Verficare un sottogruppo normale?
qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
Risposte
Ciao e benvenuta fra noi.
Presumo che $G={((a,0),(c,d)) |a,d,c in Z}$ sia un gruppo rispetto alla somma, vero? Tra l'altro controlla meglio le variabili perchè hai scritto $a,b,c$ ma la $b$ io non la trovo.
In ogni caso, se è gruppo rispetto alla somma dovresti vedere che è abeliano. Perchè?
Poi dovresti far vedere che $H$ è un sottogruppo di $G$ (conosci il criterio per i sottogruppi: presi due elementi in $H$ devi far vedere che... ).
Comincia a fare questo, poi una volta risolti questi punti parliamo del quoziente.
Presumo che $G={((a,0),(c,d)) |a,d,c in Z}$ sia un gruppo rispetto alla somma, vero? Tra l'altro controlla meglio le variabili perchè hai scritto $a,b,c$ ma la $b$ io non la trovo.
In ogni caso, se è gruppo rispetto alla somma dovresti vedere che è abeliano. Perchè?
Poi dovresti far vedere che $H$ è un sottogruppo di $G$ (conosci il criterio per i sottogruppi: presi due elementi in $H$ devi far vedere che... ).
Comincia a fare questo, poi una volta risolti questi punti parliamo del quoziente.
si, è gruppo rispetto alla somma..
errore mio..la b sta per d!
errore mio..la b sta per d!
Un altro possibile approccio:
si sa che: data $\phi:G \to G'$ omomorfismo, allora $Ker \phi$ è sottogruppo normale di $G$.
Inoltre $Imm \phi$ è isomorfa a $G/(Ker\phi)$.
Quindi se costruisci l'omomorfismo giusto (visti gli ingredienti, è abbastanza facile inventarsene uno opportuno - nota, magari lo costruisci surgettivo, così viene più facile..), ottieni immediatamente la risposta a tutte e due le domande.
si sa che: data $\phi:G \to G'$ omomorfismo, allora $Ker \phi$ è sottogruppo normale di $G$.
Inoltre $Imm \phi$ è isomorfa a $G/(Ker\phi)$.
Quindi se costruisci l'omomorfismo giusto (visti gli ingredienti, è abbastanza facile inventarsene uno opportuno - nota, magari lo costruisci surgettivo, così viene più facile..), ottieni immediatamente la risposta a tutte e due le domande.
Scusate se riprendo la discussione, ma avendo lo stesso problema reputo inutile aprirne un'altra....
Risulta abeliano perchè è commutativo rispetto all'operazione somma. Per verificare invece che un sottinsieme è sottogruppo bisogna vedere che dati $a,b in H$ si ha che anche $a+b in H$, no?
Poi per verificare che è un sottogruppo normale devo verificare che le classi laterali destre e sinistre combaciano....Per i gruppi quozienti poi mi perdo
Grazie
"Paolo90":
In ogni caso, se è gruppo rispetto alla somma dovresti vedere che è abeliano. Perchè?
Poi dovresti far vedere che $H$ è un sottogruppo di $G$ (conosci il criterio per i sottogruppi: presi due elementi in $H$ devi far vedere che... ).
Risulta abeliano perchè è commutativo rispetto all'operazione somma. Per verificare invece che un sottinsieme è sottogruppo bisogna vedere che dati $a,b in H$ si ha che anche $a+b in H$, no?
Poi per verificare che è un sottogruppo normale devo verificare che le classi laterali destre e sinistre combaciano....Per i gruppi quozienti poi mi perdo
Grazie
"Samy21":
Scusate se riprendo la discussione, ma avendo lo stesso problema reputo inutile aprirne un'altra....
[quote="Paolo90"]In ogni caso, se è gruppo rispetto alla somma dovresti vedere che è abeliano. Perchè?
Poi dovresti far vedere che $H$ è un sottogruppo di $G$ (conosci il criterio per i sottogruppi: presi due elementi in $H$ devi far vedere che... ).
Risulta abeliano perchè è commutativo rispetto all'operazione somma. [/quote]
Sì, esatto.
Per verificare invece che un sottinsieme è sottogruppo bisogna vedere che dati $a,b in H$ si ha che anche $a+b in H$, no?
No, non basta. Le strade che io conosco sono essenzialmente due. Sia $G$ un gruppo in notazione additiva. Se $H subseteq G$ possiamo dire $H$ sottogruppo di $G$ se e solo se $H$ è a sua volta un gruppo additivo. Questo significa provare che:
I strada:
a. $0 in H$
b. per ogni elemento $h in H$ esiste $-h in H$
c. presi comunque due elementi $a,b in H$ il loro composto additivo sta ancora in $H$ (cioè $H$ è chiuso rispetto all'operazione)
Nota che non serve verificare l'associatività: se vale nel grande (in G vale perchè G è gruppo) allora vale anche nel piccolo.
II strada (mooolto più breve
): presi comunque due elementi $a,b in H$ occorre che $a-b in H$ (in notazione moltiplicativa questo diventa $ab^-1 in H$).
Ti invito a dimostrare la validità della II strada: in altre parole, prova (se vuoi) a dimostrare che quella che ti ho scritto è effettivamente una condizione sufficiente perchè $H$ sia un sottogruppo (che sia necessaria pare ovvio
).
Poi per verificare che è un sottogruppo normale devo verificare che le classi laterali destre e sinistre combaciano....Per i gruppi quozienti poi mi perdo
Grazie
Se un gruppo è abeliano, ogni suo sottogruppo è normale.
Per i quozienti, magari ne riparliamo dopo
"Paolo90":
Ti invito a dimostrare la validità della II strada: in altre parole, prova (se vuoi) a dimostrare che quella che ti ho scritto è effettivamente una condizione sufficiente perchè $H$ sia un sottogruppo (che sia necessaria pare ovvio
Ecco....Onestamente, mi perdo nelle dimostrazioni
Presumo che questo secondo metodo si basa sul fatto che per essere un sottogruppo è necessario che quel sottoinsieme sia un'insieme chiuso rispetto all'operazione del gruppo che lo contiene, ossia in questo caso deve valere la relazione che hai detto, cioè $a-b in H$.....E' giusto? Grazie per aver risposto!
"Samy21":
[quote="Paolo90"]
Ti invito a dimostrare la validità della II strada: in altre parole, prova (se vuoi) a dimostrare che quella che ti ho scritto è effettivamente una condizione sufficiente perchè $H$ sia un sottogruppo (che sia necessaria pare ovvio
Ecco....Onestamente, mi perdo nelle dimostrazioni
Presumo che questo secondo metodo si basa sul fatto che per essere un sottogruppo è necessario che quel sottoinsieme sia un'insieme chiuso rispetto all'operazione del gruppo che lo contiene, ossia in questo caso deve valere la relazione che hai detto, cioè $a-b in H$.....E' giusto? Grazie per aver risposto![/quote]
Prego figurati, è un piacere.
Comunque, non credo di aver capito fino in fondo ciò che affermi.
Facciamo così. Ti dico che vale il seguente teorema: detto G un gruppo moltiplicativo, si ha $H " sottogruppo " iff forall a,b in H, ab^-1 in H$.
La freccia di andata è molto semplice da dimostrare: cioè, se $H$ è un sottogruppo significa che è esso stesso un gruppo moltiplicativo; quindi, ogni elemento ammette inverso e, ovviamente, il composto di due elementi qualunque sta ancora in $H$: quindi, puoi subito concludere che presi comunque $a,b in H$, esiste $b^-1 in H$ e quindi $ab^-1 in H$.
Ci sei fin qui?
Questa era la direzione banale
, l'altra è un po' più delicata. Prova a pensarci e fammi sapere.
Se hai bisogno siamo qui.
"Paolo90":
Ci sei fin qui?
Si, fin quì tutto chiaro...Intendevo dire questo prima, ma ovviamente l'ho detto in maniera mooooolto più confusa
Adesso dovrei dimostrare che dal fatto che $a, b in H$ e $a*b^-1 in H rArr H$ è un sottogruppo.
Ti scrivo il pensiero che faccio, almeno mi dici se penso già male
(Grazie di vero cuore) Per poter dimostrare quanto detto dovrei far vedere che $H$ gode delle stesse proprietà del gruppo moltiplicativo $G$, ossia esiste l'elemento neutro, l'elemento inverso e vale la proprietà associativa.
Prendiamo $a in H$ e da quanto da te detto sappiamo che $a*a^-1 in H$... Sappiamo però che $a*a^-1=e$ dove con $e$ intendo l'elemento neutro della moltiplicazione. Quindi posso dire che $e in H$.
Implicitamente prima ho detto che esiste l'elemento inverso $a^-1$ (spero di non aver detto una fesseria
).....Fin quì ci sono?
Go on... Brava, sei sulla buona strada
Ora resta da provare (suggerisco in quest'ordine) l'esistenza dell'inverso per ogni elemento di $H$ e la chiusura rispetto all'operazione di $G$.
Ora resta da provare (suggerisco in quest'ordine) l'esistenza dell'inverso per ogni elemento di $H$ e la chiusura rispetto all'operazione di $G$.
ok, grazie
L'elemento inverso per definizione è quell'elemento $a^-1$ tale che si ha $a*a^-1=e$. Per quanto ho detto prima si deve avere che $a^-1 * e = a^-1$ e quindi per quanto visto prima $a^-1 in H$....
Mi manca da dimostrare che $H$ è chiuso rispetto l'operazione di $G$ ossia che dati $a, b in H$ deve anche aversi che $a*b in H$.... Fin'ora sappiamo che $a*b^-1 in H$, ma avendo detto prima che esiste l'inverso di ogni elemento, quindi $b^-1$ è l'inverso di $b$ quindi $a*b in H$ ..... Non sono granchè sicura dell'ultima parte
Grazie ancora!!
L'elemento inverso per definizione è quell'elemento $a^-1$ tale che si ha $a*a^-1=e$. Per quanto ho detto prima si deve avere che $a^-1 * e = a^-1$ e quindi per quanto visto prima $a^-1 in H$....
Mi manca da dimostrare che $H$ è chiuso rispetto l'operazione di $G$ ossia che dati $a, b in H$ deve anche aversi che $a*b in H$.... Fin'ora sappiamo che $a*b^-1 in H$, ma avendo detto prima che esiste l'inverso di ogni elemento, quindi $b^-1$ è l'inverso di $b$ quindi $a*b in H$ ..... Non sono granchè sicura dell'ultima parte
Grazie ancora!!
Sì, va bene.
L'ultima parte puoi dirla meglio in questo modo: sai che per ogni elemento esiste in $H$ il suo inverso (l'hai appena mostrato); quindi, prendi la coppia $a,b^-1$: hai che [tex]H \ni ab^{-1} = a(b^{-1})^{-1}=ab[/tex]
Dunque $H$ è stabile; eredita la proprietà associativa, dunque è un (sotto)gruppo.
L'ultima parte puoi dirla meglio in questo modo: sai che per ogni elemento esiste in $H$ il suo inverso (l'hai appena mostrato); quindi, prendi la coppia $a,b^-1$: hai che [tex]H \ni ab^{-1} = a(b^{-1})^{-1}=ab[/tex]
Dunque $H$ è stabile; eredita la proprietà associativa, dunque è un (sotto)gruppo.
Wow la mia prima dimostrazione quasi completata!! Grazie mille!
Ora per il gruppo quoziente?
Grazie mille!Ora per il gruppo quoziente?
Mi congratulo con te per la dimostrazione.
Per quanto riguarda il quoziente, hai chiara la faccenda dei sottogruppi normali? Conosci il primo teorema di isomorfismo?
L'idea infatti è quella di cercare un epimorfismo tra $G$ e $ZZ_5$ il cui nucleo sia $H$...
Per quanto riguarda il quoziente, hai chiara la faccenda dei sottogruppi normali? Conosci il primo teorema di isomorfismo?
L'idea infatti è quella di cercare un epimorfismo tra $G$ e $ZZ_5$ il cui nucleo sia $H$...
Ok, facciamo così, per me adesso è un pò tardino....Continuiamo domani (così con la scusa mi rileggo meglio il teorema di isomorfismo ) ?
Grazie mille davvero
) ?Grazie mille davvero
Rieccomi
Tornando da dove abbiamo lasciato, riguardo ai sottogruppi normali, preso per esempio $H<=G$ sottogruppo di $G$ e $a in G$, diciamo che $H$ è un sottogruppo normale se $a*H*a^-1 sube H$ oppure che $a*H*a^-1 = H$ oppure se $aH=Ha$ ossia se i laterali destri e sinistri coincidono.
Mentre invece il primo teorema dell'isomorfismo ha questo enunciato
Onestamente, non mi è granchè chiaro il teorema sull'isomorfismo...
Grazie
Tornando da dove abbiamo lasciato, riguardo ai sottogruppi normali, preso per esempio $H<=G$ sottogruppo di $G$ e $a in G$, diciamo che $H$ è un sottogruppo normale se $a*H*a^-1 sube H$ oppure che $a*H*a^-1 = H$ oppure se $aH=Ha$ ossia se i laterali destri e sinistri coincidono.
Mentre invece il primo teorema dell'isomorfismo ha questo enunciato
Se $f:G->G^{\prime}$ è un'omomorfismo di gruppi, allora $G/(kerf)$ è isomorfo a $imf$.
Onestamente, non mi è granchè chiaro il teorema sull'isomorfismo...
Grazie
Ma buongiorno!
Dunque, la definizione di sottogruppo normale va bene. Ti faccio notare che, se un gruppo è abeliano, ogni sottogruppo è automaticamente normale (infatti, i laterali destri concidono proprio con i laterali destri!).
Per quanto riguarda il th di isomorfismo, esso afferma questo.
Tu prendi un omomorfismo suriettivo tra $G$ e $H$ (dove G e H sono gruppi). Considerane il nucleo (sai che cos'è?). Allora il gruppo quoziente $G // "Ker" f$ (il quoziente è sempre un gruppo: perchè? di quale proprietà importante gode il nucleo di un omomorfismo di gruppi?) è isomorfo a $H$.
Quindi, tornando al nostro problema: dobbiamo cercare un omomorfismo suriettivo tra G e $ZZ_5$, il cui nucleo sia H. In tal modo siamo sicuri che il quoziente è isomorfo a $ZZ_5$. Hai capito?
Rimando comunque qui [size=75](sarò grato per sempre a Martino per quella discussione)[/size] per ulteriori letture
Dunque, la definizione di sottogruppo normale va bene. Ti faccio notare che, se un gruppo è abeliano, ogni sottogruppo è automaticamente normale (infatti, i laterali destri concidono proprio con i laterali destri!).
Per quanto riguarda il th di isomorfismo, esso afferma questo.
Tu prendi un omomorfismo suriettivo tra $G$ e $H$ (dove G e H sono gruppi). Considerane il nucleo (sai che cos'è?). Allora il gruppo quoziente $G // "Ker" f$ (il quoziente è sempre un gruppo: perchè? di quale proprietà importante gode il nucleo di un omomorfismo di gruppi?) è isomorfo a $H$.
Quindi, tornando al nostro problema: dobbiamo cercare un omomorfismo suriettivo tra G e $ZZ_5$, il cui nucleo sia H. In tal modo siamo sicuri che il quoziente è isomorfo a $ZZ_5$. Hai capito?
Rimando comunque qui [size=75](sarò grato per sempre a Martino per quella discussione)[/size] per ulteriori letture
Allora, il nucleo è un sottogruppo del gruppo G (se consideriamo $f : G->H$ l'omomorfismo iniettivo) ed è definito in questo modo $kerf={g in G | f(g) = e_H }$, cioè otteniamo l'elemento neutro del gruppo H facendo l'omomorfismo di un elemento di G. Se non erro il nucleo è sempre normale.
E' giusto?
Sul perchè un gruppo quoziente sia sempre un gruppo, ho sempre pensato che fosse dovuto alla sua struttura già definita nelle relazioni di equivalenza, però adesso ne sto dubitando
Stò nel frattempo leggendo il topic che mi hai mandato..
E' giusto?
Sul perchè un gruppo quoziente sia sempre un gruppo, ho sempre pensato che fosse dovuto alla sua struttura già definita nelle relazioni di equivalenza, però adesso ne sto dubitando
Stò nel frattempo leggendo il topic che mi hai mandato..
"Samy21":
Allora, il nucleo è un sottogruppo del gruppo G (se consideriamo $f : G->H$ l'omomorfismo iniettivo) ed è definito in questo modo $kerf={g in G | f(g) = e_H }$, cioè otteniamo l'elemento neutro del gruppo H facendo l'omomorfismo di un elemento di G. Se non erro il nucleo è sempre normale.
E' giusto?
Sì, è corretto. Nota comunque che il nucleo lo puoi definire non solo per gli omomorfismi iniettivi, ma per ogni omomorfismo. Per gli omomorfismi iniettivi, il nucleo è sempre banale (anche questo lo puoi verificare facilmente).
Sul perchè un gruppo quoziente sia sempre un gruppo, ho sempre pensato che fosse dovuto alla sua struttura già definita nelle relazioni di equivalenza, però adesso ne sto dubitando
Nono, frena. Forse mi sono espresso male io. Il quoziente di un gruppo e di un sottogruppo NON sempre è un gruppo. E' strutturabile come gruppo se e solo se il sottogruppo per cui quozienti è normale. Cioè l'operazione che definisci nel quoziente lo rende gruppo se e solo se è ben posta; e perchè sia ben posta occorre che i laterali destri e sinistri siano uguali, cioè il sottogruppo sia normale.
Tuttavia, dato un omomorfismo di gruppi $f: G to H$ il quoziente $G // "Ker "f $ è sempre un gruppo. Discende banalmente da ciò che dicevi tu poco fa: il nucleo è sempre normale.
Chiaro?
"Paolo90":
E' strutturabile come gruppo se e solo se il sottogruppo per cui quozienti è normale. Cioè l'operazione che definisci nel quoziente lo rende gruppo se e solo se è ben posta; e perchè sia ben posta occorre che i laterali destri e sinistri siano uguali, cioè il sottogruppo sia normale.
No sinceramente sono io ad aver sempre pensato che potessimo parlare di gruppo quoziente solo se generato da un sottogruppo normale. Infatti nel mio libro (che sarebbe poi anche il tuo, ossia il Piacentini Cattaneo) dice che i sottogruppi normali sono importanti proprio per definire il gruppo quoziente... E la stessa cosa la ripete il mio prof nelle sue dispense... Quindi non ti sei espresso male te ma proprio io ho il cervello più piccolo di una gallina
Ok, adesso ho capito perchè il quoziente è un gruppo...
Ora per l'epimorfismo e per risolvere l'esercizio? Grazie per la pazienza..
"Samy21":
[quote="Paolo90"] E' strutturabile come gruppo se e solo se il sottogruppo per cui quozienti è normale. Cioè l'operazione che definisci nel quoziente lo rende gruppo se e solo se è ben posta; e perchè sia ben posta occorre che i laterali destri e sinistri siano uguali, cioè il sottogruppo sia normale.
No sinceramente sono io ad aver sempre pensato che potessimo parlare di gruppo quoziente solo se generato da un sottogruppo normale. Infatti nel mio libro (che sarebbe poi anche il tuo, ossia il Piacentini Cattaneo) dice che i sottogruppi normali sono importanti proprio per definire il gruppo quoziente... E la stessa cosa la ripete il mio prof nelle sue dispense... Quindi non ti sei espresso male te ma proprio io ho il cervello più piccolo di una gallina
[/quote]
Non ti preoccupare: l'importante è che sia chiaro. il quoziente $G//H$ è un gruppo se e solo se $H$ è normale in $G$. Il nucleo è sempre normale in $G$, per cui $G // "Ker"f $ è sempre gruppo. D'accordo?
Ora per l'epimorfismo e per risolvere l'esercizio?
Grazie per la pazienza..
Dimmi tu che ne pensi: riesci a trovare un epimorfismo? E' più semplice di quel che sembri... manda una generica matrice di $G$ in ...
Comunque non mi devi ringraziare, è un piacere.
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