forza peso parallela alla fune e dalla forza centripeta ( che tende ad allontanare il corpo, ma la fune compensa trattenendolo ). '' $T$ '' dipende allora dall'angolo ( nel quale si determinano i due particolari prima messi in evidenza ). Se la tensione dovesse essere nulla il corpo non percorrerebbe piu' la circonferenza ( in poche parole e' la tensione che lo vincola ), ma proseguirebbe per fatti suoi ( ovviamente e' da considerare '' $g$ '' ). In '' C '' abbiamo l'angolo di '' $90°$ '', da cui '' $sen90°=1$ '', quindi la componente della forza peso e' massima. La forza peso, pero', ha verso opposto alla forza centripeta ( che tende a '' buttare fuori '' ), quindi sara' una somma negativa ( si sottraggono ). Come prima spiegato la soglia critica e' '' $T=0$ '', e da qui si ricava la velocita' in '' C '' con la quale il corpo arriva in una situazione limite. Il resto si tratta di considerazioni inerenti alla conservazione dell'energia meccanica in corso.
GaS, la forza centripeta non tende a buttare fuori! Capisco che ti sei un attimo distratto...guarda la discussione tra giuliofis e minomic. È la forza apparente (meglio: inerziale) centrifuga, che nasce nel riferimento rotante insieme col filo, nel quale quindi il filo è da immaginare in quiete, che "butta in fuori" : è apparente perché il riferimento rotante non è inerziale, e questa "non inerzialità" del riferimento fa appunto comparire la forza centrifuga. Come nel cestello della lavatrice, come nel Rotor del Luna Park, come in una pompa centrifuga, dove l'acqua aspirata al centro, in prossimità dell'asse, viene messa in rotazione dalla girante e quindi spinta attraverso palettature opportunamente sagomate verso l'esterno, in una parte fissa della pompa detta "diffusore". La si chiama "pompa centrifuga" perchè ci si mette "dalla parte della girante".
Invece, la forza centripeta, diretta verso il centro, è responsabile della accelerazione centripeta, che fa cambiare la direzione del vettore velocità tangenziale facendolo incurvare sempre verso il centro. La forza centripeta va considerata in un riferimento inerziale, quindi non rotante.
Scusami se ho fatto questa piccola precisazione su questa faccenda, ma i fisici ci tengono molto a che queste faccende siano dette chiaramente. Ed è giusto che sia così.
"Bad90":
[quote="minomic"]Ma scusa non hai cambiato niente... E il consiglio che ti ho dato sulla "risalita" e quindi l'aumento di energia potenziale?
Ma scusami, non si ouo' considerare solo il momento in cui si stacca come punto di origine?[/quote]
Eh no. Puoi considerare come "piano terra" il punto in cui la molla è compressa e calcolare la sua energia potenziale come hai fatto, cioè $U=1/2k Deltay^2$. Poi fai attenzione alla sequenza degli eventi:
1. la palla SALE di $15 mm$ restando ferma \(\Longrightarrow\) acquisisce energia potenziale ma non cinetica
2. la palla SI STACCA dalla molla \(\Longrightarrow\) continua ad acquisire energia potenziale ed inizia ad acquisire anche energia cinetica.
Tutto questo se ho interpretato bene il problema.
Ma come faccio a ricavare il $ Deltay $, non ho una coordinata che mi dice questo!
"Bad90":
Ma come faccio a ricavare il $ Deltay $, non ho una coordinata che mi dice questo!
Non fare confusione: il $Deltay$ è la variazione di altezza quando la molla è compressa, quindi $Deltay = 15 mm$.
Bad90, bravo!
Ti ringrazio Navigatore! Adesso ( dopo il messaggio ) vado a controllare ( siccome questa discussione ha quasi venti pagine, non ho letto tutto ). Io lo intendevo cosi': il corpo e' attaccato al filo inestensibile e ruota. Se non ci fosse l'interazione del filo il corpo tenderebbe ad allontanarsi sulla tangente, per il primo principio della dinamica. Infatti, in un istante, se considerassimo il filo non agente, il corpo si sarebbe allontanato dal centro di rotazione. Tuttavia il filo e' inestensibile, allora quel potenziale allontanamento viene impedito dalla fune. Quindi pensavo che rispetto al corpo, la tensione fosse verso il centro ( la tensione e' una forza di risposta ), mentre pensavo che la forza centripeta fosse quell'interazione che causa ( in parte, perche' c'e' anche la componente gravitazionale, ma ora non ci interessa ) la tensione, e quindi di verso opposto.
Pero' stando a questo ragionamento sarebbe una forza verso l'esterno per il filo...correggimi se sbaglio. Se non ci fosse piu' la fune, il corpo volerebbe via a causa della sua velocita', con la quale tende a fuggire. Pero' c'e' qualcosa che non mi torna, devo pensare proprio a riguardo.
Ti ringrazio Navigatore! Adesso ( dopo il messaggio ) vado a controllare ( siccome questa discussione ha quasi venti pagine, non ho letto tutto ). Io lo intendevo cosi': il corpo e' attaccato al filo inestensibile e ruota. Se non ci fosse l'interazione del filo il corpo tenderebbe ad allontanarsi sulla tangente, per il primo principio della dinamica. Infatti, in un istante, se considerassimo il filo non agente, il corpo si sarebbe allontanato dal centro di rotazione. Tuttavia il filo e' inestensibile, allora quel potenziale allontanamento viene impedito dalla fune. Quindi pensavo che rispetto al corpo, la tensione fosse verso il centro ( la tensione e' una forza di risposta ), mentre pensavo che la forza centripeta fosse quell'interazione che causa ( in parte, perche' c'e' anche la componente gravitazionale, ma ora non ci interessa ) la tensione, e quindi di verso opposto.
Pero' stando a questo ragionamento sarebbe una forza verso l'esterno per il filo...correggimi se sbaglio. Se non ci fosse piu' la fune, il corpo volerebbe via a causa della sua velocita', con la quale tende a fuggire. Pero' c'e' qualcosa che non mi torna, devo pensare proprio a riguardo.
"minomic":
[quote="Bad90"]Ma come faccio a ricavare il $ Deltay $, non ho una coordinata che mi dice questo!
Non fare confusione: il $Deltay$ è la variazione di altezza quando la molla è compressa, quindi $Deltay = 15 mm$.[/quote]
Ma vedi che e' proprio quello che ho fatto io! Non capisco cosa mi stai dicendo?!?!?!
Minomic, Per evitare di perdere tempo e fare confusione, tu come lo risolveresti????
Io lo vedo così: fissiamo la quota zero all'altezza cui si trova la pallina quando comprime la molla. Chiamiamo questo punto il punto 1.
Consideriamo il momento in cui la pallina si stacca dalla molla e chiamiamolo punto 2.
Deve valere $E_1 = E_2$ quindi
\[
U_{1} = U_{2} + K_{2} \Longrightarrow \frac{1}{2}k \Delta y^2 = mg \Delta y + \frac{1}{2}mv^2
\] Cosa ne dici?
Consideriamo il momento in cui la pallina si stacca dalla molla e chiamiamolo punto 2.
Deve valere $E_1 = E_2$ quindi
\[
U_{1} = U_{2} + K_{2} \Longrightarrow \frac{1}{2}k \Delta y^2 = mg \Delta y + \frac{1}{2}mv^2
\] Cosa ne dici?
"minomic":
Cosa ne dici?
Da questa:
\[U_{1} = U_{2} + K_{2} \Longrightarrow \frac{1}{2}k \Delta y^2 = mg \Delta y + \frac{1}{2}mv^2\]
Ricavo la velocità quando si stacca dalla molla:
$ v = 4.50 m/s $
"Bad90":
$ v = 4.50 m/s $
Giusto?
Hai dimenticato di fare la radice. Risulta $v ~~2.12 m/s$.
Da questa:
\[U_{1} = U_{2} + K_{2} \Longrightarrow \frac{1}{2}k \Delta y^2 = mg \Delta y + \frac{1}{2}mv^2\]
Ricavo la velocità quando si stacca dalla molla:
$ v = sqrt(4.50 m^2/s^2) = 2.12 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.12 m/s)^2 = 0.16 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.16 N*m = mgy $
$ (0.16 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.22 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.12m/s $
Va bene adesso
\[U_{1} = U_{2} + K_{2} \Longrightarrow \frac{1}{2}k \Delta y^2 = mg \Delta y + \frac{1}{2}mv^2\]
Ricavo la velocità quando si stacca dalla molla:
$ v = sqrt(4.50 m^2/s^2) = 2.12 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.12 m/s)^2 = 0.16 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.16 N*m = mgy $
$ (0.16 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.22 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.12m/s $
Va bene adesso
"Bad90":
Va bene adesso
Purtroppo no.
Nel calcolare l'altezza hai uguagliato l'energia iniziale a quella finale e questo è giusto. Però come energia iniziale hai preso solo quella cinetica, mentre abbiamo detto che ha anche un'energia potenziale!
Ad ogni modo il metodo più facile è il seguente:
\[
\frac{1}{2}k \Delta y^2 = mgh
\] però attenzione perchè così calcoliamo l'altezza rispetto al "nostro" $0$, cioè rispetto all'altezza alla quale si trova la palla quando comprime la molla. Quindi se vogliamo l'altezza massima rispetto alla posizione di riposo della molla basterà sottrarre $15 mm$ all'altezza che troveremo con la formula precedente.
"minomic":
[quote="Bad90"]Va bene adesso :
Purtroppo no.
Nel calcolare l'altezza hai uguagliato l'energia iniziale a quella finale e questo è giusto. Però come energia iniziale hai preso solo quella cinetica, mentre abbiamo detto che ha anche un'energia potenziale!
Ad ogni modo il metodo più facile è il seguente:
\[
\frac{1}{2}k \Delta y^2 = mgh
\] però attenzione perchè così calcoliamo l'altezza rispetto al "nostro" $0$, cioè rispetto all'altezza alla quale si trova la palla quando comprime la molla. Quindi se vogliamo l'altezza massima rispetto alla posizione di riposo della molla basterà sottrarre $15 mm$ all'altezza che troveremo con la formula precedente.[/quote]
Quindi vuoi dire che $ 0.22m - 0.015m = 0.20 m $ è la nostra $ y $
GaS,
la mia osservazione si riferisce solo al significato fisico di forza centripeta e forza centrifuga, non intende entrare nel merito dell'esercizio di Bad, che non ho seguito.
Se fai roteare una pietra, di piccola massa rispetto alla tua, attaccata a uno spago che tieni con la mano (e supponiamo di farla roteare in un piano orizzontale, così ci liberiamo, o facciamo in modo che sia trascurabile, della forza di gravita!), deve essere chiaro che la forza centripeta è quella che il filo, tenuto dalla tua mano, esercita sulla pietra e le fa cambiare direzione, cioè la mantiene sulla traiettoria circolare. Tu sei un osservatore "inerziale" (con buona approssimazione puoi dirti tale, se la pietra ha massa abbastanza piccola rispetto a te, e non ti squilibria. Ma se la massa della pietra è paragonabile alla tua massa, c'è rischio che l'attrito tra le tue scarpe e il suolo non ti trattenga, e vi mettete a ruotare entrambi...pensa a due pattinatori sul ghiaccio, di massa quasi uguale: devi considerare la rotazione di entrambi rispetto al centro di massa: e questo è un problema di due corpi...). Quindi nel riferimento inerziale la forza centripeta è diretta verso il centro.
Ma il moto si può vedere anche in un riferimento rotante col filo: quindi il filo e la pietra in questo riferimento rotante sono da considerarsi in equilibrio, ma il riferimento rotante non è più inerziale, e la forza apparente, diretta verso l'esterno, è la forza centrifuga.
Se si spezza il filo, è ovvio che la pietra parte per la tangente.
Ecco, solo questa era l'osservazione. Piccola ma importante.
la mia osservazione si riferisce solo al significato fisico di forza centripeta e forza centrifuga, non intende entrare nel merito dell'esercizio di Bad, che non ho seguito.
Se fai roteare una pietra, di piccola massa rispetto alla tua, attaccata a uno spago che tieni con la mano (e supponiamo di farla roteare in un piano orizzontale, così ci liberiamo, o facciamo in modo che sia trascurabile, della forza di gravita!), deve essere chiaro che la forza centripeta è quella che il filo, tenuto dalla tua mano, esercita sulla pietra e le fa cambiare direzione, cioè la mantiene sulla traiettoria circolare. Tu sei un osservatore "inerziale" (con buona approssimazione puoi dirti tale, se la pietra ha massa abbastanza piccola rispetto a te, e non ti squilibria. Ma se la massa della pietra è paragonabile alla tua massa, c'è rischio che l'attrito tra le tue scarpe e il suolo non ti trattenga, e vi mettete a ruotare entrambi...pensa a due pattinatori sul ghiaccio, di massa quasi uguale: devi considerare la rotazione di entrambi rispetto al centro di massa: e questo è un problema di due corpi...). Quindi nel riferimento inerziale la forza centripeta è diretta verso il centro.
Ma il moto si può vedere anche in un riferimento rotante col filo: quindi il filo e la pietra in questo riferimento rotante sono da considerarsi in equilibrio, ma il riferimento rotante non è più inerziale, e la forza apparente, diretta verso l'esterno, è la forza centrifuga.
Se si spezza il filo, è ovvio che la pietra parte per la tangente.
Ecco, solo questa era l'osservazione. Piccola ma importante.
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