Conservazione dell'energia.
MA su io ho un corpo attaccato ad una molla, posto su un piano, mi viene detto che qualsiasi sia il movimento in x, cioè comprimendo la molla o rilasciandola, l'energia potenziale è sempre positiva $U(x) = 1/2kx^2$, viene rappresentata da una parabola con concavità verso l'alto! Ma perchè è sempre positiva? 
L'unica risposta che riesco a darmi è perchè ho $x^2$, ma apparte questo, come si può giustificare?
Un concetto che non sto capendo in modo chiaro è l'Equilibrio stabile e l'Equilibrio instabile!
Ecco quì:
L'unica risposta che riesco a darmi è perchè ho $x^2$, ma apparte questo, come si può giustificare?
Un concetto che non sto capendo in modo chiaro è l'Equilibrio stabile e l'Equilibrio instabile!
Ecco quì:
Risposte
"giuliofis":
[quote="Bad90"] Esercizio 12
A colpo d'occhio mi sembra sia simile all'esercizio precedente
È quasi identico, sì. Cambia solo il valore dell'angolo e il fatto che ora l'energia cinetica iniziale è diversa da 0.
Dai, ora ce la fai completamente da solo, vero?[/quote]
Adesso provo a trarre qualche conclusione!
Punto a)
Vale sempre il principio di conservazione dell'energia:
$ K_A -K_o = - (U_A - U_o) $
$ K_o + U_o = K_A + U_A $
Nel punto A sarà:
$ K_o + U_o = K_A $
Che si può scrivere:
$ E_o = K_A $
$ mgr = 1/2mv_A^2 $
La velocità sarà:
$ v_A = sqrt(2gr) $
La tensione sarà:
$ T = mg + (mv_A^2)/r $
$ T = mg + (m2gr)/r $
$ T = mg + m2g = 3mg$
Va bene fin quì?????
Sempre se ho fatto bene il punto a), adesso come faccio a risolvere il punto b)
Insomma, mi trovo in una circostanza in cui la rotazione della palla è lungo tutta la circonferenza, se non si ferma nel punto B, allora non potrò considerare una energia potenziale!
Se ruota sempre avrò solo energia cinetica 
Vale sempre il principio di conservazione dell'energia:
$ K_A -K_o = - (U_A - U_o) $
$ K_o + U_o = K_A + U_A $
Nel punto A sarà:
$ K_o + U_o = K_A $
Che si può scrivere:
$ E_o = K_A $
$ mgr = 1/2mv_A^2 $
La velocità sarà:
$ v_A = sqrt(2gr) $
La tensione sarà:
$ T = mg + (mv_A^2)/r $
$ T = mg + (m2gr)/r $
$ T = mg + m2g = 3mg$
Va bene fin quì?????
Sempre se ho fatto bene il punto a), adesso come faccio a risolvere il punto b)
Insomma, mi trovo in una circostanza in cui la rotazione della palla è lungo tutta la circonferenza, se non si ferma nel punto B, allora non potrò considerare una energia potenziale!
Se ruota sempre avrò solo energia cinetica
Bad, la pallina parte con una velocità iniziale e quindi un'energia cinetica iniziale $1/2mv_0^2$, inoltre inizialmente ha, rispetto al piano orizzontale passante per A, l'energia potenziale $mgr$. Quindi l'energia totale iniziale è :
$1/2mv_0^2 + mgr$
Quando arriva in A, l'energia potenziale si annulla ( ricordati che hanno importanza le "variazioni di energia"). e quindi l'energia in A è tutta cinetica : $1/2mv_A^2$. Perciò deve essere :
$1/2mv_0^2 + mgr =1/2mv_A^2$
e questo ti consente di ricavare la $v_A$. Il tuo calcolo è sbagliato, non tiene conto dell'energia cinetica impressa inizialmente alla pallina.
Poi che succede? L'energia cinetica che la pallina ha in A si trasforma nuovamente in "potenziale più cinetica" quando la pallina torna in B. E siccome B si trova alla stessa altezza di O rispetto al piano orizzontale, la velocità in B avrà lo stesso valore, ma direzione opposta, di quello che aveva in O, cioè quello iniziale.
$1/2mv_0^2 + mgr$
Quando arriva in A, l'energia potenziale si annulla ( ricordati che hanno importanza le "variazioni di energia"). e quindi l'energia in A è tutta cinetica : $1/2mv_A^2$. Perciò deve essere :
$1/2mv_0^2 + mgr =1/2mv_A^2$
e questo ti consente di ricavare la $v_A$. Il tuo calcolo è sbagliato, non tiene conto dell'energia cinetica impressa inizialmente alla pallina.
Poi che succede? L'energia cinetica che la pallina ha in A si trasforma nuovamente in "potenziale più cinetica" quando la pallina torna in B. E siccome B si trova alla stessa altezza di O rispetto al piano orizzontale, la velocità in B avrà lo stesso valore, ma direzione opposta, di quello che aveva in O, cioè quello iniziale.
"minomic":
http://it.wikipedia.org/wiki/Pendolo
h
Ah ecco, forse siamo arrivati alla soluzione! Grazie!
Grazie a te per aver colto il mio errore!
Ricapitoliamo:
Sistema di riferimento inerziale
Accelerazione centripeta, si ha $T-P=ma_c =F$ da cui $T=P+F$.
Sistema di riferimento non inerziale solidale alla pallina del pendolo
Nessun moto radiale, dunque risultante delle forze nulla e forza centrifuga. $P+F-T=0$ da cui $T=P+F$.
Sei d'accordo?
"navigatore":
Bad, la pallina parte con una velocità iniziale e quindi un'energia cinetica iniziale $1/2mv_0^2$, inoltre inizialmente ha, rispetto al piano orizzontale passante per A, l'energia potenziale $mgr$. Quindi l'energia totale iniziale è :
$1/2mv_0^2 + mgr$
Quando arriva in A, l'energia potenziale si annulla ( ricordati che hanno importanza le "variazioni di energia"). e quindi l'energia in A è tutta cinetica : $1/2mv_A^2$. Perciò deve essere :
$1/2mv_0^2 + mgr =1/2mv_A^2$
e questo ti consente di ricavare la $v_A$. Il tuo calcolo è sbagliato, non tiene conto dell'energia cinetica impressa inizialmente alla pallina.
Poi che succede? L'energia cinetica che la pallina ha in A si trasforma nuovamente in "potenziale più cinetica" quando la pallina torna in B. E siccome B si trova alla stessa altezza di O rispetto al piano orizzontale, la velocità in B avrà lo stesso valore, ma direzione opposta, di quello che aveva in O, cioè quello iniziale.
Ok, Nav. , ho trascurato quell'energia potenziale iniziale e poi mi sono portato avanti l'errore!
"giuliofis":
[quote="minomic"]
http://it.wikipedia.org/wiki/Pendolo
h
Ah ecco, forse siamo arrivati alla soluzione! Grazie!
Grazie a te per aver colto il mio errore!
Ricapitoliamo:
Sistema di riferimento inerziale
Accelerazione centripeta, si ha $T-P=ma_c =F$ da cui $T=P+F$.
Sistema di riferimento non inerziale solidale alla pallina del pendolo
Nessun moto radiale, dunque risultante delle forze nulla e forza centrifuga. $P+F-T=0$ da cui $T=P+F$.
Sei d'accordo?[/quote]
Sì direi che così va bene!
Esercizio 13
La figura si riderisce a quella dell'esercizio 12, cioe' il precedente!
La figura si riderisce a quella dell'esercizio 12, cioe' il precedente!
La soglia critica e' '' $T=0N$ ''. Dunque per '' $mg=mv^2/r$ '' ( in alto, in quella localita' si sottraggono le forze ).
$2mgr+1/2mv^2=mgr+1/2mv_0^2$.
Conservazione energia in atto.
$2mgr+1/2mv^2=mgr+1/2mv_0^2$.
Conservazione energia in atto.
Premetto che del problema ho letto soltanto l'ultimo quesito.
In ogni istante la tensione della fune ( in funzione dell'angolo, dove questo possiede tale valore rispetto alla parallela al suolo ) vale '' $T(theta)=mgsentheta+m(v(theta))^2/r$ ''. Ovvero la tensione e' data dalla somma della componente della forza peso parallela alla fune e dalla forza centripeta ( che tende ad allontanare il corpo, ma la fune compensa trattenendolo ). '' $T$ '' dipende allora dall'angolo ( nel quale si determinano i due particolari prima messi in evidenza ). Se la tensione dovesse essere nulla il corpo non percorrerebbe piu' la circonferenza ( in poche parole e' la tensione che lo vincola ), ma proseguirebbe per fatti suoi ( ovviamente e' da considerare '' $g$ '' ). In '' C '' abbiamo l'angolo di '' $90°$ '', da cui '' $sen90°=1$ '', quindi la componente della forza peso e' massima. La forza peso, pero', ha verso opposto alla forza centripeta ( che tende a '' buttare fuori '' ), quindi sara' una somma negativa ( si sottraggono ). Come prima spiegato la soglia critica e' '' $T=0$ '', e da qui si ricava la velocita' in '' C '' con la quale il corpo arriva in una situazione limite. Il resto si tratta di considerazioni inerenti alla conservazione dell'energia meccanica in corso.
In ogni istante la tensione della fune ( in funzione dell'angolo, dove questo possiede tale valore rispetto alla parallela al suolo ) vale '' $T(theta)=mgsentheta+m(v(theta))^2/r$ ''. Ovvero la tensione e' data dalla somma della componente della forza peso parallela alla fune e dalla forza centripeta ( che tende ad allontanare il corpo, ma la fune compensa trattenendolo ). '' $T$ '' dipende allora dall'angolo ( nel quale si determinano i due particolari prima messi in evidenza ). Se la tensione dovesse essere nulla il corpo non percorrerebbe piu' la circonferenza ( in poche parole e' la tensione che lo vincola ), ma proseguirebbe per fatti suoi ( ovviamente e' da considerare '' $g$ '' ). In '' C '' abbiamo l'angolo di '' $90°$ '', da cui '' $sen90°=1$ '', quindi la componente della forza peso e' massima. La forza peso, pero', ha verso opposto alla forza centripeta ( che tende a '' buttare fuori '' ), quindi sara' una somma negativa ( si sottraggono ). Come prima spiegato la soglia critica e' '' $T=0$ '', e da qui si ricava la velocita' in '' C '' con la quale il corpo arriva in una situazione limite. Il resto si tratta di considerazioni inerenti alla conservazione dell'energia meccanica in corso.
Quindi vuoi dire che la tensione sara':
$T(theta)=mgsentheta - m(v(theta))^2/r$
$T(theta)=mgsentheta - m(v(theta))^2/r$
Per l'esattezza vanno sommati. Se nel sistema di riferimento la forza centripeta assume un valore negativo dipende dall'angolo nel quale si trova il corpo.
Io sto pensando a questo:
$ 1/2mv_c^2 + 2mgr = 1/2mv_o^2 + mgr $
$ 1/2mv_c^2 + 2mgr = 1/2mv_o^2 + mgr $
Giusto.
Nel punto C, avro' la seguente sutuazione:
$ 1/2 mv^2 = 2mgr $
da cui posso ricavare la velocita':
$ v= sqrt(4gr) $
Questa e' una somma in quanto si ha stessa direZione e verso:
$T(theta)=mgsentheta + m(v_(theta))^2/r$
$ 1/2 mv^2 = 2mgr $
da cui posso ricavare la velocita':
$ v= sqrt(4gr) $
Questa e' una somma in quanto si ha stessa direZione e verso:
$T(theta)=mgsentheta + m(v_(theta))^2/r$
Le equazioni risolutive sono quelle che precedentemente ho postato.
In '' C '' abbiamo un'angolo di '' $90$ '', quindi '' $sen90°=1$ ''. La forza peso ( agisce in tutta la sua componente ) in questo caso e' opposta alla forza centripeta ( sempre nel verso esterno della circonferenza ), la prima in basso, l'altra in alto. Poi viene il resto.
In '' C '' abbiamo un'angolo di '' $90$ '', quindi '' $sen90°=1$ ''. La forza peso ( agisce in tutta la sua componente ) in questo caso e' opposta alla forza centripeta ( sempre nel verso esterno della circonferenza ), la prima in basso, l'altra in alto. Poi viene il resto.
Mi sono impallato!
Allora, ricapitolando:
$ 1/2mv_c^2 + 2mgr = 1/2mv_o^2 + mgr $
La tensione sara':
$ T_(alpha) = mg* senalpha - (mv^2)/r $
Da questa ricavo la velocita' in quell'istante $ alpha $ cioe' a $ 90^o $, allora sara':
$ mg = (mv^2)/r $
$ v= sqrt(gr) $
Va bene fin qui'???
$ 1/2mv_c^2 + 2mgr = 1/2mv_o^2 + mgr $
La tensione sara':
$ T_(alpha) = mg* senalpha - (mv^2)/r $
Da questa ricavo la velocita' in quell'istante $ alpha $ cioe' a $ 90^o $, allora sara':
$ mg = (mv^2)/r $
$ v= sqrt(gr) $
Va bene fin qui'???
Il testo mi dice che la tensione e' $ sqrt(3gr) $, ma da dove salta fuori?
No sto riuscendo ad arrivare alla soluzione nemmeno con gli aiuti, l' unico prova che ho fatto e che mi porta a quel risultato e' rivavare la velocita' dall'equazione dell'energia cinetica e da quella ricavando la velocita' si arriva a $ v= sqrt(3gr) $
Ma insomma, che cosa succede nel punto C???
Scusami Gas, ma mi sono confuso, effettivamente ho risolto l'esercizio e non me ne sono reso conto!
No sto riuscendo ad arrivare alla soluzione nemmeno con gli aiuti, l' unico prova che ho fatto e che mi porta a quel risultato e' rivavare la velocita' dall'equazione dell'energia cinetica e da quella ricavando la velocita' si arriva a $ v= sqrt(3gr) $
Ma insomma, che cosa succede nel punto C???
Scusami Gas, ma mi sono confuso, effettivamente ho risolto l'esercizio e non me ne sono reso conto!
Esercizio 14
Risoluzione
Punto a)
Ricavo l'energia potenziale:
$ U = 1/2 ky^2 $
$ U = 1/2 (1600N*m)*(0.015m)^2 = 0.18N*m $
In questo modo posso ricavare la velocita' che ha la palla quando si stacca dalla molla:
$ K = 0.18N*m $
$ K = 1/2mv^2 $
$ v= sqrt((2K)/m) = 2.19 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.19m/s)^2 = 0.18 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.18 N*m = mgy $
$ (0.18 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.24 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.19m/s $
Cosa ne dici????
Risoluzione
Punto a)
Ricavo l'energia potenziale:
$ U = 1/2 ky^2 $
$ U = 1/2 (1600N*m)*(0.015m)^2 = 0.18N*m $
In questo modo posso ricavare la velocita' che ha la palla quando si stacca dalla molla:
$ K = 0.18N*m $
$ K = 1/2mv^2 $
$ v= sqrt((2K)/m) = 2.19 m/s $
Adesso che conosco la velocita' dal monento che si stacca dalla molla, so che l'enerigia cinetica da questo momento sara' :
$ K = 1/2 (0.075kg)*(2.19m/s)^2 = 0.18 N*m $
Adesso so che dall'energia potenziale, potro' ricavare la mia y:
$ 0.18 N*m = mgy $
$ (0.18 N*m)/(mg) = y $
$ y = 0.24 m $
Punto b)
La velocita' sara' quella che ho calcolato prima:
$ v = 2.19m/s $
Cosa ne dici????
"Bad90":
Esercizio 14
Dove sono i tuoi tentativi di risoluzione, Bad?
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