Studio di funzione....

[kioccolatino90]

Buon giorno a tutti, ricomincia una nuova giornata piena di esercizi....
ho un paio di dubbi sullo studio di funzione posto un esempio per semplificare cioè che non ho capito...

Abbiamo la funzione $y=(x-1)/(x^2-3)$ quando vado a fare l'intersezione con l'asse delle x ponendo $y=0$ devo risolvere il sistema: ${((x-1)/(x^2-3)=0),(y=0):}$ però ora le soluzioni sono 3, perchè la prima devono valere 0 contemporaneamente numeratore e denominatore: ${((x-1)=0),(x^2-3=0):} rarr {(x=1),(x=+-sqrt3):}$ e quindi la funzione interseca l'asse delle x in: $A(1,0)$; $B(-sqrt3;0)$ e $C(sqrt3;0)$ possibile che si trovano tutti questi punti? secondo me sbaglio qualcosa...

[Lorin1]

Giusto^^

[kioccolatino90]

poi se non è troppo volevo far vedere come ho svolto questa funzione:

$f(x)=log|x^2-3x+2|$

Dominio è: $D:{|x^2-3x+2|>0}$ lo voglio strettamente maggiore di zero ma il valore assoluto è sempre positivo tranne in quei punti in cui si annulla quindi $D: AA in RR \{1;2}$

Positività: $log|x^2-3x+2|>=0$ equivale alla risoluzione del sistema:

${(D),(|x^2-3x+2|>=1 rarr {(x^2-3x+2>=1),(x^2-3x+2<=-1):} rarr {(x<= (3-sqrt5)/2 uuu (3+sqrt5)/2),(mai):}):}$ $rArr$ ${(D),(x<= (3-sqrt5)/2 uuu (3+sqrt5)/2):}$ dunque è positiva a $-oo; (3-sqrt5)/2$ poi è negativa tra $(3-sqrt5)/2;(3+sqrt5)/2$ ed è di nuovo positiva a $(3+sqrt5)/2;+oo$....

Int. con gli assi:

-int asse x: ${(y=0),(log|x^2-3x+2|=0 rarr x=1 e x=2):}$ la funzione interseca l'asse delle $x$ nei punti $A(1;0); B(2;0)$

-int asse y: ${(x=0),(y=log|x^2-3x+2| rarr y=log 2):}$ la funzione interseca l'asse delle $y$ nel punto $C(0;log 2)$

per il momento mi fermo qua perchè l'intersezione con l'asse delle x è sbagliato ma non riesco a capire perchè....

[Lorin1]

Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse delle x, hai da risolvere questa equazione in sostanza:

$log|x^2-3x+2|=0 => |x^2-3x+2|=1$

ora dalla definizione di valore assoluto abbiamo:

${(x^2-3x+2>=0) , (x^2-3x+2=1):} uu {(x^2-3x+2<0) , (x^2-3x+2=-1):}$

e risolvi.

PS: In realtà quando c'è uno studio di funzione con il valore assoluto, io preferisco scindere inizialmente i due casi, in modo da non fare confusione ogni volta e, cioè preferisco studiare:

$f_1(x)=log(x^2-3x+2) , x<=1 uu x>=2$

$f_2(x)=log(-x^2+3x-2) , 1
Studio separatamente i due grafici, rispettando ovviamente le restrizioni del dominio e poi faccio un unico grafico.

[kioccolatino90]

ma la seconda funzione non è impossibile? poichè il dominio dice che in quell'intervallo non è definita e il logaritmo non è positivo.....

[Lorin1]

Poni l'argomento maggiore di zero e vedi che succede. xD

[kioccolatino90]

mi è uscito che è positiva in $1

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[kioccolatino90]

Ah già l'ho scritto pure che la funzione è definita in tutto $RR$ tranne che nei punti in cui si annulla....Ma quando abbiamo dei punti in cui si annulla come nel nostro caso, questi sono sempre asintoti verticali?

[orazioster]

I punti in cui si annulla
l'argomento del logaritmo intendi?

in quel caso la funzione TENDE a $-\infty$ -per cui ammette asintoto verticale. (hai
un asintoto verticale quando, per $x\tox_0$,$f(x)\to+-\infty$)

[kioccolatino90]

intendevo, ammettiamo che io ho calcolato il dominio che è tutto $RR$ allora escluso i valori $1$ e $2$, posso dire senza andare a calcolare gli asintoti verticali che essi lo so sono???? tanto ho notato che ogni volta che nel dominio ho una situazione del genere $x!=...$ esso è sempre un asintoto verticale.....

[Lorin1]

Bhe non direi. Certo ci sono casi scontati come le funzioni razionali (dove sia il numeratore, sia il denominatore sono polinomi) in cui lo trovi sempre l'asintoto verticale, per ogni valore escluso dal dominio. Ma ci sono casi in cui non è vero per niente, prendi ad esempio la funzione $y=e^((1-x)/(1+x))$. (dovrebbe andare bene^^). Calcola dominio e asintoti verticali e vedi cosa succede.

[kioccolatino90]

ok allora il dominio è: $D=1+x!=0 rarr AA x!=-1$

provo a calcolare il l'asintoto verticale $lim_(x->-1)e^((1-x)/(1+x))=e^(2/0)=e^oo= oo$....e non riesco notare la differenza...

[Lorin1]

Beh la differenza è che quando $e^(-oo)=0$ e quindi non c'è l'asintoto verticale, mentre per $e^(+oo)=+oo$ si invece.

Fai attenzione a quello che dici, perchè non è vero che $e^(oo)=oo$

[kioccolatino90]

"Lorin":
Fai attenzione a quello che dici, perchè non è vero che $e^(oo)=oo$

giusto devo specificare a che infinito tende....quello che ho scritto io è un infinito diciamo generale......

[Lorin1]

Si ma nemmeno va bene, perchè c'è sempre il caso $e^(-oo)=0$ e non $e^(-oo)=-oo$

[kioccolatino90]

giusto hai ragione... quindi non è sempre vero quello che ho detto....

poi sempre di questa funzione non capisco perche la crescenza e la decrescenza la sbaglio:

la funzione è $log|x^2-3x+2|$, e devo fare una semplice derivata prima $log(fx)=(f'(x))/(f(x))$ e quindi esce $|2x-3|/(|x^2-3x+2|)>=0$ faccio il falso sistema:

il numeratore lo pongo maggiore o uguale a zero $|2x-3|>=0 rarr AA x$ quindi sempre verificata;

il denominatore lo voglio strettamente maggiore di zero quindi $|x^2-3x+2|>0$ è sempre positiva tranne nei valori in cui essa si annulla; e mi viene che la funzione è sempre crescente... però non si trova se vado a disegnare il grafico...

[Lorin1]

Come ti ho già detto, devi separare i due casi. Cioè devi studiare $y=log(f(x)) , f(x)>=0$ e $log(-f(x)) , f(x)<0$, altrimenti è normale che non ti viene.

[kioccolatino90]

ma anche per tutti e tre gli asintoti devo separare la funzione o non è necessario?

[Lorin1]

Si in genere si fa uno studio separato delle due funzioni e poi si riportano su un solo grafico finale. Anche se inizialmente spaventa questo fatto di dover fare due grafici, facendo i calcoli poi ti rendi conto che molte cose diventano più semplici.

[kioccolatino90]

ma se decido di separare la funzione devo partire dall''inizio oppure posso partire anche dal calcolo il dominio per entrambe e poi separare?

[Lorin1]

E' lo stesso. Ma conviene sempre partire dall'inizio, in modo da avere uno studio più ordinato.