Integrazione indefinita e differenziazione
Salve ragazzi,
sono uno studente di Ing. Meccanica e sto scrivendo una dispensa di Analisi I e II per conto del mio professore.
Mi sono posto come obiettivo di rendere semplice lo studio della materia, che risulta talvolta faticoso sia a causa della troppa astrazione dei libri di testo, sia della loro incompletezza.
A proposito di quest'ultimo aspetto, mi è sorto un forte dubbio scrivendo il capitolo del calcolo integrale (in una variabile):
cos'è quel maledetto $dx$ che compare nel simbolo di integrale indefinito??
Tutti i libri di testo che ho consultato, sia il mio stesso professore a lezione, attribuiscono al $dx$ il semplice ruolo di identificare la variabile d'integrazione. Questa cosa però "mi puzza".
A questo punto, ho cominciato a pensare che fosse errata, almeno in parte, l'affermazione (presente nella maggior parte dei testi, tutti universitari, che ho consultato) che integrazione indefinita e derivazione sono operazioni inverse. Ho supposto che quel $dx$ comincia a significare effettivamente qualcosa se si definisce l'integrazione come operazione inversa della differenziazione. Mi spiego.
Consideriamo la solita $ f:I rarr RR $ e una sua primitiva $F(x)$ su $I$. Allora
$int f(x) dx = F(x)+c$
Sostituendo ora $f(x) dx$ con $d[F(x)+c]$ ($c$ reale), scriviamo
$int d[F(x)+c]=F(x)+c$
Da questa relazione risulerebbe (a mio parere) che differenziazione e integrazione indefinita sono operazioni inverse. Inoltre, dal momento che
$D[F(x)+c]=f(x)$
e non $f(x) dx$, mi pare errato affermare che la derivazione sia l'inverso dell'integrazione.
Dato il conflitto tra queste mie osservazioni e quanto riportato nei testi, chiederei gentilmente A CHI DI COMPETENZA di illuminarmi. Grazie in anticipo!
PS. Prima di aprire questa discussione, ne ho cercate altre simili sul sito. Ne ho trovata una con lo stesso identico argomento, in cui, tuttavia, al povero diavolo che ha posto la domanda, hanno risposto parecchi "professori" che nè hanno risolto la questione, nè hanno dato delle risposte valide (ad esempio si è detto che il $dx$ è una "convenzione" che indica la variabile d'integrazione: chissà perchè allora tutto quel macello con i differenziali quando si opera l'integrazione per sostituzione...).
sono uno studente di Ing. Meccanica e sto scrivendo una dispensa di Analisi I e II per conto del mio professore.
Mi sono posto come obiettivo di rendere semplice lo studio della materia, che risulta talvolta faticoso sia a causa della troppa astrazione dei libri di testo, sia della loro incompletezza.
A proposito di quest'ultimo aspetto, mi è sorto un forte dubbio scrivendo il capitolo del calcolo integrale (in una variabile):
cos'è quel maledetto $dx$ che compare nel simbolo di integrale indefinito??
Tutti i libri di testo che ho consultato, sia il mio stesso professore a lezione, attribuiscono al $dx$ il semplice ruolo di identificare la variabile d'integrazione. Questa cosa però "mi puzza".
A questo punto, ho cominciato a pensare che fosse errata, almeno in parte, l'affermazione (presente nella maggior parte dei testi, tutti universitari, che ho consultato) che integrazione indefinita e derivazione sono operazioni inverse. Ho supposto che quel $dx$ comincia a significare effettivamente qualcosa se si definisce l'integrazione come operazione inversa della differenziazione. Mi spiego.
Consideriamo la solita $ f:I rarr RR $ e una sua primitiva $F(x)$ su $I$. Allora
$int f(x) dx = F(x)+c$
Sostituendo ora $f(x) dx$ con $d[F(x)+c]$ ($c$ reale), scriviamo
$int d[F(x)+c]=F(x)+c$
Da questa relazione risulerebbe (a mio parere) che differenziazione e integrazione indefinita sono operazioni inverse. Inoltre, dal momento che
$D[F(x)+c]=f(x)$
e non $f(x) dx$, mi pare errato affermare che la derivazione sia l'inverso dell'integrazione.
Dato il conflitto tra queste mie osservazioni e quanto riportato nei testi, chiederei gentilmente A CHI DI COMPETENZA di illuminarmi. Grazie in anticipo!
PS. Prima di aprire questa discussione, ne ho cercate altre simili sul sito. Ne ho trovata una con lo stesso identico argomento, in cui, tuttavia, al povero diavolo che ha posto la domanda, hanno risposto parecchi "professori" che nè hanno risolto la questione, nè hanno dato delle risposte valide (ad esempio si è detto che il $dx$ è una "convenzione" che indica la variabile d'integrazione: chissà perchè allora tutto quel macello con i differenziali quando si opera l'integrazione per sostituzione...).
Risposte
"lisdap":
[quote="Plepp"]
Non errilo so xke purtroppo mi hanno fatto 2 p**** cosi al Classico con aristotele
Anche io ho fatto il liceo classico; e forse ora capisco cosa ti dà in più il liceo classico rispetto ad un'altra scuola: la capacità di ragionare e di mettere in dubbio il sapere.[/quote]
Sai lo sospettavo parecchio
[OT]
Anche io ho fatto il liceo classico; e forse ora capisco cosa ti dà in più il liceo classico rispetto ad un'altra scuola: la capacità di ragionare e di mettere in dubbio il sapere.[/quote]
Voi non state mettendo in dubbio il sapere, ma il vostro "sapere".
Anzi, a dirla tutta, state solo demolendo faticosissimamente tutte le false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire quando avevate studiato male i vostri manuali di Analisi I.
[/OT]
"lisdap":
[quote="Plepp"]
Non erri
Anche io ho fatto il liceo classico; e forse ora capisco cosa ti dà in più il liceo classico rispetto ad un'altra scuola: la capacità di ragionare e di mettere in dubbio il sapere.[/quote]
Voi non state mettendo in dubbio il sapere, ma il vostro "sapere".
Anzi, a dirla tutta, state solo demolendo faticosissimamente tutte le false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire quando avevate studiato male i vostri manuali di Analisi I.
[/OT]
Allora passare le ore a tradurre dal greco all'italiano è servito a qualcosa. Ora che ci penso ritengo che lo studio della lingua greca e latina (a livello grammaticale intendo, non letteratura) non sia molto diverso dallo studiare la matematica; in fin dei conti, infatti, entrambe le discipline sono dei linguaggi da apprendere!
Voi non state mettendo in dubbio il sapere, ma il vostro "sapere".
Qui non ci piove. Per lo meno siamo giunti a una conclusione, non ti pare? C'è il 99,9% dei miei colleghi che non lo fa: ciuccio era e ciuccio rimarrà (scusa la rima
) noi, quanto meno, cerchiamo di imparare qualcosa, e in questo caso penso di aver raggiunto il mio scopo, dato che me lo confermi...avevate studiato male i vostri manuali di Analisi I.
Continuo a non capire perchè giungi a questa conclusione...vabè, pace!
"gugo82":
Voi non state mettendo in dubbio il sapere, ma il vostro "sapere".
Certo, ci mancherebbe!
"gugo82":
Anzi, a dirla tutta, state solo demolendo faticosissimamente tutte le false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire
Sai Gugo, devi sapere che le persone di estrazione classica hanno molta fantasia, e non sono abituate a studiare con i "paraocchi". E questa fantasia ha dei pregi e dei difetti.
"gugo82":
avevate studiato male i vostri manuali di Analisi I.
[/OT]
Se abbiamo studiato male i testi di Analisi 1 non è tutta colpa nostra. Infatti, bisognerebbe prima studiare per bene l'insiemistica e tutta l'algebra di base, cosa che non viene fatta nei corsi di Ingegneria. E tutti i dubbi che esprimiamo qui sul forum ci vengono proprio a causa della scarsa preparazione di base.
Aggiungici poi il fatto che un corso di analisi viene tenuto in un tempo di 4 mesi insieme ad altre materie....
A parte questo lisdap (che secondo me è solo parzialmente vero: ad esempio un dubbio come quello del $dx$ poco c'entra con il tipo di preparazione che descrivi), il problema sono anche i docenti, nonchè i testi stessi...
Per esempio, il mio docente di analisi II avrebbe potuto sprecare due parole in piu sul calcolo integrale, invece di parlarci di tensori e non tensori (lui è sia matematico che ingegnere, e spesso ci parla dei suoi interessi di ricerca, in cui vengono utilizzati questi oggetti "oscuri") -.- oggetti che nemmeno lontanamente possiamo provare a concepire in quel momento...
Per esempio, il mio docente di analisi II avrebbe potuto sprecare due parole in piu sul calcolo integrale, invece di parlarci di tensori e non tensori (lui è sia matematico che ingegnere, e spesso ci parla dei suoi interessi di ricerca, in cui vengono utilizzati questi oggetti "oscuri") -.- oggetti che nemmeno lontanamente possiamo provare a concepire in quel momento...
[OT]
Dipende lisdap... Certo tu e Plepp state dimostrando voglia di capire certe cose, ma state dimostrando (tu soprattutto) la tipica rigidità mentale della maggior parte degli studenti "classici".
Però ricordi i tuoi primi thread in cui non parlavi di esercizi?
Io sì, e ricordo la sicumera con la quale accusavi noi di sbagliare quando parlavamo degli integrali... Proprio a questo tipo di atteggiamento mi riferivo quando ho scritto delle false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire.
In altri termini, mediamente, uno studente "classico" per andare avanti ha bisogno di cotruirsi un mondo di regole piuttosto fisse ed immodificabili in cui incasellare le proprie conoscenze e di considerare quello che non capisce alla stregua di un bos-bovis, cioè come "eccezioni".
Poi, quando crede di aver afferrato qualcosa, si concentrate sulle "eccezioni" (come se la cosa più importante della Matematica fosse conoscere tutti i bos-bovis) anziché concentrarsi sulla "big picture", cioè sul quadro generale.
Insomma, invece di interessarsi al ragionamento matematico*, si interessa a questioni di definizione e/o a questioni di notazione che sono assolutamente marginali nel fare e comprendere la Matematica.
Per quanto riguarda la traduzione dal latino, concordo parzialmente con L. Lombardo Radice (se non erro): se fatta come si deve (e, devo dire, che ultimamente il livello è sceso parecchio: mi basta guardare come traducono ragazzi che conosco e che frequentano uno dei due migliori classici di Napoli) essa è "l'attività che più si avvicina alla ricerca scientifica" (cit.).
[/OT]
@lisdap: Lo so che non è solo colpa vostra; invero i problemi sono tanti (i libri per i nuovi ordinamenti sono in generale pessimi; dare Analisi I con solo tre mesi scarsi di corso sul groppone è una follia didattica; la preparazione matematica media dei maturandi è sensibilmente più bassa ora di dieci/quindici anni fa; etc...) e non si vede ancora qualcuno tanto intelligente che sia in grado di risolverli.
__________
* E.g., tu hai più di 1300 post, ma non ti ho mai visto partecipare a nessuna discussione in cui si affrontavano esercizi un po' più avanzati, o una discussione tecnicamente un pochino più seria del semplice esercizietto o delle chiacchiere sui simboli.
Dipende lisdap... Certo tu e Plepp state dimostrando voglia di capire certe cose, ma state dimostrando (tu soprattutto) la tipica rigidità mentale della maggior parte degli studenti "classici".
Però ricordi i tuoi primi thread in cui non parlavi di esercizi?
Io sì, e ricordo la sicumera con la quale accusavi noi di sbagliare quando parlavamo degli integrali... Proprio a questo tipo di atteggiamento mi riferivo quando ho scritto delle false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire.
In altri termini, mediamente, uno studente "classico" per andare avanti ha bisogno di cotruirsi un mondo di regole piuttosto fisse ed immodificabili in cui incasellare le proprie conoscenze e di considerare quello che non capisce alla stregua di un bos-bovis, cioè come "eccezioni".
Poi, quando crede di aver afferrato qualcosa, si concentrate sulle "eccezioni" (come se la cosa più importante della Matematica fosse conoscere tutti i bos-bovis) anziché concentrarsi sulla "big picture", cioè sul quadro generale.
Insomma, invece di interessarsi al ragionamento matematico*, si interessa a questioni di definizione e/o a questioni di notazione che sono assolutamente marginali nel fare e comprendere la Matematica.
Per quanto riguarda la traduzione dal latino, concordo parzialmente con L. Lombardo Radice (se non erro): se fatta come si deve (e, devo dire, che ultimamente il livello è sceso parecchio: mi basta guardare come traducono ragazzi che conosco e che frequentano uno dei due migliori classici di Napoli) essa è "l'attività che più si avvicina alla ricerca scientifica" (cit.).
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@lisdap: Lo so che non è solo colpa vostra; invero i problemi sono tanti (i libri per i nuovi ordinamenti sono in generale pessimi; dare Analisi I con solo tre mesi scarsi di corso sul groppone è una follia didattica; la preparazione matematica media dei maturandi è sensibilmente più bassa ora di dieci/quindici anni fa; etc...) e non si vede ancora qualcuno tanto intelligente che sia in grado di risolverli.
__________
* E.g., tu hai più di 1300 post, ma non ti ho mai visto partecipare a nessuna discussione in cui si affrontavano esercizi un po' più avanzati, o una discussione tecnicamente un pochino più seria del semplice esercizietto o delle chiacchiere sui simboli.
la tipica rigidità mentale della maggior parte degli studenti "classici".
Però ricordi i tuoi primi thread in cui non parlavi di esercizi?
Io sì, e ricordo la sicumera con la quale accusavi noi di sbagliare quando parlavamo degli integrali... Proprio a questo tipo di atteggiamento mi riferivo quando ho scritto delle false certezze che il vostro retaggio "classico" vi aveva imposto di acquisire.
In altri termini, mediamente, uno studente "classico" per andare avanti ha bisogno di cotruirsi un mondo di regole piuttosto fisse ed immodificabili in cui incasellare le proprie conoscenze e di considerare quello che non capisce alla stregua di bos-bovis, cioè come "eccezioni".
Poi, quando credete di aver afferrato qualcosa, vi concentrate sulle "eccezioni", come se la cosa più importante della Matematica fosse conoscere tutti i bos-bovis, anziché concentrarvi sulla "big picture", cioè sul quadro generale.
Insomma, invece di interessarvi al ragionamento matematico vi interessate a questioni di definizione e/o a questioni di notazione che sono assolutamente marginali nel fare e comprendere la Matematica.
Non so con quali ragazzi del classico tu abbia avuto a che fare: mi dispiace dirlo, ma non c'hai capito un tubo...e qui tolgo il disturbo, anche xke abbiamo fatto una pagina di OT e non vorrei condurre un moderatore sulla cattiva strada, facendogli infrangere il regolamento.
Grazie a tutti quelli che si sono interessati, in special modo a te, Gugo.
"gugo82":
[OT]
Dipende lisdap... Certo tu e Plepp state dimostrando voglia di capire certe cose, ma state dimostrando (tu soprattutto) la tipica rigidità mentale della maggior parte degli studenti "classici".
Però ricordi i tuoi primi thread in cui non parlavi di esercizi?
Io sì, e ricordo la sicumera con la quale accusavi noi di sbagliare quando parlavamo degli integrali...
Di quei post mi sono già scusato in precedenza, e, se li rileggessi, non mi ci riconoscerei più. Erano tempi in cui ancora non ero totalmente maturo matematicamente (neanche ora forse, a giudicare dai tuoi interventi nel mio topic, ma sicuramente più di prima).
"gugo82":
Insomma, invece di interessarsi al ragionamento matematico*, si interessa a questioni di definizione e/o a questioni di notazione che sono assolutamente marginali nel fare e comprendere la Matematica.
Non sono d'accordo. Le questioni di notazione o di definizione che tu ritieni marginali io le reputo come la grammatica in una lingua: come fanno ad essere marginali?
Secondo me, Gugo, dovresti cercare di metterti un pò di più nei nostri panni. Tu hai studiato matematica e del linguaggio della matematica suppongo che ti sia stato spiegato tutto per filo e per segno, e quindi le questioni notazionali ti potranno sembrare poco serie ed inutili.
"gugo82":
Per quanto riguarda la traduzione dal latino, concordo parzialmente con L. Lombardo Radice (se non erro): se fatta come si deve essa è "l'attività che più si avvicina alla ricerca scientifica" (cit.).
Su questo sono d'accordo
"gugo82":.
@lisdap: Lo so che non è solo colpa vostra; invero i problemi sono tanti (i libri per i nuovi ordinamenti sono in generale pessimi; dare Analisi I con solo tre mesi scarsi di corso sul groppone è una follia didattica; la preparazione matematica media dei maturandi è sensibilmente più bassa ora di dieci/quindici anni fa; etc...) e non si vede ancora qualcuno tanto intelligente che sia in grado di risolverli.
D'accordissimo.
"gugo82":
__________
* E.g., tu hai più di 1300 post, ma non ti ho mai visto partecipare a nessuna discussione in cui si affrontavano esercizi un po' più avanzati, o una discussione tecnicamente un pochino più seria del semplice esercizietto o delle chiacchiere sui simboli.
Per me è più importante la teoria che l'esercizio. Se ci fai caso, quando qualche settimana fa intervenivo frequentemente nella sezione Fisica causa preparazione esame, su tutti i messaggi che ho postato, solo un paio riguardavano esercizi.
Il resto dei messaggi consistevano tutti in discussioni di carattere teorico sulla termodinamica e sulla meccanica.
Con questo l'OT da parte mia è terminato.
OT
Scusate l'intromissione ma venendo dal liceo scientifico mi sono sentito in parte offeso, soprattutto quando si dice che chi viene dal classico ha avuto una forma mentis nel ragionare critica. Devo dissentire purtroppo perchè credo che la capacità critica di una persona sia indipendente dal tipo di studi o di scuola che ha fatto.
Detto questo, io che mi reputo un ignorantone in materia di matematica (e sono persino iscritto in ingegneria), non bado troppo alle seghe mentali che si fanno in molti tipo "l'argomento dx", semplicemente perchè sono delle cose che sono incongruenti con quello che studio (e studierò), con quello che sarà il mio lavoro, e cosa molto più importante perchè ci vuole anche una preparazione matematica notevole e approfondita (correggetemi se sbaglio).
Concludendo, secondo me a volte è anche opportuno avere i paraocchi (come diceva non ricordo chi nel post di prima), perchè si entra in un mare che non si conosce e dove c'è il rischio di perdersi.
P.S.:
Ovviamente non voglio essere frainteso da nessuno, e nemmeno voglio essere un predicatore del bene. Semplice interesse per questa discussione.
OT
Scusate l'intromissione ma venendo dal liceo scientifico mi sono sentito in parte offeso, soprattutto quando si dice che chi viene dal classico ha avuto una forma mentis nel ragionare critica. Devo dissentire purtroppo perchè credo che la capacità critica di una persona sia indipendente dal tipo di studi o di scuola che ha fatto.
Detto questo, io che mi reputo un ignorantone in materia di matematica (e sono persino iscritto in ingegneria), non bado troppo alle seghe mentali che si fanno in molti tipo "l'argomento dx", semplicemente perchè sono delle cose che sono incongruenti con quello che studio (e studierò), con quello che sarà il mio lavoro, e cosa molto più importante perchè ci vuole anche una preparazione matematica notevole e approfondita (correggetemi se sbaglio).
Concludendo, secondo me a volte è anche opportuno avere i paraocchi (come diceva non ricordo chi nel post di prima), perchè si entra in un mare che non si conosce e dove c'è il rischio di perdersi.
P.S.:
Ovviamente non voglio essere frainteso da nessuno, e nemmeno voglio essere un predicatore del bene. Semplice interesse per questa discussione.
OT
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