Verficare un sottogruppo normale?
qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
Risposte
"Paolo90":
riesci a trovare un epimorfismo? E' più semplice di quel che sembri...
Ecco...Quì siamo arrivati al tasto dolente...Per trovare un'epimorfismo devo trovare che, considerato sempre l'omomorfismo di prima, $f(g)=h$ per $g in G, h in H$, ossia che l'immagine di un'elemento di G è uguale ad un elemento di H.Abbiamo visto che il teorema dell'isomorfismo ci aiuta dicendoci che il quoziente è isomorfo all'immagine...Comunque, penso che dovremmo mandare una generica matrice di G in H e vedere se quelloo che ho detto prima succede...no?
Prendi $G={((a,0),(c,d)) |a,d,c in ZZ}$ che, si era detto, è gruppo additivo e $ZZ_5$.
Ora, considera la seguente funzione: $f: G to ZZ_5$ che manda $((a,0),(c,d)) mapsto bar c$ (dove $bar c$ denota la classe di $c$ in $ZZ_5$).
E' un omomorfismo di gruppi? E' suriettivo? Che cosa puoi concludere?
Ora, considera la seguente funzione: $f: G to ZZ_5$ che manda $((a,0),(c,d)) mapsto bar c$ (dove $bar c$ denota la classe di $c$ in $ZZ_5$).
E' un omomorfismo di gruppi? E' suriettivo? Che cosa puoi concludere?
Per dimostrare che è un'omomorfismo devo far vedere che $f[((a,o),(c,d))+((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]=f[((a,0),(c,d))]+f[((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]$ considerando la solita operazione di somma, anche perchè non mi pare che all'inizio sia stata definita in qulche modo specifico.
Fin quì mi pare di esserci (anche se ho tralasciato la classe di c). Il problema è che tutti gli esercizi che io ho svolto, mi definivano l'operazione e quindi sapevo cosa si otteneva effettuando l'omorfismo, quì invece mi confondo non trovando nulla di tutto cio
Scusa davvero, sarà una cosa banale...Grazie per sopportarmi
Fin quì mi pare di esserci (anche se ho tralasciato la classe di c). Il problema è che tutti gli esercizi che io ho svolto, mi definivano l'operazione e quindi sapevo cosa si otteneva effettuando l'omorfismo, quì invece mi confondo non trovando nulla di tutto cio
Scusa davvero, sarà una cosa banale...Grazie per sopportarmi
"Samy21":
Per dimostrare che è un'omomorfismo devo far vedere che $f[((a,0),(c,d))+((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]=f[((a,0),(c,d))]+f[((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]$ considerando la solita operazione di somma, anche perchè non mi pare che all'inizio sia stata definita in qulche modo specifico.
Sì, più precisamente però la somma a primo membro è la somma tra matrici la somma a secondo membro è la somma tra classi in $ZZ_5$.
Fin quì mi pare di esserci (anche se ho tralasciato la classe di c). Il problema è che tutti gli esercizi che io ho svolto, mi definivano l'operazione e quindi sapevo cosa si otteneva effettuando l'omorfismo, quì invece mi confondo non trovando nulla di tutto cio
Scusa davvero, sarà una cosa banale...Grazie per sopportarmi
Non ho capito bene il tuo dubbio. Verificato che si tratta di un omomorfismo, chiediti: qual è il nucleo?
Avrai una bella sorpresa.
Ti spiego il mio problema. Mi sono allenata risolvendo esercizi sul mio eserciziario scritto dal mio prof universitario perchè come sempre nei libri di sola teoria ci sono pochissimi esercizi. Quelli che trattavano gli omomorfismi erano impostati in modo tale da esplicitare sia i gruppi ma anche l'operazione che c'era tra entrambi. Ti porto un'esempio così mi faccio capire meglio.
Prendo questo ersercizio sempre sugli omomorfismi:
Consideriamo il gruppo $G={M=((a,b),(0,c))|$ ad elementi in $ZZ_3$ e $detM=1}$ rispetto all'usuale prodotto righe per colonne ed il gruppo $G^{\prime}=ZZ_3 xx ZZ_3$ rispetto all'operazione: $(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc^(-1))$. Verificare che la legge $f:G->G^{\prime}$ definita da $f[((a,b),(0,c))]=(a,b)$ è un isomorfismo
Come vedi in questo esercizio ho definita l'operazione (che nel nostro caso credo sia una semplice addizione), ma soprattutto mi viene detto che cosa si ottiene non appena si calcola l'omomorfismo. Purtroppo non ho potuto frequentare il corso di algebra quindi risolvo gli esercizi in maniera un pò meccanica..In questo caso, mancandomi il risultato dell'omomorfismo, mi confondo
Se non ti chiedo troppo, potresti farmi capire i passaggi che fai te? Come ti ripeto, sarà una cavolata enorme per te che ormai le hai fatte tue, ma per me è qualcosa di invalicabile
Grazie ancora e scusa se sono "pesante"
Prendo questo ersercizio sempre sugli omomorfismi:
Consideriamo il gruppo $G={M=((a,b),(0,c))|$ ad elementi in $ZZ_3$ e $detM=1}$ rispetto all'usuale prodotto righe per colonne ed il gruppo $G^{\prime}=ZZ_3 xx ZZ_3$ rispetto all'operazione: $(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc^(-1))$. Verificare che la legge $f:G->G^{\prime}$ definita da $f[((a,b),(0,c))]=(a,b)$ è un isomorfismo
Come vedi in questo esercizio ho definita l'operazione (che nel nostro caso credo sia una semplice addizione), ma soprattutto mi viene detto che cosa si ottiene non appena si calcola l'omomorfismo. Purtroppo non ho potuto frequentare il corso di algebra quindi risolvo gli esercizi in maniera un pò meccanica..In questo caso, mancandomi il risultato dell'omomorfismo, mi confondo
Se non ti chiedo troppo, potresti farmi capire i passaggi che fai te? Come ti ripeto, sarà una cavolata enorme per te che ormai le hai fatte tue, ma per me è qualcosa di invalicabile
Grazie ancora e scusa se sono "pesante"
No, figurati, non sei affatto pesante, te l'ho detto è un piacere discutere con utenti come te.
Comunque, guarda che anche io ti ho già dato tutto come fa il tuo prof
A parte le mie battute idiote, il punto è questo: ti ho scritto qualche post fa questa funzione
$f: (G,+) to (ZZ_5,+)$
$((a,0),(c,d)) mapsto bar c$ (dove $bar c$ denota la classe di $c$ in $ZZ_5$)
Un esempio: prendi la matrice $((12,0),(8,-1))$ che sta in $G$: hai che $f(((12,0),(8,-1)))=bar8=bar3$. Chiaro?
Adesso le cose da fare sono queste, sono sicuro che sei in grado di farle tranquillamente: per prima cosa devi dimostrare che è un omomorfismo, quindi l'immagine del composto è il composto delle immagini. Nota: siamo abbastanza fortunati! Entrambi i gruppi sono additivi; quindi l'operazione in $G$ è la normale somma tra matrici elemento per elemento, mentre in $ZZ_5$ è la (altrettanto normale) somma di classi. Chiaro?
Fatto questo ci dedicheremo al nucleo.
Comunque, guarda che anche io ti ho già dato tutto come fa il tuo prof
A parte le mie battute idiote, il punto è questo: ti ho scritto qualche post fa questa funzione
$f: (G,+) to (ZZ_5,+)$
$((a,0),(c,d)) mapsto bar c$ (dove $bar c$ denota la classe di $c$ in $ZZ_5$)
Un esempio: prendi la matrice $((12,0),(8,-1))$ che sta in $G$: hai che $f(((12,0),(8,-1)))=bar8=bar3$. Chiaro?
Adesso le cose da fare sono queste, sono sicuro che sei in grado di farle tranquillamente: per prima cosa devi dimostrare che è un omomorfismo, quindi l'immagine del composto è il composto delle immagini. Nota: siamo abbastanza fortunati! Entrambi i gruppi sono additivi; quindi l'operazione in $G$ è la normale somma tra matrici elemento per elemento, mentre in $ZZ_5$ è la (altrettanto normale) somma di classi. Chiaro?
Fatto questo ci dedicheremo al nucleo.
"Paolo90":
Un esempio: prendi la matrice $((12,0),(8,-1))$ che sta in $G$: hai che $f(((12,0),(8,-1)))=bar8=bar3$. Chiaro?
Quì abbiamo che $c=8$ quindi siamo nella classe $bar8$ che su $ZZ_5$ è chiaramente $bar3$, giusto?
Grazie davvero infinite volte
Sì, esatto. La funzione lavora come hai scritto. Sapresti mostrare che conserva l'operazione, cioè è un omomorfismo?
P.S. Prego infinite volte
P.S. Prego infinite volte
Per dimostrarlo faccio così
$f[((a,0),(c,d))+((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]= [c] + [c^{\prime}]$.
$f((a,0),(c,d)) + f((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))= [c] + [c^{\prime}]$
e quindi possiamo dire che è un'omomorfismo. Giusto?
P.S: con $[c]$ indico le classi di equivalenza di $c$....Vabbè che hai capito però se qualcuno dovesse leggerci....
$f[((a,0),(c,d))+((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))]= [c] + [c^{\prime}]$.
$f((a,0),(c,d)) + f((a^{\prime},0),(c^{\prime},d^{\prime}))= [c] + [c^{\prime}]$
e quindi possiamo dire che è un'omomorfismo. Giusto?
P.S: con $[c]$ indico le classi di equivalenza di $c$....Vabbè che hai capito però se qualcuno dovesse leggerci....
Anzi, ho saltato un pò di passaggi che ora scrivo....Prima non ci vedevo più dalla fame
$f[((a,0),(c,d))+((a^{\prime}, 0),(c^{\prime}, d^{\prime}))]=((a+a^{\prime},0),(c+c^{\prime},d+d^{\prime}))= [c+c^{\prime}]=[c]+[c^{\prime}]$
la seconda dimostrazione è come prima
$f[((a,0),(c,d))+((a^{\prime}, 0),(c^{\prime}, d^{\prime}))]=((a+a^{\prime},0),(c+c^{\prime},d+d^{\prime}))= [c+c^{\prime}]=[c]+[c^{\prime}]$
la seconda dimostrazione è come prima
Ok, va bene come hai scritto sul secondo post.
Adesso, sapresti dirmi se è suriettivo quell'omomorfismo? E qual è il suo nucleo?
Adesso, sapresti dirmi se è suriettivo quell'omomorfismo? E qual è il suo nucleo?
La suriettività mi pare ovvia dato che l'immagine di un'elemento di $H$ si trova su $ZZ_5$, prendendo come esempio quello che te hai fatto lcuni post fa si nota.
Per il nucleo, l'elemento neutro di $ZZ_5$ rispetto alla somma sarà sempre $0$ e quindi il nucleo penso sia la classe di $c=0$..
E' giusto?
Grazie
Per il nucleo, l'elemento neutro di $ZZ_5$ rispetto alla somma sarà sempre $0$ e quindi il nucleo penso sia la classe di $c=0$..
E' giusto?
Grazie
"Samy21":
La suriettività mi pare ovvia dato che l'immagine di un'elemento di $H$ si trova su $ZZ_5$, prendendo come esempio quello che te hai fatto lcuni post fa si nota.
Sì, detto in maniera più precisa: $forall barc in ZZ_5$, $EE A in G$ tale che $f(A)=barc$, dove $A$ denota una matrice in $G$. Quindi abbiamo appurato che quello è un epimorfismo.
Per il nucleo, l'elemento neutro di $ZZ_5$ rispetto alla somma sarà sempre $0$ e quindi il nucleo penso sia la classe di $c=0$..
E' giusto?
Penso tu abbia capito, ma l'hai detto un po' maluccio: il nucleo non può essere la "classe", perchè non è un sottogruppo di $ZZ_5$, ma di $G$. Scrivi per bene - usando le formule, ti consiglio - che cos'è il nucleo di quest'epimorfismo. Poi guardalo bene: non ti ricorda nulla?
Una volta fatto questo hai finito: basterà applicare il th fondamentale di cui parlavamo ieri...
Il nucleo sarebbe $kerf={((a,0),(c,d)) inG | c -= 0 ZZ_5}$ che sarebbe il sottoinsieme H di G $H={((a,0),(c,d)) inG | c -= 0 mod 5}$...Giusto?
Applicando adesso il Teorema dell'isomorfismo posso dire che $G/(kerf) ~= Imf$ e quindi $imf$ è normale
Si, ho il grande "dono" di dire malissimo le cose Grazie davvero per la pazienza...
Applicando adesso il Teorema dell'isomorfismo posso dire che $G/(kerf) ~= Imf$ e quindi $imf$ è normale
Si, ho il grande "dono" di dire malissimo le cose
Grazie davvero per la pazienza...
"Samy21":
Il nucleo sarebbe $kerf={((a,0),(c,d)) inG | c -= 0 mod 5}$ che sarebbe il sottoinsieme H di G $H={((a,0),(c,d)) inG | c -= 0 mod 5}$...Giusto?
Esattamente, $H$ è il nucleo di quell'epimorfismo.
Applicando adesso il Teorema dell'isomorfismo posso dire che $G//(kerf) ~= Imf$ e quindi $imf$ è normale
Che cosa vuol dire che un gruppo (quoziente) è normale?!?
Hai fatto vedere prima che è un epimorfismo, per cui $"Im"f = ZZ_5$. Quindi, $G // "Ker"f = G//H cong Im f = ZZ_5$. Quindi hai concluso: il quoziente è isomorfo a $ZZ_5$.
Chiaro?
"Paolo90":
Che cosa vuol dire che un gruppo (quoziente) è normale?!?
Oddio
Assolutamente nulla...Ma da dove mi è venuto quel "Normale"?!?! Si...Alla fine siamo riusciti ad arrivare alla fine...La vedevo dura
Grazie tante, scusa se sono un pò pasticciona,poco chiara e taaaaanto confusionaria Troppe doti tutte in una sola persona 
Davvero, non ti preoccupare, per me è stato un vero piacere. E' sempre bello discutere con colleghi...
Grazie a te, di tutto.
Spero sia tutto chiaro. Se hai ancora bisogno siamo qui.
Take care
Grazie a te, di tutto.
Spero sia tutto chiaro. Se hai ancora bisogno siamo qui.
Take care
Anche per me è stato un vero piacere, quasi mi dispiace che l'esercizio sia finito
Si appunto per questo mi sto appassionando a questo sito... E comunque per esperienza posso dirti che non è sempre bello parlare con i colleghi, almeno quei pochi all'università con i quali ho parlato erano talmente in alto (modestia pari a zero) che parlargli era quasi disturbarli dal loro stato di "sollevamento" Invece quì sebbene ci sia gente molto più competente, non si avverte questa differenza tra "colore che sanno" (ossia voi) e tra "coloro che vorrebbero sapere" (io ) ed il bello è proprio questo, almeno non ci si sente a disagio nel parlare e nel dire le cose che poi potrebbero rivelarsi cavolate (e ne ho dette in questo post davvero tante ). Quindi grazie di vero cuore Spero a presto!
E' sempre bello discutere con colleghi...
Si appunto per questo mi sto appassionando a questo sito...
E comunque per esperienza posso dirti che non è sempre bello parlare con i colleghi, almeno quei pochi all'università con i quali ho parlato erano talmente in alto (modestia pari a zero) che parlargli era quasi disturbarli dal loro stato di "sollevamento" Invece quì sebbene ci sia gente molto più competente, non si avverte questa differenza tra "colore che sanno" (ossia voi) e tra "coloro che vorrebbero sapere" (io ) ed il bello è proprio questo, almeno non ci si sente a disagio nel parlare e nel dire le cose che poi potrebbero rivelarsi cavolate (e ne ho dette in questo post davvero tante ). Quindi grazie di vero cuore Spero a presto!
[quote]E' sempre bello discutere con colleghi...
Si appunto per questo mi sto appassionando a questo sito...
E comunque per esperienza posso dirti che non è sempre bello parlare con i colleghi, almeno quei pochi all'università con i quali ho parlato erano talmente in alto (modestia pari a zero) che parlargli era quasi disturbarli dal loro stato di "sollevamento" [/quote]
Capisco; è una cosa che non mi è mai piaciuta questa idea dello scienziato "saccente"; ritengo, al contrario, che il dialogo sia fondamentale in ambito scientifico e trovo molto interessante discutere costruttivamente con altri che hanno voglia di discutere
Invece quì sebbene ci sia gente molto più competente, non si avverte questa differenza tra "colore che sanno" (ossia voi) e tra "coloro che vorrebbero sapere" (io
Non esagerare
Per quanto mi riguarda so ben poco, posso solo dirti che mi piace tanto l'Algebra e sono qui anche io per imparare."Samy21":
Anche per me è stato un vero piacere, quasi mi dispiace che l'esercizio sia finito
Ah ma se vuoi ne facciamo un altro, per me non c'è problema...
"Paolo90":
Ah ma se vuoi ne facciamo un altro, per me non c'è problema...
Siiii
Scegli te l'esercizio o ne prendo uno a caso dal mio libro? Grazie Grazie Grazie Grazie
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