Verficare un sottogruppo normale?
qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
sia G={$((a,0),(c,d))$ |a,b,c $in$ Z} gruppo
si consideri il sottoinsieme H di G definito da
H{$((a,0),(c,d))$ $in$G | c $-=$ 0 mod 5}
come si fa a verificare che H è sottogruppo normale di G e provare che G/H è isomorfo a (Z5,+).
Risposte
Mmmm, dunque vediamo un po'. Un esercizio che io trovo molto molto bello (e utile perchè ha carattere generale: è per così dire una dimostrazione) è questo.
Conosci $S_n$ vero? E il sottogruppo alterno $A_n$? Se li conosci:
1. dimostrare che $A_n$ è un sottogruppo di $S_n$;
2. dimostrare che $A_n$ è normale in $S_n$;
3. studiare il quoziente $S_n // A_n$.
E' sulla falsariga di quello che abbiamo appena fatto...
Se non ti piace proponine pure uno tu, sarò lieto di provare a risolverlo con te.
Conosci $S_n$ vero? E il sottogruppo alterno $A_n$? Se li conosci:
1. dimostrare che $A_n$ è un sottogruppo di $S_n$;
2. dimostrare che $A_n$ è normale in $S_n$;
3. studiare il quoziente $S_n // A_n$.
E' sulla falsariga di quello che abbiamo appena fatto...
Se non ti piace proponine pure uno tu, sarò lieto di provare a risolverlo con te.
Si li conosco, o almeno dovrei 
$S_n$ è il gruppo simmetrico mentre $A_n$ è il sottogruppo formato da tutte le permutazioni pari di $S_n$. Una permutazione si dice pari se si ottiene moltiplicando un numero pari di m-cicli. E' giusto? 
1. Al solito devo mostrare che presi 2 elementi $a,b$ di $A_n$, il loro prodotto $ab^-1 in A_n$. Ho appena detto che gli elementi di $A_n$ sono delle permutazioni pari e il loro prodotto continua ad essere pari e quindi, essendo ancora elemento di $A_n$ ho dimostrato quanto detto.
Fin quì ci sono?
$S_n$ è il gruppo simmetrico mentre $A_n$ è il sottogruppo formato da tutte le permutazioni pari di $S_n$. Una permutazione si dice pari se si ottiene moltiplicando un numero pari di m-cicli. E' giusto? 1. Al solito devo mostrare che presi 2 elementi $a,b$ di $A_n$, il loro prodotto $ab^-1 in A_n$. Ho appena detto che gli elementi di $A_n$ sono delle permutazioni pari e il loro prodotto continua ad essere pari e quindi, essendo ancora elemento di $A_n$ ho dimostrato quanto detto.
Fin quì ci sono?
"Samy21":
Si li conosco, o almeno dovrei
Ok, bene.
1. Al solito devo mostrare che presi 2 elementi $a,b$ di $A_n$, il loro prodotto $ab^-1 in A_n$. Ho appena detto che gli elementi di $A_n$ sono delle permutazioni pari e il loro prodotto continua ad essere pari e quindi, essendo ancora elemento di $A_n$ ho dimostrato quanto detto.
Fin quì ci sono?
Sì, è giusto anche se... non me l'hai proprio dimostrato
Perchè se $a,b in A_n$ anche $ab^-1 in A_n$? Dimmi qualche parola in più ti prego...
"Paolo90":
Perchè se $a,b in A_n$ anche $ab^-1 in A_n$? Dimmi qualche parola in più ti prego...
Allora, prendendo per esempio i 2-cicli $a=(1,3)$ e $b=(1,2)$ sappiamo che $ab$ corrisponde alla permutazione in $S_n$ pari a $(1,2,3)$... Moltiplicando quindi $a*b^-1$, presumendo che la permutazione inversa di b sia $(2,1)$, si conclude che alla fine avremo che $a*b^-1=(2,1,3)$ (se non ho fatto errori) che è frutto di un numero pari di permutazioni...Quindi continua ad essere elemento di $A_n$... Giusto?EDIT: ho dimenticato il dettaglio rilevantissimo (as usual
) che $A_n$ deve risultare chiuso rispetto all'operazione di $S_n$, e da quanto detto emerge.... 
"Samy21":
[quote="Paolo90"]
Perchè se $a,b in A_n$ anche $ab^-1 in A_n$? Dimmi qualche parola in più ti prego...
Allora, prendendo per esempio i 2-cicli $a=(1,3)$ e $b=(1,2)$ sappiamo che $ab$ corrisponde alla permutazione in $S_n$ pari a $(1,2,3)$... Moltiplicando quindi $a*b^-1$, presumendo che la permutazione inversa di b sia $(2,1)$, si conclude che alla fine avremo che $a*b^-1=(2,1,3)$ (se non ho fatto errori) che è frutto di un numero pari di permutazioni...Quindi continua ad essere elemento di $A_n$... Giusto?[/quote]
Eh, io sono un rompiscatole...
Non mi basta mica un esempio
. Voglio una dimostrazione... Non ti scoraggiare è più semplice di quello che pensi: prendi un k-ciclo; sai che puoi scriverlo come prodotto di trasposizioni (2-cicli); quale sarà il suo inverso? Meglio, come sarà la parità del suo inverso? Basta che ragioni un attimo...
EDIT: ho dimenticato il dettaglio rilevantissimo (as usual
Attenzione: se usi il criterio (come hai fatto adesso, sopra) NON serve verificare la chiusura (l'hai dimostrato tu qualche post fa! La chiusura discende dal fatto che per ogni $sigma, tau in A_n$ hai $sigma circ tau^-1 in A_n$).
Non è difficile comunque dimostrare che $A_n$ è un sottogruppo di $S_n$ passando dalla definizione, senza usare il criterio: cerchi elemento neutro, chiusura, esistenza dell'inverso: non serve l'associatività perchè se vale in $S_n$ vale a maggior ragione in $A_n$.
Naaaa ma figurati...Magari i rompiscatole fossero tutti come te
Preso allora $(1,2,3,...,k) in S_n$ scrivendolo come trasposizioni di 2-cicli abbiamo che $(1,2,3,...,k)=(1,k)(1,k-1)(1,k-2)(1,k-3)$. Adesso l'inverso essendo $(k,...,3,2,1)=(k,1)(k-1,2)(k-2,3)$ (non sono sicura di quest'ultima cosa
).E' giusto fin quì (inversa compresa ) ?
"Paolo90":
prendi un k-ciclo; sai che puoi scriverlo come prodotto di trasposizioni (2-cicli); quale sarà il suo inverso? Meglio, come sarà la parità del suo inverso?
Preso allora $(1,2,3,...,k) in S_n$ scrivendolo come trasposizioni di 2-cicli abbiamo che $(1,2,3,...,k)=(1,k)(1,k-1)(1,k-2)(1,k-3)$. Adesso l'inverso essendo $(k,...,3,2,1)=(k,1)(k-1,2)(k-2,3)$ (non sono sicura di quest'ultima cosa
).E' giusto fin quì (inversa compresa ) ?
"Samy21":
Naaaa ma figurati...Magari i rompiscatole fossero tutti come te
Grazie per il complimento
"Paolo90":
prendi un k-ciclo; sai che puoi scriverlo come prodotto di trasposizioni (2-cicli); quale sarà il suo inverso? Meglio, come sarà la parità del suo inverso?
Preso allora $(1,2,3,...,k) in S_n$ scrivendolo come trasposizioni di 2-cicli abbiamo che $(1,2,3,...,k)=(1,k)(1,k-1)(1,k-2)(1,k-3)$. Adesso l'inverso essendo $(k,...,3,2,1)=(k,1)(k-1,2)(k-3,3)$ (non sono sicura di quest'ultima cosa
E' più o meno giusto. Anzitutto un appunto: l'inverso di $(a,b)$ è $(a,b)$ stesso (provare per credere...
): nota infatti che dire $(a,b)$ o $(b,a)$ è la stessa cosa. Poi, ricorda che l'inverso di un prodotto è il prodotto degli inversi presi in ordine "inverso" (perdona il gioco di parole
): cioè $(cd)^-1=d^-1c^-1$ (nota che $cd$ indica il composto di due elementi non una trasposizione!); in definitiva se un k-ciclo lo scrivi come prodotto di $2n$ trasposizioni, allora anche l'inverso conterrà sempre $2n$ trasposizioni (perchè l'inverso di una trasposizione è ancora la trasposizione stessa, l'abbiamo appena detto!).Quindi, se $sigma$ e $tau$ sono permutazioni pari, anche $tau^-1$ è pari, e quindi come sarà $sigma circ tau^-1$?
Sarà pari....ed è quello che vogliamo dimostrare per far capire che $A_n$ è sottogruppo di $S_n$...
Esatto. Hai capito?
A questo punto, che mi dici della normalità?
A questo punto, che mi dici della normalità?
Si ho capito
Per la normalità di $A_n$ rispetto $S_n$ dobbiamo dimostrare che, preso $a in S_n$ si deve verificare $aA_na^-1 in A_n$...E fin quà ci sono...Abbiamo appena detto che l'inverso di a è a stesso, ossia $a=a^-1$, quindi abbiamo $aA_na in A_n$.... ora mi sono persa.....La crisi da dimostrazione è in atto
Per la normalità di $A_n$ rispetto $S_n$ dobbiamo dimostrare che, preso $a in S_n$ si deve verificare $aA_na^-1 in A_n$...E fin quà ci sono...Abbiamo appena detto che l'inverso di a è a stesso, ossia $a=a^-1$, quindi abbiamo $aA_na in A_n$.... ora mi sono persa.....La crisi da dimostrazione è in atto
"Samy21":
Si ho capito
Per la normalità di $A_n$ rispetto $S_n$ dobbiamo dimostrare che, preso $a in S_n$ si deve verificare $aA_na^-1 in A_n$..
Sì, una strada potrebbe essere questa, mostrare che $A_n$ è chiuso rispetto al coniugio. Nota che la scrittura che hai riportato è errata: devi dimostrare che $aA_na^-1 subseteq A_n$ (anche il primo membro è un insieme!).
E fin quà ci sono...Abbiamo appena detto che l'inverso di a è a stesso, ossia $a=a^-1$, quindi abbiamo $aA_na in A_n$.... ora mi sono persa.....La crisi da dimostrazione è in atto
Sì, è come prima: $a in A_n => a " pari" => a^-1 "pari"$
Se moltiplichi un elemento di $A_n$ (pari) per altri due pari ottieni ...
"Paolo90":
Se moltiplichi un elemento di $A_n$ (pari) per altri due pari ottieni ...
sempre un'altro elemento pari...Quindi $A_n$ è normale
Great. Now, what about the quotient?
Il quoziente abbiamo detto che è un gruppo perchè $A_n$ è normale su $S_n$... Studiare il quoziente cosa intendi?
Scusami ma adesso devo andare a letto...Sto tracollando A domani e grazie mille
A domani e grazie mille
Per studiare il quoziente intendo ricavare più informazioni possibili riguardo ad esso.
Com'è fatto? E' forse isomorfo a qualche gruppo noto? E' - correttamente - un gruppo: è ciclico? Se sì quali sono i generatori? E' abeliano? O no?
Buonanotte
P.S. Ti seguo anche io nel mondo della.. nanna!
Com'è fatto? E' forse isomorfo a qualche gruppo noto? E' - correttamente - un gruppo: è ciclico? Se sì quali sono i generatori? E' abeliano? O no?
Buonanotte
P.S. Ti seguo anche io nel mondo della.. nanna!
Rieccomi, scusa ma la connessione non voleva proprio andare oggi 
Tornando al punto 3.... Il quoziente in questione è $S_n/A_n$... Volendo calcolare l'ordine del quoziente abbiamo che $|S_n|=n!$ mentre invece $|A_n|=(n!)/2$ allora segue che $|S_n/A_n|=2$... Adesso io penso che questi 2 elementi siano delle permutazioni dispari, è possibile?
Riguardo alla struttura di gruppo, sapendo che ogni gruppo che ha meno di 6 elementi è abeliano, posso concludere che pure questo lo è
Poi, riguardo la possibilità che possa essere isomorfo a qualche gruppo noto, trovo inutile calcolare il nucleo di $A_n$ dato che già sappiamo che questo è sempre normale su $S_n$..
Per la ciclicità gli elementi si possono scrivere gli elementi come potenze di uno stesso elemento che quindi prenderà il nome di generatore....
Fin quì tutto ok?
Tornando al punto 3.... Il quoziente in questione è $S_n/A_n$... Volendo calcolare l'ordine del quoziente abbiamo che $|S_n|=n!$ mentre invece $|A_n|=(n!)/2$ allora segue che $|S_n/A_n|=2$... Adesso io penso che questi 2 elementi siano delle permutazioni dispari, è possibile?
Riguardo alla struttura di gruppo, sapendo che ogni gruppo che ha meno di 6 elementi è abeliano, posso concludere che pure questo lo è
Poi, riguardo la possibilità che possa essere isomorfo a qualche gruppo noto, trovo inutile calcolare il nucleo di $A_n$ dato che già sappiamo che questo è sempre normale su $S_n$..
Per la ciclicità gli elementi si possono scrivere gli elementi come potenze di uno stesso elemento che quindi prenderà il nome di generatore....
Fin quì tutto ok?
Ciao!
In linea di massima va bene ciò che dici. Cerco di sistemare un po' le idee e qualche dettaglio importante.
Per prima cosa: che cos'è un quoziente? sapresti definire un insieme quoziente? Non capisco, infatti, perchè dici che gli elementi del quoziente potrebbero essere permutazioni dispari. Tieni a mente che un insieme quoziente non è altro che un "insieme di sottoinsiemi" (di classi, se preferisci).
Come funziona la faccenda? Semplice: tu prendi un insieme finito, ad esempio. Dai una relazione di equivalenza tra gli elementi dell'insieme e "metti insieme", in una stessa classe, in uno stesso sottoinsieme dell'insieme di partenza, tutti gli elementi in relazione tra loro.
E' importante che tu capisca questo concetto basilare dell'algebra. Ti faccio un esempio stupido per farti capire.
Prendi gli abitanti della tua città ($I$, insieme finito). Prendi la relazione $rho$, definita così: $"tizio " rho " caio"$ se e solo se $"tizio e caio hanno lo stesso colore di capelli"$. Ti invito a dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza. Adesso, cosa ti viene naturale fare? Semplice, mettere insieme tutti i biondi, tutti i rossi, tutti i castani, tutti i neri etc.. capisci ciò che voglio dire?
Allora, l'insieme quoziente $I//rho={"abitanti biondi della tua citta'", "abitanti rossi della tua citta'", "etc"}$. Ci sei?
Scusa per l'esempio davvero stupido.
Tornando al nostro problema, dici bene che l'ordine del quoziente è 2. Se hai capito bene ciò che ti ho detto ora, prova a scrivere gli elementi dell'insieme quoziente. Sei ancora sicura che siano permutazioni dispari?
Comunque, una volta capito questo hai finito: infatti, è vero che i gruppi di ordine minore di 6 sono tutti abeliani, ma è anche vero che esiste solo un gruppo di ordine 2, che è $ZZ_2$. Quindi il quoziente "è" $ZZ_2$. Cosa mi dici di $ZZ_2$? E' abeliano, questo è appurato. E' ciclico?
P.S. Ah, dimenticavo: il giochino che ti ho fatto sopra con gli abitanti funziona analogamente con i sottogruppi. L'insieme quoziente (che noi cerchiamo di strutturare come gruppo e lo possiamo fare se e solo se il sottogruppo è normale) nasce infatti - guarda caso - da una relazione di equivalenza: chi è costei?
Spero di esserti stato utile.
In linea di massima va bene ciò che dici. Cerco di sistemare un po' le idee e qualche dettaglio importante.
Per prima cosa: che cos'è un quoziente? sapresti definire un insieme quoziente? Non capisco, infatti, perchè dici che gli elementi del quoziente potrebbero essere permutazioni dispari. Tieni a mente che un insieme quoziente non è altro che un "insieme di sottoinsiemi" (di classi, se preferisci).
Come funziona la faccenda? Semplice: tu prendi un insieme finito, ad esempio. Dai una relazione di equivalenza tra gli elementi dell'insieme e "metti insieme", in una stessa classe, in uno stesso sottoinsieme dell'insieme di partenza, tutti gli elementi in relazione tra loro.
E' importante che tu capisca questo concetto basilare dell'algebra. Ti faccio un esempio stupido per farti capire.
Prendi gli abitanti della tua città ($I$, insieme finito). Prendi la relazione $rho$, definita così: $"tizio " rho " caio"$ se e solo se $"tizio e caio hanno lo stesso colore di capelli"$. Ti invito a dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza. Adesso, cosa ti viene naturale fare? Semplice, mettere insieme tutti i biondi, tutti i rossi, tutti i castani, tutti i neri etc.. capisci ciò che voglio dire?
Allora, l'insieme quoziente $I//rho={"abitanti biondi della tua citta'", "abitanti rossi della tua citta'", "etc"}$. Ci sei?
Scusa per l'esempio davvero stupido.
Tornando al nostro problema, dici bene che l'ordine del quoziente è 2. Se hai capito bene ciò che ti ho detto ora, prova a scrivere gli elementi dell'insieme quoziente. Sei ancora sicura che siano permutazioni dispari?
Comunque, una volta capito questo hai finito: infatti, è vero che i gruppi di ordine minore di 6 sono tutti abeliani, ma è anche vero che esiste solo un gruppo di ordine 2, che è $ZZ_2$. Quindi il quoziente "è" $ZZ_2$. Cosa mi dici di $ZZ_2$? E' abeliano, questo è appurato. E' ciclico?
P.S. Ah, dimenticavo: il giochino che ti ho fatto sopra con gli abitanti funziona analogamente con i sottogruppi. L'insieme quoziente (che noi cerchiamo di strutturare come gruppo e lo possiamo fare se e solo se il sottogruppo è normale) nasce infatti - guarda caso
- da una relazione di equivalenza: chi è costei?Spero di esserti stato utile.
"Paolo90":
Prendi gli abitanti della tua città ($I$, insieme finito). Prendi la relazione $rho$, definita così: $"tizio " rho " caio"$ se e solo se $"tizio e caio hanno lo stesso colore di capelli"$. Ti invito a dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
Per essere una relazione di equivalenza devono valere 2 proprietà:
- Proprietà Riflessiva: è ovvio, il mio colore di capelli è in relazione con sè stesso.
- Proprietà Transitiva: se caio e tizio hanno lo stesso colore di capelli e tizio ha lo stesso colore di capelli di sempronio, allora anche caio avrà lo stesso colore di capelli di sempronio.
- Proprietà Simmetrica: se caio $rho$ tizio, anche tizio $rho$ caio.
Quindi è una relazione di equivalenza
"Paolo90":
Sei ancora sicura che siano permutazioni dispari?
E ho detto la mia solita cavolata
Se la relazione quì è "essere ottenuti da un numero di trasposizioni pari" allora le permutazioni saranno quelle pari...Giusto? "Paolo90":
Cosa mi dici di $ZZ_2$? E' ciclico?
$ZZ_2={id, (1,2)}$ e direi che è ciclico perchè $id= {(1,2)^2}$ quindi posso scrivere gli elementi come potenza d un unico elemtento...Right?
"Paolo90":
P.S. Ah, dimenticavo: il giochino che ti ho fatto sopra con gli abitanti funziona analogamente con i sottogruppi. L'insieme quoziente (che noi cerchiamo di strutturare come gruppo e lo possiamo fare se e solo se il sottogruppo è normale) nasce infatti - guarda caso
Spero di esserti stato utile.
Penso sia la stessa definita per i sottogruppi normali, ossia i due laterali devono essere in relazione o uguali
"Paolo90":
Spero di esserti stato utile.
Ovvio che mi sei utile, anzi ancora mille grazie
ma $ZZ_2$ non è composto da $[0]_2,[1]_2$?
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