Verficare un sottogruppo normale?
qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
Risposte
"Samy21":
[quote="Paolo90"]
Prendi gli abitanti della tua città ($I$, insieme finito). Prendi la relazione $rho$, definita così: $"tizio " rho " caio"$ se e solo se $"tizio e caio hanno lo stesso colore di capelli"$. Ti invito a dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
Per essere una relazione di equivalenza devono valere 2 proprietà:
- Proprietà Riflessiva: è ovvio, il mio colore di capelli è in relazione con sè stesso.
- Proprietà Transitiva: se caio e tizio hanno lo stesso colore di capelli e tizio ha lo stesso colore di capelli di sempronio, allora anche caio avrà lo stesso colore di capelli di sempronio.
- Proprietà Simmetrica: se caio $rho$ tizio, anche tizio $rho$ caio.
Quindi è una relazione di equivalenza
[/quote]
Ok. Solo una pignoleria: le proprietà sono 3
E per quanto riguarda la riflessiva tu sei in relazione in con te stessa - o, meglio - ogni abitante è in relazione $rho$ con se stesso (i colori dei capelli non sono in relazione!).
E ho detto la mia solita cavolata
Evidentemente, non mi sono spiegato bene sulla faccenda del quoziente. Sicura di aver capito l'esempio di prima sui colori dei capelli? Prova un po' a rileggerlo, con particolare attenzione a quando abbiamo costruito il quoziente: sbaglio o abbiamo detto che è un insieme di sottoinsiemi?
Inoltre, ti invito a riflettere un attimo sul fatto che la "relazione" che hai dato non è una relazione! Precisa meglio ciò che intendi anche se, mi pare corretto avvisarti, non penso tu sia sulla strada giusta (ma non ti preoccupare, quella è una cosa che cercheremo di capire dopo, ora è fondamentale tu capisca il concetto di insieme quoziente).
$ZZ_2={id, (1,2)}$ e direi che è ciclico perchè $id= {(1,2)^2}$ quindi posso scrivere gli elementi come potenza d un unico elemtento...Right?
Non ho capito: conosci i gruppi $ZZ_n$? Sai chi sono?
Hay ma non vale cambiare le carte in tavola
Scusa, ho notato solo ora l'edit.
Penso sia la stessa definita per i sottogruppi normali, ossia i due laterali devono essere in relazione o uguali
[/quote]
Di nuovo, non sei chiarissima... che cosa intendi?
Scusa, ho notato solo ora l'edit.
"Samy21":
[quote="Paolo90"]
P.S. Ah, dimenticavo: il giochino che ti ho fatto sopra con gli abitanti funziona analogamente con i sottogruppi. L'insieme quoziente (che noi cerchiamo di strutturare come gruppo e lo possiamo fare se e solo se il sottogruppo è normale) nasce infatti - guarda caso
Spero di esserti stato utile.
Penso sia la stessa definita per i sottogruppi normali, ossia i due laterali devono essere in relazione o uguali
[/quote]
Di nuovo, non sei chiarissima... che cosa intendi?
Ok, mi spiego meglio in tutto, e soprattutto rileggo per evitare di scrivere 2 elencando poi 3 cose
1. $ZZ_2$ ha per elementi le classi di equivalenza di $0$ ed $1$, così come $ZZ_10$ ha per elementi le classi di equivalenza dei numeri che vanno da $0$ a $9$.
2. Per stabilire la ciclicità di $ZZ_2$ dando per scontato che stiamo valutando come gruppo $(ZZ_2, @ )$, dovrei vedere se esiste un elemento $a$ di $G$ tale che si abbia $G=G(a)$. Siccome non ho granchè da scegliere su $ZZ_2$, $a$ può essere $a=[0]$ oppure $a=[1]$. $G([0])={[0]}$ e $G([1])={[1]}$ quindi non è ciclico. Ok?
3. Il quoziente in sè come concetto ce l'ho chiaro nel momento in cui ho delineato un insieme finito con una chiara relazione al suo interno. Nel caso che noi stiamo trattando, causa la mia totale e assoluta stupidità, non ho ben chiara la relazione che intercorre...
Vabbè che ora come ora, anche se la sapessi non la ricorderei dato che ormai le nozioni sono così confuse da non capirci più nulla
1. $ZZ_2$ ha per elementi le classi di equivalenza di $0$ ed $1$, così come $ZZ_10$ ha per elementi le classi di equivalenza dei numeri che vanno da $0$ a $9$.
2. Per stabilire la ciclicità di $ZZ_2$ dando per scontato che stiamo valutando come gruppo $(ZZ_2, @ )$, dovrei vedere se esiste un elemento $a$ di $G$ tale che si abbia $G=G(a)$. Siccome non ho granchè da scegliere su $ZZ_2$, $a$ può essere $a=[0]$ oppure $a=[1]$. $G([0])={[0]}$ e $G([1])={[1]}$ quindi non è ciclico. Ok?
3. Il quoziente in sè come concetto ce l'ho chiaro nel momento in cui ho delineato un insieme finito con una chiara relazione al suo interno. Nel caso che noi stiamo trattando, causa la mia totale e assoluta stupidità, non ho ben chiara la relazione che intercorre...
Vabbè che ora come ora, anche se la sapessi non la ricorderei dato che ormai le nozioni sono così confuse da non capirci più nulla
"Samy21":
Ok, mi spiego meglio in tutto, e soprattutto rileggo per evitare di scrivere 2 elencando poi 3 cose
1. $ZZ_2$ ha per elementi le classi di equivalenza di $0$ ed $1$, così come $ZZ_10$ ha per elementi le classi di equivalenza dei numeri che vanno da $0$ a $9$.
Perfetto.
2. Per stabilire la ciclicità di $ZZ_2$ dando per scontato che stiamo valutando come gruppo $(ZZ_2, @ )$, dovrei vedere se esiste un elemento $a$ di $G$ tale che si abbia $G=G(a)$. Siccome non ho granchè da scegliere su $ZZ_2$, $a$ può essere $a=[0]$ oppure $a=[1]$. $G([0])={[0]}$ e $G([1])={[1]}$ quindi non è ciclico. Ok?
No, non ci siamo assolutamente. Che cos'è $circ$? che operazione è? $ZZ_2$ è un gruppo rispetto alla somma! Hai chiaro il concetto di gruppo? E di isomorfismo di gruppi?
3. Il quoziente in sè come concetto ce l'ho chiaro nel momento in cui ho delineato un insieme finito con una chiara relazione al suo interno. Nel caso che noi stiamo trattando, causa la mia totale e assoluta stupidità, non ho ben chiara la relazione che intercorre...
Tranquilla, fermati un secondo e cerca di raccogliere le idee, prendendoti il tempo necessario per digerire i concetti. Rispondi prima alle domande che ti ho scritto qualche riga fa, facciamo un passo alla volta, con calma...
Dicesi Gruppo un insieme con un operazione binaria associata, che gode di 3 proprietà :
1. Vale la proprietà associativa
2. Esiste l'elemento neutro rispetto l'operazione definita
3. Esiste l'elemento inverso.
Omomormisfmo è un'applicazione tra 2 gruppi che conserva l'operazione.
Allora $ZZ_2$ rispetto alla somma risulta essere ciclico e generato da $[1]$
1. Vale la proprietà associativa
2. Esiste l'elemento neutro rispetto l'operazione definita
3. Esiste l'elemento inverso.
Omomormisfmo è un'applicazione tra 2 gruppi che conserva l'operazione.
Allora $ZZ_2$ rispetto alla somma risulta essere ciclico e generato da $[1]$
"Samy21":
Dicesi Gruppo un insieme con un operazione binaria associata, che gode di 3 proprietà :
1. Vale la proprietà associativa
2. Esiste l'elemento neutro rispetto l'operazione definita
3. Esiste l'elemento inverso.
E inoltre l'insieme deve essere chiuso rispetto all'operazione. Ti è chiaro?
Omomormisfmo è un'applicazione tra 2 gruppi che conserva l'operazione.
E un isomorfismo?
Allora $ZZ_2$ rispetto alla somma risulta essere ciclico e generato da $[1]$
Ma certamente, ma chère
L'isomorfismo è un omomorfismo biiettivo
"Paolo90":
[quote="Samy21"]Dicesi Gruppo un insieme con un operazione binaria associata, che gode di 3 proprietà :
1. Vale la proprietà associativa
2. Esiste l'elemento neutro rispetto l'operazione definita
3. Esiste l'elemento inverso.
E inoltre l'insieme deve essere chiuso rispetto all'operazione. Ti è chiaro?
[/quote]
Non doveva essere il sottoinsieme di un gruppo ad essere chiuso rispetto all'operazione per essere un sottogruppo?
E quando due gruppi sono isomorfi non li distinguiamo, li consideriamo uno solo.
Ad esempio, secondo te $(RR,+)$ e $(RR^+, *)$ ($RR^+$ sono i reali strettamente positivi) sono gruppi? Se sì sono tra loro omomorfi? Per caso isomorfi?
EDIT: No, un insieme per essere gruppo deve essere chiuso rispetto all'operazione. I sottogruppi sono sottoinsiemi che a loro volta sono gruppi, quindi devono anche loro soddisfare questi quattro punti. Es. $(NN,-)$ non può essere gruppo perchè non è chiuso.
Ad esempio, secondo te $(RR,+)$ e $(RR^+, *)$ ($RR^+$ sono i reali strettamente positivi) sono gruppi? Se sì sono tra loro omomorfi? Per caso isomorfi?
EDIT: No, un insieme per essere gruppo deve essere chiuso rispetto all'operazione. I sottogruppi sono sottoinsiemi che a loro volta sono gruppi, quindi devono anche loro soddisfare questi quattro punti. Es. $(NN,-)$ non può essere gruppo perchè non è chiuso.
Scusami davvero, ma domani ho lo scritto di analisi e volevo rivedere alcuni esercizi ecc, quindi da domani pomeriggio finalmente mi dedicherò anima e corpo all'algebra...Quindi, a domani!
"Paolo90":
E quando due gruppi sono isomorfi non li distinguiamo, li consideriamo uno solo.
Ad esempio, secondo te $(RR,+)$ e $(RR^+, *)$ ($RR^+$ sono i reali strettamente positivi) sono gruppi? Se sì sono tra loro omomorfi? Per caso isomorfi?
EDIT: No, un insieme per essere gruppo deve essere chiuso rispetto all'operazione. I sottogruppi sono sottoinsiemi che a loro volta sono gruppi, quindi devono anche loro soddisfare questi quattro punti. Es. $(NN,-)$ non può essere gruppo perchè non è chiuso.
Formalmente più che essere una cosa sola, qualsiasi proprietà che dipende dall'essere gruppo che possiede uno lo possiede anche l'altro.
Rieccomi
Ho verificato che $(RR,+)$ e $(RR^+, * )$ sono dei gruppi, però secondo i miei calcoli non sono omomorfi.
Infatti, $\sigma : RR -> RR^+$ è un'omomorfismo se $\sigma[(f+g)]=\sigma(f) * \sigma(g)$ con $\sigma(f)=f$ (presumo). Otteniamo quindi che $f+g=f*g$ ma presi per esempio $f=2$ e $g=5$ notiamo che $2+5 != 2*5$.....E' giusto il discorso fatto?
Grazie
Ho verificato che $(RR,+)$ e $(RR^+, * )$ sono dei gruppi, però secondo i miei calcoli non sono omomorfi.
Infatti, $\sigma : RR -> RR^+$ è un'omomorfismo se $\sigma[(f+g)]=\sigma(f) * \sigma(g)$ con $\sigma(f)=f$ (presumo). Otteniamo quindi che $f+g=f*g$ ma presi per esempio $f=2$ e $g=5$ notiamo che $2+5 != 2*5$.....E' giusto il discorso fatto?
Grazie
1. Scusa, ieri mi sono completamente dimenticato di questa discussione e ho scordato di farti l'in bocca al lupo. Com'è andata analisi se posso chiedere? Spero bene
2. Sicura di ciò che dici a proposito degli omomorfismi? Prova a considerare $f:RR to RR^+$ definita da $f(x)=e^x$...
2. Sicura di ciò che dici a proposito degli omomorfismi? Prova a considerare $f:RR to RR^+$ definita da $f(x)=e^x$...
"Paolo90":
2. Sicura di ciò che dici a proposito degli omomorfismi? Prova a considerare $f:RR to RR^+$ definita da $f(x)=e^x$...
In questo caso allora sono omomorfi dato che $e^(f+g)=e^(f)*e^(g)$... E penso siano anche isomorfi, dato che risulta essere iniettiva e suriettiva
[OT] L'esame di analisi non saprei com'è andato, giusto quando avevo capito le serie non le ha messe nel compito (di solito le metteva sempre)...Sull'integrale sono certa di averlo risolto giusto, ho qualche dubbio sullo studio della funzione, poi la passerò al vaglia della community
[/OT]
Bene.
Chiariti i concetti base di gruppo e isomorfismo, torniamo al problema, che se non sbaglio si era arenato sullo studio del quoziente.
Avevamo appurato che il quoziente $S_n//A_n$ era isomorfo a $ZZ_2$.
Quindi da quanti elementi è composto $S_n//A_n$? Chi sono costoro? Di quali proprietà gode tale gruppo?
Chiariti i concetti base di gruppo e isomorfismo, torniamo al problema, che se non sbaglio si era arenato sullo studio del quoziente.
Avevamo appurato che il quoziente $S_n//A_n$ era isomorfo a $ZZ_2$.
Quindi da quanti elementi è composto $S_n//A_n$? Chi sono costoro? Di quali proprietà gode tale gruppo?
E' composto da 2 elementi, ossia $[0]$ e $[1]$ e abbiamo detto che nello specifico $[1]$ è generatore di $ZZ_2$ che quindi risulta ciclico
Sì, quello è $ZZ_2$. Rompo, lo so, ma non mi basta.
Abbiamo detto che è come $ZZ_2$, è isomorfo. Ma isomorfo appunto non significa uguale. Come si chiamano gli elementi analoghi in $S_n//A_n$? Non certo 0 e 1...
Abbiamo detto che è come $ZZ_2$, è isomorfo. Ma isomorfo appunto non significa uguale. Come si chiamano gli elementi analoghi in $S_n//A_n$? Non certo 0 e 1...
Naaa che rompi! Anzi così facendo capisco tutto meglio... Grazie!
Gli elementi analoghi sul quoziente che stiamo analizzando credo siano $id$ e $(1,2)$....Dell'ultimo non sono sicura
Grazie! Gli elementi analoghi sul quoziente che stiamo analizzando credo siano $id$ e $(1,2)$....Dell'ultimo non sono sicura
Carissima,
sulla base di che cosa affermi che quelli sono gli elementi del quoziente?
Ti ricordo che gli elementi del quoziente sono sottoinsiemi, non permutazioni o altro...
sulla base di che cosa affermi che quelli sono gli elementi del quoziente?
Ti ricordo che gli elementi del quoziente sono sottoinsiemi, non permutazioni o altro...
Ooooooh ma mannaggia, c'ho la testa dura
Ti chiedo davvero scusa, ma penso di partorire un'altra cavolata.... Possibile che gli elementi del quoziente siano i sottoinsiemi banali? Lo dico perchè se sappiamo che ci sono 2 elementi e in ogni insieme ci sono i sottogruppi banali.....
Ti chiedo davvero scusa, ma penso di partorire un'altra cavolata....
Possibile che gli elementi del quoziente siano i sottoinsiemi banali? Lo dico perchè se sappiamo che ci sono 2 elementi e in ogni insieme ci sono i sottogruppi banali.....
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