Integrazione indefinita e differenziazione
Salve ragazzi,
sono uno studente di Ing. Meccanica e sto scrivendo una dispensa di Analisi I e II per conto del mio professore.
Mi sono posto come obiettivo di rendere semplice lo studio della materia, che risulta talvolta faticoso sia a causa della troppa astrazione dei libri di testo, sia della loro incompletezza.
A proposito di quest'ultimo aspetto, mi è sorto un forte dubbio scrivendo il capitolo del calcolo integrale (in una variabile):
cos'è quel maledetto $dx$ che compare nel simbolo di integrale indefinito??
Tutti i libri di testo che ho consultato, sia il mio stesso professore a lezione, attribuiscono al $dx$ il semplice ruolo di identificare la variabile d'integrazione. Questa cosa però "mi puzza".
A questo punto, ho cominciato a pensare che fosse errata, almeno in parte, l'affermazione (presente nella maggior parte dei testi, tutti universitari, che ho consultato) che integrazione indefinita e derivazione sono operazioni inverse. Ho supposto che quel $dx$ comincia a significare effettivamente qualcosa se si definisce l'integrazione come operazione inversa della differenziazione. Mi spiego.
Consideriamo la solita $ f:I rarr RR $ e una sua primitiva $F(x)$ su $I$. Allora
$int f(x) dx = F(x)+c$
Sostituendo ora $f(x) dx$ con $d[F(x)+c]$ ($c$ reale), scriviamo
$int d[F(x)+c]=F(x)+c$
Da questa relazione risulerebbe (a mio parere) che differenziazione e integrazione indefinita sono operazioni inverse. Inoltre, dal momento che
$D[F(x)+c]=f(x)$
e non $f(x) dx$, mi pare errato affermare che la derivazione sia l'inverso dell'integrazione.
Dato il conflitto tra queste mie osservazioni e quanto riportato nei testi, chiederei gentilmente A CHI DI COMPETENZA di illuminarmi. Grazie in anticipo!
PS. Prima di aprire questa discussione, ne ho cercate altre simili sul sito. Ne ho trovata una con lo stesso identico argomento, in cui, tuttavia, al povero diavolo che ha posto la domanda, hanno risposto parecchi "professori" che nè hanno risolto la questione, nè hanno dato delle risposte valide (ad esempio si è detto che il $dx$ è una "convenzione" che indica la variabile d'integrazione: chissà perchè allora tutto quel macello con i differenziali quando si opera l'integrazione per sostituzione...).
sono uno studente di Ing. Meccanica e sto scrivendo una dispensa di Analisi I e II per conto del mio professore.
Mi sono posto come obiettivo di rendere semplice lo studio della materia, che risulta talvolta faticoso sia a causa della troppa astrazione dei libri di testo, sia della loro incompletezza.
A proposito di quest'ultimo aspetto, mi è sorto un forte dubbio scrivendo il capitolo del calcolo integrale (in una variabile):
cos'è quel maledetto $dx$ che compare nel simbolo di integrale indefinito??
Tutti i libri di testo che ho consultato, sia il mio stesso professore a lezione, attribuiscono al $dx$ il semplice ruolo di identificare la variabile d'integrazione. Questa cosa però "mi puzza".
A questo punto, ho cominciato a pensare che fosse errata, almeno in parte, l'affermazione (presente nella maggior parte dei testi, tutti universitari, che ho consultato) che integrazione indefinita e derivazione sono operazioni inverse. Ho supposto che quel $dx$ comincia a significare effettivamente qualcosa se si definisce l'integrazione come operazione inversa della differenziazione. Mi spiego.
Consideriamo la solita $ f:I rarr RR $ e una sua primitiva $F(x)$ su $I$. Allora
$int f(x) dx = F(x)+c$
Sostituendo ora $f(x) dx$ con $d[F(x)+c]$ ($c$ reale), scriviamo
$int d[F(x)+c]=F(x)+c$
Da questa relazione risulerebbe (a mio parere) che differenziazione e integrazione indefinita sono operazioni inverse. Inoltre, dal momento che
$D[F(x)+c]=f(x)$
e non $f(x) dx$, mi pare errato affermare che la derivazione sia l'inverso dell'integrazione.
Dato il conflitto tra queste mie osservazioni e quanto riportato nei testi, chiederei gentilmente A CHI DI COMPETENZA di illuminarmi. Grazie in anticipo!
PS. Prima di aprire questa discussione, ne ho cercate altre simili sul sito. Ne ho trovata una con lo stesso identico argomento, in cui, tuttavia, al povero diavolo che ha posto la domanda, hanno risposto parecchi "professori" che nè hanno risolto la questione, nè hanno dato delle risposte valide (ad esempio si è detto che il $dx$ è una "convenzione" che indica la variabile d'integrazione: chissà perchè allora tutto quel macello con i differenziali quando si opera l'integrazione per sostituzione...).
Risposte
Quella che tu ritieni essere una risposta non valida, in effetti, è grossomodo l'unica risposta sensata.
Mettere il \(\text{d} x\) negli integrali è una convenzione e il simbolo, in sé, non significa nulla; si potrebbe dire che esso è una sorta di "residuo evolutivo" nella notazione.
Certamente è un "residuo" mantenuto volontariamente perché utile: infatti consente di tenere d'occhio la variabile d'integrazione (o, in contesti meno elementari, la misura rispetto alla quale si integra).
P.S.: Il "macello coi differenziali" si fa per applicare il teorema di integrazione per sostituzione... Da quanto scrivi mi sembra che tu non l'abbia mai studiato in modo serio, quindi mi chiedo quanto le dispense che intendi scrivere potranno essere davvero d'aiuto agli studenti.
Mettere il \(\text{d} x\) negli integrali è una convenzione e il simbolo, in sé, non significa nulla; si potrebbe dire che esso è una sorta di "residuo evolutivo" nella notazione.
Certamente è un "residuo" mantenuto volontariamente perché utile: infatti consente di tenere d'occhio la variabile d'integrazione (o, in contesti meno elementari, la misura rispetto alla quale si integra).
P.S.: Il "macello coi differenziali" si fa per applicare il teorema di integrazione per sostituzione... Da quanto scrivi mi sembra che tu non l'abbia mai studiato in modo serio, quindi mi chiedo quanto le dispense che intendi scrivere potranno essere davvero d'aiuto agli studenti.
Ho già spiegato perchè questa risposta mi pare priva di senso.
Se il $dx$ fosse una "convezione, un simbolo che non significa nulla" (sottolineo "non significa nulla"), non si renderebbe necessario fare tutti quei "macelli" quando si opera l'integrazione per sostituzione. Esempio banale: devo calcolare
$int sin^2(x) cos(x) dx$
Uso la sostituzione
$t:= sin(x)$
Se il $dx$ stesse solo a ricordarmi rispetto a quale variabile integro, mi basterebbe sostituirlo con $dt$ una volta effettuato il cambio di variabile. Invece vado a calcolare
$dt=cos(x) dx$
ecc. ecc...quindi vuol dire che "qualche significato" ce l'ha...ed è fondamentale direi...
Se il $dx$ fosse una "convezione, un simbolo che non significa nulla" (sottolineo "non significa nulla"), non si renderebbe necessario fare tutti quei "macelli" quando si opera l'integrazione per sostituzione. Esempio banale: devo calcolare
$int sin^2(x) cos(x) dx$
Uso la sostituzione
$t:= sin(x)$
Se il $dx$ stesse solo a ricordarmi rispetto a quale variabile integro, mi basterebbe sostituirlo con $dt$ una volta effettuato il cambio di variabile. Invece vado a calcolare
$dt=cos(x) dx$
ecc. ecc...quindi vuol dire che "qualche significato" ce l'ha...ed è fondamentale direi...
"Plepp":
Ho già spiegato perchè questa risposta mi pare priva di senso.
Dall'alto delle tue conoscenze, immagino.
"Plepp":
Se il $dx$ fosse una "convezione, un simbolo che non significa nulla" (sottolineo "non significa nulla"), non si renderebbe necessario fare tutti quei "macelli" quando si opera l'integrazione per sostituzione. Esempio banale: devo calcolare
$int sin^2(x) cos(x) dx$
Uso la sostituzione
$t:= sin(x)$
Se il $dx$ stesse solo a ricordarmi rispetto a quale variabile integro, mi basterebbe sostituirlo con $dt$ una volta effettuato il cambio di variabile.
Ciò conferma quanto ho scritto nel mio P.S.
Accetta un consiglio: prima di scrivere dispense per chichessia, è meglio se torni un po' sui tuoi vecchi libri di Analisi I.
S.Villattico - A.Pietrosanti, "Complementi di matematica". Ho cercato tra i libri di mio nonno (buonanima), laureato in matematica, e ho appena trovato questo testo...l'argomento viene trattato proprio come l'ho esposto io..."integrazione e differenziazione come operazioni inverse" è il titolo del paragrafo.
PS. Io non ho offeso nessuno, perciò tu dimostra la tua buona educazione ed evita di farlo. In ogni caso, mi pare a questo punto che quello che parla a vanvera sia tu.
PS. Io non ho offeso nessuno, perciò tu dimostra la tua buona educazione ed evita di farlo. In ogni caso, mi pare a questo punto che quello che parla a vanvera sia tu.
Da quando in qua consigliare a qualcuno di studiare come si deve la Matematica prima di spiegarla agli altri è considerato un'offesa?
Mah... Ormai sembra che tutti sappiano tutto.
Buon per te che sei così convinto.
Buona fortuna.
P.S.: Per caso è questo libro qui: S. Villatico, A. Pietrosanti, Complementi di matematica - per i Licei scientifici e per gli Istituti Nautici, Roma - Oreste Barjes, 1964?
Chiedo conferma, perché non vedo corrispondenza nel nome del primo autore (o hai messo una doppia di troppo?).
Ad ogni modo, prendi un libro serio e studia.
Mah... Ormai sembra che tutti sappiano tutto.
Buon per te che sei così convinto.
Buona fortuna.
P.S.: Per caso è questo libro qui: S. Villatico, A. Pietrosanti, Complementi di matematica - per i Licei scientifici e per gli Istituti Nautici, Roma - Oreste Barjes, 1964?
Chiedo conferma, perché non vedo corrispondenza nel nome del primo autore (o hai messo una doppia di troppo?).
Ad ogni modo, prendi un libro serio e studia.
Esattamente quello 
Scusami allora se ho frainteso quanto hai detto. Ad ogni modo, nè io, nè tu, ci giurerei, abbiamo uno straccio di laurea in matematica. Appena posso chiedo spiegazioni approfondite ai miei professori di Analisi. Penso che loro ne sappiano piu di noi. Se la cosa ti interessa, ti faccio sapere. Vedrai che quello che deve studiare, oltre che cercare di essere un po' più umile, sei tu.
Grazie per le tue risposte. Ciao!
Scusami allora se ho frainteso quanto hai detto. Ad ogni modo, nè io, nè tu, ci giurerei, abbiamo uno straccio di laurea in matematica. Appena posso chiedo spiegazioni approfondite ai miei professori di Analisi. Penso che loro ne sappiano piu di noi. Se la cosa ti interessa, ti faccio sapere. Vedrai che quello che deve studiare, oltre che cercare di essere un po' più umile, sei tu.
Grazie per le tue risposte. Ciao!
Ah, umiltà, questa sconosciuta. 
In verità io sono laureato in Matematica, sono dottorando ed insegno, quindi credo ti possa fidare...
In verità io sono laureato in Matematica, sono dottorando ed insegno, quindi credo ti possa fidare...
Sei laureato. Bene. Per me (e non solo per me), però, in matematica l'ipse dixit non vale. Quindi, nè quel che dici tu, nè quel che dice un qualsiasi professore (inclusi i miei) ha senso se non adeguatamente giustificato. Mi fiderò di quel che dici solo nel momento in cui me ne darai una dimostrazione, o per lo meno una giustificazione che sia inattaccabile, cioè non come quelle che mi hai dato fin'ora.
Detto questo, non prendere questo mio commento come un affronto. Interpretalo per quello che è: una richiesta di ulteriori chiarimenti da parte di un ragazzo appassionato della materia, che ti sarà grato se sarai capace di darglieli.
PS: io ho detto la mia, tu la tua. Tuttavia non mi hai spiegato dov'è l'errore in quanto ho esposto nel primo post. Ti sarei grato, se lo trovi, se me lo facessi notare.
Detto questo, non prendere questo mio commento come un affronto. Interpretalo per quello che è: una richiesta di ulteriori chiarimenti da parte di un ragazzo appassionato della materia, che ti sarà grato se sarai capace di darglieli.
PS: io ho detto la mia, tu la tua. Tuttavia non mi hai spiegato dov'è l'errore in quanto ho esposto nel primo post. Ti sarei grato, se lo trovi, se me lo facessi notare.
Per quanto riguarda il \(\text{d} x\), il mio parere (che non è solo mio, come hai avuto l'opportunità di leggere) è noto e l'ho esposto più volte.
Per quanto riguarda l'integrazione come operazione inversa della differenziazione, mi chiedo: ma siamo proprio sicuri che dire cose del genere aiuti la comprensione della faccenda?
Il problema non è nemmeno chiarire che cosa vuol dire "operazione inversa della differenziazione", ma proprio che cosa vuol dire "differenziazione".
Oggi come oggi, dubito che lo studente medio di ingegneria sappia davvero cosa vuol differenziare una funzione... Quindi mi chiedo come tu voglia ottenere chiarezza attraverso una locuzione che non si appiglia a nulla di noto per il lettore.
Prendiamo te, ad esempio, che suppongo sia abbastanza preparato (altrimenti il tuo docente non ti avrebbe affidato questo compito). Sapresti rispondere alle domande: che vuol dire "differenziare" una funzione? E che cos'è il differenziale?
P.S.:
Da che libro hai studiato Analisi I e II?
[OT]
Ma qualcuno mi spiega perché gli ingegneri meccanici sono quelli più ossessionati dal \(\text{d} x\)?
[/OT]
Per quanto riguarda l'integrazione come operazione inversa della differenziazione, mi chiedo: ma siamo proprio sicuri che dire cose del genere aiuti la comprensione della faccenda?
Il problema non è nemmeno chiarire che cosa vuol dire "operazione inversa della differenziazione", ma proprio che cosa vuol dire "differenziazione".
Oggi come oggi, dubito che lo studente medio di ingegneria sappia davvero cosa vuol differenziare una funzione... Quindi mi chiedo come tu voglia ottenere chiarezza attraverso una locuzione che non si appiglia a nulla di noto per il lettore.
Prendiamo te, ad esempio, che suppongo sia abbastanza preparato (altrimenti il tuo docente non ti avrebbe affidato questo compito). Sapresti rispondere alle domande: che vuol dire "differenziare" una funzione? E che cos'è il differenziale?
P.S.:
"Plepp":
sto scrivendo una dispensa di Analisi I e II per conto del mio professore.
Mi sono posto come obiettivo di rendere semplice lo studio della materia, che risulta talvolta faticoso sia a causa della troppa astrazione dei libri di testo, sia della loro incompletezza.
Da che libro hai studiato Analisi I e II?
[OT]
Ma qualcuno mi spiega perché gli ingegneri meccanici sono quelli più ossessionati dal \(\text{d} x\)?
[/OT]
Per quanto possa essere utile, anche a me hanno sempre detto che il $dx$ è semplicemente una convenzione per indicare rispetto a quale variabile si intende integrare..
Aggiungo qualche considerazione personale.
Ho avuto un prof di Analisi I indubbiamente strambo, poco adatto all'insegnamento ma molto preparato e qualche cosa comprensibile l'ha detta via via. In particolare si è sempre scagliato contro la notazione dell'integrale indefinito (ovvero il simbolo di integrale senza specificare il dominio di integrazione e che dovrebbe rappresentare l'insieme della famiglia delle primitive di una certa funzione), effettivamente scivolosa in diversi casi e di cui si abusa specie nelle scuole superiori.
Poi, cosa ancor più importante per lui, amava ripeterci: "se qualcuno all'esame mi dice che l'integrale è l'inverso della derivata lo boccio all'istante". Per quanto quella frase non sia sempre completamente falsa, è troppo fuorviante per farla circolare liberamente. Metti inconsciamente in testa allo studente medio che sia una bella regoletta di carattere generale e sempre applicabile. Così non è infrequente trovare gente che semplifica il simbolo di derivata con quello di integrale, persino quando le variabili a cui sono riferiti i due operatori sono diverse. Inoltre basta andare in contesti un pò più generali di quelli usualmente studiati nei licei o ai primi anni di università per rendersi conto che quella "regoletta" perde completamente di significato.
Ho avuto un prof di Analisi I indubbiamente strambo, poco adatto all'insegnamento ma molto preparato e qualche cosa comprensibile l'ha detta via via. In particolare si è sempre scagliato contro la notazione dell'integrale indefinito (ovvero il simbolo di integrale senza specificare il dominio di integrazione e che dovrebbe rappresentare l'insieme della famiglia delle primitive di una certa funzione), effettivamente scivolosa in diversi casi e di cui si abusa specie nelle scuole superiori.
Poi, cosa ancor più importante per lui, amava ripeterci: "se qualcuno all'esame mi dice che l'integrale è l'inverso della derivata lo boccio all'istante". Per quanto quella frase non sia sempre completamente falsa, è troppo fuorviante per farla circolare liberamente. Metti inconsciamente in testa allo studente medio che sia una bella regoletta di carattere generale e sempre applicabile. Così non è infrequente trovare gente che semplifica il simbolo di derivata con quello di integrale, persino quando le variabili a cui sono riferiti i due operatori sono diverse. Inoltre basta andare in contesti un pò più generali di quelli usualmente studiati nei licei o ai primi anni di università per rendersi conto che quella "regoletta" perde completamente di significato.
Si il tuo parere lo conosco e ne abbiamo già discusso. Io però ti ho chiesto di farmi notare la falla nel mio ragionamento, che tu ritieni essere errato...
Per quanto riguarda l'aiuto alla comprensione, non capisco perchè mi tiri fuori questo argomento. Non ho chiesto consigli su come far capire allo studente cos'è l'integrale indefinito, ho chiesto COS'E' (o meglio di cosa sia l'operazione inversa, bla bla bla...) l'integrale indefinito, perchè se non lo so bene io, di certo non posso permettermi di spiegarlo a qualcun'altro.
Una volta risolto questo problema (l'unico che ho chiesto di risolvere), se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento: l'importate per me è sapere COSA devo rendere comprensibile. Ammesso che lo sia, non posso non dire che l'integrale è l'operazione inversa della differenziazione solo per facilitare la comprensione, sarebbe impensabile...
Detto questo, non posso non darti ragione quando dici che lo studente medio d'ingegneria conosca il differenziale...e devo confessarti che fino a un anno fa non lo sapevo con precisione nemmeno io
pur avendo passato l'esame con 30...sperando che, una volta avuta questa risposta, risponderai alla mia domanda, ti definisco brevemente il differenziale: data la solita $f$ definita opportunamente e derivabile in un punto $x_0$ del suo dominio, si definisce differenziale di $f$ calcolato in $x_0$ la funzione (lineare) che esprime l'incremento di $f$, nel passare da $x_0$ a $x_0+h$, valutato lungo la retta tangente al grafico nel punto $(x_0,f(x_0))$, data da $h mapsto f'(x_0)h$, ecc...a farla breve, è la più semplice applicazione del calcolo differenziale nell'approssimazione dell'incremento di una funzione...non mi dilungo perchè suppongo tu sia più preparato di me in merito, ma soprattutto perchè è notte
In quanto ai miei libri, il testo consigliato era il Bramanti - Pagani - Salsa, che ho trovato troppo astratto in alcuni punti e carente (parecchio) in altri...ho studiato anche da Fusco - Marcellini - Sbordone, non male, ma con caratteristiche simili al precedente (un testo d'analisi per ingegneria dunque
)...poi ho attinto da dispense di professori del politecnico di torino e di altri dell'università di bari della facoltà di matematica (gli unici che sono stati davvero esaurienti).
Concludo: dove ho sbagliato nel primo post?
Buonanotte.
Per quanto riguarda l'aiuto alla comprensione, non capisco perchè mi tiri fuori questo argomento. Non ho chiesto consigli su come far capire allo studente cos'è l'integrale indefinito, ho chiesto COS'E' (o meglio di cosa sia l'operazione inversa, bla bla bla...) l'integrale indefinito, perchè se non lo so bene io, di certo non posso permettermi di spiegarlo a qualcun'altro.
Una volta risolto questo problema (l'unico che ho chiesto di risolvere), se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento: l'importate per me è sapere COSA devo rendere comprensibile. Ammesso che lo sia, non posso non dire che l'integrale è l'operazione inversa della differenziazione solo per facilitare la comprensione, sarebbe impensabile...
Detto questo, non posso non darti ragione quando dici che lo studente medio d'ingegneria conosca il differenziale...e devo confessarti che fino a un anno fa non lo sapevo con precisione nemmeno io
pur avendo passato l'esame con 30...sperando che, una volta avuta questa risposta, risponderai alla mia domanda, ti definisco brevemente il differenziale: data la solita $f$ definita opportunamente e derivabile in un punto $x_0$ del suo dominio, si definisce differenziale di $f$ calcolato in $x_0$ la funzione (lineare) che esprime l'incremento di $f$, nel passare da $x_0$ a $x_0+h$, valutato lungo la retta tangente al grafico nel punto $(x_0,f(x_0))$, data da $h mapsto f'(x_0)h$, ecc...a farla breve, è la più semplice applicazione del calcolo differenziale nell'approssimazione dell'incremento di una funzione...non mi dilungo perchè suppongo tu sia più preparato di me in merito, ma soprattutto perchè è notte In quanto ai miei libri, il testo consigliato era il Bramanti - Pagani - Salsa, che ho trovato troppo astratto in alcuni punti e carente (parecchio) in altri...ho studiato anche da Fusco - Marcellini - Sbordone, non male, ma con caratteristiche simili al precedente (un testo d'analisi per ingegneria dunque
)...poi ho attinto da dispense di professori del politecnico di torino e di altri dell'università di bari della facoltà di matematica (gli unici che sono stati davvero esaurienti).Concludo: dove ho sbagliato nel primo post?
Buonanotte.
In verità, a me sembra che il presupposto del post sia sbagliato... Insomma, perché l'integrazione indefinita deve necessariamente essere vista come "operazione inversa" di qualcos'altro?
Abbiamo convenuto che essa non è l'inversa della derivazione.
Ora abbiamo scoperto che non è nemmeno l'operazione inversa della differenziazione perché, quando differenzi una funzione, la variabile da cui essa dipende viene fissata e l'incremento \(h\) diventa la vera variabile.
Quindi non sarebbe più facile liberarsi del tutto di questa sovrastruttura inutile e dire semplicemente come segue:
P.S.: Ah, non mi sembra di aver mai trovato su alcun testo universitario l'affermazione che la derivazione è l'operazione inversa della derivazione.
Abbiamo convenuto che essa non è l'inversa della derivazione.
Ora abbiamo scoperto che non è nemmeno l'operazione inversa della differenziazione perché, quando differenzi una funzione, la variabile da cui essa dipende viene fissata e l'incremento \(h\) diventa la vera variabile.
Quindi non sarebbe più facile liberarsi del tutto di questa sovrastruttura inutile e dire semplicemente come segue:
Assegnata una funzione \(f\) si chiama integrazione indefinita di \(f\) il problema di determinare tutte le primitive di \(f\), i.e. tutte le funzioni definite in un dato intervallo le quali sono derivabili ed hanno come derivata la funzione \(f\); tale problema si indica in modo conciso col simbolo \(\int f(x)\ \text{d} x\).
P.S.: Ah, non mi sembra di aver mai trovato su alcun testo universitario l'affermazione che la derivazione è l'operazione inversa della derivazione.
" Siano $F(x)$ ed $f(x)$ due funzioni definite su un medesimo intervallo $(a,b)$. La funzione $F(x)$ si dice primitiva di f(x) su $(a,b)$ se è derivabile per ogni $x in (a,b)$ e vale $F '(x)=f(x)$ per ogni $x in (a,b)$"
" Se esiste una primitiva non è mai unica: infatti, se $c in RR$ per ogni $x_0 in (a,b)$ vale:
$D_(x_0)(F(x)+c)=F '(x_0)$
Dunque $ F '(x)$ ed $F(x)+c, c in RR$ sono primitive della medesima funzione.
L'insieme delle primitive di $f(x)$ su $(a,b)$ si indica con il simbolo $\int f(x)dx$ e si chiama integrale indefinito di $f(x)$"
Questa sta nel testo del mio prof che, per quanto sia contorto quando spiega, in questo argomento è stato chiaro penso
" Se esiste una primitiva non è mai unica: infatti, se $c in RR$ per ogni $x_0 in (a,b)$ vale:
$D_(x_0)(F(x)+c)=F '(x_0)$
Dunque $ F '(x)$ ed $F(x)+c, c in RR$ sono primitive della medesima funzione.
L'insieme delle primitive di $f(x)$ su $(a,b)$ si indica con il simbolo $\int f(x)dx$ e si chiama integrale indefinito di $f(x)$"
Questa sta nel testo del mio prof che, per quanto sia contorto quando spiega, in questo argomento è stato chiaro penso
"gugo82":
Abbiamo convenuto che essa non è l'inversa della derivazione.
Ora abbiamo scoperto che non è nemmeno l'operazione inversa della differenziazione perché, quando differenzi una funzione, la variabile da cui essa dipende viene fissata e l'incremento \(h\) diventa la vera variabile.
.
Finalmente una risposta come la volevo io!
ti ringrazio! Ti confesso che questo momento non saprei continuare a difendere la mia tesi: ne sono ancora convinto, ma non saprei dimostrartelo...Ad ogni modo, ti riporto un frammento del De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum del buon vecchio Leibniz:
"...da quanto ho esposto a proposito del metodo delle tangenti risulta chiaro che $d 1/2 x^2=x \ dx$; per cui al contrario si avrà $1/2 x^2= int x \ dx$ (infatti per noi le somme e le differenze, o $int$ e $d$, sono operazioni inverse come potenze e radici nei calcoli comuni..."
Domani, con più lucidità, cercherò di verificarlo. Ancora buonanotte, e grazie per la risposta.
Obidream, come sarebbe a dire che $F(x)$ e $F'(x_0)$ sono primitive della stessa funzione?! O.o
"Plepp":
Obidream, come sarebbe a dire che $F(x)$ e $F'(x_0)$ sono primitive della stessa funzione?! O.o
Non l'ha segnalato negli errata corrige
Ora correggo il post, grazie
Pure a me creò difficolta quello schifo di $\text{d} x$, sempre per il fatto del cambio di variabile, colpa di Leibniz 
Comunque thread dell'anno
Comunque thread dell'anno
A me (e non solo a me) pare che la notazione introdotta da Leibniz sia molto comoda. Per alcuni è addirittura geniale.
Del resto con piccole modifiche è stata mantenuta anche in ambiti dove l'integrazione è qualcosa di più astratto e molto meno "visualizzabile" rispetto ai casi elementari.
Quanto a Plepp: ho tirato fuori quegli argomenti perchè mi sembrano inerenti al discorso, visto che devi scrivere una dispensa di analisi. Quindi datti una calmata e cerca di evitare frasi da presunzione pura tipo: "se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento", manco tu fossi un insegnante navigato.
Ah comunque concordo: thread dell'anno!
Del resto con piccole modifiche è stata mantenuta anche in ambiti dove l'integrazione è qualcosa di più astratto e molto meno "visualizzabile" rispetto ai casi elementari.
Quanto a Plepp: ho tirato fuori quegli argomenti perchè mi sembrano inerenti al discorso, visto che devi scrivere una dispensa di analisi. Quindi datti una calmata e cerca di evitare frasi da presunzione pura tipo: "se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento", manco tu fossi un insegnante navigato.
Ah comunque concordo: thread dell'anno!
"Covenant":
Quanto a Plepp: ho tirato fuori quegli argomenti perchè mi sembrano inerenti al discorso, visto che devi scrivere una dispensa di analisi. Quindi datti una calmata e cerca di evitare frasi da presunzione pura tipo: "se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento", manco tu fossi un insegnante navigato.
Non mi stavo riferendo a te, mi hai frainteso. Ed ha interpretato male anche quello che volevo dire: il "se permetti ci penso io a come rendere comprensibile l'argomento" stava a dire "il fatto di rendere comprensibile l'argomento è un problema mio, e soprattutto non è l'oggetto di discussione di questo thread!!". Effettivamente mi sono espresso male.
Quanto alla superbia che mi attribuite, è anche quella frutto del mio esprimermi, a volte, in maniera non adeguata, nonchè della "rabbia" che alcune risposte fuori luogo mi suscitano. Io non sono nessuno, nè un professore, nè sicuramente il migliore degli studenti...e proprio in virtù di questa consapevolezza ho creato questo thread.
Quanto all'oggetto vero e proprio della nostra discussione, non mi è subito saltato in mente di fare la cosa più semplice e banale che si possa fare quando si hanno dei dubbi: cercare su Google
chi non è d'accordo con me, noterà che digitando "integrazione operazione inversa della differenziazione" escono fuori un bel po' di dispense, articoli e testi nei quali si conferma quel che dico...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo