Verficare un sottogruppo normale?
qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
Risposte
Allora, le cose stanno così.
Il quoziente è un gruppo che contiene due elementi. Che cosa significa ciò?
Te lo faccio in termini generali, così fai anche un ripassino di teoria. Ti consiglio di scrivere però i conti esatti del problema in questione. Prendi un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $S$. Definisci su G la seguente relazione: $a sigma b iff ba^-1 in S$. Si dimostra facilmente essere d'equivalenza.
Allora, ha senso - vedi post di cui sopra - andare al quoziente. Da che cosa è composto? Dalle classi di equivalenza rispetto a questa relazione $sigma$, classi che in questo caso si chiamano "laterali". Perchè questo nome? Semplice: esse contengono tutti gli elementi in relazione tra loro.
Prendi la classe dell'elemento $a$: essa contiene tutti i $b$ tali che $a sigma b$, quindi tutti i $b$ t.c. $ba^-1 in S$ oppure - il che è lo stesso - detto $s in S$ hai $ba^-1=s =>b=sa$. Quindi $b in Sa$, dove il laterale $Sa={sa, s in S}$.
Ok?
Se $S$ è normale, puoi definire un'operazione - ben posta - tra i laterali in questo modo: $Sa Sb= Sab$. E il quoziente risulta essere un gruppo rispetto a questa operazione.
Venendo a noi: prendi $S_n$. Hai fatto vedere che $A_n$ è normale in $S_n$. Allora due elementi - che in questo caso sono permutazioni - sono in relazione tra loro se e solo se hanno la stessa parità. In altre parole, $S_n//A_n={A_n, S_n-A_n}$, cioè dall'insieme delle permutazioni pari e da quelle dispari.
Medita bene su tutto ciò, prenditi tutto il tempo necessario per comprendere. Non sono concetti immediati...
Il quoziente è un gruppo che contiene due elementi. Che cosa significa ciò?
Te lo faccio in termini generali, così fai anche un ripassino di teoria. Ti consiglio di scrivere però i conti esatti del problema in questione. Prendi un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $S$. Definisci su G la seguente relazione: $a sigma b iff ba^-1 in S$. Si dimostra facilmente essere d'equivalenza.
Allora, ha senso - vedi post di cui sopra - andare al quoziente. Da che cosa è composto? Dalle classi di equivalenza rispetto a questa relazione $sigma$, classi che in questo caso si chiamano "laterali". Perchè questo nome? Semplice: esse contengono tutti gli elementi in relazione tra loro.
Prendi la classe dell'elemento $a$: essa contiene tutti i $b$ tali che $a sigma b$, quindi tutti i $b$ t.c. $ba^-1 in S$ oppure - il che è lo stesso - detto $s in S$ hai $ba^-1=s =>b=sa$. Quindi $b in Sa$, dove il laterale $Sa={sa, s in S}$.
Ok?
Se $S$ è normale, puoi definire un'operazione - ben posta - tra i laterali in questo modo: $Sa Sb= Sab$. E il quoziente risulta essere un gruppo rispetto a questa operazione.
Venendo a noi: prendi $S_n$. Hai fatto vedere che $A_n$ è normale in $S_n$. Allora due elementi - che in questo caso sono permutazioni - sono in relazione tra loro se e solo se hanno la stessa parità. In altre parole, $S_n//A_n={A_n, S_n-A_n}$, cioè dall'insieme delle permutazioni pari e da quelle dispari.
Medita bene su tutto ciò, prenditi tutto il tempo necessario per comprendere. Non sono concetti immediati...
Ok, Grazie mille Paolo! Penso di aver capito...Scusami davvero per averti fatto "disperare" 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo