Numero modelli teoria dei gruppi

[40rob]

Dati gli assiomi della teoria dei gruppi espressi senza costanti

$forall x forall y forall z (x + (y + z) = (x + y) + z)$
$exists e (forall x (x + e = e + x = x) ^^ forall y exists z (y + z = z + y = e))$

mi chiedevo quante strutture algebriche diverse si possono conteggiare $(S, +)$ che soddisfano questi assiomi
con $S = {0,1,2,3}$ e $+$ funzione binaria $f:S^2 -> S$.

Se $S$ fosse uguale a ${0,1}$ se ne conteggerebbero $2$.
Se $S$ fosse uguale a ${0,1,2}$ se ne conteggerebbero $3$.

Con $S = {0,1,2,3}$ ne ho conteggiati $16$, ma non sono sicuro, è un po' scocciante verificarlo.

[vict85]

Stai sostanzialmente chiedendo quanti gruppi ci sono di una certa dimensione o consideri differenti gruppi isomorfi in cui l'insieme sia mappato in modi differenti?

[40rob]

sto chiedendo quante struttire algebriche (S, +) con sostegno S formato da 0 1 2 3 e + operazione binaria imterna ad S sono gruppi. Potrebbero essere anche isomorfe. Sicuramente diverse saranno isomorfe. Volevo sapere solo se altri trovano lo stesso numero.

[Studente Anonimo]

Mi viene 16

[vict85]

Hai 4 possibili modi per selezionare \(e\). Ci sono quindi \(3\) elementi rimanenti. I gruppi di ordine \(4\) sono 2: \(C_4\) oppure \(C_2\times C_2\). Per \(C_4\) hai \(3\) modi per selezionare l'elemento di ordine \(2\). I restanti prodotti, se non mi sbaglio, sono a questo punto fissati. Quindi hai \(4\times 3 = 12\) gruppi isomorfi a \(C_4\). I restanti 4 sono isomorfi a \(C_2\times C_2\), i prodotti sono fissati dal fatto che il gruppo è isomorfo a \(C_2\times C_2\).

[fmnq]

Perché vuoi distinguere gruppi isomorfi?

[40rob]

"fmnq":Perché vuoi distinguere gruppi isomorfi?

Perché in un articolo trovato in rete che parlava di categorie c'era questo commento

<>

volevo conteggiare tutte le strutture di gruppo per vedere se veniva fuori $48$, e non mi trovo che viene fuori $48$ ma $16$.
Se si raggruppano tutte le strutture in classi tramite la relazione di equivalenza di isomorfismo, mi trovo che vengono fuori solo $2$ classi. Ma date le $2$ classi non si può passare facilmente a calcolare quante strutture c'erano con una formula del genere, solo in casi particolari si trova.

[40rob]

"vict85":Hai 4 possibili modi per selezionare \(e\). Ci sono quindi \(3\) elementi rimanenti. I gruppi di ordine \(4\) sono 2: \(C_4\) oppure \(C_2\times C_2\). Per \(C_4\) hai \(3\) modi per selezionare l'elemento di ordine \(2\). I restanti prodotti, se non mi sbaglio, sono a questo punto fissati. Quindi hai \(4\times 3 = 12\) gruppi isomorfi a \(C_4\). I restanti 4 sono isomorfi a \(C_2\times C_2\), i prodotti sono fissati dal fatto che il gruppo è isomorfo a \(C_2\times C_2\).

Mi trovo con te. $16$ si divide in $12$ strutture isomorfe e altre $4$ isomorfe. Avevo il dubbio di aver fatto qualche errore.

[fmnq]

"bub":[quote="fmnq"]Perché vuoi distinguere gruppi isomorfi?

<>[/quote]
Apprezzo tu abbia usato il blu.

[40rob]

"fmnq":[quote="bub"][quote="fmnq"]Perché vuoi distinguere gruppi isomorfi?

<>[/quote]
Apprezzo tu abbia usato il blu.[/quote]

Comunque data una struttura algebrica qualsiasi $(S, +, *, ', <,...)$ (con un numero di operazioni e relazioni qualsiasi una volta fissate le rispettive arietà), le strutture isomorfe a questa sullo stesso sostegno $S$ sono al più, se $S$ è finito, $|S|!$, ma al più, potrebbero essercene anche di meno fino a collassare ad una soltanto.
Apparentemente sembra che ogni permutazione ne crei una distinta, ma non è detto. Diverse permutazioni possono produrre le stesse strutture e solo in certi casi particolari ogni permutazione degli elementi di $S$ ne produce una distinta.
Ad esempio se nella struttura algebrica $(S, R)$, $R$ è la relazione binaria totale (in termini insiemistici), le strutture isomorfe a questa sul sostegno $S$ sono tutte identiche a questa, tutte le permutazioni collassano nella stessa struttura.
Ad esempio data la struttura...

$({0,1}, {(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)})$

e data la permutazione $0 -> 1$, $1 -> 0$ otteniamo

$({0,1}, {(1,1),(1,0),(0,0),(0,1)})$

che è la stessa coppia di partenza.